Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Áp dụng phương trình Schrodinger vào các chuyển động một chiều: Khóa luận tốt nghiệp

É THI LOMHLO %2 Đ4w Cơ học lượng tử là lý thuyết về hat vi mô đưa trên cơ sở xem hạt vi mô như là một sóng Cơ học lương tử mỏ tả trang thái của hạt bằng một hàm sóng .goi là hàm và đưa r

Giáo viên hướng dẫn : NGUYÊN KHẮC NHẠP

Sinh viên thực hiện : TRAN THỊ LOAN

‡

THU VIENqaÐ@-Hlaz-Etr- 3n

NIÊN KHÓA 1996 - 2000

—~

Xin nhận nơi em lòng biết ơn sâu sắc đến qui thay cô giáo trong

khoa Vật Lý trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dìu dắt,

nâng đỡ em trong suốt thời gian học tập tại trường Công ơn trời bể của các thầy cô sẽ là nguồn động viên rất lớn đối với em trong suốt chặng đường

công tác và học tập sau này.

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Khắc Nhạp,

giáo sư khoa Vật Lý, đã tận tình giúp đỡ khuyến khích em trong suốt quá

trình học tập cũng như hoàn thành khóa luận này

Vì khả năng và thời gian có hạn nên chắc chắn em còn nhiều khiếm

khuyết, em mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của qúi thầy cô để quyển

khóa luận này được hoàn chỉnh hơn

Tp Hồ Chí Minh, ngày 17 tháng 5 năm 2000

Sinh viên thực hiện

TRẦN THỊ LOAN

MUC LUC

Trang

` 2

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHUONG | LY LUAN CHUNG

1.1 Téng quát về phương trình schrödinger

1.1.1 Phương trình Schrédinger 2

1 1.1 Một số tính chất tổng quát của phương trình Schrodinger 7

1.2 Tổng quát về chuyển động một chiếu

1.2.1 Chuyển động một chiều 9

1.2.2 Một số tính chất tổng quát của chuyển động một chiều 10

CHƯƠNG2 ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER VÀO

MỘT SỐ BÀI TOÁN MỘT CHIỀU

2.1 Giếng thé vuông góc

2.1.1 Giếng thế có độ sâu vô hạn l4£

2.1.2 Giếng thế vuông góc bất đối xứng 19

KẾT LUẬN 98

TÀI LIỆU THAM KHẢO 99

X3 ý LUMAR TOF HGH “27% 7 É THI LOMH

LO) %2 Đ4w

Cơ học lượng tử là lý thuyết về hat vi mô đưa trên cơ sở xem hạt vi mô như là một

sóng Cơ học lương tử mỏ tả trang thái của hạt bằng một hàm sóng goi là hàm và đưa

ra phương trình cơ bản mà hàm sóng phải nghiệm đúng -phương trình Schrödinger Từ

gid thuyết của De Brơi ~ một hat bất kỳ có nang lượng £, đônglượng p đều gắn liên với

: h

mot xóng có tấn số Vỹ và bước sóng 2 = ` De Brơi khẳng định các hat ví mô

ngoài tính hat còn có tính sóng Từ sự tương đương giữa cơ học và quang học Người ta

chứng minh rằng quang hình tương đương với cơ học cổ dién Vay quang sóng tương

đương với cơ học nào?

De Brot cũng là người đầu tiên nêu ra sư tưởng tự này và nhờ vậy đã gợi cho Schrodinger xây dựng môn cơ học lượng tử tương đương với quang sóng Schrödinger

xuất phát từ phương trình truyền sóng và phương trình cơ bản của quang sóng để xây

dung nén phương trình cơ bản của cơ học lượng tử - phương trình Schrödinger Theo

thuyết sóng mỗi sóng được mô tả bằng một hàm sóng Xét theo quan điểm lý thuyết,

nhiém vụ cơ bản của cơ học lượng tử là tim hàm sóng của các hạt vi mô trong từng

trường hợp cu thé, vì cách mô tả bằng hàm sóng là cách mô tả đẩy đủ nhất và cặn kẽ

nhất Biết được hàm sóng của hat vi mô là biết rõ đặc điểm và tính chất của hạt đó, nhưng tìm hàm sóng bằng cách nào? Chính phương trình Schrédinger đã giúp chúng ta giải quyết nhiệm vụ này Phương trình này cho phép xác định hàm sóng và các mức

năng lượng giấn đoạn của các trạng thái.

Nội dung của khóa luận này gồm ba chương, mỗi chương gồm nhiều mục nhỏ.

Trong chương I em xin được trình bày ngắn gọn vé phương trình Schrödinger và chuyển

động một chiếu cũng như giới thiệu sơ lược vé một số tính chất tổng quát của chúng.

Mục dich của chương này nhằm chuẩn bị tiếp cận với phương trình Schrödinger qua các

bài toán liên quan đến hệ lượng tử một chiéu sẽ được trình bày trong chương II Để đơn

giản việc tính toán, em chọn những mô hình thế năng có dạng như hàng rào thế, hố thế và

đao động tử Trên thực thế những mô hình lý tưởng này phản ánh đúng những hiện tượng

vắt lý xảy ra trong tự nhiên chương này là chương quan trọng nhất và khó nhất, em xin được tính toán mot cách chặt chẽ, chi tiết và có hệ thống các bai toán trên Đây cũng là

dạng bai toán hiện nay được dé cập trong hầu hết các giáo trình Cơ học lương tử trong và

ngoài nước, tuy nhiên trong các giáo trình này chỉ mới đưa ra hoặc nêu ra kết quả cuối

cùng Nét độc đáo của chương này còn ở chỗ nhờ vào kỹ thuật lập trình trên máy, em đã

có một chương trình mà trên đó ta có thể tính toán hệ số truyền qua một cách nhanh

chóng và hiệu quả nhất Và bằng phương pháp dé thị, chúng ta chứng tỏ được sự lượng tử

hóa của phổ năng lượng Đặc biệt, ấp dụng vào một số hiện tượng quan trọng của vật lý

nguyên td và vật IY hạt nhân: sự phân rã phóng xạ a, sự phát xa electron lạnh v.v chính

là nói dung của chương II, thực nghiệm đã xác nhận tính đúng d4n của phương trình

Schrödinger, phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử.

*x^Ó # LUA VOT HGHIEDP 7%: FRAW THD LOM

SCHORDINGER

1.1.1 PHƯƠNG TRÌNH SCHORDINGER

Trong cơ học cổ điển, mối liên hệ giữa các trạng thái và các biến số động lực

được diễn tả bằng các phương trình Newton Còn trong cơ học lugng tử, đúng như sơ

đồ lôgic của nó thì các hàm sóng và các toán tử tương ứng với những biến số động lực cũng cẩn được liên hệ với nhau bởi những phương trình có vai trò tương tự như

những phương trình Newton; đó là các phương trình Schré dinger.

