CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.3 Thực trạng tình hình dạy và học số học, đại số ở trường Tiểu học và THCS
1.3.3. Một số khó khăn sai lầm của HS khi chuyển từ học số học sang học đại số
- Về bài toán cộng trừ đơn thức
Trong số học, các chữ số là cái chung được tách ra từ những sự vật cụ thể (ví dụ như: 1 cái kẹo, 1 bông hoa, 1 người,...). Các phép toán được hình thành từ những phép đếm thực tế như: 1 cái kẹo thêm 2 cái kẹo sẽ là 3 cái kẹo, từ đó có 1 + 2 = 3. Nhưng sau đó do cách dạy ở tiểu học HS sẽ ghi nhớ bằng cách học thuộc lòng các phép toán cộng trừ, nhân, chia nên lâu dần chỉ làm việc trên những con số cụ thể. Khi học về
cộng trừ đơn thức lại lúng túng trước các phép biến đổi như 2xy + 3xy, thực chất không khac gì việc cộng 2 cái kẹo và 3 cái kẹo đã học ở tiểu học
- Về bài toán cộng trừ đa thức
Ở số học, những phép tính có dấu ngoặc HS thường tính trong ngoặc trước, nhưng điều đó không thể vận dụng trong phép thu gọn: x3 – 3x – (2x3 – x2 + 2x). Ở đây HS phải dùng đến qui tắc dấu ngoặc, rất nhiều HS mắc sai lầm khi vận dụng qui tắc này nhất là dấu của đơn thức đầu tiên trong dấu ngoặc. Lí do của sự nhầm lẫn là HS ghi nhớ qui tắc một cách máy móc không hiểu rõ bản chất. Một trong những khó khăn nữa của bài toán này là vị trí các đơn thức đồng dạng không đứng kề nhau, lúc này dấu +, - không đơn giản là phép cộng trừ trong số học mà nó đã được gắn liền với các đơn thức - là hệ số của các đơn thức. HS khi di chuyển vị trí các đơn thức thường lúng túng trong việc nên đặt trước nó dấu + hay dấu trừ.
- Về bài toán nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức
Qui tắc nhân đơn thức với đa thức chẳng khác gì phép nhân một số với một tổng. Nhưng trong số học it khi nhân một số với một tổng theo qui tắc đó vì cộng được các số trong ngoặc, mà chủ yếu dùng chiều ngược lại trong các bài toán tính bằng cách hợp lý. HS bị ấn tượng quá lâu với số tự nhiên nên vận dụng qui tắc a(b+c) = ab + ac;
a(b-c) = a.b –a.c với cách hiểu đơn thuần kí hiệu “+”, “-” là tổng, hiệu chứ không phải là tổng đại số. Thành ra khi nhân đơn thức với đa thức HS hay bị nhầm dấu. Ví dụ HS hay mắc lỗi như sau;
−2x(x2 +3x−2)=−2x.x2+2x.3x−2x.2 - Về bài toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch
Do quen với khái niệm ở tiểu học, nếu trong quá trình dạy GV không làm rõ sự khác biệt HS sẽ không nhận ra quan hệ tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch của hai đại lượng. Ví dụ trong bảng giá trị sau
x 1 2 3 4 5
y -2 -4 -6 -8 -10
Rõ ràng ở đây khi giá trị của x tăng thì giá trị của y lại giảm, nhưng x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ là -2 vì y = -2x. Điều này khác biệt với khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận ở tiểu học(đại lượng này tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia
tăng lên bấy nhiêu lần). Khái niệm ở tiểu học là một trường hợp đặc biệt, ứng với hai đại lượng tỉ lệ đều dương, điều này xảy ra trong các bài toán thực tế . Do đó với các bài toán thực tế HS vẫn có thể dựa vào dấu hiệu nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận như tiểu học.
Ví dụ: Hai thanh chì có thể tích là 12cm3 và 17cm3. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất 56,5g.
Rõ ràng so với việc thấy thương của khối lượng và thể tích không đổi thì việc thấy thể tích càng lớn thì khối lượng càng lớn dễ phát hiện hơn, phù hợp với các đối tượng HS hơn.
- Về bài toán tìm x, giải PT
Do việc tìm x trong số học chỉ là việc thực hiện thuật toán tìm số hạng chưa biết trong một phép toán nên khi mở rộng tập số tự nhiên sang tập số nguyên, số vô tỉ và phép toán lũy thừa việc tìm x đã cần đến sự suy luận, phán đoán, khái quát của cá nhân mỗi người học, khiến HS cũng hay mắc sai lầm trong một số dạng bài sau
1) Dạng 1: Tìm x:
a) x2 = 9. HS chỉ tìm được x = 3 mà quên mất x = -3 b) x2 = 5. HS chỉ tìm được x = 5, thiếu x = - 5. 2) Dạng 2:
Tìm x:
a, 2x−1 =3.
