Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán: Khắc phục một số khó khăn, sai lầm của học sinh Trung học cơ sở chuyển từ học số học sang học đại số

Đặc điểm của số học ở trường phổ thông Mạch nội dung kiến thức về số học được lựa chọn, đưa vào, sắp xếp, trình bày trong chương trình SGK môn Toán ở trường phổ thông như sau: Bắt đầu b

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

ĐẶNG THỊ DUYÊN

KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN, SAI LẦM CỦA HS THCS KHI CHUYỂN TỪ HỌC SỐ HỌC

SANG HỌC ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HẢI PHÒNG – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

ĐẶNG THỊ DUYÊN

KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN, SAI LẦM CỦA HS THCS KHI CHUYỂN TỪ HỌC SỐ HỌC

SANG HỌC ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

CHUYÊN NGÀNH : LL & PP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

HẢI PHÒNG – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Luận văn tốt nghiệp với đề tài “Khắc phục một số khó khăn, sai lầm của HS THCS khi chuyển từ học Số học sang học Đại số” là công trình nghiên cứu của cá nhân, không sao chép của bất cứ ai

Các số liệu sử dụng phân tích trong luận văn có nguồn gốc rõ ràng, đã công

bố theo quy định Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan và phù hợp với thực tiễn của Việt Nam Các kết quả này chưa từng được công bố trong bất kỳ nghiên cứu nào khác

Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về công trình nghiên cứu của mình

Hải Phòng, ngày 21 tháng 9 năm 2018

NGƯỜI VIẾT

Đặng Thị Duyên

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Phó giáo sư, Tiến sĩ Nguyễn Anh Tuấn, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa sau đại học trường Đại học Hải Phòng, cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khoá 1, ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán tại trường Đại học Hải Phòng

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường THCS Lê Lợi – Hải An – Hải Phòng, nơi tôi đang công tác giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp - những người luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Tuy đã có nhiều cố gắng, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc

Hải Phòng, ngày 21 tháng 9 năm 2018

NGƯỜI VIẾT

Đặng Thị Duyên

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU iv

DANH MỤC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ v

DANH MỤC HÌNH vi

MỞ ĐẦU vi

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Một số vấn đề lý luận về khó khăn sai lầm của HS trong học toán 4

1.1.1 Khó khăn và sai lầm 4

1.1.2 Vấn đề khắc phục khó khăn và sai lầm cho HS trong dạy học 4

1.2 Đặc điểm của số học và đại số ở trường THCS 6

1.2.1 Đặc điểm của số học ở trường THCS 6

1.2.2 Đặc điểm của đại số ở trường THCS 8

1.2.3 Mối liên hệ giữa số học và đại số ở trường THCS 9

1.3 Thực trạng tình hình dạy và học số học, đại số ở trường Tiểu học và THCS 19

1.3.1 Về phía GV 19

1.3.2.Về phía HS: 20

1.3.3 Một số khó khăn sai lầm của HS khi chuyển từ học số học sang học đại số 22

1.4 Nguyên nhân HS gặp những khó khăn, sai lầm khi chuyển từ học Số học sang học Đại số 29

1.4.1 Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm 29

1.4.2 Không nắm vững cấu trúc logic của định lý 30

1.4.3 Thiếu các kiến thức về logic 31

1.4.4 HS không nắm vững phương pháp giải những bài toán cơ bản 32

1.5 Kết luận chương 1 35

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN, SAI LẦM CỦA HỌC SINH THCS KHI CHUYỂN TỪ HỌC SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ 34

2.1 Định hướng xây dựng các BP 34

2.2 Một số biện pháp dạy học Đại số ở THCS nhằm khắc phục khó khăn sai lầm

cho HS 34

2.2.1 Biện pháp 1: Ôn tập, củng cố những kiến thức số học mà HS còn yếu hoặc bị hổng kiến thức 34

2.2.2 Biện pháp 2: Dạy khái niệm Đại số dựa trên mối liên hệ với khái niệm đã biết ở Số học 43

2.2.3 Biện pháp 3: Dạy định lý ở Đại số dựa trên việc khai thác mối liên hệ với tính chất đã biết ở Số học 48

2.2.4 Biện pháp 4: Dạy học giải bài tập đại số dựa trên việc khai thác kiến thức và phương pháp giải toán số học nhằm khắc phục khó khăn sai lầm cho HS 54

2.3 Kết luận chương 2 67

CHƯƠNG III - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 63

3.1 Mục đích thực nghiệm 63

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 63

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 63

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 63

3.3 Kết luận thực nghiệm và đánh giá 69

3.3.1 Nội dung yêu cầu và hình thức kiểm tra 69

3.3.2 Đánh giá định tính 70

3.3.3 Đánh giá định lượng 70

3.4 Kết luận chương 3 72

KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU

Bảng 1.6 So sánh về nội dung kiến thức giữa số học và đại số 14 Bảng 1.7 So sánh về kĩ năng giữa số học và đại số 16 Bảng 1.8 So sánh về tư duy giữa số học và đại số 17 Bảng 1.9 So sánh về yêu cầu dạy học giữa số học và đại số 17 Bảng 2.1 Hệ thống các sai lầm trong bài toán đại số 50

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đất nước ta đã và đang trên đà phát triển công nghiệp hóa hiện đại hóa, vấn đề chất lượng nguồn lực con người là vấn đề rất cần được quan tâm Đổi mới phương pháp giảng dạy là một trong những yêu cầu cấp thiết đối với ngành giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, là sự sống còn của mỗi cơ sở đào tạo

Phương pháp giảng dạy là yếu tố quan trọng và ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng đào tạo.“ Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú cho HS” (Điều 8.2, Luật giáo dục 2010) Một phương pháp giảng dạy khoa học, phù hợp sẽ tạo điều kiện để GV, và người học phát huy hết khả năng của mình trong việc truyền đạt, lĩnh hội kiến thức và phát triển tư duy Một phương pháp giảng dạy khoa học sẽ làm thay đổi vai trò của người thầy đồng thời tạo nên sự hứng thú, say mê và sáng tạo của người học Muốn có PPDH khoa học cần phải có sự am hiểu về đặc thù môn học và đặc điểm nhận thức của người học

Toán học là một môn học có nhiều đặc thù Đặc thù lớn nhất là tính trừu tượng

và tính logic

Trong chương trình Toán tiểu học, không có kiến thức logic nào được trình bày một cách tường minh, tổng quát Kiến thức Toán ở cấp học này được hình thành bằng con đường qui nạp không hoàn toàn, dựa vào yếu tố trực quan chưa thể đòi hỏi có sự chặt chẽ cao Sở dĩ như vậy là do đặc điểm nhận thức của HS tiểu học HS tiểu học thường tri giác trên tổng thể, dựa vào quan sát trực quan Về sau, các hoạt động tri giác dần dần phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác hơn Chú ý không chủ định chiếm ưu thế ở HS tiểu học Sự chú ý của HS tiểu học còn phân tán, dễ bị lôi cuốn vào các trực quan, gợi cảm, thường hướng ra bên ngoài vào hành động, chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy Trí nhớ trực quan- hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ logic, hiện tượng hình ảnh cụ thể

dễ nhớ hơn các câu chữ trừu tượng, khô khan Trí tưởng tượng còn chịu tác động nhiều

của hứng thú, kinh nghiệm sống, mẫu vật đã biết Các em khó chấp nhận các giả thiết,

dữ kiện có tính chất hoàn toàn giả định bởi khi suy luận thường gắn với thực tế, phép suy diễn của “hiện thực” Bởi vậy khi nghe một mệnh đề toán học các em chưa có khả năng phân tích rành mạch các thuật ngữ, các bộ phận của câu mà hiểu nó một cách tổng quát

Trong chương trình toán THCS, yếu tố suy diễn bắt đầu được đưa vào môn Toán Các yếu tố logic Toán được thể hiện ở những yêu cầu sau đối với HS:

• Hiểu đúng nghĩa của các thuật ngữ, kí hiệu Toán học

• Biết thừa nhận tính đúng đắn của các tính chất cơ bản của khái niệm hình học lớp 6 Biết nghĩa và sử dụng đúng một số thuật ngữ biểu thị các khái niệm ở hình học lớp 6

• Nắm được khái niệm định lý và chứng minh định lý., cấu trúc của một định lý, ghi được giả thiết, kết luận của định lý Nắm được các tiên tiên đề Owclit, phát biểu và nắm được cách chứng minh các định lý trong chương trình Toán 7, 8, 9

• Hiểu đươc khái niệm hai phương trình tương đương, hai BPT, HPT tương đương Hiểu và vận dụng các qui tắc chuyển vế, và qui tắc nhân vào giải PT, BPT