Trước tiên ta xét phương trình Schrö dinger dừng, tức là phương trình mô tả

chuyển ¢ động của hạt trong một trường + thế không phụ thuộc vào thời gian và do đó

nó có năng lượng không đổi Những trạng thái mà năng lượng của hạt có năng lượng

không đổi được gọi là các trạng thái dừng Khi thế năng của hạt không phụ thuộc

vào thời gian thì hàm Hamilton của nó bằng tổng động năng và thế năng tương ứng

là những hàm có xung lượng và tọa độ:

2 +p? + p?)+ V(x, y.z) (1)

=— + V(x,y.2u (Ps P,+P;) x.y

Hàm này sẽ bảo toàn Mà ham Hamilton bảo toàn thì nó chính là năng lượng của

hạt Do đó ta có phương trình năng lượng

RW UAH FOF UAGHIEDP SOTH: FRAN THD LOM

Cuối cùng, tác dụng toán tử năng lượng Ñ lên hàm %(x y, z) là hàm của toa

độ, ta nhận được phương trình trị riêng của nó:

AY = EY (5)

Phương trình (5) gọi là phương trình Schré dinger dừng Nó được thừa nhận

như một sự khái quát hóa phương trình năng lượng (2) trong cơ học cổ điển nhờ sơ đồ

lôgic của cơ học lượng tử.

Bây giờ chuyển sang trình bày phương trình Schrö dinger tổng quát hay

phương trình Schré dinger phụ thuộc thời gian, tức là phương trình xác định sự biến

thiên của các trạng thái theo thời gian Trong trường hợp này toán tử Hamilton

không được gọi là toán tử năng lượng vì năng lượng của hạt không bảo toàn Tuy

vậy ta cũng có thể dựa vào phương trình Schrö dinger dừng để mở rộng cho trường

hợp hạt chuyển động trong trường thế phụ thuộc vào thời gian.

Từ cơ học cổ điển ta biết rằng, một cách hình thức có thể xem thời gian t như

tọa độ suy rộng thứ 4 (trong không gian 4 chiểu) và nó cùng với năng lượng mang

dấu âm (-E) lập thành một cặp biến số chính tắc (t, -E) tương tự như những cặp biến

số chính tắc trong không gian 3 chiều : (x, px); (y, Py) và (2, pz) Do ad, khi xét sự phụ

thuộc của các trạng thái vào thời gian ta phải đối ứng năng lượng E trong (5) với một

toán tử tương tự như ta đã đối ứng các thành phần xung lượng với các toán tử (3) Cụ

thể là với cặp biến số chính tắc (t, -E) ta cũng cần phải có:

Ces (7)

THOM LMM TOT MSHA NOTH TRAM THD LOA

Ở đây toán tử Hamilton có dạng tương tự như (4) nhưng trong biểu thức của

thé nang có chứa thời gian t và ham sóng ‘W(x, y, 2) được thay bằng hàm 4%, y, 2, 0

là hàm của toa độ và thời gian Phương trình (7) được gọi là phương trình

Schr) dinger tống quát

Từ phương trình Schrö dinger phụ thuộc thời gian (7) ta có thé nhân được

phương trình Schro dinger dừng như một trường hợp đặc biệt của nó.

on

a

toàn và nghiệm của phương trình (7) có thể tim bằng phương pháp phân ly biến xố.

Nghiệm nêng của (7) được tìm dưới dang tích của hai hàm:

That vậy, nếu thé nang không phụ thuộc vào thời gian = 0 thì nang lượng bio

Woy 2.0 = At) Pix, y, 2), (8)

Thay (8) vào phương trình Schrö dinger tổng quát, ta được:

dA(t ˆ

hoặc

Vẽ trái chỉ phụ thuộc vào thời gian, còn vế phải chi phụ thuộc vào tọa độ; do đó

đẳng thức (1.9) chỉ có thể có khi cả hai vế đều bằng một hằng số nào đó, ta ký hiệu

hằng số này là £

ÑW%(x,y,z) = EW(x, y 2) (10)

in =EA() (11)

Phương trình (10) là phương trình trị riêng của toán tử nang lượng A, tức là

phương trình Schrö dinger dừng, do đó hằng số phân ly biến số E có ý nghĩa là năng

lượng Giải phương trình (10) ta sẽ xác định được phổ nang lượng của hạt, tức là cácgiá trị năng lượng khả di của hạt Tiếp theo, đặt các giá trị này vào phương trình (11)

ta sé tìm được các nghiệm khả di của nó dưới dạng:

l

6 ca >

A(t) exp, „E) (13)

Như vậy, nếu thế nâng không phụ thuộc vào thời gian thì phương trình Schré dinger dừng (10) đúng là trường hợp đặc biệt của phương trình Schrö dinger

tổng quát (7) Theo (8), (10) và (12), hàm sóng của các trạng thái dừng có dang:

4

xã NIM TOT AGHA SOTA) TRAM TH LO 40

(x.y,Z,L) = áx.y.z)ej = „ Bt} (13)

Do tính chất tuyến tính của phương trình Schrö dinger (7) nên khi toán tử

Hamilton Ñ có phổ gián đoạn, các nghiệm tổng quát của nó có thể được xác định

dưởi dạng:

W{x.y,z.L) = SC,,(x.y,z)e

Nếu toán tử Fl có phổ các trị riêng liên tục thì

W(x.y.Z.0= ÍC,W,(x.y.z)e "dE

Nhận xét rằng, tuy phương trình Schrö dinger tổng quát là một phương trình

vi phân đạo hàm rẻng bậc nhất đối với thời gián, nhưng có đơn vị do nên nó có cả

những nghiệm tuần hoàn như (13) Do đó, phương trình Schrö dinger (7) thường

được goi là phương trình sóng Schrö dinger, còn nghiệm của nó được gọi là hàm

sóng phụ thuộc vào thời gian Nếu biết được dang của toán tử Hamilton H và chotrước giá trị của ham sóng tại thời điểm ban đầu thì nhờ phương trình Schr dinger

(7) ta có thể xác định được giá trị của hàm sóng ‘W(x, y, z, U tại mọi thời điểm tiếp

theo sau Do đó phương trình sóng Schrö dinger phản ánh nguyên lý nhân quả trong

cơ học lượng tử.

Vấn để còn lại trong mục này là xét xem nghiệm của phương trình

Schrö dinger tổng quát * có mang ý nghĩa thống kê của hàm sóng hay không? Cu

thể là đại lượng VY" dV có phải là xác suất tim thấy hạt trong thể tích nguyên tố dVhay không?

