Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Đề tài 10

TONG KET * UU DIEM Tích phân kép là một công cụ toán học mạnh mẽ được ứng dụng trong các bài toán thực tế rất nhiều.. - Tính thể tích c¿a khái: Khi kết hợp với tích phân đơn, tích phân k

Le

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH

TRUONG DAI HOC BACH KHOA KHOA KHOA HOC UNG DUNG

BAO CAO BAI TAP LON MON GIAI TICH 2

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

5 2312529 Huỳnh Thị Trúc Như 100%

Nội dung Đề tài 10:

1 Trình bày lại phẩn 14.1 trong cudn “Multivariable Calculus” cua tac gid Soo T Tan

2 Gidi các bài tp: 128, 10212, 1318, 21, 22

NHAN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DÂN

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

MỤC LỤC MỤC LỤC (E111 1 1 E1 11v TT HT TT TH HT HH HH rà 4 LỜI NÓI ĐẦU - C11313 1 511113131111 5111111111 TH TT HT HH HT HH 5

1 CƠ SỞ LÝ THUYÉT HÌNH THÀNH NÊN TÍCH PHÂN KÉP 6 1.1 Cơ sở hình thành khối lượng, . - ¿+ +52 +x+t+t+t+eEekexesevrsesrreerresrsee 6 1.2 Cơ sở hình thành thê tíCH - 2-2-2222 +2£+£+t+E+E+E+eEeErxreeeerrrrrrsreezererre 6

2 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP ¿- 5 2E S3Sx S313 EEEEEEkEkEEEEkEExkrkrkererxes 10

2.1 Định nghĩa tích phân kép trên miền hình chữ nhật -. - =5 TÔ

2.2 Định nghĩa tích phân kép trên miền tông QUát: . - 2-2 <5-5s<<5s<2 11

3 TÍNH CHẤT TÍCH PHẦN KÉP -. - 5-5 2252 StS‡ESE+EvEctrerrrrrrrrrrersrerere 14

4 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN KÉP . - 5: 7+c+ccc+eccecers 14 4.1 Dura vé son in ẽ 14 4.2 Biến đôi trong tích phân kép +-+ +2 ++2+s+z£ze+xzt+zeeexerzerseeeerrsrereerre 16

4.2.2 Tích phân kép trong tọa độ CựC - - SH HH HH» nghe 17

5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP - G5 Scccerrerrerrrrerrrrrrrrrrree 18 5.1 Tinh didn tich MiGN 900 18

5.2 Tính diện tích mặt CON: - - << 1S SH HH TH HE 19 5.3 Tính khối lượng bản phang không đồng chất: .- 5-5 +s2s<s<+s=s+s 20

LỜI NÓI ĐẦU Lời đầu tiên, chúng em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến Trường ĐH Bách Khoa HCM

đã mang đến bộ môn Giải tích 2 vào chương trình giảng dạy, đầy kiến thức bỏ ích và

thú vị này

Đặt biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Huỳnh Th¿ Vu đã hướng dan va

truyền đạt kiến thức cho chúng em những ngày qua để chúng em làm được bài báo cáo

này Trong suốt quá trình học và tiếp thu kiến thức, chúng em nhận tháy bản thân mình

giỏi lên hàng ngày, tư duy được nhiều bài toán khó, và đạt được hiệu quả cao trong học tập Chắc rằng, đây là kiến thức quý báu và là hành trang cho chúng em trên con đường

Sau này

Lượng kiến thức của chúng em chỉ nhát định, không biết hét tất cả, mặc dù chúng em

đã cô hết sức nhưng có thê không thê tránh khỏi những thiếu sót trong bài báo cáo này

Kính mong các cô xem xét, góp ý để cho bài báo cáo của chúng em được hoàn thiện hơn