Sự thay đổi nội dung kiến thức và loại hình tư duy (từ số học sang đại số) trong chương trình môn Toán từ tiểu học sang THCS khiến không chỉ HS và ngay cả GV cũng gặp nhiều khó khăn trong học tập và giảng dạy Từ sự làm việc với các con số cụ thể, từng số có giá trị xác định duy nhất - không bao gồm những trường hợp riêng đặc biệt (chẳng hạn một chữ thì có thể bằng 0 hoặc khác 0, ) đến việc làm việc với các chữ mang tính chất đại diện cho nhiều số, nhiều tập hợp HS không khỏi lúng túng, mắc phải những sai lầm trong học toán Để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở THCS, khắc phục được những khó khăn sai lầm của HS nói trên, chúng tôi lựa chọn vấn đề “Khắc phục một số khó khăn, sai lầm của HS THCS khi chuyển từ học Số học sang học Đại số” làm đề tài nghiên cứu ở phạm vi một luận văn Thạc sỹ chuyên ngành lý luận và PPDH Toán

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp dạy học môn Toán THCS nhằm khắc phục khó khăn, sai lầm của HS THCS khi chuyển từ học Số học sang học Đại số

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học Đại số ở THCS

• Phạm vi nghiên cứu: Dạy và học Số học và Đại số ở môn Toán tiểu học và THCS

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu lý luận, phương pháp trao đổi kinh nghiệm, phương pháp điều tra quan sát; phương pháp thực nghiệm

• Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách GV, tạp chí giáo dục

• Phương pháp trao đổi kinh nghiệm: Dựa trên trao đổi với các thầy cô giáo có kinh nghiệm giảng dạy và kinh nghiệm của bản thân

• Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên HS lớp 7, 8, 9

ở trường THCS để kiểm nghiệm tính khả thi của phương án được đề xuất

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài mục lục, phần mở đầu và phụ lục, luận văn gồm ba chương:

Chương I : Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương II: Một số biện pháp khắc phục khó khăn sai lầm của HS khi chuyển từ học số học sang học đại số

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề lý luận về khó khăn sai lầm của HS trong học toán

1.1.1 Khó khăn và sai lầm

Trong hoạt động dạy học Toán không phải bao giờ mục tiêu mà GV đặt ra đều thực hiện ngay được với mọi học trò Học trò không thể nhận thức hoặc nhận thức chưa đến nơi đến chốn kiến thức hay lúng túng khi vận dụng kiến thức vào bài tập, vào thực tế chính là những khó khăn mà HS mắc phải Từ việc nhận thức chưa đúng dẫn đến việc sai lầm trong lập luận, trong biến đổi; từ sự thiếu cẩn thận dẫn đến sai lầm trong tính toán; từ sự thiếu logic, biện chứng trong tư duy dẫn đến thiếu sót trong lời giải Trong phạm vi này chúng ta chỉ đề cập đến những khó khăn, sai lầm của HS trong lập luận, trong phương pháp giải Toán khi chuyển từ học Số học sang học Đại

số chứ không bàn đến sai sót trong tính toán

1.1.2 Vấn đề khắc phục khó khăn và sai lầm cho HS trong dạy học

1.1.2.1 Sự cần thiết của việc khắc phục khó khăn sai lầm trong dạy học Toán Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của HS trong bước chuyển đổi từ học Số học sang học Đại số là cấp thiết bởi lẽ thực tế dạy học cho thấy HS còn mắc rất nhiều kiểu sai lầm Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi Nếu không chú trọng vào vấn đề này

HS sẽ không có nền tảng tốt để học Đại số, sẽ sai lầm tiếp nối sai lầm, gây ra mất hứng thú trong học Toán Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm cho HS trong quá trình giảng dạy Chẳng hạn G Polia cho rằng “Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình” Hay A Stooliar phát biểu

“ Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của HS.” Hoặc J A Komenxki thì “ Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho HS kém đi nếu như GV không chú ý ngay đến sai lầm đó và hướng dẫn HS nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lâm’’

1.1.2.2 Yêu cầu của việc khắc phục khó khăn sai lầm trong dạy học

a) Tính chính xác

- Tính chính xác là một đòi hỏi của Toán học cũng như của việc dạy học Trước hết những bài toán đưa ra phải không có sai lầm (sai đề) Khi đánh giá, người GV phải

đánh giá chính xác mức độ sai lầm của HS, tránh những nhận định chủ quan thiếu căn

cứ, hoặc phủ định lời giải sai lầm của HS một cách chung chung Để làm được điều này GV cần có sự quan sát, ghi chép, phân tích một cách tỉ mỉ những sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS, từ đó xây dựng những biện pháp phù hợp

b) Tính vừa sức

- Việc sửa chữa sai lầm phải đảm bảo tính vừa sức với HS Theo quan điểm của I.A Dimnhia trong “ Tự học của sinh viên” – NXB Giáo dục có 4 cấp độ phát hiện

và sửa chữa sai lầm của HS:

Cấp độ 1: Người học mắc lỗi nhưng tự bản thân không tự nhận ra được lỗi và cũng không tự phản ứng lại được với lỗi đã mắc Việc sửa lỗi chậm chạp cùng với sự giảng giải tỉ mỉ của GV

Cấp độ 2: Người học mắc lỗi, tự bản thân không nhận ra lỗi nhưng dưới sự hướng dẫn của GV thì sửa được nhanh chóng

Cấp độ 3: Người học đã tự phản ứng lại với lỗi đã mắc nhưng còn chậm

Cấp độ 4: Người học mắc lỗi và tự sửa chữa được chúng ngay thậm chí trong nhiều trường hợp, hành động mắc lỗi còn chưa kết thúc nhưng người học đã tự nhận ra

và sửa chữa

Do đó khi sửa chữa sai lầm cho HS cần tùy vào từng đối tượng mà có cách làm phù hợp, kích thích được hứng thú học tập của HS

c) Tính kịp thời, đúng thời điểm

Việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS phải kịp thời, thích ứng với từng thời điểm áp dụng thì mới phát huy tác dụng Tính kịp thời đòi hỏi sự nhanh nhạy của

GV trước những tình huống sai lầm của học trò Người GV luôn phải ở trong tư thế thường trực với mục tiêu dạy học hạn chế sai lầm ngay trước khi sai lầm xảy ra Sai lầm càng sửa muộn thì GV và HS càng vất vả Chính vì vậy bên cạnh việc dạy học,

GV cũng phải cởi mở trong giao tiếp với học trò để học trò thoải mái chia sẻ,bộc lộ những khó khăn và sai lầm của bản thân trong việc học toán

d) Tính giáo dục

Trong việc phát hiện và khắc phục sai lầm cho học trò, người GV phải lấy sự phát triển nhân cách của HS làm mục tiêu cho các biện pháp Điều đó có nghĩa là

- Giúp HS thấy được tầm quan trọng của sự chính xác trong lời giải toán học nói riêng và khoa học nói chung

- Giúp HS tránh được những sai lầm khi chúng chưa xuất hiện

- Giúp HS có động cơ học tập môn Toán, không ngại khó biết kiên trì cẩn thận

đi lên Không cảm thấy bị xúc phạm về nhân cách mỗi khi mắc sai lầm, không dấu dốt gian lận để có lời giải đúng mà phải tin tưởng rằng mọi sai lầm đều có thể sửa chữa nếu tìm ra nguyên nhân và có ý chí khắc phục

Tính giáo dục đòi hỏi GV không được nóng vội trong việc thực hiện biện pháp

để mong muốn chấm dứt ngay sai lầm của học trò Nó đòi hỏi các biện pháp phải dựa trên tình yêu thương mong muốn HS tiến bộ, tuyệt đối không xúc phạm hay qui kết sai nguyên nhân sai lầm của HS

1.2 Đặc điểm của số học và đại số ở trường THCS

1.2.1 Đặc điểm của số học ở trường phổ thông

Mạch nội dung kiến thức về số học được lựa chọn, đưa vào, sắp xếp, trình bày trong chương trình SGK môn Toán ở trường phổ thông như sau:

Bắt đầu bậc học tiểu học thì số học được đưa vào giảng dạy chung trong một môn học Toán thể hiện qua các lớp như sau:

Bảng 1.1: Mạch kiến thức số học của Tiểu học

- Đọc, đếm, so sánh, cộng, trừ các số trong phạm vi 1000

- Nhân chia trong bảng từ 2 đến 5

- Tìm thành

- Đọc, đếm, so sánh, cộng, trừ

có nhớ các số trong phạm vi

100000

- Nhân chia cho số có 1 chữ

số

- Chia hết và chia có dư

- Giá trị biểu thức

- Đọc, đếm, so sánh, cộng trừ các số có nhiều chữ số (không nhớ và có nhớ)