Nếu YY" dV là xác suất thì nó có thể chuẩn hóa về đơn vị, tức là đòi hỏi

thỏa mãn điều kiện:

Í##'av=i (14)

trong đó tích phân được lấy trên toàn không gian Ý nghĩa của điều kiện chuẩn hóa

là xác suất tìm thấy hạt tại một điểm nào đó trong không gian luôn bằng 1, tức là

xác suất của một sự kiện chắc chấn Nhưng trong trường hợp như thế, nếu tại một

điểm t = 0 nào đó, điều kiện chuẩn hóa đã được thiết lập, thì nó cũng cẩn được bảo

toàn cả trong toàn bộ thời gian tương lai, tức là tích phân đứng bên vế trái của (14)

sẽ không phụ thuộc và thời gian Hay nói các khác, điểu kiện chuẩn hóa chỉ có ý

nghĩa khi nó bảo toàn theo thời gian, nghĩa là:

x34 ‡ LUA TOT AGHA 1172: FOAM THD LOH

ov ov"

anges Seg

và dat chúng vào vế phải của (16) thu được:

Í = ee Way -* [[liwjw-v ñw|av (17)

Vì A là toán tử Hermite nên:

xzÓ 4 LUM FOF 'NQX:2//2 NOTH: PRAM 72-7 LOM

1.2 MỘT SỐ TÍNH CHAT TONG QUAT CUA PHƯƠNG TRÌNH

SCHRODINGER

một mat nào đó thé năng V bằng võ cùng thì tính liên tục của các đại lượng này không xảy ra

Hat không thể xắm nhập vào một miễn không gian, tại đó V = &, nghĩa là trong miễn này

hàm song khấp nơi phải bằng không y = 0 Để cho hamy liên tục, thì trên biên của miễn

này wy phải bằng không: trong trường hợp nay các đạo hàm của tự nói chung có bước nhảy.

Nếu trường V(x.y.z) Vì hamiltoniên của hạt là tổng của toán tử động nang T và thé

năng V, nên giá trị trung bình của nang lượng trong một trạng thái tùy ý bằng E=T+V

Nhưng tất cả các trị riêng của toán tử nang lượng T (trùng với hamiltonién của hạt tự do) đều

đương: do đó cả giá trị trung bình T >0 Hiển nhiên ta có V > Vex, do đó cảE > Vine Vì bất

đẳng thức này đúng với mọi trạng thái bất kỳ, nên rö rang là nó đúng cho mọi trị riêng của

năng lượng E, > Vane q)

Bay giờ chúng ta xét một hạt chuyển động trong một trường có V(x,y,z) bằng không tại

vô cực Dễ dàng thấy rằng phổ các trị riêng âm của năng lượng khi đó sẽ gián đoạn, nghĩa là

tất cả các trạng thái với E < 0, đều là các trang thái liên kết ở trong một trường bằng không tại

vô cực Thực vậy, trong các trạng thái đừng có phổ liên tục, tương ứng với các chuyển động võ

han, hat nằm tại vô cực Nhung tại những khoảng cách đủ lớn để có thể bỏ qua được sự có mặt

của trường, thì chuyển động của hạt có thể được coi như tự do ; mà trong chuyển động tự do

thì năng lương của hạt chỉ có thể dương Ngược lại, các giá trị riêng dương lập thành một phổ

liên tục và tương ứng với chuyển động vô hạn ; với E > 0 phương trình Schrodinger (trong

trường lực đang xét) không có nghiệm để cho tích phần Ív "dV hội tụ.

Cần chú ý rằng, trong cơ học lượng tử, khi chuyển động là hữu hạn, hạt có thể ở cả trong những miễn không gian, tại đó E < V ; xác suất (` tìm thấy hạt mặc dù tiến nhanh đến

không khi đi sâu vào trong một miền như thế, nhưng tại tất cả những khoảng cách hữu hạn xác suất đó vẫn cứ khác không Về mắt này có một sự khác biệt căn bản so với cơ học cổ điển, tại

đây hat không thể nào xâm nhập vào một mién có V > E Lý do làvì, khi E < V đông năng củahat sẽ âm, vận tốc của hạt sẽ là do Trong cơ học lượng tử các trị riêng của động nang cũng

dương ; tuy nhiên ở đây chúng ta không gắp mâu thuẫn, vì nếu bằng quá trình do hạt định xứ

tại một điểm xác định nào đó của không gian, thì do kết quả của quá trình do này trạng thái

của hat sé bị phá hủy sao cho hạt không còn một đông nang xác định nào nữa.

Nếu trong toàn không gian V(x,y.z) >0 (và tại vô cực V — 0), thì do bất đẳng thức (1), ta có E„ > 0 Mặt khác, vì khi E > 0 phổ nang lượng phải liên tục, nên có thé kết luận rằng trong

7

KHOA LUA TOF UGHIED SOTH: FRAH THI LOAK

trường hợp đang xét hoàn toàn không có phổ gián đoạn, nghĩa là hat chỉ có thể chuyển động

vô hạn.

Tiếp thêm chúng ta có nhận xét sau Nếu hệ không nằm trong từ trường, thì phương

trình Schrödinger cho các hàm sóng w của các trạng thái dừng, cũng như các điều kiện datcho các nghiệm của nó, đều làthực Do đó, bao giờ cũng có thể cho các nghiệm đó là thực.Đối với các hàm riêng của các giá trị năng lượng không suy biến, thì chúng tự động là thực với

độ chính xác đến một nhân số pha không quan trọng Thực vậy, ` thöa mãn cùng phươngtrình như w , do đó nó cũng là hàm riêng với cùng giá trị năng lượng: vì thế nếu giá trị này là

không suy biến, thì và ` về thực chất phải như nhau, nghĩa là có thể chỉ khác nhau ở thừa

số nhân không đổi (có môđun bằng đơn vị) Các hàm sóng tương ứng với cùng một mức năng

lương không suy biến không nhất thiết phải là thực, nhưng bằng cách chọn thích hợp các tổ

hợp tuyến tính của chúng, bao giờ cũng có thể thu được một bộ các hàm thực

Còn hàm sóng toàn phẩn w(x,t) được xác định bởi phương trình, có đơn vị ảo i trong

hệ số Tuy nhiên phương trình này vẫn giữ nguyên dạng của nó, nếu trong đó đồng thời với

việc đổi tthành -t ta thay hàm w(x,t) bằng liên hợp của nó w(x,=0ˆ”, chỉ khác nhau ở dấu

đứng trước t Như đã biết, các phương trình của cơ học cổ điển không thay đổi khi đảo chiéuthời gian, nghĩa làchỉ đổi dấu của t Trong cơ học lượng tử, sự đối xứng đối với hai chiéu thời

gian thể hiện ở chỗ phương trình sóng không thay đổi khi ta đổi t > -t, đồng thời thay hàm

sóng w(x,t) bằng liên hợp của nó Tuy nhiên cần nhớ rằng, tính đối ở đây chỉ được xét cho

phương trình thôi, mà không được xét cho bản thân khái niệm phép đo.