HS chỉ suy ra được 2x -1 = 3, thiếu trường hợp 2x -1 = -3
Hoặc sẽ làm dài dòng bằng cách xét 2 trường hợp: 2x−1≥0 và 2x−1<0 b, 2x−1=3 + x
HS thường mắc phải sai lầm sau
HS không xét tới điều kiện của x mà chia luôn thành hai trường hợp:
x x−1=3+
2 và 1−2x=3+x
Hoặc có HS sẽ chia làm hai trường hợp x
x−1=3+
2 và 2x−1=−(3+x)
c, Với những biểu thức chứa nhiều giá trị tuyệt đối HS gặp khó khăn trong việc xử lý để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
3) Dạng 3
Giải PT: 0
2 3 2
6
2 2
=
− +
−
− x x
x
x (*)
Do HS vẫn quen với phép chia trong số học là 0 chia cho số nào cũng bằng 0 nên sẽ giải như sau:
(*)
−
=
⇔ =
=
−
−
⇔
2 3 0
2 6
x x x
x
Sai lầm ở đây là với x = -2 thì mẫu của phân thức bằng 0 nên phân thức không xác định chứ không làm cho phân thức có giá trị bằng 0
4) Dạng 4: PT có chứa căn thức 1, Giải PT x−2(x2 −x+6)=0(*) Sai lầm HS thường mắc như sau
(*) ⇔
−
=
=
=
⇔
= +
−
=
−
2 3 2 0
6 0 2
2
x x x x
x x
Sai lầm ở đây là x =-2 thay vào (*) sẽ làm cho x−2 không xác định, nên x =-2 là nghiệm ngoại lai
2, Giải PT: x−1= x−2 (*)
HS thường mắc sai lầm khi giải như sau:
1 :x≥ ĐK
(*) ( )
= −
= +
⇔
= +
−
⇔
−
=
−
⇔
) 2 (
5 5
) 2 (
5 5 0
5 5 )
2 (
1 2 2
TMĐM x
TMĐM x
x x x
x
Sai lầm trong lời giải này là
2 5 5−
x= làm cho vế phải của PT mang dấu âm, do đó không xảy ra dấu bằng
3, Giải PT: x2 −3x+2+ x2 −4x+3=2 x−1(*)
Đây là bài toán dành cho HS giỏi, nhưng chính những HS giỏi đôi khi cũng vẫn mắc sai lầm như sau:
1 :x≤
ĐK hoặc x≥3
(*) ⇔ (x−1)(x−2)+ (x−1)(x−3) =2 x−1⇔ x−2+ x−3 =2
Ở đây HS sai trong phép biến đổi căn thức và biến đổi PT khi chia hai về của PT cho một biểu thức có thể bằng 0
Để giải đúng cần xét 3 trường hợp x = 1
x < 1 x ≥3
- Về phần giải bài toán bằng cách lập PT
Ở tiểu học, HS đã tiếp xúc với những bài toán có lời văn, nhưng được phân dạng cụ thể kèm theo phương pháp giải từng loại và làm đi làm lại nhiều lần những bài toán tương tự với nhau, ...
Trong khi đó, mỗi bài toán có nội dung thực tế ở THCS được phát biểu dưới dạng khái quát hơn, có những sự khác biệt riêng, đòi hỏi nhiều loại kiến thức thực tế khác nhau. Mặt khác, các em cũng chỉ mới tiếp xúc với một vài loại PT, HPT, BPT đơn giản ở dạng thuần túy, có sẵn nên gặp khó khăn trong việc chuyển đổi từ bài toán có nội dung thực tiễn sang dạng bài toán PT, HPT, BPT.
HS cần biết cách chọn ẩn cho khéo, cũng cần phải biết giới hạn điều kiện của ẩn số cho phù hợp, đặc biệt là phải biết toán học hóa các dữ kiện của bài toán thành PT. Thực tế dạy học cho thấy HS thường lúng túng khi chọn ẩn, một số em hay quên điều kiện kèm theo của ẩn số hoặc gặp khó khăn khi chuyển dữ kiện của bài toán thành PT.
- Về bài toán cực trị
Đây là loại toán dành cho hoc sinh khá, giỏi. Trong quá trình dạy học, chúng ta thấy HS hay mắc các lỗi sau
Sai lầm thứ nhất: Không để ý đến tập xác định
VD 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 −3x+5, với x≥2 HS đã giải như sau:
A = 4
11 4 ) 11 2 ( 3 5
3 2
2 − x+ = x− + ≥
x . Vậy Amin=
4 11
Nguyên nhân sai ở đây do HS chưa nắm rõ khái niệm, GTNN của một biểu thức luôn xét trên tập nào đó của biến, trong bài tập này là tập các giá trị của x mà
≥2 x
Lời giải đúng phải là
A = 4
11 4 ) 11 2 ( 3 5
3 2
2 − x+ = x− + ≥
x
Với 3 3, 2
4 1 2 3 2
1 2
2 3 min
2
≥
∀
=
⇒
≥
⇒
≥
−
⇒
≥
−
⇒
≥ x x A A x
x .
