Luận văn thạc sỹ chuỗi đường tròn nội tiếp các đường conic và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TỐNG TÙNG DƢƠNG CHUỖI ĐƢỜNG TRÒN NỘI TIẾP CÁC ĐƢỜNG CONIC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2022 i Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4 Quỹ tích điểm P (x, y) Ellipse Quỹ tích điểm P (x, y) Hyperbol Trường hợp tiếp xúc Trường hợp tiếp xúc C Trường hợp đường thẳng tiếp  tròn C  xúc đường 2ab Quỹ tích tiếp điểm O, a±b A, B tiếp xúc A, B tiếp xúc Trường hợp suy biến Chuỗi đường tròn nội tiếp hai đường tròn A, B Hai chuỗi đường tròn nội tiếp song đối xứng Chuỗi đường tròn nội tiếp với tâm đối xứng 10 13 14 15 16 18 19 20 21 22 Chuỗi đường tròn nội tiếp Parabol Chuỗi đường tròn nội tiếp Ellipse Đường tròn nội tiếp dây cung Ellipse, P bất Chuỗi đường tròn nội tiếp nhánh Hyperbol x2 y Chuỗi đường tròn nội tiếp Hyperbol − =1 16 kỳ 27 33 38 39 Chuỗi Ellipse nội tiếp nhánh Hyperbol Ellipse thứ tiếp xúc nhánh Hyperbol Chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol y = ax2 , a > Ellipse thứ tiếp xúc Parabol đỉnh 42 48 49 56 59 ii Mục lục Các đường conic 1.1 Nhắc lại ba đường conic 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Quỹ tích tâm đường trịn tiếp xúc hai đường tròn 1.2 Chuỗi đường tròn nội tiếp đường tròn tiếp xúc 1.3 Dãy số nguyên từ chuỗi đường tròn tiếp xúc Chuỗi đường tròn nội tiếp conic 2.1 Chuỗi đường tròn nội tiếp Parabol 2.1.1 Tâm bán kính đường trịn thuộc chuỗi 2.1.2 Điều kiện có dãy số nguyên 2.1.3 Ba dãy số bất biến với Parabol 2.2 Chuỗi đường tròn nội tiếp Ellipse 2.3 Chuỗi đường tròn nội tiếp Hyperbol 2.3.1 Tâm bán kính đường tròn thuộc chuỗi 2.3.2 Dãy số nguyên sinh từ chuỗi 3 15 19 26 26 26 29 31 32 38 39 42 Một số vấn đề liên quan 3.1 Chuỗi Ellipse nội tiếp Hyperbol 3.1.1 Các tính chất 3.1.2 Các dãy số dãy số nguyên 3.2 Chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol 3.2.1 Dãy số nguyên sinh từ chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol 3.2.2 Các dãy {βi }, {yTi }, {Yi } ba Pythagore 47 47 47 51 54 58 61 Tài liệu tham khảo 63 iii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo-QHQT, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K13 (2019-2021) Trường đại học khoa học-Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức q báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, đồng nghiệp, giáo viên, học sinh trường THCS Dương Quan, Thủy Nguyên, Hải Phịng gia đình, bạn bè, người ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 06 năm 2022 Tác giả luận văn Tống Tùng Dương iv MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt 10 11 Ký hiệu A, B R A(O1 , a) B(O2 , b) 2ab (O, ) a+b 2ab ) (O, a−b Cn (xn , yn ) τn+ , τn− N+ Z R Nội dung ký hiệu Hai đường tròn Đường trịn tiếp xúc ngồi với A, B Đường trịn tâm O1 bán kính a Đường trịn tâm O2 bán kính b Trang 5 5 Đường trịn quỹ tích A, B tiếp xúc 13 Đường tròn quỹ tích A, B tiếp xúc