Sau cùng, xuất phát từ phương trình Schrödinger, chúng ta có thể suy ra được tính trực

giao của các hàm sóng trạng thái với năng lượng khác nhau Thực vậy, giả sử w„ va yw, là

hai hàm như thế Chúng thỏa mãn các phương trình

(E,,-E, vv = — (yw, dy (-w (Aw ,,) = — divi, 2m 2m Vy —W VỤ „)

Nếu lấy tích phan hai vế của phương trình này theo toàn không gian rồi dùng định lýGauss, vế phải sé bằng không Cuối cùng ta thu được

(E„ -E, )ƒu„w;dV =0

Theo giả thiết E,,#E, , ta tìm lại được hệ thức trực giao cho các hàm „ và y,:

i} ự„ự„dV =0

THOM +, #2 TOV AGHA VOTH: PRAM THD LOH

1.2 TONG QUAT VỀ CHUYỂN ĐỘNG MOT CHIEU |

Chúng ta sé vận dụng phương trình Schrödinger để giải một số bài toán đơn giản nhấtđối với chuyển đông một chiều, ức là chuyển động trong các trường mà thế năng của nó chi

phụ thuộc vào một tọa độ Để đơn giản việc tính toán ta sẽ chọn những mô hình thế năng có

dang như hàng rào thế, hố thế hoặc thế dao động diéu hòa tuyến tính

e Các bài toán một chiều là những mô hình đơn giản cho phép ta tìm được một

số đặc điểm quan trọng của nghiệm, mà sau này ta sẽ gặp trong các bài toán phức tạp Vì bài

toán đơn giản ta có thể nghiên cứu kỹ các nghiệm và giá trị riêng vé mặt vật lý cũng như

toán học

e Nhiều bài toán phức tạp, sau những phép biến đổi tương ứng sẽ dẫn đến việc

giải phương trình tương tự như phương trình Schrödinger trong không gian một chiều

Xét chuyển động của hạt khối lượng m dọc theo trục x dưới tác dụng của thế V(x) nào đó

Phương trình Schrödinger có dạng:

-_ Av(x.t) ne

~ 2m ex?

Chúng ta xét bài toán chuyển động của hat ở vùng hữu hạn không gian Giả sử E là năng

lượng trạng thái liên kết thì nghiệm của phương trình trên có thể biểu diễn dưới dạng:

\(x,U= 9()exp|~ h Et}

Ham (x) là nghiệm của phương trình Schrödinger dừng:

wa

=<==——=#V =

| ade * 0 ooo Eo(x)

Nếu E = E, là giá trị gián đoạn nào đó của phổ năng lượng, còn @ (x) là hàm riêng

(x,0=g,(x)esp| — +E,

` Hụ(x.t)

tương ứng thì:

=> y" (x, Oy(X, 0 = @ˆ°s(X3p,(X)= p„(X)

Từ đây ta thấy, trong trang thái dừng, không những mặt độ xác suất tìm thấy hat

Ð,(x), mà xác suất tìm thấy các gidtri khả di của đại lượng vật lý bất kỳ cũng không phụ

thuộc vào thời gian.

Trên thực tế những mô hình lý tưởng này phản ánh đúng những hiện tượng vật lý xảy

ra trong tự nhiên, chẳng han mô hình hàng rào thế dạng: V = Vụ - e ex

phản ánh đúng hiện tượng phát xạ lạnh của electron có diện tích e trung kim loại dưới tác

dung của một điện trường mạnh e Thật vậy, nếu thay biểu thức thế năng này vào công thức

— |

LW LM AM TOR UG HAP SOT He TRAN TH LOM

tính hệ số truyền qua D thi ta sẽ xác định được D=C exp|- 9} phù hợp với kết quả thực

nghiêm diéu mà vật lý cổ điển không thé làm được

1.2.2 NHỮNG TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT CỦA CHUYỂN ĐỘNG

MOT CHIEU.

Nếu thé năng của hat chỉ phụ thuộc vào một toa độ (r) thi hàm sóng có thể tìm dưới dang

tích của một hàm chỉ phụ thuộc y, z với một hàm chỉ phụ thuộc x Hàm thứ nhất được xác

định bằng phương trình Schrodinger của chuyển động tự do, còn hàm thứ hai xác định bằng

phương trình Schrodinger một chiều:

được phân tích thành tổng các ham mà mỗi hàm đó chỉ phụ thuộc vào một toa độ cũng được

quy về những phương trình chuyển động một chiéu loại này Chúng ta sẽ xét một loạt các ví

dụ cụ thể về chuyển động “một chiều” loại này Ở đây ta chỉ tìm cách giải thích sơ bộ một

vài tính chất tổng quát của nó

Trước hết ta hãy chứng minh rằng trong bài toán một chiểu, tất cả các chức mức năng lượng của phổ liên tục là không suy biến Để chứng minh điều đó, ta hãy giả thiết ngược lại

là có hai hàm riêng khác nhau c và w ứng với cùng một giá trị năng lượng Vì cả hai hàm

này đều nghiệm cùng một phương trình (1), nên ta có

Hay wy") ự; - ự`> = 0 (dấu phẩy chỉ đạo hàm theo x) lấy tích phân hệ thức này ta tìm

xa # Bee VU7X Ph AM THD LH

Poi với các hàm sóng yy (x) của phổ gián đoạn, ta có thể phát biểu định lý sau (gọi là định

lý dạo đồng tử); hàm y, (x) Ung với giá trị riêng thứ (n + 1) E„ về độ lớn, sẽ bằng không n lan(l1 (với những giá trị x hữu han),

Ta hãy nói rằng ham Vix) tiến tới những giá trị giới hạn hữu hạn khi x => + © (nhưng

không nhất thiết phải đơn điệu) Ta chon giới hạn V (+ © ) làm gốc tính năng lượng (tức là

trong miễn này, phổ sẽ liên tục, và chuyển động của các hạt trong các trạng thái dừng tương