– Nhân, chia cho các số không quá 3 chữ số

- Tính chất các phép toán

- Phân số, cộng

- Phân số thập phân, hỗn số

- số thập phân, cộng trừ, nhân chia số thập phân

- Tỉ số phần trăm

- Thống kê, biểu đồ

- Ôn tập, củng

cố hệ thống

phần chưa biết trong phép tính

trừ, nhân chia phân số

- Tính giá trị các biểu thức chứa chữ -Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,

9

- Giải toán có lời văn

hóa những kiến thức và kĩ năng

cơ bản về số và phân tích số (số

tự nhiên, phân

số, số thập phân)

Như vậy, về mặt nội dung mạch số học ở Tiểu học được sắp xếp theo nguyên tắc đồng tâm hợp lí, mở rộng và phát triển dần theo các vòng số, từ các số trong phạm

vi 10, trong phạm vi 100, 1000, 100 000 đến các số có nhiều chữ số, phân số, số thập phân đảm bảo tính hệ thống và thực hiện ôn tập, củng cố thường xuyên Dạy học số học tập trung vào số tự nhiên và số thập phân Dạy học phân số chỉ giới thiệu một số nội dung cơ bản và sơ giản nhất phục vụ chủ yếu cho dạy học số thập phân và một số ứng dụng trong thực tế Các yếu tố đại số được tích hợp trong số học, góp phần làm nổi rõ dần một số quan hệ số lượng và cấu trúc của các tập hợp số

Về mặt tư duy, chương trình toán tiểu học có sự khác biệt rõ nét giữa 3 lớp đầu cấp và hai lớp cuối cấp thế hiện qua các bài toán có lời văn Nếu như ở 3 lớp đầu cấp các bài toán có lời văn đơn giản, ít dữ kiện, ít bước giải (là các bài toán đơn) đòi hỏi

tư duy ở dạng thuần túy toán học thì ở 2 lớp cuối cấp đã có sự chuyển biến rõ nét chuẩn bị cho tư duy Đại số Các bài toán phức tạp, nhiều bước giải, nhiều kí hiệu, ngôn ngữ thể hiện đòi hỏi nhiều thao tác tư duy, lập luận Bên cạnh đó đã có có nhiều bài tập cùng loại, thể hiện dưới các dạng khác nhau nhưng cùng một phương pháp giải đòi hỏi người học cần có khả năng khái quát, tổng hợp

Tiếp nối phần số học ở tiểu học, ở cấp THCS phần số học mở rộng tập số tự nhiên sang tập số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, số thực và trang bị trên chúng các phép toán, các tính chất của các phép toán

Ở THCS, mạch kiến thức về số học được đưa vào và sắp xếp trong chương trình môn Toán như sau:

Tiếp tục hoàn thiện phép

toán với số vô tỷ Thể

hiện ở các tính chất của

căn thức được vận dụng

vào giải PT vô tỉ

Hoàn thiện số thực ở chỗ tiếp cận số vô tỷ siêu việt như số π,e

Số phức

1.2.2 Đặc điểm của đại số ở trường THCS

Mạch nội dung kiến thức về đại số được lựa chọn, đưa vào, sắp xếp, trình bày trong chương trình SGK môn Toán ở trường phổ thông như sau:

Phần đại số ở THCS thể hiện tường minh từ kì 2 môn Toán 7 Bắt đầu là khái niệm về biểu thức đại số, sau đó là đơn thức, đa thức, phân thức và trang bị các phép toán giữa chúng PT, BPT, hàm số dần được làm rõ ở lớp 8, lớp 9

Bảng 1.4: Mạch kiến thức đại số của THCS

- Biểu thức đại số, giá trị

của biểu thức đại số

- Đơn thức, cộng, trừ, nhân

- Nhân chia đa thức

- Phân tích đa thức thành nhân tử

- Bắt đầu học về căn thức bậc hai

- Phép khai phương

- Các tính chất của phân thức

- Cộng trừ phân thức, nhân chia phân thức

- Biến đổi phân thức, giá trị của phân thức

- Bắt đầu học về PT, PT bậc nhất một ẩn, PT tích,

PT có ẩn ở mẫu, PT có trị tuyệt đối (của các nhị thức bậc nhất), giải bài toán bằng cách lập PT

- Bắt đầu học về bất đẳng thức, BPT bậc nhất

- Biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

- nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số, hàm

số bậc nhất (tập giá trị, sự biến thiên, đồ thị)

- PT bậc nhất 2 ẩn, HPT bậc nhất hai ẩn Giải bài toán bằng cách lập HPT

- Hàm số y = ax2

(a ≠0),

đồ thị hàm số y = ax2

(a 0

≠ )

- PT bậc hai một ẩn số, công thức nghiệm, hệ thức Viet

Giải các dạng PT qui về bậc hai

Giải bài toán bằng cách lập

PT bậc hai Các kiến thức đại số còn tiếp tục được học ở THPT một cách sâu rộng hơn về hàm số, PT, HPT Cụ thể là:

Bảng 1.5: Mạch kiến thức đại số của THPT

Các kiến thức về đại số tổ hợp

Tiếp tục hoàn thiện các kiến thức về hàm số

Khảo sát hàm số bậc 3, 4 hàm phân thức, hàm mũ, hàm logarit

1.2.3 Mối liên hệ giữa số học và đại số ở trường THCS

1.2.3.1 Mối liên hệ giữa số học và đại số trong môn Toán

Xem xét lịch sử hình thành và nội dung của Số học và Đại số ta thấy Số học và Đại số có các mối liên hệ sau đây trong toán học

a) Cả về lịch sử hình thành, phát triển cũng như về mặt khoa học toán học thì số học được xem là cội nguồn, khởi đầu, cụ thể của toán học

Theo Kôn-mô-gô-rôp, lịch sử hình thành và phát triển toán học được chia làm 4 giai đoạn, trong đó ở giai đoạn đầu tiên (Phát sinh Toán học), số tự nhiên và phân số cùng với các phép tính số học được ra đời tạo nên nền tảng của Số học, cụ thể là:

* Giai đoạn I: Giai đoạn phát sinh Toán học

Căn cứ vào các tài liệu về lịch sử văn hóa của loài người và những hiểu biết từ kết quả khảo sát các bộ lạc người cổ đại còn tồn tại, các nhà nghiên cứu lịch sử Toán học đã khẳng định: chữ số là một trong những khái niệm đầu tiên của Toán học Phép đếm và cách ghi số là một trong những phương pháp Toán đầu tiên của loài người được xuất phát từ nhu cầu thực tiễn là đếm các đối tượng

Xã hội loài người phát triển, người ta sống thành bộ lạc ngày càng đông và việc săn bắn thú vật để có thức ăn ngày một có tổ chức hơn Khi đi săn muốn kiểm tra đồ dùng có đủ hay không, người ta phân phát đá ném, cung tên, cho từng người một

Từ đó nảy sinh nhu cầu đếm và thiết lập sự tương ứng một – một giữa hai tập hợp: người và công cụ Phép tương ứng đó lặp đi lặp lại nhiều lần, lâu dài con người nhận

ra có một caí gì chung cho những tập hợp như vậy, đi đến việc đặt tên cho cái chung

đó

Ban đầu loài người chỉ biết đếm trong tập hợp chỉ có it phần tử Người cổ xưa đếm bằng đá, bằng que, bằng cách thắt nút dây, bằng ngón tay, Sau đó, do nhu cầu cần dùng các số ngày càng lớn, các kí hiệu ghi số xuất hiện và phát triển, còn chính các số thì lập thành các hệ thống Dãy số tự nhiên cứ ngày một dài ra Nhận thức được dãy số tự nhiên kéo dài vô hạn là dấu hiệu của một bước tiến khá dài về văn hóa và kiến thức toán học

Các hệ đếm đầu tiên bao gồm ký hiệu vị trí nhưng không phải là hệ thập phân, bao gồm các hệ cơ số 60 của hệ thống chữ số Babylon và hệ cơ số 20 của hệ thống chữ

số Maya Bởi vì các khái niệm sử dụng chữ số này, khả năng sử dụng lại các chữ số tương tự cho các hệ đếm khác nhau đóng góp một phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn trong tính toán

Sau đó người Ấn Độ đã biết ghi số theo vị trí thập phân, lúc đầu loài người chưa biết đến số không, sau đó do nhu cầu tính toán mà đến thế kỉ V – VI ở Ấn Độ người ta đã đưa thêm số 0 vào hệ thống số và được sử dụng cho dến ngày nay