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

NOI DUNG

1 CO SO LY THUYET HINH THANH NEN TICH PHAN KEP

1.1 Cơ sở hình thành khối lượng

Giả sử một sợi dây thăng, mỏng có chiều dài (b — a) được đặt trên trục x của hệ trục

tọa độ như Hình 1 Giá sử rằng dây có mật độ khói lượng tuyến tính được cho bởi ƒ (x) không âm trên [a,b| , với a <x <b Cho P = {xạ,xị,xạ, , x„} trong đó a = xạ Và

b = x„ Khi đó tính liên tục của f cho chúng ta biết rằng: ƒ(+x) ~ ƒ(c„) với x nam trong đoạn [x„_¡,x„ | trong đó cụ là điểm đánh giád trong đoạn ni với điều kiện n

phải đủ lớn Do đó khôi lượng của đoạn dây trong khoảng là:

Do đó, khối lượng của đường cong bảng với giá trị khối lượng của diện tích (phản tô

đậm không âm trên Hình 1)

1.2 Cơ sớ hình thành thể tích

Xét một hình chữ nhật đồng chát như Hình 2 Có mật độ khói lượng không đổi là ”

Khi đó khối lượng của hình chữ nhật trên là: mm = kÍb — a)(d — c) cme

* THE TICH GIỮA BẺ MẶT VÀ MỘT HÌNH CHỮ NHẬT

Chúng ta can chứng minh rằng thể tích của khối S có thê được định nghĩa là giới hạn của tông Riemamn

Giả sử hàm f(x,y) liên tục và không âm của 2 biến được xác định trên hình chữ nhật

R ={a,b| x [c,đ] = {(x,y)/a < x < b,c < y < d}

Gia su:

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

+ đ =#ụ <#\ < < x;¿_¡ <#¡ < < xạ = b là một phân hoạch đều của [a, bị thành

m khoảng có độ dài Ax = 0=)

+C = Vụ < Vị < <W¡_1 2y, < < 1 = đ là một phân hoạch đều của Ic, d| thanh

n khoảng có độ dài Ay =-#=9)

Lưới (như Hình 4) bao gồih các đoạn thắng thăng đứng x = x;, với 0 < ¡ < m và các

đường năm ngang 3 = y;, với 0 < j < r: phân vùng R thành N=mn hình chữ nhật con Rị,Ra, , Rụ, Rưạ , Trong đó Rụ = [x:-:,x:] x [z;-+.3,] = {(x, y) [xi <x< XY1SVS y} như Hình 4 Diện tích mỗi hình chữ nhật con là A4 = AxAy

thành W = mm khối Khối S, được giới hạn dưới bởi R„ và bên trên bởi bề mặt z = (x,y) (Xem Hình 5)

Néu m và n tiến về vô cùng thì theo trực giác ta có thẻ tính được sắp xĩ gần đúng nhất

thê tích của S Dieu nay dan dén định nghĩa:

* ĐỊNH NGHĨA: Thê tích của đồ thị z = (x,y)

Cho ƒ xác định trên hình chữ nhật R và ƒ(x,y) > 0 Khi đó thẻ tích V của khối S

nam trén R va dudi mat z = f(x,y) la:

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

VÍ DỤ: Tính gần đúng thẻ tích của V nằm dưới parabolid z = 8 — 2x? — y? và năm

trên hình chữ nhật R = {(x,y)/0 < x <1,0 < y <2} Sử dụng phân vùng P cua R

thu được băng cách chia hình chữ nhật R thành 4 hình chữ nhật con với các đường thăng X= - và y =1, chọn điểm đánh giá (x7 ¥y") là góc trên bên phải của R,;.(Xem

2 DINH NGHĨA TÍCH PHAN KEP

2.1 Dinh nghia tích phân kép trên miền hình chữ nhật

* Định nghĩa Tông Riemann

Chof là hàm liên tục và có hai biến xác định trên miền hình chữ nhật R và cho P =

{R„} là vùng phân hoạch của R Tổng Riemann của f trên R đói với phân vùng P và

(xij, Vij) la diém danh gia trong R, la tông có dạng :

