Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Hệ thống hóa các bài tập phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với một mức năng lượng có nhiều trạng thái.. Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy

BO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

KHOA V AT LY

++

LUAN VAN TOT NGHIEP

GVHD: 7s Nguyén Van Hoa

SVTH: V6 Manh Hung

Thanh Phố Hồ Chi Minh 2008

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, động viên, giúp dé của quý thay cô gia đình va bạn bẻ.

Xin cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn đến:

TS Nguyễn Văn Hoa, người thầy đã định hướng, tận tình chỉ bảo vả tạo cho em lòng tự tin trong thời gian thực hiện luận văn Người thay đã truyền cho em sự say mê trong nghiên cứu khoa học, trực tiếp hướng dẫn, diu dit em thực hiện những bước đi

đúng đắn trong tiền trình làm luận văn.

Quý thầy, cô trong khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Tp HCM đã truyền đạt

cho em những kiến thức, kỹ năng và phương pháp sư phạm tạo nên tang cho tương lai

nghé nghiệp Đặc biệt TS Thái Khắc Định trưởng khoa Vật Lý, đã tạo nhiều điều kiện

thuận lợi dé em hoàn thành tốt luận văn.

Các bạn lớp lý K30, đặc biệt là bạn Đỗ Thùy Linh đã luôn sát cánh, động viên và

giúp đỡ mình trong những giai đoạn khó khăn nhất của việc thực hiện luận văn.

Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến ba mẹ và gia đình đã luôn ủng hộ tạo mọi điều

kiện tốt nhất cho con hoàn thành luận văn.

Tp HCM: Ngày 10 thang 0Š năm 2008.

Võ Mạnh Hùng

PHAN MO DAU:

1 Lý do chon đề tai:

Một hệ lượng được đặc trưng bởi Halmitonien 4 Dòi hỏi xác định hàm

riêng và trị riêng của toán tử Hamilton H đó Thực ra bài toán tìm trị riêng va

hàm riêng của một toán tử là vô cùng phức tạp và có thê giải chính xác với một

số trường hợp rất đơn giản như “H6 thé”, “dao động tử điều hòa", “nguyên tử

Hidro” hoặc các “ion tượng tự hidro”

Nhưng bên cạnh đó, cơ học lượng tử còn có rất nhiều những hệ lượng tử

phức tạp ma ta không thê giải chính xác một cách hoàn toàn Chính vi vậy,phương pháp gần đúng được đưa vào sử đụng nhằm giải quyết vấn đề trên

Trong lý thuyết có nhiều phương pháp gần đúng nhưng trên thực tế và giới

hạn chương trình hai phương pháp gần đúng được sử dụng phô biến và áp dụng

nhiều cho nhiều dạng bài toán là: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và

phương pháp biến phân

2 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:

Luận văn nghiên cứu hai phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử:Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân Mỗi

phương pháp bao gồm một hệ thống bài tập được phân loại sắp xếp theo mức

độ và giải một cách chỉ tiết

Phương pháp nghiên cứu: Phân tích nội dung chương trình (lý thuyết nhiễu

loạn và phương pháp biến phan); Thực hanh giải bài tập và phân loại bai tập

3 Cấu trúc luận văn:

Phần mở đầu:

Chương I: Cơ sở lý thuyết

Chương II: Hệ thống bài tập

Kết luận Hướng phát triển.

Chương I CƠ SỞ LÝ THUYET "8!

I1 LÝ THUYET NHIÊU LOAN

L.1.1 Công thức tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng.

Hamiltonien:

H=H,+V

Với:

H,, : Toán tử Hamilton khi không có nhiều loạn.

V : Toán tử nhiễu loạn.

Phương trình Schrodinger:

H\y) = E|}: Khi nhiễu loạn (1)

H,\wyO Oo) = Ee +"): Khi không nhiều loạn (2) Khai triển: y(x) theo ựJ°'(x)

Trong đó Hy, là phan tử ma trận trận của toán tử H trong * E”"'_ biểu diễn.

