CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN, SAI LẦM CỦA HỌC SINH THCS KHI CHUYỂN TỪ HỌC SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ
2.1. Định hướng xây dựng các BP
2.2.3 Biện pháp 3: Dạy định lý ở Đại số dựa trên việc khai thác mối liên hệ với tính chất đã biết ở Số học
a) Cơ sở lý luận và ý nghĩa của biện pháp
Các định lí thường được diễn đạt theo cấu trúc A⇒B, A là giả thiết, B là kết luận. Nhưng lưu ý rằng: A cho biết dùng định lí khi nào và B cho biết sẽ kết luận, suy ra được gì khi có A.
Trong số học, những tính chất, nhận định được rút ra một cách tự nhiên từ các con số. Ví dụ: tính giao hoán của phép cộng, phép nhân; các dấu hiệu chia hết,... Khi học đại số HS mới được làm quen với việc học và chứng minh định lý nên bước đầu sẽ rất khó khăn. Khó khăn do định lý có tính tổng quát và hình thức thể hiện có tính trừu tượng đặc trưng của đại số đối với một tính chất nào đó mà trong số học được trình bày khá cụ thể.
VD: HS biết tính 9 =3 ; 16 =4; 0 =0 nhưng rõ ràng đều sai lầm khi dự đoán a2 =? do a ở đây đại diện cho tất cả các số thực. Việc suy đoán định lý đòi hỏi tư duy trừu tượng và logic cao, thường phải có sự hỗ trợ của GV thì HS mới làm được.
Mặt khác sau khi suy đoán còn hai bước là chứng minh và vận dụng. Việc chứng minh định lý là một khó khăn lớn vì HS chưa hề tiếp cận với chứng minh bao giờ, HS chưa biết cách tiến hành một bài chứng minh như thế nào, trình bày ra sao, chưa quen với suy luận hợp logic. Việc vận dụng cũng không dễ dàng vì định lý có tính tổng quát nhưng vận dụng thì phải vận dụng vào trường hợp cụ thể, HS thường thiếu sót trong việc bao quát phạm vi định lý. Như trong bài toán
Giải PT: x2 −3x+2+ x2 −4x+3 =2 x−1(*)
Đây là bài toán dành cho HS giỏi, nhưng chính những HS giỏi đôi khi cũng vẫn mắc sai lầm như sau
1 :x≤
ĐK hoặc x≥3
(*)
2 3 2
1 2 3 1 2
1
1 2 ) 3 )(
1 ( ) 2 )(
1 (
=
− +
−
⇔
−
=
−
− +
−
−
⇔
−
=
−
− +
−
−
⇔
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
Ở đây học mắc hai lỗi sai: Lỗi thứ nhất là vận dụng định lý A.B = A B mà không để ý đến phạm vi vận dụng định lý phải là A, B là các biểu thức không âm. Lỗi sai thứ hai là chia hai vế của PT cho một biểu thức có thể bằng 0 không là phép biến đổi tương đương.
Chính vì những lí do đó mà trong quá trình dạy định lý GV cần thấy được mối liên hệ giữa định lý với những tính chất đã biết ở số học, khai thác mối liên hệ đó trong việc cho HS suy đoán, chứng minh và vận dụng định lý, giúp việc học định lý giống như quá trình HS tự khái quát hóa tính chất đã biết ở số học và chứng tỏ được sự khái quát đó là đúng đắn.
b) Cách thức thực hiện và ví dụ minh họa
• Dạy HS suy đoán định lý từ các kiến thức số học liên quan
Có hai con đường dạy Định lý là: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn. Để HS đỡ bỡ ngỡ với những định lý này GV cần nhìn ra sự liên hệ từ số học
và cho HS tiếp cận định lý bằng con đường suy đoán trên các quan hệ số học, sau đó chứng minh.
Ví dụ dạy các đinh lý về căn bậc hai như:
) 0 , 0
( ≥ ≥
= a b a b ab
Có thể đi từ những nhận xét từ các biểu thức số học qua hoạt động tính toán, so sánh rồi từ đó dự đoán tính tổng quát và chứng minh. Cụ thể là Gv gọi hai HS lên bảng tính
9 .
4 4 9
25 .
16 16 25
49 .
9 9 49
3 .
12 12 3
Sau khi hai HS tính xong, GV yêu cầu các HS so sánh giá trị các phép tính ở hai cột và thấy chúng bằng nhau. Từ đây GV có thể đặt vấn đề: Trong trường hợp tổng quát, với hai số a, b không âm liệu ta có đẳng thức
b a b
a. = ?