Trong giai đoạn này, cùng với khái niệm số, các phép tính cộng trừ nhân chia trên số tự nhiên có điều kiện hình thành và phát triển, những kiến thức về hình học, thiên văn, lượng giác cũng được hình thành

Khái niệm trừu tượng về số, xem như là tính chất chung của mọi tập hợp đối tượng hữu hạn tương đương được củng cố dần qua ngôn ngữ, trước hết bằng lời, sau bằng những dấu hiệu, tức là chữ số Các bài toán cụ thể đã được thay thế bằng những bài toán có dạng tổng quát hơn, giải theo những qui tắc xác định, bao gồm một loạt những trường hợp riêng Đậy là những hình thức đầu tiên tạo nên những thuật toán và các phép tính có liên quan

* Giai đoạn II: Toán học sơ cấp (Bắt đầu từ thế kỉ VII,V trước Công nguyên cho đến hết thế kỉ XVI)

Đặc trưng bằng những thành tựu trong việc nghiên cứu các đại lượng không đổi Đó là các khái niện cơ sở về số và hình, các tính chất và quan hệ của chúng, khái niệm PT và cách giải một số PT

Giai đoạn này kết thúc khi đối tượng chủ yếu của Toán học là quá trình các chuyển động và khi hình học giải tích và giải tích của các đại lượng vô cùng bé bắt đầu được phát triển

*Giai đoạn III: Toán học cao cấp cổ điển (Bắt đầu từ thế kỉ XVII cho đến giữa thế kỉ XIX)

Ở giai đoạn này, toán học của những đại lượng biến thiên được ra đời và phát triển Đối tượng chủ yếu của giai đoạn này là các quá trình, các chuyển động Giai đoạn này các đại lượng biến thiên được đưa vào hình học giải tích và dẫn đến phép tính vi phân được hoàn thành bởi Niwton và Leibniz

*Giai đoạn IV: Toán học hiện đại (Bắt đầu từ giữa thế kỉ XIX cho đến nay) Giai đoạn này, đối tượng của Toán học đã mở ra rất rộng Toán học hiện đại đã trở thành một khoa học về những quan hệ số lượng và hình dạng không tổng quát hơn

mà các số, các đại lượng và các hình học thông thường chỉ là những trường hợp rất đặc biệt Toán học đã mở ra khả năng và phạm vi ứng dụng rất rộng lớn

Như vậy trong lịch sử phát triển của Toán học thì Số học là sự khởi đầu là cội nguồn của các kiến thức Toán học Khi Toán học phát triển Số học thực ra lại là cái cụ thể của những quan hệ tổng quát trong Toán học

b) Cả về lịch sử hình thành, phát triển cũng như về mặt khoa học toán học thì đại số được xem là sự phát triển tiếp nối, khái quát hóa để mô hình tổng quát của toán học từ số học

Cội nguồn của Đại số có nguồn gốc từ người Babylon cổ đại, vốn đã phát triển một hệ thống số học tiên tiến mà họ đã có thể làm các phép tính theo phong cách thuật toán Người Babylon đã phát triển các công thức để tính toán các lời giải cho các bài toán mà ngày nay được giải quyết bằng cách sử dụng PT tuyến tính, PT bậc hai và PT tuyến tính không xác định

Đại số xây dựng và mở rộng số học bằng cách giới thiệu các chữ cái được gọi là các biến số để thể hiện những số chung không xác định Điều này khiến Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lý bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử

Nếu ta đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x để biểu diễn một con số bất kì không

có gì đặc biệt hết thì mệnh đề trên được khái quát như sau:

x2

– 1 = (x – 1)(x + 1)

Kí hiệu x, dùng để biểu diễn một con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn gọi là biến số Biến số cho phép ta biểu diễn những bài toán chung mà không cần phải cụ thể hóa giá trị của những con số liên quan

VD 2: Ta có thể nêu cụ thể 5 phút bằng 5.60 = 300 giây, một cách tổng quát có thể miêu tả cách đổi từ phút ra giây theo công thức s = 60.m (s là số giây, m là số phút)

Biến số cũng cho phép mô tả mối quan hệ toán học giữa những đại lượng dao động

VD 3: Mối quan hệ giữa chu vi c và bán kính r của một đường tròn là = 2 π

r

c

Biến số còn cho phép mô tả một vài tính chất toán học

VD 4: Một tính chất cơ bản của phép cộng là tính chất giao hoán được mô tả dưới dạng đại số là a + b = b + a

Sự có mặt của các chữ cái cũng đem đến cho Toán học những biểu thức đại số Những biểu thức đại số có thể được đánh giá và rút gọn, dựa trên những tính chất cơ bản của các phép tính số học (cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa)

Sự có mặt của các chữ cái cũng đem lại cho Toán học những PT đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức trong một khoảng thế kỉ rưỡi, đại số chỉ là lí thuyết của các PT Sau này x không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn sử dụng

để biểu diễn bất kì một thực thể nào khác, các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến Vì thế thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu “+” và “x” Trong đại số sơ cấp các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường còn các dấu toán tử +, x là phép cộng, phép nhân bình thường Nhờ đó đại số có thể khái quát tính chất của các con số hoặc có phương pháp giải quyết một lớp các bài toán mà số học không có

c) Trong phạm vi môn Toán ở trường phổ thông, số học và đại số có những liên

hệ sau đây

Số học là một phân nhánh Toán học lâu đời và sơ cấp nhất chú trọng đến các thuộc tính sơ cấp của một số phép tính trên các con số Trong chương trình GD phổ thông ở Việt nam thì Số học được đưa vào giảng dạy từ lớp 1 cho đến lớp 6

Đại số là một phân nhánh lớn của Toán học, cùng với lý thuyết số, hình học và giải tích Theo nghĩa chung nhất Đại số là phân môn nghiên cứu về kí hiệu toán học và các thao tác trên các kí hiệu trên; nó là một chủ đề thống nhất của hầu hết tất cả các lĩnh vực của Toán học: Từ các biểu thức đại số, PT được manh nha ở cấp Tiểu học cho

đến Nhóm, Vành, Trường Phần cơ bản của Đại số là Đại số sơ cấp được đưa vào giảng dạy ở cấp phổ thông bắt đầu từ kì 2 của lớp 7

Số học được đưa vào giảng dạy trước khi học đại số Chúng đều là những nội dung thành phần (phân môn) của môn Toán ở trường phổ thông

Chương trình môn Toán trong trường học phổ thông có tính chỉnh thể thống nhất, phát triển liên tục từ lớp 1 đến lớp 12 Có thể hình dung chương trình được thiết

kế theo mô hình gồm hai nhánh song song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả

sự phát triển của các mạch nội dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của năng lực, phẩm chất của HS Nội dung chương trình môn Toán được tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số và Đại số; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất

và có cấu trúc dựa trên sự phối hợp cả cấu trúc tuyến tính với cấu trúc “đồng tâm xoáy ốc” (đồng tâm, mở rộng và nâng cao dần)

Số và Đại số là cơ sở cho tất cả các nghiên cứu sâu hơn về Toán học, nhằm mục đích hình thành những công cụ toán học để giải quyết các vấn đề của Toán học, của các lĩnh vực khoa học khác có liên quan cũng như đạt được các kỹ năng thực hành cần thiết cho cuộc sống hằng ngày Hàm số cũng là công cụ quan trọng cho việc xây dựng các mô hình toán học của các quá trình và hiện tượng trong thế giới thực Một mục tiêu quan trọng của việc học Số và Đại số là tạo ra cho HS khả năng suy luận suy diễn, góp phần vào phát triển tư duy logic, khả năng sáng tạo toán học và việc hình thành khả năng sử dụng các thuật toán

1.2.3.2 Mối liên hệ giữa số học và đại số trong chương trình môn Toán THCS

Số học phần lớn được giảng dạy ở Tiểu học, chỉ còn một chút ở THCS và dần hoàn thiện ở THPT Để tìm ra mối quan hệ giữa số học và đại số ở THCS, chúng tôi đã

so sánh chúng trên các phương diện sau đây

a) Về nội dung kiến thức

Bảng 1.6: So sánh về nội dung kiến thức giữa số học và đại số

Đối tượng, ngôn ngữ kí

hiệu

Các số trong tập hợp: N,

Z, Q, R Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số hữu tỉ

Các chữ Biểu thức hữu tỉ

PT, HPT, BPT hữu tỉ

Phép lấy căn bậc n của một số

Tỉ số lượng giác

Hàm số hữu tỉ

Biểu thức vô tỉ

PT, BPT vô tỉ Biểu thức lượng giác

Phép toán

Phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa

Thể hiện dưới dạng bài:

Thực hiện phép tính

Các phép biến đổi đồng nhất dựa trên những qui tắc, tính chất đã có trong

số học: Cộng trừ đơn thức đồng dạng, nhân đơn thức với đơn thức; nhân đơn thức với đa thức, chia đa thức cho đa thức,

Thể hiện dưới dạng bài: Rút gọn biểu thức

Hàm số

Biểu hiện cụ thể của quy tắc cho tương ứng dưới dạng 1 – 1 của hai đại lượng phụ thuộc nhau

(Hai đại lượng tỉ lệ thuận, nghịch) thể hiện bằng bảng ở tiểu học và công thức ở THCS, chưa có khái niệm hàm số

Minh họa mối quan hệ tương ứng của hai đại lượng bằng biểu đồ

Đưa ra khái niệm tường minh của hàm số: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác đinh được chỉ một giá trị tương ứng của

y thì y được gọi là hàm số của x

Đưa ra hai cách cho hàm số: Bằng công thức hoặc bảng

Có khái niệm đồ thị

Kĩ năng vẽ đồ thị hàm số

y = ax (a # 0), y = ax2

)

PT, HPT, BPT Ẩn tàng dưới dạng toán:

Điền vào ô trống, tìm x ( Từ tiểu học cho đến lớp 8)

Thể hiện tường minh ở lớp 8, 9 với các dạng bài Giải PT, HPT, BPT

Giải bài toán bằng cách

lập phương trình

Dưới các dạng toán có lời văn, giải bằng phương pháp

- Giả thiết tạm

- Sơ đồ đoạn thẳng

- Bài toán chuyển động Những bài toán này HS nhận dạng đúng và làm theo cách GV đã dạy như một kĩ năng đã được rèn luyện

Các bài toán thực tế

- Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT

Phương pháp này có thể giải quyết một lớp các bài toán số học ở cột bên, tuy nhiên HS ban đầu sẽ lúng túng trong việc chọn ẩn và biểu diễn quan hệ giữa các đại lượng để lập được PT, HPT

Bài toán tìm cực trị

Thể hiện dưới dạng tìm cực trị trên một tập hữu hạn, nhìn thấy cực trị VD: Tìm số nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau

.Thể hiên dưới dạng tìm cực trị của biểu thức trên một tập hợp, phải dùng suy diễn, lập luận logic mới tìm được

VD: Tìm GTNN của biểu thức

Kĩ năng toán học hóa các tình huống tực

tế, giải bài toán bằng cách lập PT, HPT

Kĩ năng đọc đồ thị, vẽ đồ thị

Kĩ năng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên một miền xác định nào đó

c) Về tư duy

Bảng 1.8: So sánh về tư duy giữa số học và đại số

- cụ thể

trên đối tượng cụ thể

giải quyết từng bài tập cụ thể

(Tìm hai số khi biết tổng và hiệu, chuyển

động, năng suất, )

- trừu tượng và khái quát trên các chữ, biểu thức phương pháp tổng quát bởi một loạt bài (PT bậc nhất, )

d) Về yêu cầu dạy học

Bảng 1.9: So sánh về yêu cầu dạy học giữa số học và đại số

Các kiến thức được hình thành bằng con

đường qui nạp không hoàn toàn, các nhận

xét, tính chất được thừa nhận và áp dụng

không yêu cầu chứng minh Do đó ở tiểu

học việc hình thành kĩ năng là chủ yếu

Chỉ đến hai lớp cuối cấp các bài toán

phức tạp, nhiều bước giải được đưa vào,

bắt đầu đòi hỏi phải rèn luyện các thao tác

Như vậy ta có thể thấy kiến thức và phương pháp ở Đại số là sự khái quát, mở rộng

từ những kiến thức, phương pháp ở Số học: Chuyển sang Đại số, người ta xem xét và

giải quyết các vấn đề này từ góc nhìn, phạm vi tổng quát hơn (chẳng hạn mở rộng phạm vi làm việc với các số sang làm việc với các biểu thức ), với công cụ có tính xác định rõ ràng, phạm vi áp dụng rộng hơn (chẳng hạn PT, HPT, BPT)

Một góc nhìn khác về quan hệ giữa số học và đại số là từ lôgic toán:

Toán học không thể tách rời lôgic toán - đặc biệt là trong tư duy, ngôn ngữ và hình thức biểu đạt của mình Nhưng vì lí do sư phạm mà Số học ở tiểu học được trình bày một cách khá cụ thể, hạn chế tối đa những ký hiệu tổng quát, được diễn đạt trình bày bằng ngôn ngữ gần gũi với ngôn ngữ thông thường, và nhất là không đặt ra yêu cầu suy luận và chứng minh Như vậy, yếu tố lôgic toán trong số học ở tiểu học chỉ là ngầm ẩn, lồng ghép trong kiến thức và tư duy theo lối thông thường

Còn trong chương trình Toán THCS không trực tiếp đưa vào kiến thức và các quy tắc suy luận lôgic Do yêu cầu của bản thân môn Toán, trong chương trình SGK

đã ngầm ẩn sử dụng các mệnh đề toán học (chứa biến hoặc không), những quy tắc lập luận hợp lôgic trong chứng minh một số tính chất, định lý, trong giải bài tập bằng cách không tường minh:

Các kí hiệu và ngôn ngữ, liên từ lôgic toán được đưa vào giới thiệu, làm quen dần trong quá trình học những nội dung kiến thức liên quan

Với các phương pháp suy luận, chứng minh, các quy tắc kết luận lôgic, cần đến đâu thì đưa vào đến đó, kèm theo là hướng dẫn trong những tình huống sử dụng cụ thể Giúp cho HS biết phân tích, so sánh, phán đoán, rút ra kết luận khi định nghĩa khái niệm, chứng minh tính chất, lập luận trình bày lời giải bài toán,

Chẳng hạn: Trong môn Toán THCS, HS bắt đầu được làm quen với một vài kí hiệu, hình thức biểu đạt của lôgic toán, như các dấu ⇒

, ⇔ , "suy ra", "kéo theo",

"tương đương", "và", "hoặc", "mọi", "bất kì", khi phát biểu, trình bày, lập luận ; Đặt ra yêu cầu phát biểu "mệnh đề" đảo, "mệnh đề" phủ định, dự đoán tính đúng hay sai của một câu; chứng minh phản chứng,

Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học

đã quy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức, nâng cao dần với đối tượng

HS THCS, để các em học đại số đạt hiệu quả tốt thì GV cần chủ động cho HS làm quen với ngôn ngữ, ký hiệu và một số biểu hiện của lôgic toán, rèn luyện cho HS kĩ

năng tiến hành các thao tác tư duy lôgic, lập luận và chứng minh khi các em học lý thuyết cũng như giải bài tập đại số

1.3 Thực trạng tình hình dạy và học số học, đại số ở trường Tiểu học và THCS

1.3.1 Về phía GV

Ở tiểu học mỗi GV phụ trách một lớp và dạy nhiều môn Do đó GV tiểu học có những hiểu biết cơ bản và khái quát nhất về nhiều lĩnh vực, cần vốn văn hóa chung hơn là sự hiểu biết sâu rộng về chuyên môn của mỗi môn học Chính vì thế trong môn Toán GV Tiểu học thường chỉ chú trọng vào phần số học cơ bản

Về hoạt động dạy của GV tiểu học: Từ SGK, GV hình dung ra quá trình loài người tìm ra kiến thức trong lịch sử Sau đó thiết kế các hoạt động làm ra kiến thức trong logic và sắp xếp theo thứ tự Từ thiết kế đó, GV tổ chức cho HS hoạt động và thu được sản phẩm dạy học Phương pháp dùng nhiều trong dạy Toán tiểu học là phương pháp trực quan sinh động và thực hành luyện tập (hoạt động thực hành luyện tập chiếm hơn 50% hoạt động dạy học ở Tiểu học) Do đặc điểm tâm lí và nhận thức của

HS Tiểu học mà GV tiểu học thường tỉ mỉ và sát sao với từng HS, việc kiểm tra, chấm trả bài được thực hiện thường xuyên

VD 1: Khi dạy số tự nhiên cũng như phân số, GV tiểu học cũng thường vận dụng 4 giai đoạn của sự phát triển kĩ thuật đếm để giúp HS tiếp cận với con số thông qua hoạt động thực tiễn: Xuất phát từ việc quan sát và so sánh những nhóm đồ vật cùng số lượng, để HS thấy được sự giống nhau ban đầu một cách trực quan