Hy = [we Hựadx= [VỆ (H, + wide

= ful He wlde [WLV wld = B25 +

Trong đó V„„ là phan tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn trong “ E°TM biểu diễn.

Vin = Sys V wd (7)

Thay (6) vao (5) ta duge:

HDL ES © bn +Veq ) Cy, = EC,

©[£‡~r„ -E]C„+31⁄4„€, =0 (8)

mee wee

Dé biểu thị độ nhỏ của V ta đặt:

V=Aw (9)

2 là một tham sô đặc trưng cho độ nhỏ của nang lượng nhiều loạn.

{3].|&} Tải liệu thơm bdo sd 3, số 8

Thay (9) vào (8):

[Eš-4w„—E]Œ„+43›1„„€,=0 (10)

mee wee

Phương trình (10) chính là phương trình tông quát của lý thuyết nhiễu loạn đừng.

1.1.2 Nhiễu loạn khi không có suy biến.

Từ công thức (10) ta khai triển C,, va E dưới dạng chuỗi:

C, = CN) 4 ACD + 1°CD) +

Es E°+AE" + PEP +

Các số hạng C"’.C? ; EE" tuong ứng với các bô chính của ham sóng và và

(11)

năng lượng trong gan đúng bậc 1, bậc 2

Thay (11) vào (10) và tập hợp các số hạng cùng bậc của lũy thừa 2 , ta có:

[F2—-E"]cf"+2 Á» —E” |ct" +[ E$—E" |e +3 xen]

wen

# » =B" CP -E% CD +|ã5—E* en" + wc} (12)

R Í» -E"Ìcp —E£% Co ~gacm +[ES- #°|c +w c?}.-0

Thay (13) vào (12) và bỏ qua các số hạng có chứa bậc cao hơn 2°:

[W„.— E7” ]á„ +[E—E"]CŒ?+ Vw, Pye =0 (15)

Lay phương trình thứ m = k trong các phương trình (15), ta tìm được bô chính bậc

nhất cho năng lượng:

We — El! =0 e Bl! =w¿ =(k|V|k): (16)

Lay phương trình thứ m + & trong các phương trình (15) ta sẽ tim được số hạng bô

chính bậc nhat đôi với ham sóng.

« wae t ^

awk azh

Phuong trinh (20) tro thanh:

Wg wos mm +[E -E'|c + Wn _—- = 0 (22)

"

|

CO) = Tats sẻ 71? mtknstk (23)

Tœ 8m) Le -£)-E)

Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thé tính được bô chính bậc ba và các bậc cao hơn.

1.1.3 Nhiễu loạn khi có suy biến.

Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với

một mức năng lượng có nhiều trạng thái.

Phương trình (3) được đặt lại:

vix= PCW)

Phương trình (8) được viết lại:

[ee =F», of ~ E|C ue + ay, mp ne" on (24)

Trong đó:

Vg a = [ư$ Vy dx (25)

Là phan tử ma trận của năng lượng nhiều loạn.

Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k.

Phương trình (23) tương đương với một hệ phương trình bac nhất đối với €j°:

[(E? +E,,- E)C? +E,„C‡” + +f,„„ =0

=0 (29)

Vey naan (E +V,,-E)

Day là một phương trình dai số bậc k đối với E Người ta thường gọi là phương trình

thé ki giải phương trình này ta tim ra các nghiệm:

E = Bạ, E,,, E,;, E, Eụ.

Với các giá trị của E vừa tìm được, thay vào phương trình (28) ta tìm được các nghiệm

C,

Nhan xét.

Khi có nhiễu loạn thì mức năng lượng suy biển E! được tách thành f{ mức sat

nhau Suy biến bị khử hoàn toàn Nếu có các nghiệm trong (29) trùng nhau thì suy

biến bị khử mat một phản.

Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy ta chỉ giới

hạn xét đến nghiệm gan đúng bậc nhất của năng lượng và bậc không đối với hàm

Ho: Toán tử Hamilton khi không nhiều loạn.

W(x,0): Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.

Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:

Nghiệm của (31) là sự tô hợp của các nghiệm riêng:

W(x.) = fue W(x, ye) (x)dx = Dom e'C (0) =(m|W(x,t)|n) (37)

La phan tử ma trận của toán tử nhiễu loan trong “E” biểu dién và:

Và cứ theo quy trình này, ta có thẻ tìm được nghiệm gần đúng bậc ba, bậc

bồn vvy Nhưng trong nhiễu loạn phụ thuộc thời gian chúng ta chi cần quan tâm đến

nghiệm gan đúng bậc nhất.

1.1.5: Xác suất chuyền dời lượng tử.

Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không can quan tam dén

năng lượng va trang thái ở mức m= k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất đời chuyên dời

1.2 PHƯƠNG PHÁP BIEN PHAN.

Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bai toán

cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp biến phân.

Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung

bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử.

Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn đến việc chọn các “ham tht” chứa một sỐ thông số chưa biết nào đó Sau đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta

xác định được các thông SỐ Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ bản của

Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử |ự} theo các vector riêng |y,) của

Nếu chon vector trạng thai |y} là một ham của các thông số chưa biết nào đó

4,,4,,.-., sao cho trùng với vector trạng thai cơ bản của hệ.

c- WW(ÀixÃs:-)|H |W Gor hor))

WA, Begs) |W Ags Aogs))

Gan với giá trị năng lượng trạng thái cơ ban Ep của hệ.

Chương II LOI GIẢI VA PHAN TÍCH CÁC BÀI TAP

1I.1 MOT SO BÀI TOÁN VE NHIEU LOAN DOI VỚI HẠT TRONG HO THE

Bai 1.

Hạt ở trong giếng thé sâu vô hạn có bề rộng a Hãy tinh các bồ chính bậc 1 và

bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn

@) 128ma È` -M[+CD”” J+ (4° +n Jsin 2 sin + 24mcox ST cos

Đề làm được bài toàn này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý thuyết

về hat trong hồ thé sâu vô hạn, các công thức vẻ năng lượng va hàm sóng (1).

Cách tính các tích phân từng phần, công thức hạ bậc, hàm sin, hàm cosin Công

thức bô chính bậc 1, bỗ chính bậc 2 trong lý thuyết nhiễu loạn.

3 Phương pháp_ kỹ năng giải toán.

Áp dụng các công thức bê chính bậc 1, bê chính bậc 2

Thực tế các tích phân (1.3), (1.6) (1.9) là những tích phân khó, cần tính

một cách tỉ mi hoặc có thé dùng một số phần mềm tính toán như

mathemmatical, maple ở đây tôi dùng maple (phan phụ lục)

4 Kết luận

Bài toán này tương đối dé về mặt kiến thức nhưng hoi đài dòng về mặt

tính toán, thường được giảng dạy ở đại học như một ví dụ để cho sinh viên biết

dp dụng các công thức bô chính năng lượng

a Hãy xác định ham sóng bậc không va năng lượng cho trạng thái cơ ban va

trạng thái kích thích thứ nhất tính đến bậc một theo lý thuyết nhiều loạn.

b Vé sơ đồ năng lượng khi không có va khi có nhiều loạn Nhận xét sơ đỏ

H,\w)=E,|w): Nhiéu loạn một chiều không suy biến (2.3)

HH, lự}= E, |ự): Không nhiễu loạn.

` F 2 H/T1X Hy

Ham sóng: w(x, ») =—sin—— sin (2.4)

L L L

Năng lượng: £ 2 renee fiji, “1,2,3: (2.5)

¢ Trang thái cơ bản: n, =n, =1: Không suy biên f= 1.