ứng sé vỏ hạn, và ở hạt sẽ di vé phía x= + dé dàng thấy rằng tất cả các giá trị riêng của

năng lượng trong miền phổ này cũng suy biến Muốn thấy thé chỉ cần lưu ý rằng trong cách

chứng minh vừa nêu trên (đôí với phổ gián đoạn) các hàm ự¡ và wo sẽ bằng không ở bất kỳ

dau vô cực nào (trong trường hợp này, chúng bằng không khi x> -% )

Với những giá trị x đương đủ lớn Ta có thể bỏ qua V(x) trong phương trình Schrdinger

Phương trình này có những nghiệm thực dạng “những sóng thẳng đứng”:

trong đó a và 5 là những hằng số còn *vectơ sóng " là

k=p/(h=v2mEih

công thức này xác dinh dạng tiệm cận (khi x > @ ) của các hàm sóng của những mức năng

lượng không suy biến trong miền (4) thuộc phổ liên tục Với những giá trị âm lớn phương

trình Schrodinger:

2m ,

nghiệm không trở thành vô cùng khi x > -+ là:

wzaw” x= h 2m(L, - E)

*3@\ # r #A NÍ7NQX-X/ƒ) DUT He Pit ÁN TH LOM

đó chính là dạng tiệm cận của hàm sóng khi x > - + Thành thử hàm sóng sẽ tất din theo

kiểu mũ khi đi sâu vào miễn mà E < V

cuối cùng khi: E>V„

Phổ sẽ liên tục và chuyển động là vô hạn về cả hai phía Trong miễn phổ này, tất cả đều suy

biến bac hai Điều đó suy biến như sau: những hàm sóng tương ứng xác định bởi phương

trình vi phân cấp 2 của (1), trong đó cả hai nghiệm độc lập của phương trình này đều phải

thod man những điều kiện tất yếu tại vô cùng (trong khí đó chẳng hạn như trong thí dụ trên.

phương trình này, thì y(-x) cũng là một nghiệm trùng với w(x) sai khác một hệ số:

w(-x)= cy(x) Lại đổi dấu x một lần nữa, ta được y(x)= cˆw(x), từ đó c =t 1 Thành thử khi

thế năng là đối xứng ( đối với điểm x = 0 ) thì các hàm sóng của những trạng thái dừng sé

hoặc là chấn | y(-x)= g(x) Íhoặc là lẻ | w(-x)= -y(x) | hằng số Nói riêng, hàm sóng của

trạng thái cơ bản là chẩn: thật thế, nó không thể có điểm nút, còn hàm lẻ thì trong mọi

trường hợp sẽ trở thành 0 khi x = 0 w(0)= (0) =0

Để chuẩn hóa các hàm sóng của chuyển động một chiéu ( trong phổ liên tục), có một phương pháp đơn giản cho phép ta xác định được hệ số chuẩn hoá một cách trực tiếp dựa theo biểu

thức tiệm cận của ham sóng ứng với những giá trị | x | lớn.

Ta hãy xét ham sóng của một chuyển động vô hạn về một phía, tức là của trạng thái dừng

trong miễn thuộc phổ liên tục Tích phân đang chuẩn hoá sé phan kỳ

a= 2/ah

khi x > -20 ( còn khi x > œ ham sẽ giảm theo kiểu mũ vì thế tích phân sẽ hội tụ nhanh ) Do

đó khi xác định hằng số chuẩn hoá, ta có thể thay bằng giá trị tiệm cận của nó ( với các

x >0 lớn) và lấy tích phân có cận đưới là một gái trị hữu hạn bất kỳ của x mà ta chọn là giátrị không; diéu đó quy về việc bỏ qua một lượng hữu hạn so với một lượng vô cùng lớn Ta

chứng minh rằng hàm sóng chuẩn hoá vé hàm 5 phụ thuộc p ( xung lượng của hạt tại vô

cùng) phải có biểu thức tiệm cân dạng (5), tức là:

¥, nh ơn devel]

12

RHO MAM TOT (NQ42X-1/⁄/) SOT Hs Fil AM TACT RO MH

Vì ta không có ý thử lai tính trực giao của các hàm tương ứng với những giá tn p khác nhau.

nên khi thay các hàm (9) vào tích phân đang chuẩn hóa

[viv ae

ta hãy thừa nhận rằng các xung lượng p là gắn nhau tuỳ ý; do đó ta có thể đặt ö = ð ( nói

chung 6 là một hàm e*'*“'*" của p) Sau nữa, trong biểu thức dưới dấu tích phân chỉ để lại những số hạn mà khi p = p thì phân kỳ; nói cách khác đi, ta sẽ bỏ qua những số hạn chứa

Chuẩn hoá về ham của xung lượng

Chẳng hạn như đối với chuyển động tự do, ta có :

khi viết biểu thức tiệm cận của hàm sóng dưới dạng tổng của hai sóng phẳng chạy về hai

phía ngược chiều nhau, ta phải lấy hệ số chuẩn hoá như thế nào đó sao cho mật độ dòng xác

suất trong sóng chạy theo hướng vé phía góc toa độ ( hoặc theo hướng từ gốc toa độ đi ra)

KHOA LUAU 77 UGHIEP SOTH : TRAHTHP LOAM

2.1.1.1 Bai toán

Ta nghiên cứu bài toán một chiéu tương tứng với hat khối lượng m,, chuyển động

trên trục Ox, thé năng được giả sử là triệt tiêu trong 0 < x < a (hạt chuyển động tự do)

và có thể được xem như sâu vô hạn ở ngoài khoảng (0,a) 1x,1) là hàm sóng của hat

| > Ching tỏ rằng các giá trị riêng của toán từ hamilton bị lượng tử hóa Xác định

hàm riêng chuẩn hóa ¥,{x,t) tương ứng với trị riêng Ey.

Kiểm tra : nếu m #n thì ¥, tương ứng với E, và Pm tương ứng E„ là trực giao

2> Từ (I] say ra W{x,t) có dang yc tess Ve

Giá tri C, là bao nhiêu, và ta say ra mối liên hệ nào khi viết sự chuẩn hóa theo

thời gian, nếu ta giả sử rằng ở thời điểm t = 0 trạng thái của hệ được cho bởi

a> Wx, O)=Kx(a-x) với 0<xx<a |

Wx, O)=0 với x<Ovax>a te nà

Nếu thé năng V(x) — + đối với x > a hay x < 0, các điều kiện giới hạn là

\ wr) = 0 1gix =0 và x= a Thật vậy, đầu tiên ta giả sử rằng V(x) = V, > 0 nếu x <0

hay x >a (V,, > E).

l4

KHOA LUAH TOT ⁄2(Q2Y:2/⁄7) SOUTH : TRAUHTHI LOAN

Trên các phan của trục Ox, phương trình Schrödinger độc lập với thới gian là:

Nếu Vụ — +z, vì thế ta thấy rằng p =>0 x >a hay x<0

Tính liên tục của ‘Wp tai x = 0 và x =a (Wp phải đơn trị) do vậy dẫn đến

Wp=0 nếux=a và x=0.

