Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn để tìm năng lượng và năng lượng tự do của một vài hệ lượng tử

và đã đạt được một số kết quả tốt được ứng dung rông rãi trong thực tế, $ Nang lượng tự do cho ta thông tin day đủ về tinh chất nhiệt đông của hệ.. Vì thế việc xác định năng lượng tự do

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM

AP DUNG LY THUYET NHIEU LOAN

ĐỂ TÌM NANG LƯỢNG VA NANG LƯỢNG TU DO

CUA MOT VAI HỆ LƯỢNG TỬ:

Người Hướng Dan: Thầy: Nguyễn Khắc Nhap

Người Thục Hiên : Sinh viên: Đỗ Quốc Huy

Thanh phe He Che Minh 1996

oO? g1 1.1 .) `Ó

Trang |

¬

Gin đây người ta đã tiến hành nghiên cứu lý thuyết về các

tính chất nhiệt động của vật rấn như: lý thuyết về độ từ hóa màng

mỏng, lý thuyết về tính bán dẫn, siêu dẫn và đã đạt được một số kết quả tốt được ứng dung rông rãi trong thực tế, $

Nang lượng tự do cho ta thông tin day đủ về tinh chất nhiệt

đông của hệ Chẳng hạn, từ năng lượng tự đo ta để dàng tính được

năng lương trung bình, nhiệt dung, cud hệ Vì thế việc xác định năng lượng tự do của một hệ lượng tử mang một ý nghid to lớn.

Trong luận văn này, sẽ trình bay phương pháp tìm nang lượng

tự do đựa trên lý thuyết nhiễu loạn Trên cơ sở đó tính nang lượng trung bình và nhiệt dung của hệ.

Ban luận văn gồm 3 phần nhỏ:

Phần 1: Tóm Tắt Lý Thuyết Nhiễu Loạn

Với mục đích tìm năng lượng tự do trên cơ sở lý thuyết

nhiễu loạn, nên trong luận văn chỉ tóm lược các kết quả quan trọng

cua lý thuyết nhiều loan để áp dụng cho các phần sau

Trang 2

QUGGGGGUIGGGGGG(GGGSGGŒŒGG ý = —

Mục đích cua phần này là áp dung lý thuyết nhiễu loan

để tim hàm sóng và năng lượng cud electron trong trường tỉnh thể có

liên kết yếu Trên cơ sở đó giải thích được một số tính chất vùng

năng lương, quy luât tin sac cua electron trong tinh thể

Phần 3 Măng Lượng Tự Do

Phan này là nội dung chính của bản luận văn, trong đó

sẽ trình bày cách tìm năng lượng tự do cud dao động tử diéu hoà.

phi diéu hoà, rotato lương tứ, khí lý tưởng Do kiến thức có han nên

trong phần tìm năng lượng tự do của dao động tử phi điều hòa chỉ

được tính gắn đúng đến bậc hai

Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thẩy Nguyễn Khắc Nhap nói riêng và các thay cô trong khoa nói chung đã hướng dẫn, day bảo em trong suốt 4 năm qua Em nguyên sẽ tiếp tục học tập để

ngày môt tiến bộ ding kế tục sự nghiệp giáo đục cao cả cud các

thay cô

Thành Phố Hồ Chí Minh ngày 10 tháng 04 năm 1996

Đỗ Quốc Huy

Trang 4

Trang thai của mot hệ lượng tử được mô tả bằng ham sóng

wr 0) Xác định trang thái của một hệ là đi tìm nghiệm của phương trình Schrodinger

H w=Ew ( 1.1)

: : â h Trong đó : H- `3 Vv + Ủ() (1.2)

là Hamiltonien của hệ; U(Z ) là thế năng; pi là khối lượng.

(Ở day ta chỉ xét các trang thái đừng ‘VY = Œ ) )

Phương trình Schrodinger ( 1.1 ) là một phương trình vi phân

tuyến tính hang 2 Việc tìm nghiệm chính xác cud nó chỉ có thể làmđược đối với mbt số trường thế đơn giản, ứng với hệ đã lý tưởng hoá.