Năng lượng:

Năng lượng khi chưa có nhiễu loạn: £° = ai , (2.6)

Bô chính bac I:

AE = (1 hall I}= [= yal af sin’ afin? Yay -= (2.7)

Năng lượng ở trạng thái co bản:

EY = B+ Ag - AL (2.8)

Hàm sóng:

w(x, y}= 2gn2 sin 2

È L

Ws (x,Y)=;¡(x.y)= 2(x),(9)= 7 sin( sin) (2.10)

Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:

EO) Tang = SD (2.11)

l 3mL

-Mức năng lượng này có bậc suy biên băng 2.

*Xét nhiễu loạn suy biến:

Điều kiện chuẩn hóa: Cỷ + Cÿỷ =1 (2.17)

Hinh 5 Dịch mức năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất

Nhận xét: hình 4 hình 5 cho thấy rằng mức năng lượng ở cả hai trạng

thái, trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất bị dịch lên một khoảng

= khi có nhiều loan nhưng không làm tách mức năng lượng Chính vì vậy

trong trường hợp này không khử suy biến.

V(Œ.v)= AXY xe[0,L],y € [0,2]

h2” 16 xe[0.r].ye[0.]

a Hãy xác định hàm sóng trang thái dừng ở gan đúng bậc không và năng

lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản và trạng thái

v= {12 |Ƒ| 21) = Bài vn sin af ụ sin “sin =v =a Ve

Thay các phan tử ma tran vừa tính được vào phương trình (3.10):

256 ,„;

AEtÐ 84 giơ Gt) = tars aL 3.11

Năng lượng của hat ở trang thái kích thích thứ nhất:

Sh? 1p, 256

2m) 4 81x EY) = EY) = ED + AE) = (3.12)

E= eT2mL 4 §lz

Điều kiện chuẩn hóa: C?+C? =1 (3.15)

Từ (3.12), (3.14) và (3.15) ta thu được các giá trị của Cị và Ca.

Câu b Vẽ giản đồ năng lượng:

#4“ Trang thái cơ bản:

Hình 7 Tach mức nang lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất

Nhận xét Hinh 6, hình 7 cho thay rang khi có nhiễu loạn, ở trạng thái cơ

bản mức năng lượng được địch lên một lượng AE!" = ^, ở trạng thái kích thích

thứ nhất mức năng lượng bị tách thành 2 mức, ứng với 2 hàm sóng, tính suybiến bị khử hoàn toàn

Bài 4.

Xét hạt chuyên động trong trường thé 2 chiều:

¥(x.9)= 0 xe[0,L],ye[0,L],z e[0.L]

me leo xe[0,z].y €[0,L],2 €[0,L]

Hãy xác định năng lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loan cho trạng thai

cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất Nhận xét về tính suy biến và sự khử suy

biến Giả sử nhiễu loạn:

C 1ˆ =Ƒ(x, y=›=V(x,y) i xe{0.U] y e[0.Z].z e[0.Z]

Trong mỗi trường hợp hãy vẽ sơ dé năng lượng khi không có và khi có

nhiễu loạn Hãy chỉ rõ trạng thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên

hệ với nhau như thế nào

(nỶ tne +n? he?

2m12

se Trạng thái cơ bán: n, =n, =n, =1: không suy biên f= 1.

Năng lượng: EJ"'= n„n,„ = 1,2,3 (4.5)

Năng lượng ở trang thái cơ ban khi chưa có nhiễu loan:

AEM = (1117 111) = (2) af sin sin? fin a= (4.7)

Năng lượng tính đến bô chính bậc 1:

WOR) = Wy O69 2) =⁄;(Y)⁄4(Y),(z)= Ế sin = nh = sin

Năng lượng cua hạt ở trạng thai kích thích thứ nhất khi chưa có nhiễu loạn:

ae Lm

Có bậc suy biên băng 3.