Nếu ta giả sử rằng E < 0, nghiệm của (3) là (0 < x < a):

2m,E 2m,E

Wp = Hi EXPL y— p> _X] +H; EXP] —y——X

Điều kiện (0) = 0 đưa đến pip = -py và we(a) = 0 dẫn đến:

2m,E

i

do đó 4) = tạ = 0 va wp = 0, kết quả không được chấp nhận theo quan điểm vật lý vi

wp # O tại tất cả các điểm trên trục Ox Vì vậy E phải lớn hơn 0:

Các diéu kiện giới hạn cho: K; = 0 va ka = nx

n là số nguyên đương vin = 0, Y, =0

KHOA LUAU TOF UGHIEP SOUTH : TRAUTH LOAN

KHOA 4W É⁄\\ FOF UGHIEP SOUTH : FTRAUNTHI LOAM

giá trị của Cạ trong trường hợp (8) này là :

c -[J#a- w)sin{ nn “laxZ)C, - Thụ =l)

với I, = [ xsin{ ne *}ax và - l,= Eo door?)a a

1, va I› được tính dé dang bằng phương pháp tích phân từng phan:

KHOA LUAU TOF UGHIEP SOUTH : TRAUNTHD LOAM

Thu được : -sÍ-t n1 —|(a#2) : 2(n +2) 2(n-2)

iHã dánv=if0womydharderbgfEreeoi =8 ne dA,

Tổng ba số hạng đầu được 9,8658 khi n° = 9,8696

Mặc khác, xác suất có hệ trong trạng thái cơ bản là Ic, (n= 1)

KHOA LUAU TOT UGHIED SOUTH : TRAUHTHI LOAK

2.12 GIẾNG THẾ VUÔNG GÓC BAT ĐỐI XUNG

2.1.2.1 Bài toán

Một hạt khối lượng m, trong trang thái đừng năng lượng E, nằm trên trục Ox.

Doc theo trục Ox, thể năng V(x) :

V=V, pour x>a V=0 pour a>x>b

V=U; powr x < b

Vụ, V3 là hằng số sao cho V> 2V, > ()

1 > Chứng tỏ rằng ta chỉ có thểcóE<0 ?

2 > Xác định hệ thức cho biết độ chênh lệch giá trị có thể có của của E sao cho

0 < E< Vị và chứng tỏ rằng năng lượng này bị lượng từ hóa V; va V2 cho trước có

phải luôn luôn có nghiệm E ? Nghiên cứu trường hợp V; = V> = V,

3 > Trong khoảng (Vì, V2), bản chất phi trị riêng năng lượng là gì ?

Nếu V2 >> E, cho dạng hàm sóng yx) Trong trường hợp này, giá trị của biên

độ sóng trong khoảng b < x < ala gì ? Xem vét IB,Ƒ như hàm sóng của năng lượng

4 > Cho hệ thức hàm sóng tương ứng với E > V2 Suy ra giá trị của T và R, hệ số

truyền qua và phản xạ Kiểm lại rằng T + R = 1 và nghiên cứu sự biến thiên của T và

R tăng theo hàm năng lượng.

KHOA LUAH TOT UGHIEP SOTH : TRA WTI LOAH

v2 Ỹ V(x) biểu diễn sự gián đoạn có giới han tại x = a, x=b

) a>x>b dạt + kiw=0 với kỷ ==

\ dự |, wb>x = ==+k;u=0 với Xa E-V,)

Sự liên tục của và = tại x = a cho phép viết

As(k§ -k¡}e*? = Ag(k; + ky je

và với x=b

Ag(ky +k; )e** = Aš¿(k? - k;)e?

Giả sử A, và A’y khác zero (nếu không ự triệt tiêu khấp nơi diéu này không có ý

nghĩa vật ly), kết quả của hai phương trình trên cho ta:

(ki - kiXk¿ -k;)(ki + kik, + k;)

e?e-b =

Vì k’\(a - b) >0, vế trái của phương trình lớn hơn | và vế phải là nhỏ hon |

Vik’, -Ky <k +k) vaky-k2<k +k)

Đẳng thức không thé xảy ra, điều này chứng tỏ rằng giả thiết ban đầu (E < 0) là

không phù hợp.

20

KHOA LUA FOF NGHIED SOTH : TRAUTA LOAN

( Trường hợp 0 < E < V, (điều này kéo theo E < V»)

Những nghiệm của phương trình Schrödinger độc lập với thời gian có dạng

(trong khi vẫn giữ những khái niệm cũ đối với hằng số tích phân)

x>a wy, =A,c“* +Ave**

Ũ : 2m

a>x>b Wo = A,e** +A;e k, = nề (E) (3)

x>b w, =A,e“* +Aset*

k'; và k`› được cho bởi (2a) va (2c)

w vẫn phải giữ hữu hạn với x —> + œ, người ta phải có A‘) = A" = 0; wo còn có thể

n8 ~ 3 LVE = Arcsin + aresin fe (4)

chúng ta đã giới thiệu độ rong L =a - b của giếng thế Vi VE > 0, phải có n >0

Ta nhắc lại rằng (4) tương ứng với 0< E< Vị < V›

Ta xem xét các hàm f,,(VE) của biến số VE , định nghĩa bởi :

21

KHOA LUAU FOF UGHIED SOUTH : TRAWTH LOAH

|E

+ Arcsin ||

E

\¥, VV,

Hoành độ của những điểm giao nhau của những đường cong biểu thị của f),, va fy sẽ

cho ta những giá trị của VE là các nghiệm của (4).

và cũng vậy f,(VE) = Arcsin

Theo hình ta thấy rằng các mức năng lượng bị lượng từ hóa Trong thí dụ tương ứng

trên hình có ba mức năng lượng có thể có.

Điều kiện để có ít nhất một mức năng lượng là E = V; và n = | í; thì lớn hơn hay

bằng f,, Nếu f,(VV,}> f,,( /V,} những đường cong sẽ cắt tại một điểm có hoành

độ nhỏ hơn hay bằng /V, vì f,¡ là một hàm ye theo JE Eval Gm ag,

Trường hợp đặc biệt : mà V; =

2m

suy ra privy 20

22

XX© # LAM TOT HGH NOTH) TRA RTH LOM

Điều luôn đúng là sẽ có it nhất một mức ning lượng

- Nếu n là chẩn: RE uf Ares nÍy: <0

TH rất nhỏ hơn | đơn vi bởi gid thuyết, cho nên E gắn Vị

Dat E = V, - AV, (AV; << VỊ)

ml ` AV,

—=(V, = AV jel=——

|- Toned AV,)=1 3V,

23

KHOA LUAH TOT HGHIED SOTH : FRAUNTIOZ LOA

x<b yw, =AeTM"TM +AjeTM k, = pv: -E)

w> phải hữu han khi x —> -© , A¿ =0

dw „ ¬

Tính liên tục của và = để x =a và x = b sẽ có thể viết bốn hệ thức để xác định

năm hằng số A), A‘), Ba, do A’.