Đối với các hệ thưc “gin” với hệ lý tưởng thì ta có thể tìm nghiêm

gan ding cud ( 11) bằng lý thuyết nhiều loan Cu thể là Nếu

Hamiltonien cua hệ có thể tách ra làm 2 số hang :

a

H = H« 9 (13)

trong đó ie là Hamiltonien cud bài toán không nhiễu loan, ứng với hệ

đã lý tưởng hoá: còn v là môi toán tử nhỏ gọi là toán tử nhiễu loạn, thì

theo ly thuyết nhiều loạn, nghiệm cud phương trình (1.1 ) được tính như

sau

3 JW © vế W,, (14)

men Ei, - Ey ”

Ywedrs Dy Ma" Woe

"+ IW, W, ú men BE - Ea

m= We

Với wy”, Ey” là ham sóng và nang lượng đã giải được chính xác

trong bài toán không nhiễu loạn ( Ÿ= 0) Và ở đây ta chỉ tính gần

đúng đến bậc nhất đối với hàm sóng và bậc hai đối với năng lượng

———= seen =n esses¢sesersanamennnewert¢e¢eeesee=—nween ret et geeeeamm—nereneee Sege==eaae ne nnenes Sanereammaaweee Tee

Trang 5

Diéu kiện áp dung được lý thuyết nhiễu loạn là các số hang bổ

chính sau phải nhỏ hơn số hang bổ chính trước và số hang bổ chính bậcnhất cud ham sóng phải rất nhỏ so với bac không Tức là:

Các kết quả trên đây chỉ phù hợp khi mức năng lương E„° không

bị suy biến Khí có sự suy biến với độ bội là f, việc xác định các số

hạng bổ chính được qui về giải phương trình thế kỷ :

| Vuh - EM, Saf | = 0 (1.7)

Trong đó V„a = | W " V Wi

wh

Phương trình này nói chung sẽ có f nghiêm B, , By By oC:

nghiệm này chính là các số hạng bổ chính bậc I cho nang lượng

Như vậy, khi có nhiễu loan, mức nang lượng E„° bị tách ra làm fnức gần nhau tao thành dải năng lương: sư suy biến bị khử

Sau đây, chúng ta sẽ áp dung kết quả này vào việc tìm hàm sóng

và năng lượng cud các Electron trong trường tinh thể yếu và vào việc

tìm năng lượng tư do cud các hệ lượng tử.

BS ‹Ð

a

TRONG TRƯỜNG TINH THE YEU

TT ưng .mnnmm¬- ưa na

Đai với các chất rín, các phân tử có sự sấp xếp nhất định

tao thành mang tinh thể Trong mang tinh thể các lon định xứ tại

các mit mang con các clectron dao đông quanh các nút ong

này

Các electron hóa trị liên kết yếu với lõi nguyên tử vì vậytrạng thái của các electron này rất "gân” với trang thái của các

electron tứ do Do đó, nếu ta coi trang thái của các electron tư

do là trang thất chưa bị nhiều loạn thì trang thai của các electron

trong tinh thể nói trên là trạng thai nhiễu loạn

Việc xác định nang lương và hàm sóng của các electron

hóa trị có ý nghĩa thiết thực Bởi lẽ: tính chất hóa học của nguyên

tử hoàn toàn do các điện tử ting ngoài quyết định Vì thế giải quyết bài toán về mô hình electron liên kết yếu sẽ cho phép ta

giải thích được nhiều tính chất chung của vùng năng lượng vật

ran đồng thời còn giúp ta giải quyết được nhiều bài toán về

electron trong kim loại.

Ở trạng thai tư do, hàm sóng và năng lượng của các

clectron được xác định từ phương trình Schrodinger:

f w" (7) = Eo w° (7) (2.1)

Nghiệm của (2.1) coi như đã biết chính xác:

vơi k là vectd sóng: A là biên đô sóng Nếu hàm sóng đã chuẩn

hóa thì:

Trong đó P= nk là xung lương của electron,

‘Trang 8

Irong trường tinh thể, hàm sóng và năng lượng củaelectron xác định từ phương trình

("+ V(F)) wŒ) = E w(f) (24)

Vì ta xét trường tinh thể có liên kết yếu nên V(r) là nhỏ.

Theo kết qủa của lý thuyết nhiều loạn, nghiém của (2.4) có đang

Ta xét các yếu tố ma tran của toán tử V(r) trong cá biểu

thức (2.5), (2.6):

+ We) được xác định theo (2.2);

+ V(T) là thế năng của electron trong tỉnh thể Do tính tuần hoàn, sự đối xứng tịnh tiến của mang tỉnh thể nên ham V(r)

tuần hoàn với chu kỳ R _ véctơ mạng thuận:

V(f)=V(f + R)

Vì thế ta có thể phân tích V( 7 ) thành chuỗi Fourier:

Với Vạ là hệ số phân tích còn G chính là vécto mạng đảo Thật vây kết hop (2.7), (2.8) ta có:

Vậy G chính là vecto mang đảo

Bây giờ thay (2.2) và (2.8) vào các yếu tố ma trân của toán

tử V(7) tr có:

=A Y Vạ#x`ð(K+6-Kị) |

G (2.9)

Sử dung các tính chất của ham Delta, ta thấy các yếu tố

ma trân Veg chỉ khác không khi: k + G - ky =0.