Sau đó dùng sự vật "tương đương về số lượng" để đối chiếu với các vật cụ thể khác: “1 – Mặt trời; 2 – cánh chim; 4 – chân chó; 5 – ngón tay” Tiếp theo mới gắn mỗi nhóm sự vật với con số cụ thể Dần dần HS làm quen được các số và hiểu bản chất mới trừu tượng hóa thành các số tự nhiên và tính toán với chúng (mà không cần phải gắn với sự vật cụ thể nữa)

Ở cấp THCS, mỗi GV Toán chỉ phụ trách một môn Toán, và do đó dạy nhiều lớp, nhiều đối tượng HS Đại đa số GV khi dạy Đại số lại coi đó là một phần tách biệt trong Toán học, không đặt Đại số trong mối liên hệ với Số học Một bộ phận GV không chú trọng vào việc dạy khái niệm mà tập trung chủ yếu vào kĩ năng nhận biết và thực hành thuật toán; không thống kê những sai lầm mà HS đã hoặc có thể sẽ mắc,

thường là thấy HS sai đâu thì sửa đấy Đặc biệt là vẫn còn GV không quan tâm đến nhu cầu của HS trong việc tự kiến tạo cách hiểu toán của riêng mình

VD 2: Có những GV dạy hàm số nhưng không hiểu rõ khái niệm hàm số, mặc nhiên coi hàm số phải được thể hiện dưới dạng công thức nên khi thể hiện khái niệm hàm số không thể hiện dưới dạng bảng số mà HS không thiết lập được công thức liên

hệ giữa biến số và hàm số Chính vì thế khi giải bài tập nhận biết hàm số HS thường sai lầm hoặc gặp khó khăn với cách thể hiện hàm số như bảng sau:

số tự nhiên HS cuối cấp học có những tiến bộ về nhận thức không gian như phối hợp cách nhìn một hình hộp từ các phía khác nhau, nhận thức được các quan hệ giữa các hình với nhau ngoài các quan hệ trong nội bộ một hình HS tiểu học bước đầu có khả năng thực hiện việc phân tích tổng hợp, trừu tượng hoá- khái quát hoá và những hình thức đơn giản của sự suy luận, phán đoán Ở HS tiểu học, phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều, tổng hợp có khi không đúng hoặc không đầy đủ, dẫn đến khái quát sai trong hình thành khái niệm Khi giải toán, thường ảnh hưởng bởi một số từ

“thêm”, “bớt”, “nhiều gấp” tách chúng ra khỏi điều kiện chung để lựa chọn phép tính ứng với từ đó, do vậy dễ mắc sai lầm Các khái niệm toán học được hình thành

qua trừu tượng hoá và khái quát hoá nhưng không thể chỉ dựa vào tri giác bởi khái niệm toán học còn là kết quả của các thao tác tư duy đặc thù Có hai dạng trừu tượng hoá: sự trừu tượng hoá từ các đồ vật, hiện tượng cảm tính và sự trừu tượng hoá từ các hành động Khi thực hiện trừu tượng hoá nhằm rút ra các dấu hiệu bản chất, chẳng hạn: thông qua trừu tượng hoá từ các đồ vật (tập hợp cụ thể) loại bỏ đặc tính màu sắc, kích thước hình thành lớp các tập hợp tương đương, sau đó chỉ quan tâm đến cái chung giữa lớp các tập hợp tương đương đó, đi đến khái niệm “số” (trừu tượng hoá trên các hành động) HS tiểu học, nhất là các lớp đầu cấp thường phán đoán theo cảm nhận riêng nên suy luận thường mang tính tuyệt đối Trong học toán, HS khó nhận thức về quan hệ kéo theo trong suy diễn Chẳng hạn đáng lẽ hiểu: “12 = 3x4 nên 12: 3 = 4”, thì lại coi đó là hai mệnh đề không có quan hệ với nhau Các em khó chấp nhận các giả thiết, dữ kiện có tính chất hoàn toàn giả định bởi khi suy luận thường gắn với thực tế, phép suy diễn của “hiện thực” Bởi vậy khi nghe một mệnh đề toán học các em chưa

có khả năng phân tích rành mạch các thuật ngữ, các bộ phận của câu mà hiểu nó một cách tổng quát

Từ Tiểu học chuyển lên học các lớp ở THCS là một quá trình trẻ em thực hiện bước chuyển về phương thức hoạt động và có trình độ phát triển mới về tâm lí, ý thức của HS THCS có một số những điểm sau:

Về hoạt động nhận thức:

- Khối lượng tri giác tăng lên, tri giác đã có mục đích và kế hoạch cụ thể Tuy nhiên, nhiều em tri giác vội vàng, hấp tấp, hoặc có khi các em bị cuốn hút bởi những dấu hiệu không bản chất của đối tượng, vì thế, không phải quan nào quan sát cũng đạt hiệu quả cao

- Khối lượng chú ý, năng lực tập trung chú ý và di chuyển chú ý tăng lên rõ rệt

so với HS tiểu học Tuy nhiên ở lứa tuổi này, tính lựa chọn chú ý phụ thuộc phần nhiều hứng thú của các em đối với đối tượng Vì vậy sự chú ý của HS cũng phụ thuộc vào việc GV có tạo cho các em sự hứng thú hay không

- Các em có khả năng sử dụng các loại trí nhớ một cách hợp lý: nhớ ngắn hạn dài hạn, nhớ có chủ định

- Các em biết chọn lọc nội dung ghi nhớ và ghi nhớ tài liệu trừu tượng tốt

- Ở các em bắt đầu hình thành phương pháp thủ thuật để ghi nhớ

- Các em thường có khuynh hướng xem nhẹ việc ghi nhớ máy móc, mà coi trọng ghi nhớ ý nghĩa

Về hoạt động tư duy:

Ở đầu cấp học tư duy trực quan hình tượng vẫn tiếp tục phát triển, và nó giữ một ví trí quan trọng trong cấu trúc tư duy của các em dẫn đến nhiều lúc các em nhầm lẫn giữa dấu hiệu bản chất và không bản chất Tư duy trừu tượng phát triển mạnh và chiếm ưu thế trong mọi hoạt động cuối cấp Đây là đặc điểm cơ bản của sự phát triển nhận thức ở thiếu niên.Thao tác tư duy được các em vận dụng khá nhuần nhuyễn, tính phê phán trong tư duy phát triển, các em biết lập luận và giải quyết vấn đề một cách có căn cứ

- Về trí tưởng tượng, do sự phát triển của hoạt động trí tuệ làm cho tính li kì trong tưởng tượng giảm dần đi, tưởng tượng của các em gần với hiện thực hơn, tính lãng mạn bay bổng của trẻ phát triển cao Cả hai hình thức tưởng tượng là tưởng tượng tái tạo và tưởng tượng sáng tạo đều phát triển

Nhìn chung, hoạt động nhận thức môn Toán của HSTH và THCS đều tuân theo quy luật của quá trình nhận thức

Hoạt động nhận thức của HSTHCS dựa trên cơ sở của cái (khái niệm khoa học, nội dung học) và cách (phương pháp học) mà các em đã lĩnh hội được ở Tiểu học và phát triển ở trình độ cao hơn, có tính chuyên biệt hơn tuỳ thuộc vào hệ thống các khái niệm và nội dung các môn học

Tuy nhiên trên thực tế, đa số HS khi chuyển từ việc học số học sang học đại số,

sự thay đổi về mạch kiến thức và tư duy khiến các em bước đầu mắc phải một số sai lầm và khó khăn mà người GV cần hết sức lưu ý

1.3.3 Một số khó khăn sai lầm của HS khi chuyển từ học số học sang học đại

số

- Về bài toán cộng trừ đơn thức

Trong số học, các chữ số là cái chung được tách ra từ những sự vật cụ thể (ví dụ như: 1 cái kẹo, 1 bông hoa, 1 người, ) Các phép toán được hình thành từ những phép đếm thực tế như: 1 cái kẹo thêm 2 cái kẹo sẽ là 3 cái kẹo, từ đó có 1 + 2 = 3 Nhưng sau đó do cách dạy ở tiểu học HS sẽ ghi nhớ bằng cách học thuộc lòng các phép toán cộng trừ, nhân, chia nên lâu dần chỉ làm việc trên những con số cụ thể Khi học về

cộng trừ đơn thức lại lúng túng trước các phép biến đổi như 2xy + 3xy, thực chất không khac gì việc cộng 2 cái kẹo và 3 cái kẹo đã học ở tiểu học

- Về bài toán cộng trừ đa thức

Ở số học, những phép tính có dấu ngoặc HS thường tính trong ngoặc trước, nhưng điều đó không thể vận dụng trong phép thu gọn: x3