Tính liên tục của đạo ham logarit đối với x = b cho

Giải thích tích liên tục của w và x đối với x =a:

A,e*" +A‘e *” = +B, sin{k,(a—b)]

ik,A,e"" -—ik,Aje “" =+B,k, cos[k, (a = b)]

Khử A’, giữa hai phương trình này dẫn đến

> 4)

4kj|A,)

B,|` =

Bị kệ +(k? —k}}cos`[kạ(a - b)]

B A‘) và A’) đều tỷ lệ với A), rằng người ta có thể chọn một cách tùy tiện (nhưng

A, #0, nếu không yw = 0 tại mỗi điểm) Chúng ta cho A; = | và thay kị và k, bằng

đình nghĩa của chúng:

24

x34 4 UMM FOF :LQ22/7 SOTH : 7b Ý:N\73X-7 (9⁄4

Neu A; = 1, người ta suy ra:

B,=2ie* và - A;=-e”* lay =1

hay iB) =4 (1a)

Biến thiên của \B,| theo E:

bién độ sóng bên trong giếng (V = 0) như trong vùng x > a

Trong trường hợp giới hạn khác : nơi E gắn Vị, |B,ÌÌ x0

Chúng ta định nghĩa: a= ar YE (12)

Ta cũng có thể viết:

-V

0 nếu cosa{ cosa + ‘asina) =0 (13)

a/ cosa = 0, haya = (2k + Độ Trong trường hợp này, |B,|Ì = 4 , tương ứng với giá

LHOA LUA FOF UGHIED SOUTH | TRARTHD LOM

= (15h)

với œ > ƒ\ vì E > V, wa Tp

{a’ -p*)”

của những điểm giao nhau của đường cong c¡ và c; biểu diễn hàm y¡(ơ) và y;().

Nếu y)(a) = tg và y,(Œ) = = những giá trị của œ được cho bởi trục hoành

dy, (a° +B’) d’y, (œ` + 30)

Hình trên cho hình ảnh của kết quả, ta thấy rằng những điểm giao của c¡ và c; tương

ứng những giá trị của œ gần kr Trong những điều kiện này

Sự khác nhau với những giá trị cực đại đủ lớn khi TS: l

Mặc khác, a tỷ lệ với L và JE Nếu L đủ lớn, độ biến thiên nhỏ của E cho œ, sự biến

thiên không triệt tiêu từ đó độ biến thiên quan trọng của cosa Suy ra biến thiên của

(B,͈ giữa những giá trị lận cận của cực đại |B,| và những giá trị tiến đến cực tiểu

26

KHOA LUAU TOT RGHIED 2X PRA UTID LOAM

Đối với ƒ = 100, ta suy ra K = 32 và œ„ = 655

Từ hệ thức Gay, = BCL + £) = 100(1 + £), kết quả là c = Tản tướng đương với

Cue tiểu đầu tiên là không triệt tiêu được cho bởi.

Doin ! _ =

27

THOMA LUA TOV ⁄(QJ 32⁄7) NOTH : PRA WIAD LOAM

Trong trường hợp này, là một tổ hợp tuyến tính sóng phẳng trong mỗi phần

khác nhau của trục Ox:

2m

x>a y, =A\c*" +Aie** k, = 5 (E- Vị)

2ma>x>b wy, =A,e"*+Aje*" k= Be

2m

b>x wy, =A,e""+Ate** k, = = (E-V;)

Ham song phụ thuộc thời gian là:

28

x3 # LUAH TOF UGHIEP NOTH ¢ PRA UTHD LOM

Y =yyec* y= 1,02

với J = Ì

E

y — Ave Hint bya +Ale t4 +Â.%( với ® = 7

Điều này chỉ rằng A,e 9° là sóng truyền theo hướng của x tăng và A¡c 999

sóng truyền theo hướng ngược lại Nếu ta coi rằng Aje "““**' là sóng tới thì

Ave “* là sóng phần xạ Sóng truyền qua phải cùng hướng truyền với sóng tới và

vì thế tương ứng là Ale" Ta có Ap =0

dự Tính liên tuc của y và a với x = a, x = b sé cho A hệ thức dé xác định nam

hằng số không biết Ta sẽ chọn một cách tùy ý biên độ A‘, của sóng tới

Vì giá trị của hệ số truyền và phản xạ phải rõ ràng không phụ thuộc vào việc chon gốc của Ox, ta có thể lấy b = 0 và a = a -b=L

Tính liên tục của w và dự đối với x = 0, vì vậydx

Ag t+ Ao =A’2 (17)

~tk2A") = Ik Ay - A’) (18)

x=L, tạ có :

A,c"" +Aje“* =—-A,e** + Ase (19)

va ik,(A,e*"" - Afe*") = ik, =(A,e** —A;e *+) (20)

Đơn giản A'; giữa hai phương trình (17) và (18) cho phép tinh A,, trong ham

của A’, (hay ngược lai):

(k., + k2)A, = (k, -kz)A'„

Bằng cách đơn giản A¡, do đó các phương trình (19) và (20) dẫn đến:

A.“—— 2k (ky =k;)e *" A} * (ky =k, (ik, =k,)e*° +(k, +k, Xk, +k, Je

va

* (k,—k,Xk, — ky e** +(k, +k, Xk, +k, eo

Từ (17) ooo (21) ka (k, +k, eosk, L - i(k? +k,k,)sink,„L

Nếu thayvì hat tới biểu diễn bởi Aje ***, ta có mot chùm hat không tương tác giữa

chúng, chùm tới , tỉ lệ với Ate" (Ale ** yk, =|A;! k,chdm truyền qua ét tỉ lệ với

Are SM(Aje**) kị = [As] ky

29

KHOA LUAR FOF (Q.27) LOTA : FRA UTAH LOM

Từ định nghĩa, hệ số truyền qua T là:

@, _ k, |A3/’

Teer

k, las?