Như vậy trong biểu thức (2.5) và (26) chỉ còn lại các số

hang tương ting vơi

Do đó việc lấy tổng theo kị được qui về việc lấy tổng theo G.

Ta viết lai (2.5) như sau:

năng lương của electron trong trường tinh thể yếu vơi điểu kiên:

LEỆ -ES,2l >> IÍ We QV yea |

Tuy nhiên có thể xảy ra trường hợp Ve # 0 nhưng :

| a= °

EE = Exe xung

Khi đó các số hạng bổ chính không thể coi là nhỏ được Ta sẽ xét

kỹ hơn diéu này: SADE

Điều kiện (2.14) tương đương với: ‘

k? =(k + Gy (xem (2.3))

=2kG=-G? 01m |

= ka =-¢ (216 | =———

Hình I

Trong đó ke là hình chiếu của vécto sóng k lên véctơ G.

Các véctơ sóng kK thỏa mãn (2.15) có đầu mút năm trên mat phẳng vuông góc với véctd G và đi qua trung điểm của véctd -G

(hình 1) Mật phẳng đó chính là biên của vùng Briloanh thứ nhất,

Trang TÍ

Vậy khi thỏa mãn điều kiên (2.14), Các véctd sóng k nằm ở

biên vùng Briloanh thứ nhât

Rõ rằng biên vùng Briloanh và gin đó (E; = Ey G } thì kết qua

hs

(2.12) và (2.13) không còn phít hợp nữa Trong trường hop này có sư

suy biến của các mức ning lương không nhiễu loạn: ứng vơi cùng

mot mức năng ludng có tới 2 ham sóng We (F) va We ạt rT) khác

nhan Ta phai áp dung phương pháp nhiễu loạn có suy biến để tìm

năng lương và hàm sóng của electron trong trường hợp này:

Ham sóng \|Jr(Ÿ) của trang thái nhiễu loan bây giờ là chống chip

của các ham sóng We (f) va Wh gf?)

Wc(f)= ay WE) + ang VỆ, 2¿(Ÿ) (2.17)

Thay (2.17) vào phương trình Srodinger (2.4) và sử dung (2.1) ta

được

FE WỆŒ) + are Eig Vol) + avon \W Œ)

+ ane V(Œ) Weg (®) = E aj Wi (7) +E đk:G WỆ,aŒ)

(2.18)

Nhân bên trái cả 2 vế (2.18) Hin lượt với We (f) rồi

VỆ @(Ÿ) và lấy tích phân theo 7, chú ý đến diéu kiện trực giao

của các ham sóng không nhiễu loạn, ta được:

Eÿ ai + Voag + Ve aise = Ê ag (2.19a)

Fig ata * Và ag + Yoag.a= Eagig 2199)

Trongđó Vg = Í Weg (WCW (Ede

Vie =! WE sŒ90)£Œ)d

kiG

< II

Trang 12

(2.20)

Các hệ số khai triển gy và ag.g là nghiêm của hê

phương trình (2.19) Điểu kiện đệ hệ (2.19) có nghiệm không timthường là:

Giải (2.21) ta xác định được năng lượng của electron:

E=V,*+ ( EY + E,a)‡ Ef Eš,e@'” +|Val

(2.22)

Để tìm hàm sóng , ta thay (2.22) vào hệ (2.19) và rút ra:

`=ag(WỆ+—————

Trang 13

Công thức (2.23) và (2.24) cho phép ta xác định năng luợng |

và hàm sóng của electron trong tinh thể khi mức năng lượng

oO g+0

oF = Ei.

Từ đó ta nhân thấy rằng, ngay tai biên của vùng Briloanh,

hầm sóng và nang lượng của electron có dang:

Kết qủa trên không chỉ đơn thuần cho ta biết được nang

lượng của electron ma còn giúp ta giải thích đượccác tính chất

của vùng năng lượng nghiên cứu qui luậ tán sắc của electron

trong tinh thể Ta sẽ lam rõ thêm điểu nay:

Giả sử Vg < 0 và ta chỉ xét theo phương x thì từ (2.25) ta |

Sư phu thuộc của năng lượng E theo véctơ sóng k trong

(2.22) được biểu điển trên sơ đồ:

Trang 14

Trong sơ đồ trên:

- Nét đứt biểu diễn sự phụ thuộc nang lượng Ey" cuả electron

oe

tứ đo theo k

- Nét liền biểu điển sự phụ thuộc năng lượng cud electron

trong tỉnh thể theo k

Từ sơ đồ trên, ta nhận thấy :

- Ở xa biên cua vùng Briloanh quy luật tán sấc cua electron

trong trường tinh thể trùng với quy luật tán sắc cud các electron tự

do,

- Càng về gần biên cud Briloanh, sự sai khác đó càng nhiều.