*Xét nhiễu loạn suy biến:

) af sin’ Sas sin? 2a ng = =

Thay cac phan tử ma trận vừa tinh được vào phương trình (1):

( YÌ L| AE” -4h) =0= ag” = 24 (4.11)

\ 2 2Năng lượng của hat ở trang thái kích thích thứ nhất:

mi it) il} ia) i) (1) 5x*h* AL

BE? = EO m EY m EY m Et® + AEU z TT (4.12)

Vẽ giản do năng lượng:

Hinh 8 Dich mức năng lượng ở trang thai cơ ban.

& Trang thái kích thích thứ nhất:

Ƒ =0 Vx0

Hình 9 Dịch mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất.

Nhận xét: Mức năng lượng ở cả hai trạng thái, trạng thái cơ bản và trạng

thái kích thích thứ nhất đều bị dịch lên một khoảng ^Z khi có nhiễu loạn

2

V, =V(x) nhưng không làm tach mức năng lượng Chính vi vậy trong trường hợp

này không khử suy biến

A 0,L].y €[0L

Câu b V, =V(x,y)=4 7 xe{0,], » e[0.]

0 — xz[0/].ve|0.2]

Bô chính bậc 1:

wI~(Irn)=[2)] [set ZXaj yin 2 ay fin’ a -2 (4.13)

Năng lượng tinh đến bô chính bậc 1:

W⁄;(x, Y) = Way OY 2) = COW, (YY (2) -(2] sin——sin——sin——

Nang lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:

Bit} = Big} = mg = TS (4.15)

m

Trang thái có bậc suy biến bằng 3

*Xét nhiễu loạn suy biến:

(112|7 |121 )=(2) af Af ein’ Safin sin "yin ae =0

Ej: = Ej, = By, = Ey, + AE" = (4.18)

Vẽ giản đồ nang lượng:

4 Trang thai cơ bản:

V=0 Vz0

Ninh 10 Dịch mức năng lượng ở trạng thái cơ bản

+ Trạng thái kích thích thứ nhất:

gr 4L , 256 aL!

; ay x

= +

Hình TT Tach mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất.

hận xét: Hình 10 hình 11 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn #, =/(x.y), mức

?

năng lượng cơ bản được dịch lên một lượng AF = ^ mức năng lượng ở trạng

thái kích thích thứ nhất bị tách thành 3 mức, ứng với 3 hàm sóng, tính suy biến

bị khử hoàn toan.

A xe[0.L],» e[0,].z e[0,1

Câu c Vo =V (x,y,z) = XYZ xe[ ] 3 e[ ] e[ ]

0 xe{0.F] y ¢[0.L],¥¢[0,2]

Bồ chính bậc 1:

x2

3

agi =(u1uiy it) =( 2) af sin’ a yin a ương (4.19)

Năng lượng tính đến bô chính bậc 1:

T sin — sin —— sin

wy (x,y) = Win Oy 2) = (x)W;(y),(2) = ( L L L

37hEy? = Et}; = Ein = Ex, = Tìm (4.21)Trạng thái suy biến có bậc bằng 3.

*Xét nhiễu loạn suy biến:

Phương trình thé ki:

(112|# J|L12)- AE" {112| ||I2!) {112|# ||211}

(21|P||I12) — {21|F||I21)—-AE" (121|V 211} |=0 (4.22) {211|V |]112} (21#/||2) — {2117 ||211)—-AE"

Với

L2 3

(112| 7 |112) -(2) Af xsin’ a nf êm ay fin! ate = "

(121 1iri21)= laniir ian)

4 Trạng thái kích thích thứ nhất:

Hình 13 Tách mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất.

hận xét: Hình 12, hình 13 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn =F(x,y.z)

và hàm sóng Nhưng khi có nhiễu loạn, dẫn đến việc làm thay đổi toán tử

Hamilton từ đó làm thay đôi nghiệm của phương trình Schrodinger, tức là cả

ham sóng và năng lượng đều bị thay đồi.