ngồi 13 Tâm đường trịn thứ n Tỷ số bán kính đtrịn rn Tập hợp số tự nhiên lớn Tập hợp số nguyên Tập hợp số thực 14 21, 22 23 24 24 Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Đề tài chuỗi đường trịn nội tiếp chia thành phần: Chuỗi đường tròn nội tiếp phận hình trịn chuỗi đường trịn nội tiếp conic Phần đầu Trần văn Cường trình bày bảo vệ năm 2020 Chúng tơi nghiên cứu trình bày tiếp phần hai, lý chọn đề tài luận văn Thạc sĩ tôi, luận văn mang tên "Chuỗi đường tròn nội tiếp đường conic số vấn đề liên quan" Mục đích đề tài là: - Trình bày chuỗi đường trịn nội tiếp hình sở: Ellipse, Hyperbol, Parabol chuỗi Ellipse nội tiếp hình Parabol, Hyrpebol Mỗi trường hợp cụ thể nêu tính chất đặc biệt chuỗi, dựng dãy số nguyên sinh chuỗi tương ứng, khẳng định điều kiện cần đủ để có dãy số nguyên - Các chuỗi đường tròn nội tiếp Ellipse, Parabol, Hyperbol mang lại kết đặc sắc nhờ sử dụng phương pháp tọa độ - Bồi dưỡng lực dạy học chuyên đề khó trường THPT góp phần đào tạo học sinh học giỏi mơn Hình học Phương pháp đại số lần mang lại kết hình học giá trị Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Sau trình bày tóm tắt đường conic giải tốn chuỗi đường trịn tiếp xúc, sử dụng phương pháp tọa độ để tiếp cận tốn chuỗi đường trịn tiếp xúc đường conic: Ellipse, Hyperbol Parabol Tài liệu tham khảo báo Giovani Lucca: [3], [4], [5] Phần việc tổng hợp, chi tiết hóa phép chứng minh minh họa thêm ví dụ cụ thể Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Các đường conic Nhắc lại nét ba đường conic Trình bày tốn quỹ tích điểm tiếp xúc chuỗi đường tròn nội tiếp đường tròn tiếp xúc cho trước, ứng dụng đường conic Nội dung bao gồm mục sau: 1.1 Nhắc lại ba đường conic; 1.2 Chuỗi vô hạn đường tròn tiếp xúc; 1.3 Dãy số nguyên sinh từ chuỗi đường tròn tiếp xúc Chương tham khảo [2] Chương Chuỗi đường trịn nội tiếp đường conic Xét chuỗi đường tròn nội tiếp conic: Ellipse, Hyperbol, Parabol Riêng chuỗi đường tròn nội tiếp Ellipse dừng lại mơ tả tính chất, hai chuỗi cịn lại tìm dãy số ngun tương ứng ví dụ minh họa Nội dung tham khảo [3], [4], chi tiết hóa phép chứng minh Chương bao gồm mục sau: 2.1 Chuỗi đường tròn nội tiếp Ellipse; 2.2 Chuỗi đường tròn nội tiếp Parabol; 2.3 Chuỗi đường tròn nội tiếp Hyperbol Chương Một số vấn đề liên quan Tương tự chuỗi đường tròn nội tiếp, chương mở rộng xét chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol nội tiếp Hyperbol Đây hai nội dung hoàn toàn mới, trình bày dựa theo hai báo [1], [5] vừa công bố năm 2020 Các dãy số nguyên tương ứng xuất tường minh Nội dung chương bao gồm: 3.1 Chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol; 3.2 Chuỗi Ellipse nội tiếp Hyperbol Chương Các đường conic 1.1 1.1.1 Nhắc lại ba đường conic Các định nghĩa Đường conic định nghĩa theo hai cách: Định nghĩa 1.1 Đường conic quỹ tích điểm mà tỉ số khoảng cách từ đến điểm cố định F khoảng cách từ đến đường cố định ℓ số thực khơng đổi e Với < e < 1, quỹ tích hình Ellipse, Với e = 1, quỹ tích hình Parabol, Với e > 1, quỹ tích hình Hyperbol Người ta gọi điểm cố định F tiêu điểm, đường thẳng cố định ℓ đường chuẩn giá trị thực e tâm sai Định nghĩa 1.2 Đường conic đường giao mặt nón trịn xoay mặt phẳng Khi giao mặt nón mặt phẳng đường cong kín, tức mặt phẳng giao với tồn đường sinh, khơng song song với đường sinh có thiết diện đường Ellipse Nếu mặt phẳng song song đường sinh mặt nón, đường conic trở thành parabol Cuối cùng, trường hợp mặt phẳng giao với hai mặt nón có chung đỉnh (đồng thời cắt hai đáy hai hình nón này), tạo thành hai đường cong riêng biệt gọi Hyperbol Đối với đường Ellipse đường Hyperbol ta có hai tiêu điểm-đường chuẩn chúng tạo nên Ellipse Hyperbol hoàn chỉnh, đồng thời chúng tạo tâm hình (trung điểm đoạn thẳng nối hai tiêu điểm) Từ đó, Ellipse Hyperbol cịn định nghĩa theo cách khác mà đường Parabol định nghĩa theo được: - Ellipse quỹ tích điểm M mà M F1 + M F2 = 2a (hằng số), F1 F2 tiêu điểm - Hyperbol quỹ tích điểm M mà |M F1 − M F2 | = 2a (hằng số), F1 F2 tiêu điểm Theo hai định nghĩa Parabol coi dạng suy biến Ellipse tiêu điểm lại bị kéo dài xa đến vô tận Cũng theo định nghĩa hình trịn coi dạng suy biến hai tiêu điểm Ellipse trùng Trục thực Ox (trục lớn) trục ảo Oy (trục bé): Ở Ellipse Hyperbol cịn có thêm hai trục đối xứng mà Parabol có một: Ở hình Ellipse trục gọi trục lớn trục bé Trục lớn trục qua hai tiêu điểm tâm, trục bé trục vng góc với trục lớn tâm Ở Hyperbol chúng tương ứng gọi trục thực trục ảo Trục thực trục qua hai tiêu điểm, hai đỉnh hai nhánh, tâm Trục ảo trục vng góc với trục thực tâm Hyperbol Qui ước: Độ dài trục lớn (trục thực) giá trị không đổi 2a Độ dài trục ảo (trục bé) giá trị không đổi 2b Trong đó, c2 = a2 − b2 c2 = a2 − b2 Ellipse c2 = a2 + b2 Hyperbol (đoạn thẳng F1 F2 = 2c gọi tiêu cự) Ở Hyperbol, hình chữ nhật sở hình chữ nhật có bốn đỉnh nằm hai đường tiệm cận Trong bốn cạnh hình chữ nhật, có hai cạnh hai đường tiếp tuyến tiếp xúc với hai nhánh hình Hyperbol đỉnh chúng tương ứng hai đỉnh Hyperbol hai trung điểm hai cạnh Hai cạnh song song với trục ảo trục ảo Hai cạnh lại song song với trục thực có độ dài trục thực Ở Ellipse, hình chữ nhật sở hình ngoại tiếp Ellipse Giống hình Hyperbol: Trong bốn cạnh hình chữ nhật, có hai cạnh hai đường tiếp tuyến tiếp xúc với hình Ellipse hai đỉnh (các giao điểm trục lớn với hình Ellipse), tương ứng hai đỉnh Ellipse hai trung điểm hai cạnh Hai cạnh song song với trục ảo có độ dài trục ảo Hai cạnh cịn lại song song với trục thực có độ dài trục thực Trong hệ tọa độ Descartes, hình biểu diễn phương trình bậc hai hai ẩn ln đường conic (suy biến không) ngược lại, tất đường conic biểu diễn dạng Phương trình bậc hai hai ẩn có dạng Ax2 + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = với A, B, C khơng đồng thời Ta có trường hợp không suy biến: ❼ Nếu B − 4AC < 0, phương trình cho ta Ellipse; Đồng thời A = C B = 