Từ (21) và dinh nghĩa của k, ky, ky ta suy ra

E(V0E~ V,) + E=V,))} «at ( (TP ) +(E+ (E-V,KE-Vp) se | 71)

(22a)

hay còn dang đơn giản hơn

4EV(E - V,XE- V;)

SSS LSS (22b)

vv,se | (2n EL]+E|E=Š) + EV)

Ta chú ý rằng với năng lượng bằng nhau, T độc lập với hướng di chuyển vì

nếu ta hoán vị Vị và V; (điểu này dẫn đến thay đổi chiéu chuyển động) T vẫn không

biến thiên

Từ cùng cách, thay A, và A'„ bằng giá trị của chúng trong (19) ta nhận được

hệ xố phản xa R định nghĩa bởi (6, chùm phản xa)

THOMA LUA TOT NOHIED VOTH : PRAUTH LOM

Néu E>> VV) V, 20 Tel

ml:

Theo (34) để \ yo b= km (k nguyên đương) ta có

TsisT,,, viT<!i Trong trường hợp tổng quát mà V; # V+, T không bao giờ bằng một

Thue vậy, nếu T có thé bằng một từ (22h) rút ra:

4E v(LE- V.WE - V.) = V,V; «n'| =} + EÍV(E- V,) + \(E-V,))

hay 0= VV, sin'{ (2É ÌxEÍ/(E=v) - (E= Vụ}

Vì thành phần đầu tiên của về bên phải lớn hon hay bằng không va thành phần thứ

hai chấc chấn dương, nếu Vị # Vạ và E là hữu hạn, tổng đó không thể bằng không.

Mặt khác từ hệ thức R + T= |, ta rút ra

Cực đại đốt với T tương ứng với cực tiểu của R

Cực tiểu đối với T tương đương với cực đại đối với R

Bây giờ chúng ta giả sử rằng V2 = 2V; với — =f=100

*x+Ó # LUAU FOF UGHAEP SOUTH : FRARTH LOAH

Nếu X=2,T=0vàR=I

Với X gần 2 ( lân cận của V›) ta viết: X=2+AX vớiAX<<2

Từ đó

4(2+ AX) AX(1 + AX)

2sin’{ 10043) = }+02 + AX) VAX + V1+ AX)

Những tính toán dé dàng chú ý rằng V100V¥2 = 45x

Ta định nghĩa

: l

Y(AX) = T(AX)-= va Z(AX)=R(AX)- 3

Ta có Y+Z=0 a ra rằng những iit cong T(AX) và R(AX) thì đối xứng vôi điền,

THO LM MM TẾT MAGMA ROTH, FROMM 7X trà 0X

| 2.1.3 HANG RÀO THẾ NANG |

2.1.3.1 Bài toán

Bây giờ, ta sẽ giải bài toán đừng không liên kết với sự hiện điện của ham tác dụng (V

độc lập thời gian và E dương)

Một hạt khối m di từ vô cùng đến bên trái với vận tốc v„ gdp một hàng rào thé độ cao

E, nằm giữa các điểm F" và F có hoành độ -a và +a

1/ Giải phương trình Schrédinger

2/ Ap dung các điều kiện liên tục tại biên, xác định các hằng số A, B C D, G H Suy ra giá trị

Trong cơ học cổ điển, hat không thể bang qua hàng rào và phản xạ hoàn toàn.

Thực vậy nếu hạt Bạt bang qua hang rào, bảo toàn năng lượng có nghĩa là tổng động ning

và thế nang đòi hỏi vận tốc di truyền từ vận tốc v„ đến v¿ với:

ee eek eee NA

E= mv, =E, +5 mv;

34

xã LUMAR TOT RGD NOTH: TRAM THD LOM

Giữa các điểm hoành độ -a + e và -(a + €), hạt chịu tác dung của lực F» hướng ngược

chiéu với vectơ đơn vi ¡ trên x`Ox sao cho

R«~- tL mảng 2g I

Ở ngoài vùng này, thế nang E, = V là hằng số và lực bằng không

Hạt tiến đến vùng này vào thời điểm t, va tại điểm hoành độ -(a + ø) với vận tốc v„ bị hãm

bởi lực F, do đó phương trình chuyển động

x= “em (t—ta)” +V,(t—t,)-(a+e)

Hạt không thể đến điểm (-a + ©) nếu phương trình

~at+e=-7(t-ty)’ +V,(t—t,)-(a+e)

ee

có nghiệm thuc, bất buộc : 21 >E

Nếu ngược lai, nang lượng của hạt :

35

THO MMM TÚ? AGI ROTH: PRM 7X.) ĐÀ t0

-hat không thể đến biên của vùng này theo sự thay đổi của năng lượng Vì vậy nó phản xạ và

trở lại theo hướng ngược lại.

c => 0 trong khi giữa giá trị E¿, lực trở nên vô cùng lớn nhưng vùng tác dụng trở nên vô cùng

nhỏ Kết quả diễn tả bởi phương trình (3) hãy còn nguyên vẹn bởi vì nó độc lập trong khoảng

Các nghiệm được viết:

.x<-a ự= Ae”“ + Be“

j-a<x<a w=Ce" +DeTM (9)

ix>a w = GeTM + He

RHO MUAH TOT UGHIEDP MOTH: TRAWU THY LOAM

Các hằng số tích phân A, B, C, D, G và H được xác định bằng xem xét vật lý mà chúng ta sẽkhai triển

Đầu tiên ta phải có : A=()°®(œạy)", H=0 (10)

vì phải diễn tả rằng một chùm hạt mật độ dòng J, từ vô cùng sang bên trái và ngược lại

không có hạt nào từ vô cùng đến bên phải Sau đó phải mô tả hàm sóng liên tục, điều này

liên quan đến các hoành độ (+a) và (-a), ta có

x=~a Ae"'* + Be® =CeTM + De” an

x=a Ge* =Ce"“ + De ®

x=a ip Ge'TM = ơ[Ce* - De “] ti)

Các dòng thứ hai của (11) và (12) có thể đặt dưới dạng

GeTM = Ce” +DeTM

Ae + Be* = Ge® ch2aa - LỄ sa |

37

EHO MMM TẾ7 AGHIED MOTH, TRAM THI LOM

Ae '* ~ BeTM = Go| cha Ps saa]p

C4n phải nhấn mạnh trên sự độc đáo của kết quả này so với kết quả mà ta thu được trong cơ

học cổ điển Thực vậy, theo cơ học cổ điển, không có hạt nào có nang lượng E nhỏ hơn độ

cao E; của hàng rào thế có thể bang qua nó Theo cơ học lượng tử, ngược lại có một tỷ lệ nào

đó T của các hạt tới bằng qua được hàng rào này Đó là sự khác nhau cơ bản giữa hai cơ học.

Bây giờ ta xem xét sự biến thiên của T theo hàm của các biến số động lực.

EĐặt: 2œa = X, —=mXsI (l6)