Sai lầm thứ hai: Trong bài làm sử dụng nhiều bất đẳng thức, nhưng việc xảy ra dấu bằng không đồng thời
VD 2: cho x, y là hai số dương thỏa mãn + 1 ≤1. y
x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =
x y y
x 2007 32 +
HS giải như sau:
Từ x, y dương áp dung BĐT cosi ta có + ≥2 x y y
x (1)
Từ x, y dương và 1 4
. 1 4
1
1 1 2 ≥ ⇒ ≥
+
≥
⇒
≤ +
x y y x y
x y
x (2)
Có M =32 +32 +1975 ≥32.2+1975.4=7964 x
y x
y y
x
Vậy Mmin= 7964
Lời giải trên sai ở chỗ sử dụng hai BĐT (1) và (2) trong đó dấu bằng của (1) xảy ra khi x = y, dấu bằng của (2) xảy ra khi y = 4x. Hai điều này không xảy ra đồng thời vì x, y dương. Do đó ko dẫn đến M = 7964.
Sai lầm thứ 3: Bất đẳng thức f(x)≥a không có giá trị x để xảy ra dấu bằng nhưng vẫn kết luận giá trị nhỏ nhất là a
VD 3: Tìm m để PT x2+(m+1)x+1=0có tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất
HS đã giải như sau:
Điều kiện để PT có nghiệm là:
−
≤
⇔ ≥
≥
− +
⇔
≥
∆
3 0 1
4 ) 1 (
0 2
m m m
m
Khi đó: x12+x22 =(x1+x2)2−2x1.x2 =(m+1)2 −2≥−2. Dấu bằng xảy ra khi m = -1 Vậy m = -1 thì tổng bình phương các nghiệm của PT đạt giá trị nhỏ nhất.
Sai lầm ở đây là m = -1 không làm cho PT có nghiệm. Tức là không có xảy ra kết quả tổng bình phương các nghiệm bằng -2.
Nguyên nhân sai lầm ở đây là HS chưa nắm vững khái niệm, chưa có cái nhìn tổng quát cho một bài toán mà làm theo thói quen của những bài tương tự.
Sai lầm thứ tư: Lập luận sai, thiếu logic, thiếu tính tổng quát khi khẳng định
“nếu tử số không đổi thì phân thức đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất” mà chưa nhận xét tử và mẫu là những số dương.
VD 4: Tìm GTLN của biểu thức
3 2 1
2+ x−
x HS làm như sau:
Có x2 +2x−3=(x+1)2−4≥−4.
Mẫu số của phân thức đạt giá trị nhỏ nhất là -4 khi x = -1
P đạt GTLN khi mẫu số nhỏ nhất. Mẫu số nhỏ nhất khi x = -1. Khi đó giá trị lớn nhất của P là
4
−1 P=
Nhưng rõ ràng khi x = 2 thì 5 1 P= nên
4
−1
P= không phải là GTLN. Ở đây, HS đã lập luận sai. Điều mà HS áp dụng chỉ đúng với phân thức có tử và mẫu đều dương.
- Về bài toán hàm số
HS bắt đầu làm quen với khái niệm hàm số từ lớp 7. Yêu cầu chỉ ở mức độ nhận biết. Về hệ trục tọa độ, lúc đầu HS thường mắc sai lầm khi chia đơn vị trên các trục không đều nhau. Do chưa quen với hai trục số nên việc biểu diễn các điểm trên hệ trục khiến HS còn lúng túng. Chẳng hạn biểu diễn điểm có tọa độ (1; 2) HS lại biểu diễn thành hai điểm là điểm có tung độ bằng 2 ; Điểm có hoành độ bằng 1 .
- Về các kí hiệu và ngôn ngữ toán học
Bên cạnh sai lầm trong từng dạng toán, HS còn rất hay mắc sai lầm trong việc sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu Toán học. Trong Đại số khi trình bày lời giải đã phải sử dụng những từ ngữ có tính logic như: và, hoặc, với mọi, tồn tại, kéo theo, tương
đương...HS không hiểu đúng những thuật ngữ này nên vẫn sai trong cách diễn đạt.
Những khái niệm về căn bậc hai, căn bậc hai số học và kí hiệu còn có nhiều em chưa phân biệt rõ nên vẫn có em viết 4=±2. Hoặc không phân biệt được khái niệm nghiệm và tập nghiệm của PT nên vẫn có kết luận như: “Nghiệm của PT là {1, -2}”, điều này dẫn đến sự nhầm lẫn cả về khái niệm điều kiện xác định và tập xác định.
Hoặc khi học về HPT, HS do không nắm chắc khái niệm nghiệm của HPT nên thường kết luận HPT có hai nghiệm x = 2; y = 5 ...