Mục đích của ba bài toán: Bài 2, bài 3 và bài 4 là khảo sát sự thay đôi về

nang lượng và ham sóng ở hai trạng thai cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất(ở đây chỉ chú ý đến năng lượng tính đến bậc | và hàm sóng bậc không của lýthuyết nhiễu loạn) Khi khảo sát về năng lượng và hàm sóng ở mỗi trạng thái

chúng ta cần chú ý một điều là sự suy biến và tính khử suy biến ở mỗi trạng thái

ứng với từng toán tử nhiễu loạn.

Vẻ mặt mô hình và nội dung bai, cả ba bai 1, 2 và 3 tuy có sự thay đôi về

hình thức (hồ thé và toán tử nhiễu loạn) nhưng lại cùng ban chất (xác định nang

lượng và hàm sóng khi có nhiều loạn).

2 Kiến thức.

Dé giải được bài 3 bài toán này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý

thuyết và kết quả về năng lượng hàm sóng của hat trong hồ thé (2.4), (2.5)

(3.4), (3.5), (4.4) (4.5): Lý thuyết nhiều loạn không suy biến và nhiễu loạn khi

có suy biến, đặc biệt là biết cách lập và giải phương trình thé ki (2.12), (3.10),

(4.10); Tính suy biển và sự khử suy biển ở mỗi trạng thái.

3 Kỹ năng và phương pháp giải.

Cả 3 bài toàn về trình tự các bước giải là hoàn toàn giống nhau Đầu tiên ta

xác định năng lượng và hàm sóng chính xác của bài toán không nhiễu loan Dựa

vào các biểu thức về năng lượng ở (2.5), (3.5) và (4.5) ta xác định được tính suy

biến của từng trạng thái Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn loạn cho từng trạng thái

ta đi tìm bỗ chính năng lượng bậc 1 đối với năng lượng và bậc không cho ham

Công việc tính toán phức tạp nhất trong các bài toán này là lập và giải

phương trình thé ki, đặc biệt là các yếu tổ ma trận trong phương trình này

Nhưng các tích phân ở đây có các biến độc lập nên việc lấy tích phân cũng

không quá khó khăn.

4 Kết luận

Đỗi với bài 2, hạt trong hồ thé 2 chiều, nhiễu loạn là một hàm bậc nhất theomột tọa độ Nhiều loạn không khử tính suy biến ở trạng thái kích thích thứ nhất

mà chỉ làm cho mức năng lượng này dịch lên một khoảng đúng bằng năng lượng

bô chính bậc 1 Ta mở rộng đặc điểm này cho cả bài 3 và cũng thu được kết qua

tương tự.

Ở trạng thái cơ bản, ca 2 trường hợp hồ thé 2 chiều, 3 chiều và cả 3 trườnghợp nhiễu loạn (trong cả 3 bài toán) thì ta cùng thu được một kết quả là mức

năng lượng chỉ dịch chuyên lên một khoảng đúng bằng năng lượng bô chính bậc

1.

Đối với bài 3 và bài 4 Khi nhiễu loạn có đạng tích của 2 tọa độ thì tính suybiến ở trạng thái kích thích thứ nhất bị khử hoàn toàn Suy biến có bậc bằng 3 và

thu được 3 mức năng lượng độc lập Câu c, bài 4 khi nhiễu loạn có đạng tích của

3 tọa độ nhưng tính suy biến chỉ bị khử đi một phần (2 mức năng lượng nhưng

có 3 hàm sóng).

Về mặt mức độ, bài 2 và câu a của bài 4 nên sử dụng làm bài tập nâng cao

cho sinh viên đại hoc, còn bài 3 và câu b,c của bài 4 nên sử dụng trong chương

trinh giảng day cơ lượng tử ở cao học.