0, phương trình cho ta đường trịn; ❼ Nếu B − 4AC = 0, phương trình cho Parabol; ❼ Nếu B − 4AC > 0, phương trình cho ta Hyperbol; Đồng thời A + C = 0, phương trình cho ta đường cong có tên gọi Hyperbol chữ nhật Trong hệ trục tọa độ, phương trình viết dạng tắc chọn trục tọa độ thích hợp: x2 y + = 1, a2 b2 x2 + y = r , Ellipse: Đường tròn: Parabol: Hyperbol: y = 2ax; x2 = 2ay, x2 y x2 y − = 1; − = 1, xy = c2 2 a b b a Trong hệ tọa độ cực, đường cô-nic với tiêu điểm gốc tọa độ tiêu điểm lại nằm trục hồnh, xác định cơng thức r= l , + e cos θ e tâm sai l nửa độ dài cung qua tiêu điểm, song song với đường chuẩn Với e = 0, ta có đường trịn, với < e < ta thu ellipse, với e = parabol, với e > hyperbol 49 Hình 3.2: Ellipse thứ tiếp xúc nhánh Hyperbol - Để Ellipse thứ tiếp xúc "tốt" với Hyperbol A ta phải yêu cầu chúng có độ cong A, tức (3.3) phải trở thành đẳng thức α b2 = β02 a - Các Ellipse chuỗi tiếp xúc liên tiếp, tức Ellipse thứ i tiếp xúc đồng thời Ellipse thứ (i − 1) Ellipse thứ (i + 1) Do ta có: ui − ui−1 = αi + αi−1 (3.4) βi - Ta giả thiết Ellipse đồng dạng với nhau: = m với i = 1, 2, αi r α b2 β0 a = √b Từ có m = = α0 α0 α0 a Để đạt mục đích chuỗi Ellipse tiếp xúc Hyperbol ta xét hệ phương trình sau  x y2    2− =1 a b (3.5) y2 (x − u i)   − =1  αi2 βi 50 tìm mối quan hệ ui αi Từ hệ phương trình (3.5) ta   b2 βi2 βi2 βi (3.6) + x − 2 ui x + ui = b2 + βi2 αi a αi αi Do điều kiện tiếp xúc nên biệt thức ∆ (3.6) phải không:    b2 βi βi ∆ βi4 + ui − b2 − βi2 = = ui − 2 αi αi a αi  2 βi α a i Ta suy u2i = = m nên + (b2 + βi2 ) Vì b βi αi   a ui = + (b2 + m2 αi2 ), b m (3.7) có u2i−1 =  a2 + b2 m  (b2 + m2 αi−1 ) Bằng cách lấy (3.7) trừ (3.6) lưu ý tới (3.4), ta thu đươc    a   u + u = m2 (αi − αi−1 ) + i i−1 b2 m  u − u = α + α i i−1 i i−1 b2 ta lại có Từ m = aα0     u + u = + a (α − α ) i i−1 i i−1 α0  ui − ui−1 = αi + αi−1 (3.8) (3.9) (3.10) Để biểu diễn ui αi theo ui−1 , αi−1 , ta cần giải hệ phương trình (3.10) Sau vài bước biến đổi đại số ta thu được:    α α0  αi−1 , (3.11) ui = + ui−1 + + a a  α  α0 αi = ui−1 + + αi−1 (3.12) a a 51 Có thể biểu diễn ui αi dạng ma trận:   ! ! 2α0 2α0 + + ui   ui−1 a =  a2α  2α0 αi α i−1 +1 a a Từ βi = mαi ta có     α0 2α0 b ui−1 + + αi−1 , βi = √ aα0 a a b = √ (2α0 ui−1 + (2α0 + a)αi−1 ) a a.α0 (3.13) (3.14) Ta ý đến trường hợp m = (các Ellipse trở thành đường trịn), b2 đó, α0 = β0 = ta nhận kết khảo sát chương a 3.1.2 Các dãy số dãy số nguyên Trong phần này, xét dãy số {ui }, {αi }, {βi } điều kiện có dãy số nguyên Mệnh đề 3.1 (Định lý 2.1, [1]) Các dãy {ui }, {αi }, {βi } dãy truy hồi tuyến tính bậc hai    α  4α0 ℓi = 2 + ℓi−1 − ℓi−2 = + ℓi−1 − ℓi−2 , (i ≥ 2) (3.15) a a với giá trị đầu b√ aα0 ; u0 = a + α0 ; a √ b α0 (3a + 4α0 ) α0 a2 + 5aα0 + 4α02 √ (ii) α1 = (3a + 4α0 ); β1 = ; u1 = a a a3 (i) α0 ∈ R+ ; β0 = Chứng minh Từ (3.10) cộng vế với vế ta có   a a 2ui = + αi − αi−1 , α0 α0 suy   a a αi−1 − αi−2 2ui−1 = + α0 α0 52 Trừ vế với vế đẳng thức áp dụng đẳng thức (3.10) ta được:   α αi = 2 + αi−1 − αi−2 a Tương tự,  α  ui = 2 + ui−1 − ui−2 a Như công thức truy hồi (3.15) αi ui Hơn nữa, βi = m.