- Ngay tai biên vũng Briloanh, phổ ning lương cud electron

có chỗ bị gián đoan, vi vay hình thành các vùng được phép và vùng

Mật đô dong xác suất ứng với các véc tơ sóng k ở biên

vùng Briloanh bằng không Diéu đó chứng tỏ rằng các véctd sóng

k bị phần xạ mạnh bởi các mang nút tỉnh thể.

Mở rong trường hợp mang 3 chiéu, từ biểu thức (2.15), ta có

¬" 2

kG = -kG sin 9 = -=

Trang 15

Vì G xác định một ho các mặt phẳng tinh thể vuông góc với

nó nên O cũng chính là góc giữa K và các mat phẳng tinh thể đó.

Goi d là khoảng cách giữa hai mat phẳng liên tiếp nhau và cùng

Vậy điểu kiện (2.14) xác định biên cuả vùng Briloanh trùng

với điều kiện Bragg

Từ sơ để hình 3 cho thấy: Ở mỗi điểm trên biên của vùng

Briloanh, nang lượng vùng ngoài luôn luôn lớn hơn vùng trong Tuy

nhiên, nếu xét trường hợp hai hoặc ba chiéu thì có thể xảy ra trường

hợp ning lượng thấp nhất của vùng ngoài theo hướng kị còn nhỏ

hơn năng lượng cao nhất của vùng trong theo hướng kạ.

Trang 16

Như vậy xét chung cho tinh thể thì giữa vùng được phép dudi

và vung được phép trên không có vùng cấm Nói cách khác các

vung được phép theo các phương khác nhau của véctơ sóng k phủ

lên nhau

Tóm lại : Nếu biết được hàm sóng và năng lương cua

electron trong tinh thé, ta sẽ có cơ sở để nghiên cứu sâu hơn các

tính chất vùng năng lương cua vat rắn Lý thuyết nhiễu loan là một

công cu sắc bén giúp ta làm được điểu đó Tuy nhiên kết quả chỉ

khả quan đối với các trường tinh thể có liên kết yếu mà thôi

Trang 18

Ta biết rằng, trang thái nhiệt động của một hệ vật lý được đặctrứng bằng các hàm trang thái hay còn được gọi là các thế nhiệt

đông.

Thế nhiệt động là môt hàm đơn giá và cộng tinh cud trang

thái Mỗi khi các biến số đặc trưng của hê thay đổi, các trị số cực tri

cud các thế nhiệt đông tướng ứng sé xác định điểu kiện cân bing

-(! : nôi nang cuả hé,

T : nhiệt độ tuyệt đối

S © entropi

Theo lý thuyết thống kê lượng tử năng lượng tự do của môi

hệ lượng tử được tính bởi:

F=-0nZ (3.2)

L:

Với Z= Sexi ——— | (3.3)

n-0 0

gọi là tổng trang thái của hé (hay tổng thống kê),

E, là năng lượng của hệ ở miức n,

Ð = kT_ nhiệtđộ thống kê, k là hằng số Boltzmann.

t—————ẻ+

Nang lượng tự đo cho ta thông tin đẩy đủ về các tính chất

nhiệt đông của hé Do đó, việc xác định nó đóng môi vai tre quan trong Tuy nhiên việc tìm nó không đơn giản Thông thường đối với

các hệ lý tưởng hóa, có thể tìm được biểu thức tường minh, chínhxác, còn nói chung chỉ tìm được ở dạng gần đúng

Hiện nay có một số biện pháp khác nhau trong việc xác định

nang lương tu đo như : Phương pháp lý thuyết nhiễu loan, phương

pháp biến phân, phương pháp mô men Trong phẩn dưới đây sẽtrình bày cách tìm nang lượng tư do E dựa trên lý thuyết nhiễu loan

Trong đó E,° là năng lượng cud hệ khi không có nhiễu loạn

(giả thiết không có suy biến ); Van =< a! Vi m > là phẩn tử

ma trân cud toán tử nhiều loạn V

Trang 20

Vi ta chỉ xét các hê thức gan với hệ thức đã được lý tưởng

hóa nên năng lượng cud hé khi có nhiễu loan rất gần với nang lượng

FE," khi không có nhiễu loạn Do đó các số hạng bổ chính trong (3.6)

rất nhỏ so với E„", nên ta có thể viết:

Tinh tương tự đối với các đạo ham bậc hai Thay các kết qua

thu được vào biểu thức (3.9) và lưu ý rằng để đơn giản, ta chỉ tính

gần ching đến bậc nhất là đủ Kết quả thu được sé có dang :

Ở đây W„ = @ ` chính là phân bố chính the lượng tử đối

với các trạng thái không nhiễu loạn.