Bài 5.

Xét hạt khối lượng m trong hồ thé vô hạn một chiều:

Hạt chịu tác dụng của nhiều loạn:

V =aoo(x- 3)

Trong đó, ơ là hang sô thực có thứ nguyên năng lượng.

a) Hãy tính năng lượng gan đúng đến bậc | theo lý thuyết nhiễu loạn.

b) Hay giải bài toán một cách chính xác Chứng tỏ rằng các mức nang lượng

kha di được xác định một trong các phương trình sau:

Câu b Giải chính xác bài toán:

Toán tử Halmiton đôi với hạt chuyền động trong hồ thé:

—+#? =0 :

Tạ tk (5.12)

Nghiệm của (5.12) có dạng: W(X) = Asin(kx + œ)

Điều kiện biên cho ta:

Ự⁄;(a)= Asim(ka+ø,)=0Ú =>, =-ka 6.15)

Trường hop 2: 4, =—A, (5.16)

Lay tich phan 2 vé tir ——6 = st £ của phương trình (5.9):

"Py 2mae, “° ay am £Ẻ

-l 1 /

l= ‘| She key |Š xe} v{§~-+) (5.18)

(5.15) va (5.23): Mức năng lượng kha di được xác định:

sin( *) = 0 hoặc (5): = kat (5.24)

Phân tích.

1 Nhận xét.

Bài toán hạt trong hồ thế vô hạn một chiều, nhiễu loạn có dạng là một hàmdelta dirac theo bậc nhất của tọa độ

Bai toán này có 2 van dé cần giải quyết: Tìm năng lượng khi dùng lý thuyết

nhiều loạn và khi giải chính xác bài toán Nhưng khi giải chính xác, năng lượng

thu được không phải là một số xác định mà phải thỏa mãn phương trình đã cho

2 Kiến thức

Dé giải bài toán này cần nắm vững một số kiến thức về lý thuyết như: Hạt

trong hồ thé sâu vô han, (hàm sóng, năng lượng (5.1), (S.2)): tính chất ham deltadirac (5.4); điều kiện liên tục của ham sóng (5.13)

3 Phương pháp giải.

Ap dụng công thức tính bô chính bậc | của lý thuyết nhiễu loạn và tinh chatcủa ham delta dirac ta tính được năng lượng gan đúng đến bậc 1

Khi giải chính xác bài toán, sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng ta tìm

được kết qua (5.15) và (5.16) Két qua (5.15) la mét trong hai phuong trinh tacan tim, sử dung kết qua (5.16) ta đi tìm phương trình còn lại

4 Kết luận

Công việc đi tìm phương trình con lại (5.23) là khá khó khăn trong việc tính

toán cũng như phương pháp giải Trong giới hạn của luận văn, chi nêu lên mộtcách giải như đã thê hiện, cách giải này khá khó hiệu nhưng lại cho đáp án đúng

Tác giả van mong quý thay cô hay các bạn đọc đóng góp ý kiến

Bài toán này nên sử dụng làm bài tập tham khảo cho lớp đại học và nên sửdụng dé giảng day cho cho các lớp ở cao học

11.2 MOT SO BÀI TOÁN VE NHIÊU LOAN CUA DAO DONG TU DIEU HÒA

Bai 6.

Dao động tử điều hòa một chiều chịu tác dụng của nhiễu loạn: / = by Trong

đó b là hằng số thực

a Hãy tính năng lượng gần đúng đến bậc 2 của lý thuyết nhiều loạn.

b Hãy giải bài toán một cách chính xác vả so sánh với kết quả nhận được ở

* Nhiéu loạn bậc O, (không nhiều Hoge):

H|y)=Ely)© 2m ax? 2 i dad (6.1)

Toán từ @ và 4 được định nghĩa '":

+ — 1Í {mo a L| J2al [Bere ¬ Be vành Tas?) (6.9)