αi nên cơng thức truy hồi βi Các giá trị đầu suy từ đẳng thức (3.11), (3.12), (3.14), (3.15): r b√ α0 α b2 = β02 nên β0 = b = aα0 ; Do tính chất chuỗi nên (i) Vì a b a u0 = a + α (ii) Từ (3.12),  α  α0 α0 α02 α0 α1 = u0 + + α0 = (a + α0 ) + + α0 = (3a + 4α0 ) a a a a a √ b α0 (3a + 4α0 ) b √ (2α0 u0 + (2α0 + a)α0 ) = Từ (3.14), β1 = √ a aα0 a3 Đặt ui = ui αi βi , αi = , βi = Khi ta thu hệ sau: u0 α0 β0 Hệ 3.1.1 Các dãy {ui }, {αi }, {βi } dãy truy hồi tuyến tính bậc hai (3.15) với giá trị ban đầu: u0 = α0 = β0 = 1; 4α0 4α0 ; α1 = + u1 = + a a Chứng minh Các dãy {ui }, {αi }, {βi } hiển nhiên có dạng (3.15) Kiểm u0 α0 β0 = 1, α = = 1, β0 = = tra điều kiện đầu: Ta có u0 = u0 α0 β0 a2 + 5aα0 + 4α02 a(a + α0 ) + 4α0 (a + α0 ) 4α0 u1 = = =1+ u1 = u0 a(a + α0 ) a(a + α0 ) a α0 3a + 4α0 4α0 α1 = (3a + 4α0 ) = =3+ α1 = α0 a.α0 a a Hệ 3.1.2 Các dãy {αi } {βi } trùng 53 Chứng minh Đó βi = m.αi nên βi = mαi βi = = αi β0 mα0 Chuỗi đường tròn xác định Luca [4] trường hợp đặc biệt αi = βi = ri chuỗi Ellipse Hệ sau đưa quan hệ truy hồi cho trường hợp b2 dãy {un }, {αn } dãy truy hồi Hệ 3.1.3 Nếu α0 = a tuyến tính bậc   2 b (3.16) ℓi = 2 + ℓi−1 − ℓi−2 = (2b2 + a2 )ℓi−1 − ℓi−2 a a 4b2 4b2 với điều kiện ban đầu u0 = α0 = 1; u1 = + , α1 = + a a Tiếp theo ta xác định mối liên hệ chuỗi Ellipse vừa dựng dãy số nguyên a Mệnh đề 3.2 Với số nguyên dương k , α0 = k {ui }i∈N {αi }i∈N dãy số nguyên công thức truy hồi chúng ℓi = (k + 2)ℓi−1 − ℓi−2 (i ≥ 2) (3.17) với giá trị đầu: u0 = α0 = 1; u1 = + k, α1 = + k Chứng minh Hệ 3.1.1 chứng tỏ hai số hạng đầu dãy 4α0 số nguyên k = ∈ Z Sau đó, hệ số thứ công thức truy a hồi (3.15) k + 2, đảm bảo tất số hạng khác dãy số nguyên Ví dụ 3.1.1 Sau số ví dụ chuỗi số nguyên thu với giá trị khác k ❼ Với k = 1, dãy α = {1, 4, 11, 29, 76, 199, }, tương ứng với phân đôi dãy Lucas phân loại OEIS ([7]) Đó dãy A002878 ❼ Với k = 2, dãy u = {1, 3, 11, 41, 153, 571, 2131, } phân loại OEIS dãy A001835 54 ❼ Với k = 3, dãy {u} = {1, 4, 19, 91, 436, 2089, } OEIS dãy A004253 Dãy {α} = {1, 6, 29, 139, 666, 3191, } ứng với số chẵn Chebyshev, phân loại OEIS dãy A030221 ❼ Với k = 4, dãy α = {1, 7, 41, 239, 1393, 8119, }, ứng với số Newman, Shanks–Williams (NSW), phân loại OEIS dãy A002315 Trong trường hợp chuỗi đường tròn Luccas dãy số nguyên ka b2 = ta thu hệ sau α0 = a √ b k , k = 1, 2, Hệ 3.1.4 Nếu ri = αi = βi tỷ số = a dãy {ui }, {ri } dãy số nguyên Công thức truy hồi ℓn = (k + 4)ℓn−1 − ℓn−2 , (n ≥ 2), giá trị đầu u0 = α0 = 1; u1 = + k, α1 = + k So sánh hệ 3.1.4 định lý tương tự Luccas ta nhận thấy hệ 3.1.4 chứa nhiều dãy số nguyên Chỉ k số phương dãy định lý Luccas xuất 3.2 Chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol Trong mục trên, chúng tơi trình bày chuỗi đường