Nếu ta ký hiệu trung bình thống kê của đại lương X là X thìcông thức (3 10 ) được viết như sau:

(3.10a)

Công thức (3.10a) chính là công thức tổng quát tính năng

lượng tự đo của một hệ thực gần với hệ lý tưởng.

xu

Trang 22

Việc tính năng lương tư do F theo (3 10a) không đơn giản.Chúng ta phải tính tất cả các yếu tố ma trận rồi sau đó tính trung

bình thống kê Việc tính toán khá cổng kểnh và chỉ có thể thu được

biểu thức rõ rang đối với mach thẳng

i NANG LƯỢNG TU DO

CUA DAO DONG TU DIEU HOA

Như đã biết năng lương cua dao đông tử điểu hòa chỉ có thể

at Sexp\——_ 2 —

n-1

Za = Fexp|—"

ho ho 2h

= EXP] ~ 59 f (I +exp(— H+ exp(~“ã—}+

Vì tổng ở vế phải là tổng cud môt cấp số nhân lùi vô hạn có công

he

bội: a=exp}— ¬ ƒ và số hang đầu u";= 1 nên theo công thức tính

tổng các số hang cud một cấp số nhân lùi :

Wy

S = =

l-q

Trang 24

hw

exp}- 20!

he l- exp{- a1

Do đó năng lượng tự đo của dao đông tử điểu hòa là :

fiw

- In@l - exp|[— 9 |)

(3.14)

Từ đây sử dung hé thức (3.4) ta tính được năng lượng trung

bình của | đao đông tử:

ho›

(3.15)e! - Ị

và nhiệt dung của đao đông tử:

Trang 25

Il NĂNG LƯỢNG TU DO

CUA DAO DONG TU PHI DIEU HOA

Xét một đao động tử phi diéu hòa tuyến tính ma

Hamiltonien có dang :

Í = We + ax’ + px” (3.17)

Ap dung công thức (3.9), năng lương tự đo của dao động tử

trong trường hợp này có dang :

fF =F,+œ (nx '|n) + 6 (n|x*|m ) +a?)

men &_ ~ Fm

(3.18a)

Vì toán tử B xỶ nhỏ hơn nhiều so với toán tử a xÌ nên ở vế

phải của (3.18a) ta có thể hỏ qua số hạng cuối cùng Do đó ta có:

Trong đó :E, được tính bởi (3.13)

t„ — được lính bởi (31.11).

Ta suy ra khi thay:

Jp+t bing vn và Spin bằng Sap

vn hing vn+lova Spun bằng Spstp

thì biểu thức ở trên không thay đổi Do đó :

<n|x?|#>» =- bis (Vind nip +Jn+1 Sasip)

Sử dung các tinh chất cud hàm Delta, tinh toán tương tư như

phần trước ta cũng thu được :

Từ day dựa vào hệ thức Gibbs_helmholtz, người ta dé

dàng tính được năng lượng trung bình và nhiệt dung của dao

động tử

Sau đây, ta sẽ xét năng lượng tự do của mô hình lượng

tử thứ hai là Rotato lượng tử

Irang 32

Dao đông lượng tử và rotato lượng tử là hai mô hình căn bản.

gần đúng với các chuyển động của các phân tử, nguyên tử thực và

các đối tượng vi mô khác Vì thế nó được áp dụng rông rãi trong vât

lý hiên đai

Rotato lượng tử là một chất điểm quay theo đường tròn Trong

vật lý cổ điển, năng lượng quay đó có thể viết dưới dang :

le M?

mr? Pm ad (3.29 )'

2 2 2I

với M: momen động lượng

I > momen quan tinh

Trong cơ học lượng tử, nang lương của rotato cũng có dang

tương tư (3 29)ˆ nhưng thay cho momen cơ học M, ta phải xét toán tử

bình phương momen động lượng L? Như đã biết trị riêng cud toán

tử này là một chuỗi các giá trị gián đoạn :