CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.4 Nguyên nhân HS gặp những khó khăn, sai lầm khi chuyển từ học Số học sang học Đại số
Để tìm ra nguyên nhân của những sai lầm, khó khăn trong dạy học Đại số, chúng tối đã kết hợp kinh nghiệm của bản thân trong dạy học với việc xin ý kiến của đồng nghiệp thông qua phiếu điều tra ở phụ lục 1. Trong thực tế dạy học, chúng ta thấy HS chủ yếu mắc các kiểu sai lầm sau:
- Sai lầm do không nắm vững kí hiệu và ngôn ngữ toán học
- Sai lầm do không hiểu rõ nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lý - Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
- Sai lầm liên quan đến nhận thức sai về sự tương ứng - Sai lầm liên quan đến việc chưa biết chuyển đổi bài toán
- Sai lầm iên quan đến việc không hiểu đúng bản chất đối tượng ...
Tóm lại các sai lầm và khó khăn của HS là do những nguyên nhân chính sau:
1.4.1. HS hiểu sai sót các thuộc tính của các khái niệm nên gặp khó khăn khi nhận dạng và thể hiện
Khái niệm là một trong những sản phẩm của tư duy toán học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diên. Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của các đối tượng được phản ánh trong các khái niệm chính là nội hàm của khái niệm. Tập hợp các đối tượng có chứa dấu hiệu trên là ngoại diên của khái niệm sẽ dẫn HS tới sự hiểu biết không trọn vẹn thậm chí sai lệch bản chất của khái niệm.
Trong Đại số, một số khái niệm lại thường là sự mở rộng của những khái niệm Số học đã học trước đó, nhưng khái niệm đại số trừu tượng hơn, có ngoại diên rộng hơn nhiều so với khái niệm trong Số học (thường dưới dạng khá cụ thể). Chẳng hạn:
Số học: Khái niệm số tự nhiên biểu thị cụ thể: 0, 1, 2, ..., n, ...
Đại số: Vẫn là khái niệm số tự nhiên thì biểu thị dưới dạng tổng quát: n∈N, từ đó các số tự nhiên chẵn biểu thị là 2n, số tự nhiên lẻ là 2n + 1,....
Việc HS không hiểu khái niệm này sẽ dẫn đến việc không hiểu hoặc không thể có biểu tượng của khái niệm khác. Do đó có thể nói sự mất gốc của HS về kiến thức toán học chính là sự mất gốc về khaí niệm. Điều này dẫn đến nhiều sai lầm trong giải Toán
Ví dụ: Xét các khái niệm
1) Tổng đại số : “Vì phép trừ có thể diễn tả thành phép cộng (cộng với số đối của số trừ) nên một dãy các phép tính cộng trừ các số nguyên được gọi là một tổng đại số” (SGK lớp 6 tập một, trang 84)
2) Đa thức “Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó” (SGK Đại số 7 tập hai, trang 37).
3) Qui tắc nhân đơn thức với đa thức: “Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau” (SGK Đại số 8 tập một, trang 4)
Nếu HS không nắm chắc khái niệm tổng đại số của số học sẽ không hiểu đúng khái niệm đa thức, cụ thể là cụm từ “tổng của những đơn thức” . Phần lớn HS khi lấy ví dụ về đa thức thường chỉ lấy ở dạng: 2xy + y +2 chứ không lấy dạng 2xy – y + 2.
Nguyên nhân ở đây là đã không nắm được tổng ở đây là tổng đại số vì x,y đại diện cho cả các số nguyên. Từ đó không xác định đúng các hạng tử của đa thức trong trường hợp hệ số của hạng tử âm, chẳng hạn với đa thức 2xy – y + 2 lại xác định các hạng tử là 2xy; y ; 2. Điều này dẫn đến khi thực hiện qui tắc nhân đơn thức với đa thức HS hay bị nhầm dấu.
1.4.2. HS gặp khó khăn khi làm việc với định lý (cấu trúc logic và hình thức phát biểu)
Thực chất, ở Tiểu học, HS đã được tiếp xúc với các định lý - nhưng chỉ được gọi là tính chất và không chứng minh. Trong khi, về bản chất, định lý là một mệnh đề đã được khẳng định đúng. Cấu trúc thông thường của định lý là A ⇒ B thì A là giả thuyết của định lý và cho biết phạm vi sử dụng được của định lý. A còn gọi là điều kiện đủ để có B. Nhiều HS không nắm vững hoặc coi thường giả thuyết A nên dẫn đến
sai lầm trong việc vận dụng định lý (mà suy cho cùng thì chủ yếu là hai hoạt động:
nhận dạng và thể hiện định lý) vào giải bài tập toán.