tròn tiếp xúc Parabol, chúng tơi muốn mở rộng tốn cách xét chuỗi Ellipse thay chuỗi đường trịn tiếp xúc Parabol Nội dung tham khảo [1], chúng tơi thực chi tiết hóa chứng minh đưa ví dụ cụ thể để minh họa Xét Parabol dạng đơn giản nhất, phương trình là: y = ax2 , a > (3.18) Đây trường hợp riêng vì, biết, Parabol chuyển dạng tắc y = ax2 Hơn nữa, kết 55 trình bày báo không thay đổi trường hợp a < Lợi việc xét phương trình (3.18) công thức thu đơn giản Với Parabol này, ta mô tả chuỗi vô hạn Ellipse với giả thiết Ellipse thứ i tiếp xúc Ellipse thứ (i − 1) Ellipse thứ (i + 1), Hình 3.3 Sau nhận xét mở đầu nhằm mơ tả chuỗi Ellipse kiểu này: - Vì lý đối xứng, tâm Ellipse phải nằm trục tung, đó, tâm Ellipse thứ i chuỗi có tọa độ (0, Yi ) Hơn nữa, xác định αi βi tương ứng trục ngang đứng hình Ellipse thứ i Giả thiết mà ta đưa tất Ellipse chuỗi đồng dạng, tức là: αi λ ∈ R+ ; i = 0, 1, 2, (3.19) λ= βi Lưu ý λ nhỏ Trong trường hợp đó, trục Ellipse thuộc chuỗi nằm trục tung - Điều kiện tiếp xúc với Ellipse liên tiếp: Bằng cách xem xét hai hình Ellipse liên tiếp chuỗi, có hiệu tung độ tâm tổng bán trục Ellipse thứ i (i − 1) Yi − Yi−1 = βi + βi−1 , i = 1, 2, (3.20) Để tìm giao điểm Parabol Ellipse thứ i chuỗi ta phải xét hệ phương trình sau   = ax2 , a > 0, y x2 (y − Yi )2  =  2+ αi βi2 y từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai, giải a phương trình với ẩn y ta nhận được: p −βi2 + 2aαi2 Yi ± βi βi − 4aαi2 Yi + 4a2 αi4 (3.21) y= 2aαi2 Thế x2 = Để Ellipse chuỗi tiếp xúc với Parabol, từ phương trình (3.21), ta phải có biệt thức ∆ = βi2 − 4aαi2 Yi + 4a2 αi4 triệt tiêu Vậy điều kiện tiếp 56 Hình 3.3: Chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol y = ax2 , a > xúc βi2 − 4aαi2 Yi + 4a2 αi4 = (3.22) Ngay ta xét trường hợp a > cần phải ý theo phương trình (3.21) dấu tung độ yTi tiếp điểm (chỉ cho phương trình (3.21) phương trình (3.22) giữ nguyên) Ellipse Parabol phải phù hợp với dấu a; tức tung độ phải dương a > ngược lại Do đó, ta phải có  −βi + 2aαi2 Yi   ≥ a > 0, = y  Ti 2aαi2 (3.23) −βi + 2aαi2 Yi    y Ti = ≤ a < 2aαi2 57 Khi a > 0, phương trình (3.23) thỏa mãn có bất đẳng thức: Yi ≥ , 2aλ2 i = 0, 1, 2, (3.24) (3.24) thỏa mãn Yi ≥ Y0 với i ≥ 2aλ2 Mặc dù cần có Y0 ≥ β0 , vì, cần đảm bảo khơng có giao điểm Ellipse thứ Parabol, đồng thời tung độ tâm Ellipse thứ nhỏ chiều dài bán trục thẳng đứng Do ta có đẳng thức sau min(Y0 ) = β0 Rõ ràng Y0 ≥ Như vậy, cách xét trường hợp Y0 = β0 , từ (3.24) ta ≤ β0 aλ2 (3.25) ≤ 2, điều kiện tiên α0 aλ (liên quan tham số Parabol Ellipse thuộc chuỗi) để dựng chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol Tiếp theo, ta tìm cơng thức truy hồi Xét đẳng thức (3.22) Từ (3.19), đẳng thức (3.22) viết thành Điều kiện (3.25) hay điều kiện tương đương: βi2 − 4aλ2 βi2 Yi + 4a2 λ4 βi4 = Vì βi 6= nên chia hai vế cho βi2 : − 4aλ2 Yi + 4aλ4 βi2 = Từ ta có: = − 4aλ2 Yi−1 + 4aλ4 βi−1 Trừ vế với vế phương trình ta được: ) = 0, i = 1, 2, 4aλ2 (Yi−1 − Yi ) + 4a2 λ4 (βi2 − βi−1 4aλ2 (βi + βi−1 ) + aλ2 (βi − βi−1 )(βi + βi−1 ) = (3.20), i = 1, 2, + aλ2 (βi − βi−1 ) = 0, i = 1, 2, 58 Suy βi = βi−1 + , aλ2 i = 1, 2, 3, (3.26) Kết hợp (3.20) với (3.26) ta có: Yi = Yi−1 + 2βi−1 + , aλ2 i = 1, 2, (3.27) Phương trình (3.26) với phương trình (3.27) tạo thành hệ truy hồi tuyến tính khơng cho phép ta xây dựng chuỗi Ellipse cặp giá trị ban đầu (β0 , Y0 ) β0 phải thỏa mãn (3.25) , suy từ (3.22) i = Y0 = aλ2 β02 + 4aλ2 Rõ ràng, giá trị αi xác định đẳng thức (3.19) 3.2.1 Dãy số nguyên sinh từ chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol Trong phần này, ta ý vào chuỗi cụ thể đặc trưng Y0 = β0 (3.28) Tất chuỗi có tính chất chung Ellipse thứ tiếp xúc với Parabol đỉnh Nhận xét 3.2.1 Trong trường hợp ta có = β0 aλ2 (3.29) Chuỗi Ellipse này, thấy phần sau, có liên quan đến số chuỗi số nguyên định không phụ thuộc vào a, hình dạng Parabol, không phụ thuộc vào λ, tỷ số bán trục αi , βi Ellipse thuộc chuỗi Nhưng ngược lại, chúng xét dãy chung bất biến có liên quan đến tập hợp tất Parabol có chuỗi Ellipse nội tiếp, xếp hình 3.4 Ta xác định dãy {Yi }, {αi }, {βi } sau Yi = Yi αi βi , αi = , βi = Y0 α0 β0 59 Hình 3.4: Ellipse thứ tiếp xúc Parabol đỉnh Nhận xét 3.2.2 Lưu ý đến (3.19) từ định nghĩa {αi }, {βi } ta có {αi } = {βi } (3.30) Như phần ta cần xét dãy {βi } Bây chứng minh số kết liên quan đến chuỗi giới thiệu Mệnh đề 3.3 Dãy {βi } dãy số nguyên lẻ Chứng minh Chia vế phương trình (3.26) cho β0 áp dụng (3.29) ta βi = βi−1 + 2, i = 1, 2, (3.31) Lưu ý β0 = 1, từ đẳng thức (3.31), quy nạp ta suy {βi } dãy số nguyên lẻ Liên quan đến dãy {Yi } mệnh đề sau 60 Mệnh đề 3.4 Dãy {Yi } dãy {2i2 + 2i + 1}, i = 0, 1, 2, Chứng minh Từ đẳng thức (3.19), (3.22) ta nhận được: (3.32) 4aλ2 Bằng cách chia hai vế (3.32) cho β0 ý đến (3.28), (3.29) Mệnh đề 3.3 nhận được: 1 (3.33) Yi = (2i + 1)2 + = 2i2 + 2i + 1, i = 0, 1, 2, 2 Mệnh đề chứng minh Yi = aλ2 βi2 + Dãy {Yi } dãy A046092 OEIS, [7] Bây tung độ yTi điểm tiếp xúc Ellipse Parabol cho phương trình (3.23) Từ phương trình ta nhận yTi : , i = 1, 2, 2aλ2 Sau ta xác định dãy {yYi } sau yT yTi = i , i = 1, 2, β0 y T i = Yi − (3.34) (3.35) Từ có kết sau: Mệnh đề 3.5 Dãy {yTi } dãy số nguyên {2i2 + 2i} Chứng minh Từ đẳng thức (3.34) (3.35) ta có y Ti = yi − , β0 2β0 aλ2 i = 1, 2, (3.36) Lưu ý đến (3.33) (3.29) suy Yi − β0 2β0 aλ2 = Yi − = 2i2 + 2i + − 2aβ0 λ = 2i + 2i, i = 1, 2, y Ti = Đó điều cần chứng minh (3.37) 61 Dãy {yTi } tìm thấy OEIS với nhãn A001844 Các kết tìm thấy đây, có liên quan đến chuỗi số nguyên, phù hợp với chuỗi số nguyên xuất chương mà trường hợp cụ thể αi = βi , Ellipse suy biến thành đường tròn 3.2.2 Các dãy {βi }, {yTi }, {Yi } ba Pythagore Khi xem xét dãy {βi }, {yTi }, {Yi }, i = 1, 2, ta có mối quan hệ đặc biệt chúng với ba Pythagore nguyên thủy Cụ thể ta có kết sau Mệnh đề 3.6 [5] Các dãy {βi }, {yTi } {Yi }, i = 1, 2, tạo