* Nhiéu loạn bậc không: (không nhiễu loan)

H |n) = EẺ In) = | âu -[ +} he

Kết quả (6.8), (6.10) và (6.14) hoàn toàn phù hợp trong cả hai trường hợp

giải bằng phương pháp nhiễu loạn và giải chính xác Do đó ta có thế đi đến kết

luận rằng: Trong dao động tử điều hòa, nêu nhiễu loạn là hàm bậc nhất theo tọa

độ thì phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho ta kết quả hoàn toàn chínhxác khi tính đến bậc 2 của năng lượng

Nhiễu loạn là một hàm bậc nhất theo tọa độ (hàm đơn giản) Mục đích của

bài này là từ kết quả thu được nghiệm lại phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu

loạn có phù hợp hay không ứng với toán tử nhiều loạn đã cho.

6 Kiến thức

Đề giải bài này cần nắm vững những kiến thức sau: Lý thuyết đao động tử

điều hòa, các kết quả thu được từ việc giải chính xác, các công thức (6.2), (6.3)

và (6.5) Ly thuyết nhiễu loạn Bô chính bậc 1, bỗ chính bậc 2 Các công thức

(6.4) và (6.7) Phương pháp đại số trong lý thuyết nhiễu loạn Các công thức

(2.9).

7 Phương pháp_ kĩ năng giải toán.

Dựa vào lý thuyết đao động tử điều hòa xác định năng lượng chính xáccủa bài toán không nhiễu loạn và tính chất của hàm sóng (6.5) Sử dụng cáccông thức dé tính các bô chính bậc 1, bậc 2 cho năng lượng Khi giải chính xác,chú ý cách biến đôi và cách đặt công thức ở (6.11) Tính trực chuân các hàm

sóng.

Dé giải bài toán này phải nắm vững những kỹ năng sau: Biến đôi các

công thức (6.5), (6.6) Tinh tông trong công thức (6.9) Biến đôi hàm Halmiton

và các đặt ân trong (6.11) Giải phương trình (6.12) tương tự như trong lý thuyết

dao động tử điều hòa

§ Kết luận.

Đây là một trong những bài toán cơ bản của việc sử dụng lý thuyết nhiễuloạn để xác định năng lượng của dao động tử điều hòa Bài toán này thường

được dùng như một vi dụ điên hình cho phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu

loạn, được giảng dạy cho hầu hết các sinh viên đại học khoa vật lý

Trong đó, @ và á' tương ứng là toán tử huỷ và sinh lượng từ »œ Hay tính

độ dịch các mức năng lượng chính xác đến bậc hai của 4 so với trường hợp

H =H„ Xét theo hai cách: Tính chính xác và xem # nhiễu loạn.

H|w)=E =———t *w-—| —+*Ì =B 7.4Iv) Iv) = 2m dum 2 vy Al k oly vw OA)

Phuong trình (7.4) cho ta nghiệm của năng lượng:

È.= nho—

2k

Với: b= @AV2mho cho ta: E, = nha~— Ä he (7.5)

Cách 2: Chúng ta có thê giải chính xác bài toán này bằng cách sau:

Đặt các toán tử: lễ =a Âm g =ð -Â (7.6)

b=a+a a 4

Ham Hamliton được viết lại:

H =H,+V =haa'a + Ahø(ã' +â)=b bho-ho (7.7)

Phuong trinh Schrodinger duge viết lại:

H|) =b bhe|w} ~Phaly) =(nho- he)\y)

(7.8)

=> E,=nho-heo

Vì 5 va 6 đóng vai trò như 2 va a (phép biến đôi Unita)

Cách 3: Sử dụng Lí thuyết nhiễu loạn:

Từ các kết quả thu được (7.5), (7.8) và (7.14) kết quả của việc giải bằng

phương pháp nhiễu loạn hoàn toàn phù hợp với kết quá giải chính xác Từ đây