– 3x – (2x3

– x2 + 2x) Ở đây HS phải dùng đến qui tắc dấu ngoặc, rất nhiều HS mắc sai lầm khi vận dụng qui tắc này nhất là dấu của đơn thức đầu tiên trong dấu ngoặc Lí do của sự nhầm lẫn là

HS ghi nhớ qui tắc một cách máy móc không hiểu rõ bản chất Một trong những khó khăn nữa của bài toán này là vị trí các đơn thức đồng dạng không đứng kề nhau, lúc này dấu +, - không đơn giản là phép cộng trừ trong số học mà nó đã được gắn liền với các đơn thức - là hệ số của các đơn thức HS khi di chuyển vị trí các đơn thức thường lúng túng trong việc nên đặt trước nó dấu + hay dấu trừ

- Về bài toán nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

Qui tắc nhân đơn thức với đa thức chẳng khác gì phép nhân một số với một tổng Nhưng trong số học it khi nhân một số với một tổng theo qui tắc đó vì cộng được các số trong ngoặc, mà chủ yếu dùng chiều ngược lại trong các bài toán tính bằng cách hợp lý HS bị ấn tượng quá lâu với số tự nhiên nên vận dụng qui tắc a(b+c) = ab + ac; a(b-c) = a.b –a.c với cách hiểu đơn thuần kí hiệu “+”, “-” là tổng, hiệu chứ không phải

là tổng đại số Thành ra khi nhân đơn thức với đa thức HS hay bị nhầm dấu Ví dụ HS hay mắc lỗi như sau;

− 2 x ( x2 + 3 x − 2 ) = − 2 x x2+ 2 x 3 x − 2 x 2

- Về bài toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

Do quen với khái niệm ở tiểu học, nếu trong quá trình dạy GV không làm rõ sự khác biệt HS sẽ không nhận ra quan hệ tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch của hai đại lượng Ví dụ trong bảng giá trị sau

Rõ ràng ở đây khi giá trị của x tăng thì giá trị của y lại giảm, nhưng x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ là -2 vì y = -2x Điều này khác biệt với khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận ở tiểu học(đại lượng này tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia

tăng lên bấy nhiêu lần) Khái niệm ở tiểu học là một trường hợp đặc biệt, ứng với hai đại lượng tỉ lệ đều dương, điều này xảy ra trong các bài toán thực tế Do đó với các bài toán thực tế HS vẫn có thể dựa vào dấu hiệu nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận như tiểu học

- Về bài toán tìm x, giải PT

Do việc tìm x trong số học chỉ là việc thực hiện thuật toán tìm số hạng chưa biết trong một phép toán nên khi mở rộng tập số tự nhiên sang tập số nguyên, số vô tỉ và phép toán lũy thừa việc tìm x đã cần đến sự suy luận, phán đoán, khái quát của cá nhân mỗi người học, khiến HS cũng hay mắc sai lầm trong một số dạng bài sau

HS chỉ suy ra được 2x -1 = 3, thiếu trường hợp 2x -1 = -3

Hoặc sẽ làm dài dòng bằng cách xét 2 trường hợp: 2x−1≥0 và 2x−1<0

b, 2x−1=3 + x

HS thường mắc phải sai lầm sau

HS không xét tới điều kiện của x mà chia luôn thành hai trường hợp:

c, Với những biểu thức chứa nhiều giá trị tuyệt đối HS gặp khó khăn trong việc

xử lý để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

3) Dạng 3

2 3 2

−

− x x

x x

6

2

x

x x

−

=

−

2320

6

02

2

xxx

xxx

Sai lầm ở đây là x =-2 thay vào (*) sẽ làm cho x−2 không xác định, nên

x =-2 là nghiệm ngoại lai

2, Giải PT: x−1= x−2 (*)

HS thường mắc sai lầm khi giải như sau:

1:x≥

2

5 5

) (

2

5 5 0

5 5 )

2 (

TMĐM x

TMĐM x

x x x

x làm cho vế phải của PT mang dấu âm,

do đó không xảy ra dấu bằng

3, Giải PT: x2 −3x+2+ x2 −4x+3=2 x−1(*)

Đây là bài toán dành cho HS giỏi, nhưng chính những HS giỏi đôi khi cũng vẫn mắc sai lầm như sau:

1:x≤

ĐK hoặc x≥3

- Về phần giải bài toán bằng cách lập PT

Ở tiểu học, HS đã tiếp xúc với những bài toán có lời văn, nhưng được phân dạng cụ thể kèm theo phương pháp giải từng loại và làm đi làm lại nhiều lần những bài toán tương tự với nhau,

Trong khi đó, mỗi bài toán có nội dung thực tế ở THCS được phát biểu dưới dạng khái quát hơn, có những sự khác biệt riêng, đòi hỏi nhiều loại kiến thức thực tế khác nhau Mặt khác, các em cũng chỉ mới tiếp xúc với một vài loại PT, HPT, BPT đơn giản ở dạng thuần túy, có sẵn nên gặp khó khăn trong việc chuyển đổi từ bài toán

có nội dung thực tiễn sang dạng bài toán PT, HPT, BPT

HS cần biết cách chọn ẩn cho khéo, cũng cần phải biết giới hạn điều kiện của

ẩn số cho phù hợp, đặc biệt là phải biết toán học hóa các dữ kiện của bài toán thành

PT Thực tế dạy học cho thấy HS thường lúng túng khi chọn ẩn, một số em hay quên điều kiện kèm theo của ẩn số hoặc gặp khó khăn khi chuyển dữ kiện của bài toán thành

VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 − x 3 + 5, với x≥2

HS đã giải như sau:

A =

4

11 4

11 ) 2

3 ( 5

2

≥ +

−

= +

4 11

Nguyên nhân sai ở đây do HS chưa nắm rõ khái niệm, GTNN của một biểu thức luôn xét trên tập nào đó của biến, trong bài tập này là tập các giá trị của x mà 2

11 ) 2

3 ( 5

2

≥ +

−

= +

3 2

1 2

x 2007

32 +

HS giải như sau:

Từ x, y dương áp dung BĐT cosi ta có + ≥ 2

x

y y

≥

⇒

≤ +

x

y y

x y

x y

Có M =32 + 32 + 1975 ≥ 32 2 + 1975 4 = 7964

x

y x

y y

x

Vậy Mmin= 7964

Lời giải trên sai ở chỗ sử dụng hai BĐT (1) và (2) trong đó dấu bằng của (1) xảy ra khi x = y, dấu bằng của (2) xảy ra khi y = 4x Hai điều này không xảy ra đồng thời vì x, y dương Do đó ko dẫn đến M = 7964

Sai lầm thứ 3: Bất đẳng thức f ( x ) ≥ a không có giá trị x để xảy ra dấu bằng nhưng vẫn kết luận giá trị nhỏ nhất là a

VD 3: Tìm m để PT x2+ (m+ 1 )x+ 1 = 0có tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

HS đã giải như sau:

Điều kiện để PT có nghiệm là: 

4 ) 1 (

m

m m

m

Khi đó: x12+ x22 = ( x1+ x2)2− 2 x1 x2 =(m + 1)2 − 2 ≥ − 2 Dấu bằng xảy ra khi m = -1

Vậy m = -1 thì tổng bình phương các nghiệm của PT đạt giá trị nhỏ nhất

Sai lầm ở đây là m = -1 không làm cho PT có nghiệm Tức là không có xảy ra kết quả tổng bình phương các nghiệm bằng -2

Nguyên nhân sai lầm ở đây là HS chưa nắm vững khái niệm, chưa có cái nhìn tổng quát cho một bài toán mà làm theo thói quen của những bài tương tự

Sai lầm thứ tư: Lập luận sai, thiếu logic, thiếu tính tổng quát khi khẳng định

“nếu tử số không đổi thì phân thức đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất” mà chưa nhận xét tử và mẫu là những số dương

VD 4: Tìm GTLN của biểu thức

3 2

1

2

− + x x

HS làm như sau:

Có x2 + 2 x − 3 =(x + 1)2− 4 ≥ − 4

Mẫu số của phân thức đạt giá trị nhỏ nhất là -4 khi x = -1

P đạt GTLN khi mẫu số nhỏ nhất Mẫu số nhỏ nhất khi x = -1 Khi đó giá trị

P không phải là GTLN Ở đây, HS

đã lập luận sai Điều mà HS áp dụng chỉ đúng với phân thức có tử và mẫu đều dương

- Về bài toán hàm số

HS bắt đầu làm quen với khái niệm hàm số từ lớp 7 Yêu cầu chỉ ở mức độ nhận biết Về hệ trục tọa độ, lúc đầu HS thường mắc sai lầm khi chia đơn vị trên các trục không đều nhau Do chưa quen với hai trục số nên việc biểu diễn các điểm trên hệ trục khiến HS còn lúng túng Chẳng hạn biểu diễn điểm có tọa độ (1; 2) HS lại biểu diễn thành hai điểm là điểm có tung độ bằng 2 ; Điểm có hoành độ bằng 1