VD 1: áp dụng định lý ab = a b mà không nhớ rằng phạm vi ap dụng của công thức này là a≥0;b≥0.
VD 2: Định lý: “Nhân hoặc chia hai vế của một PT với một số khác 0 thì được PT tương đương”
HS vận dụng vào giải PT:
1 2 2
3 1
) 3 ( ) 1 (
=
⇔
=
⇔
−
= +
⇔
−
= +
x x
x x
x x x
x
Rõ ràng ở đây HS đã vi phạm về phạm vi áp dụng định lý vì x ở đây có thể bằng 0 hoặc khác 0. Việc vi phạm này là do thói quen không tư duy biện chứng khi học số học và là một khó khăn của HS khi bắt đầu chuyển sang học Đại số
1.4.3. HS gặp khó khăn trong suy luận logic khi giải bài tập toán, nói riêng là toán chứng minh.
Suy luận là một loại hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán – một trong những hình thức của tư duy. Hoạt động suy luận giải toán dựa trên cơ sở của logic học. Với HS mới từ tiểu học lên THCS còn chưa làm quen nhiều với suy luận logic sẽ không thể tránh được những sai lầm.
VD 1: HS nhầm lẫn giữa khái niệm “và”, “ hoặc” trong giải bài toán tìm x để 0
) 1 2 )(
1
(x− x− = và (x−1)(2x−1)≠0 HS thường sai như sau:
( )
=
−
=
⇔ −
=
−
−
0 1 2
0 0 1
) 1 2 ( 1
x x x
x
Thực ra lời giải đúng là
( )
=
−
=
⇔ −
=
−
−
0 1 2
0 0 1
) 1 2 (
1 x
x x
x
Chẳng hạn không thấu đáo trong phép suy luận kéo theo như: Có
2
2 3
3⇒ =
= x
x nên khi có x2 =32lại suy ra x =3 (thiếu x = -3) Nhầm phép suy ngược tiến là phép chứng minh
VD 2: Chứng minh với mọi a, b, c ta có: 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2 HS lại trình bày như sau:
( ) ( )
( ) ( ) 0
) (
0 2 2 2 2 2 2 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
≥
− +
− +
−
⇒
≥
−
−
− + +
⇒
+ +
≥ + +
c b c a b a
bc ac ab c
b a
c b a c b a
Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng
Không nắm vững các lượng từ “với mọi”, “tồn tại”, “có” nên nhiều khi HS sai lầm trong con đường chứng minh, thậm chí dẫn đến bế tắc
VD 3: Chứng minh PT x2 −m2x+m2 −1=0 có nghiệm
HS lại cứ đi tìm cách chứng minh ∆≥0 với mọi m mà không nghĩ đến việc chỉ cần chỉ ra một nghiệm x = 1 của PT là bài toán đã được chứng minh
1.4.4. HS không nắm vững phương pháp giải dạng bài toán cơ bản, gặp khó khăn khi đưa bài toán đã cho về dạng đã biết
Việc HS không nắm vững phương pháp giải các bài toán Đại số cơ bản là một lỗ hổng lớn vì các bài toán cuối cùng rồi cũng đưa về những bài toán cơ bản.
Không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản sẽ khiến HS không nghĩ được đủ các trường hợp cần xét, các trường hợp có thể xảy ra của một bài toán, không tìm ra lời giải tối ưu, thậm chí không tìm được lời giải.
VD 1: Giải PT 0
1 2
2 3
− = +
− x
x x
HS giải như sau:
2
; 1 0
2 3
0 ).
1 ( 2 3 1 0
2 3
2
2 2
=
=
⇔
= +
−
⇔
−
= +
−
⇔
=
− +
−
x x x
x
x x
x x
x x
Ở đây HS không nắm được nguyên tắc cơ bản là giải PT có ẩn ở mẫu thì phải đặt điều kiện mẫu khác 0 mà thực hiện tương tự như việc tìm số bị chia trong số học dẫn đến sai lầm của lời giải là thừa nghiệm x =1
VD 2: Tìm m để PT (m+5)x2 +(2m−1)x+m−1=0 có hai nghiệm phân biệt HS giải như sau:
Ycbt ⇔
20 0 21
21 20 0
) 1 )(
5 ( 4 ) 1 2 (
0⇔ − 2 − + − > ⇔− + > ⇔ <
>
∆ m m m m m
Với lời giải này thì khi m = 0.5 PT chỉ có một nghiệm. Vậy sai lầm ở chỗ HS không nhớ điều kiện để PT này có hai nghiệm phân biệt phải là
>
∆
≠ 0 0 a