thành tập hợp vô hạn ba Pythagore nguyên thủy Chứng minh Chú ý βi = 2i + cách sử dụng đẳng thức (3.33) (3.37) ta có 2 βi + yTi = Yi , i = 1, 2, Vì số hạng tương ứng dãy tạo thành ba Pythagore Đặc biệt, ba Pythagore ba Pythagore nguyên thủy Thật vậy, với i (i = 1, 2, ) 2 βi − βi + Yi = y Ti = 2 Mặt khác, với thuật tốn tiếng Pythagore tìm ra, cho phép tạo ba Pythagore nguyên thủy số nguyên lẻ dạng 2i + Theo đó, ba nguyên thủy cho   (2i + 1)2 − (2i + 1)2 + , 2i + 1, 2 βi số nguyên lẻ nên ta có ba   (2i + 1)2 − (2i + 1)2 + 2i + 1, , , 2 giống hệt với ba (βi , yTi , Yi ) nên suy điều phải chứng minh Chú ý với i = 1, ba số hạng tương ứng ba phần tử tạo thành ba Pythagore nguyên thủy (3, 4, 5) 62 Kết luận luận văn Luận văn trình bày kết sau: Giới thiệu ba đường níc thơng qua tốn tìm quỹ tích tâm đường trịn tiếp xúc đường trịn cho trước Tìm dãy số nguyên ứng với chuỗi đường tròn tiếp xúc Cách xây dựng chuỗi đường tròn nội tiếp Parabol Hyperbol Từ chuỗi tìm dãy số nguyên cụ thể tương ứng Riêng với chuỗi đường tròn nội tiếp Ellipse dừng lại tính chất đặc biệt chuỗi Việc tính tốn tìm dãy số ngun trường hợp vượt phạm vi luận văn Trong chương 3, luận văn trình bày thêm chuỗi: Chuỗi Ellipse nội tiếp Hyperbol chuỗi Ellipse nội tiếp Parabol Chúng tham khảo kết công bố năm 2019, 2020 (xem [1], [6]) Các tính tốn đại số chi tiết khẳng định tính ưu việt phương pháp tọa độ Chúng tơi nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: - Giải đầy đủ tốn tìm dãy số nguyên từ chuỗi đường tròn nội tiếp cung Ellipse - Nghiên cứu chuỗi đường tròn đặc biệt khác mở rộng chúng: Chuỗi Pappus, Chuỗi Fibonacci, Chuỗi đường trịn nội tiếp hình arbelos 63 Tài liệu tham khảo [1] Hacène Belbachira, László Némethb, Soumeya Merwa Tebtouba, (2020), Integer sequences and ellipse chains inside a hyperbola, Annales Mathematicae et Informaticae Accepted manuscript doi: 10.33039/ami.2020.06.002 https://ami.uni-eszterhazy.hu [2] Lucca, G., (2018), Infinite Circle Chains in Between Internally Tangent Circles and Integer Sequences, International Journal of Geometry, Vol 7, No 2, 43-49 [3] Lucca, G., (2019), Integer Sequences, Pythagorean Triplets and Circle Chains Inscribed Inside a Parabola, International Journal of Geometry, Vol 8, No 1, 22-31 [4] Lucca, G., (2019), Integer Sequences and Circle Chains Inside a Hyperbola, Forum Geometricorum, Volume 19, 11-16 [5] Lucca, G., (2020), Ellipse chains inscribed inside a parabola and integer sequences, Annales Mathematicae et Informaticae (Submitted: July 11, 2020 Accepted: September 25, 2020 Published online: September 26, 2020) https://ami.uni-eszterhazy.hu [6] Lucca, G., (2021), Inscribing circle chains inside an Elliptical segment, International Journal of geometry, Vol 10, N0 2, pp 21-32 [7] Sloane, A., editor, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (Bách khoa toàn thư dãy số nguyên), published electronically at https://oeis.org