Câu hỏi này gợi động cơ để HS muốn biết xem việc suy đoán trong trường hợp tổng quát có đúng không, và đi tìm tòi chứng minh đẳng thức.
Trong hoạt động hình thành định lý trên, GV đã dạy theo con đường suy đoán từ những hiện tượng số học trùng lặp, gợi động cơ suy đoán đến trường hợp tổng quát và nhu cầu muốn biết xem trường hợp tổng quát có đúng không. Điều này phù hợp với qui luật nhận thức, giúp HS được dẫn dắt vào con đường tìm ra và kiểm chứng tri thức.
Định lý chắc chắn sẽ được HS ghi nhớ và vận dụng tốt.
Định lý trên không chỉ vận dụng để khai phương tích hai số không âm mà còn được mở rộng để khai phương tích hai biểu thức không âm. . Để vận dụng tốt định lý này vào các biểu thức chứa chữ HS cần trải qua hoạt động vận dụng trên các biểu thức số. Chính vì thế khi thiết kế hoạt động vận dụng, GV cần theo đúng qui trình này.
Điều này không những khiến HS được tiếp cận định lý một cách gần gũi, nhuần nhuyễn mà còn cho HS thấy được sự khác biệt giữa khai phương biểu thức chứa chữ và biểu thức số. Từ đó rèn luyện tư duy logic, thái độ cẩn trọng khi biến đổi biểu thức
Đại số, góp phần phòng tránh sai lầm. Dưới đây là phần thiết kế hoạt động vận dụng của định lý trên
HĐ 2: Vận dụng
Hoạt động của Gv Hoạt động của HS Nội dung GV đưa ra bài tập, tính
a) 49.100.25 GV đưa tiếp b) 810.40
Yêu cầu HS rút ra cách làm các lớp bài tập trên
=> Cách làm này chính là cách khai phương một tích
=> Qui tắc
Như vậy trong việc khai phương một tích chúng ta đã sử dụng chiều từ trái sang phải của định lý.
GV đưa ra bài 2 Tính: a) 5. 20 Gv đưa tiếp phần b
Dẫn dắt vào qui tắc nhân các căn bậc hai
Như vậy chúng ta đã sử dụng định lý để giải quyết hai bài tập trên. Trong trường hợp tổng quát nếu thay các số thành các biểu thức không âm ta vẫn áp dụng được định lý này
HS vận dụng định lý làm bài
HS bắt đầu gặp vấn đề HS suy nghĩ tách 810.40 = 81.100.4
HS diễn đạt theo ý hiểu
HS vận dụng chiều ngược lại của định lý, lên bảng trình bày
cho cả lớp
HS phát biểu qui tắc HS ghi nội dung chú ý
a) Qui tắc khai phương một tích
Bài 1: Tính a) 49.100.25 b) 810.40 c) 12,1.360
b) Qui tắc nhân các căn bậc hai
Bài 2: Tính a) 5. 20 b) 90 4,9 b) Chú ý
Với hai biểu thức A và B không âm ta cũng có
B A AB =
VD: Rút gọn biểu thức a) 9a2b4
b) 3a 7a với a≥0.
Qua VD này khi khai phương các biểu thức chứa chữ các em thấy có điều gì khác so với khai phương các biểu thức số
=> chốt kiến thức
HS phát biểu theo ý hiểu
Các định lý về hàm số ví dụ như:
Hàm số y = ax+ b đồng biến trên R khi a > 0, nghịch biến trên R khi a < 0
Hoặc các định lý về biến đổi PT, BPT cũng có thể tiếp cận bằng con đường suy đoán này dựa trên những đẳng thức hoặc bất đẳng thức số. Nếu bằng con đường suy diễn thì sau đó cũng phải minh họa bằng những số cụ thể để mô tả định lý, làm cho định lý trở nên trực quan HS dễ ghi nhớ trước khi áp dụng.
• Cần quan tâm tới phân tích rõ giả thiết của định lí.
Phân tích kĩ giả thiết định lý tức là làm cho HS hiểu phạm vi sử dụng định lý vì HS thường chỉ quan tâm đến việc sử dụng kết luận của định lý trong giải toán. Để hạn chế sai lầm của HS khi vận dụng định lý cần tạo ra những ví dụ mà các điều kiện của giả thiết chưa thỏa mãn hoàn toàn, để HS thấy rằng mọi điều kiện của giả thiết là không thể thiếu được.