- Về các kí hiệu và ngôn ngữ toán học

Bên cạnh sai lầm trong từng dạng toán, HS còn rất hay mắc sai lầm trong việc

sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu Toán học Trong Đại số khi trình bày lời giải đã phải sử dụng những từ ngữ có tính logic như: và, hoặc, với mọi, tồn tại, kéo theo, tương

đương HS không hiểu đúng những thuật ngữ này nên vẫn sai trong cách diễn đạt Những khái niệm về căn bậc hai, căn bậc hai số học và kí hiệu còn có nhiều em chưa phân biệt rõ nên vẫn có em viết 4=±2 Hoặc không phân biệt được khái niệm nghiệm và tập nghiệm của PT nên vẫn có kết luận như: “Nghiệm của PT là {1, -2}”, điều này dẫn đến sự nhầm lẫn cả về khái niệm điều kiện xác định và tập xác định Hoặc khi học về HPT, HS do không nắm chắc khái niệm nghiệm của HPT nên thường kết luận HPT có hai nghiệm x = 2; y = 5

1.4 Nguyên nhân HS gặp những khó khăn, sai lầm khi chuyển từ học Số học sang học Đại số

Để tìm ra nguyên nhân của những sai lầm, khó khăn trong dạy học Đại số, chúng tối đã kết hợp kinh nghiệm của bản thân trong dạy học với việc xin ý kiến của đồng nghiệp thông qua phiếu điều tra ở phụ lục 1 Trong thực tế dạy học, chúng ta thấy HS chủ yếu mắc các kiểu sai lầm sau:

- Sai lầm do không nắm vững kí hiệu và ngôn ngữ toán học

- Sai lầm do không hiểu rõ nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lý

- Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy

- Sai lầm liên quan đến nhận thức sai về sự tương ứng

- Sai lầm liên quan đến việc chưa biết chuyển đổi bài toán

- Sai lầm iên quan đến việc không hiểu đúng bản chất đối tượng

Tóm lại các sai lầm và khó khăn của HS là do những nguyên nhân chính sau: 1.4.1 HS hiểu sai sót các thuộc tính của các khái niệm nên gặp khó khăn khi nhận dạng và thể hiện

Khái niệm là một trong những sản phẩm của tư duy toán học Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diên Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của các đối tượng được phản ánh trong các khái niệm chính là nội hàm của khái niệm Tập hợp các đối tượng có chứa dấu hiệu trên là ngoại diên của khái niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu biết không trọn vẹn thậm chí sai lệch bản chất của khái niệm

Trong Đại số, một số khái niệm lại thường là sự mở rộng của những khái niệm

Số học đã học trước đó, nhưng khái niệm đại số trừu tượng hơn, có ngoại diên rộng hơn nhiều so với khái niệm trong Số học (thường dưới dạng khá cụ thể) Chẳng hạn:

Số học: Khái niệm số tự nhiên biểu thị cụ thể: 0, 1, 2, , n,

Đại số: Vẫn là khái niệm số tự nhiên thì biểu thị dưới dạng tổng quát: n∈N, từ

đó các số tự nhiên chẵn biểu thị là 2n, số tự nhiên lẻ là 2n + 1,

Việc HS không hiểu khái niệm này sẽ dẫn đến việc không hiểu hoặc không thể

có biểu tượng của khái niệm khác Do đó có thể nói sự mất gốc của HS về kiến thức toán học chính là sự mất gốc về khaí niệm Điều này dẫn đến nhiều sai lầm trong giải Toán

Ví dụ: Xét các khái niệm

1) Tổng đại số : “Vì phép trừ có thể diễn tả thành phép cộng (cộng với số đối của số trừ) nên một dãy các phép tính cộng trừ các số nguyên được gọi là một tổng đại số” (SGK lớp 6 tập một, trang 84)

2) Đa thức “Đa thức là một tổng của những đơn thức Mỗi đơn thức trong tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó” (SGK Đại số 7 tập hai, trang 37)

3) Qui tắc nhân đơn thức với đa thức: “Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau” (SGK Đại số 8 tập một, trang 4)

Nếu HS không nắm chắc khái niệm tổng đại số của số học sẽ không hiểu đúng khái niệm đa thức, cụ thể là cụm từ “tổng của những đơn thức” Phần lớn HS khi lấy

ví dụ về đa thức thường chỉ lấy ở dạng: 2xy + y +2 chứ không lấy dạng 2xy – y + 2 Nguyên nhân ở đây là đã không nắm được tổng ở đây là tổng đại số vì x,y đại diện cho

cả các số nguyên Từ đó không xác định đúng các hạng tử của đa thức trong trường hợp hệ số của hạng tử âm, chẳng hạn với đa thức 2xy – y + 2 lại xác định các hạng tử

là 2xy; y ; 2 Điều này dẫn đến khi thực hiện qui tắc nhân đơn thức với đa thức HS hay

sai lầm trong việc vận dụng định lý (mà suy cho cùng thì chủ yếu là hai hoạt động: nhận dạng và thể hiện định lý) vào giải bài tập toán

VD 1: áp dụng định lý ab = a b mà không nhớ rằng phạm vi ap dụng của công thức này là a ≥ 0 ; b ≥ 0

VD 2: Định lý: “Nhân hoặc chia hai vế của một PT với một số khác 0 thì được

31

)3()1(

⇔

−

=+

xx

xx

xxx

x

Rõ ràng ở đây HS đã vi phạm về phạm vi áp dụng định lý vì x ở đây có thể bằng 0 hoặc khác 0 Việc vi phạm này là do thói quen không tư duy biện chứng khi học số học và là một khó khăn của HS khi bắt đầu chuyển sang học Đại số

1.4.3 HS gặp khó khăn trong suy luận logic khi giải bài tập toán, nói riêng là toán chứng minh

Suy luận là một loại hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán – một trong những hình thức của tư duy Hoạt động suy luận giải toán dựa trên cơ sở của logic học Với

HS mới từ tiểu học lên THCS còn chưa làm quen nhiều với suy luận logic sẽ không thể tránh được những sai lầm

VD 1: HS nhầm lẫn giữa khái niệm “và”, “ hoặc” trong giải bài toán tìm x để

0 )

0 1 0

) 1 2 (

1

x

x x

0 1 0

) 1 2 (

1

x

x x

x nên khi có x 2 = 3 2lại suy ra x =3 (thiếu x = -3)

Nhầm phép suy ngược tiến là phép chứng minh

VD 2: Chứng minh với mọi a, b, c ta có: 3(a 2 + b 2 + c 2)≥(a + b + c)2 HS lại trình bày như sau:

) (

0 2 2 2 2 2 2 3

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

≥

− +

− +

⇒

+ +

≥ + +

c b c a b a

bc ac ab c

b a

c b a c b a

Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng

Không nắm vững các lượng từ “với mọi”, “tồn tại”, “có” nên nhiều khi HS sai lầm trong con đường chứng minh, thậm chí dẫn đến bế tắc

Việc HS không nắm vững phương pháp giải các bài toán Đại số cơ bản là một

lỗ hổng lớn vì các bài toán cuối cùng rồi cũng đưa về những bài toán cơ bản

Không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản sẽ khiến HS không nghĩ được đủ các trường hợp cần xét, các trường hợp có thể xảy ra của một bài toán, không tìm ra lời giải tối ưu, thậm chí không tìm được lời giải

1

2 3

x x

HS giải như sau:

2

; 1 0

2 3

0 ).

1 ( 2 3 0

1

2 3

2

2 2

=

=

⇔

= +

−

⇔

−

= +

x

x x

x x

x x

Ở đây HS không nắm được nguyên tắc cơ bản là giải PT có ẩn ở mẫu thì phải đặt điều kiện mẫu khác 0 mà thực hiện tương tự như việc tìm số bị chia trong số học dẫn đến sai lầm của lời giải là thừa nghiệm x =1

VD 2: Tìm m để PT ( m+5 ) x2 +( 2 m−1 ) x+m−1=0 có hai nghiệm phân biệt

HS giải như sau:

Ycbt ⇔

20

21 0

21 20 0

) 1 )(

5 ( 4 ) 1 2 (

0 ⇔ − 2 − + − > ⇔ − + > ⇔ <

>