Chẳng hạn trong định lý ở mục trên thì phạm vi sử dụng là hai biểu thức A, B không âm. Ngoài việc đặt câu hỏi cho HS giải thích tại sao các biểu thức A, B phải không âm, ta có thể phòng tránh sai lầm cho HS bằng cách thiết kế bài tập sau;
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng, đẳng thức nào sai
4 2 4
2b a b
a =
b a b
a =
2 1 )
2 )(
1
(x− x− = x− x−
Đối với hai biểu thức sai GV lấy ví dụ cụ thể bằng số để HS nhìn rõ đẳng thức sai trong trường hợp nào
Hoặc Định lí Viet: Nếu PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có nghiệm x1, x2 thì
tổng các nghiệm và tích các nghiệm đó là 1 2
1 2
x x b
a x x c
a
+ = −
=
Cấu trúc của định lí có cấu trúc hội. Phạm vi định lý là chỉ sử dụng với PT bậc hai có nghiệm. Trước khi dùng định lí này phải kiểm tra hoặc đặt điều kiện để bài toán thỏa mãn cả hai giả thiết: PT đang xét phải là PT bậc hai có nghiệm, và không cần phải là hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ khi dạy Đại số 8 về các cách biến đổi PT, cần giải thích rõ tại sao phải nhân hai về với một số khác 0, nếu nhân hai vế với 0 thì sao? Chỗ này cần kiến thức của số học. Mọi số nhân với 0 đều bằng 0.
• Trong quá trình dạy định lý cần cho HS thấy rõ phương pháp chứng minh định lý.
Trong quá trình dạy học định lí cần chỉ rõ cho HS thấy phương pháp phân tích để chứng minh định lí nhằm truyền thụ những tri thức phương pháp liên quan tới phép chứng minh.. Chính biện pháp này giúp cho HS dễ đi tới chứng minh đúng trong giải Toán. Việc nắm được cách chứng minh định lý cũng giúp HS hiểu rõ được nội dung định lý, giống như là trải qua một quá trình tìm ra chân lý chứ không học thuộc một cách máy móc
Ví dụ: Dạy chứng minh Định lý: “Với hai số không âm a và b ta có b
a b
a. = ”
GV cần đưa ra những câu hỏi gợi mở để hình thành tư duy suy luận logic của HS với các mức độ tùy theo nhận thức của HS
Mức 1: Để chứng minh đẳng thức a.b = a b ta phải chứng minh điều gì?
Mức 2: Để chứng minh a blà căn bậc hai số học của ab ta phải chứng tỏ điều gì?
HS sẽ phát biểu được cần phái chứng tỏ hai điều:
b
a là một số không âm và ( a b)2 =ab
Để HS hình dung được con đường suy luận, GV nên vẽ sơ đồ tư duy theo hướng phân tích đi lên
b a b
a. = ⇑
b
a là một số không âm ⇑
ab b
a )2 = (
Sau khi HS biết được con đường chứng minh, GV còn phải hướng dẫn HS trình bày được bài chứng minh của mình một cách logic. Các việc làm này phải được diễn ra một cách thường xuyên để hình thành cho HS kĩ năng làm một bài chứng minh trong Đại số.
• Cần chỉ ra các hướng ứng dụng của định lí
Khi dạy một định lí cần chỉ ra các hướng ứng dụng của định lí tạo ra sự “nhạy cảm” của HS khi đứng trước một bài toán biết hướng tới vận dụng định lí nào. Chẳng hạn định lý Viet được ứng dụng vào các dạng bài tập như
- Tìm tổng và tích hai nghiệm của PT bậc hai
VD 1: Nhẩm nghiệm của PT x2 +( 3− 5)x− 15=0
- Tìm điều kiện của tham số để PT bậc hai có nghiệm x1,x2 thoả mãn điều kiện cho trước
VD 2: Cho PT x2 +2(m−1)x−(2m+5)=0
Tìm m để PT có hai nghiệm x1;x2 sao cho biểu thức B = 12−10x1.x2 −(x22 +x12) đạt giá trị lớn nhất - Chứng minh tính chất các nghiệm của PT bậc hai
VD 3: Cho PT x2 − ax + 1 = 0 có hai nghiệm là x1;x2. Tính giá trị biểu thức S = x12 + x22 theo a