* Định nghĩa tích phân kép trên miền hình chữ nhật R

Chof là hàm liên tục và có hai biến xác định trên miền hình chữ nhật R Tích phân kép của f trên R là:

[[f(«v0d4 ImŠ`S" f(x, yọ

néu giới hạn này tồn tại tại mọi điểm đánh giá (x,y) trong Ri

2.2 Định nghĩa tích phân kép trên miền tổng quát:

Hình 7

Cho ƒ(+x,y) > 0 là hàm giới hạn được xác định trên miền D như Hình 7 Vì miền D bị

chặn nên có thẻ nằm trong mièn hình chữ nhật R Giả sử Q là một phân hoạch đều chia

hình chữ nhật R thành các hình chữ nhật con là: Rị, Rị›, , Rụ, Rưn

(x,y) Nếu (x,y)thuộc miền D

_f

fo (x y) 5 { Nếu (xy) nam trong R nhung không thuộc miền D

Giá trị của ƒ› tương ứng với điểm (x, y) thuộc miền D

fp nhan gia tri bằng 0 néu (x,y) nằm ngoài miền D (Xem Hình 8)

11

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

+ Nếu ø( % W> (là hàm mật độ khói lượng th[ƒ,2(x,y) di là khói lượng của vật

năm trên miền D và dưới mặt z=f(x,y)

VÍ DỤ: Tính gần đúng giá trị của [ƒ (x + 2y)dA

như Hình 9 Sử dụng tẻng Riemapn của ƒ(z,y)tteng-đớ} đồnW@ng€ 9ữñd)6P thu

12

được bằng cách chia hình chữ nhật R = {(x,y)/0 < x < 2,0 < y < 3} thành 12 hình

chữ nhật con băng cách lấy m=4 và n=8 Lấy các điểm đánh giá là tâm của Rụ

Hình 9

GIẢI:

2-0) (3-0 1

AA = AxAy =‘ Ạ ) ( 3 )-

Ta co: f (x ) _ f (x, y) = 0 Néu (xy) thuộc miền D

: Dey | Nếu (xy) không thuộc mién D

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

3 TINH GHAT TICH PHAN KEP

Cho f và g xác định trên miền giới hạn D, sao cho [ƒ ƒ(x,y)dà [[ g(x,y)dA _

4.Néu € x y 9x trên miền D,thi[ƒ f(x,y) dA [Ê g x y «

5 Néu D = D, UD, trong dé D, va D, la hai vung không chồng lên nhau, ngoại trừ

ranh giới của chúng (Xem Hình 10) thi :

ff fy) da ÍE x, y) dAlÍ+ {xy

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

2 D={(x,y):-2 sy < 457, <x<yt4}

4.2 Bién déi trong tich phan kép

4.2.1 Bién đổi tổng quá

Giả sử x = x(u,0),y = y(u, 0) là hai hàm có đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng,

Dị chặn D„„ Gọi D„y = {(x,y)/x = x(u, 0),y = y(u, v), (u, v) € Duy}

Neu f(x,y) khả tích trên D„„ và định thức Jacobi

( )- Ox Ox

D(x, y av j= D(u, v)— = (5 y ay +0

Thay x = r.cos(@Ÿ, y = r.sin(@) vào (x — 1)? +y? = 1,ta được r = 2.cos(ø)

Vậy Dry = {(r, ):0<@< oS 0<r< 2cos(ø)}

17

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

Tr 2cos(ø) Tr

; drd a :

Do dé: J = No» wae = Jựdø J Va? =2 a — sin(y))do = Tr— 2

5 UNG DUNG CUA TICH PHAN KEP

5.1 Tinh dién tich mién D:

18

Xét mặt cong P (giới hạn bởi một đường kín) có phương trìnhz =Ý x È(Í(X Ỳ

liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục)

Gọi D là hình chiếu vuông góc của P lên mặt phăng Oxy

19

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

Ta có công thức tính diện tích của mặt cong P:

Cho một bản phăng chiếm miền D trong mặt phăng Oxy và có khối lượng riêng tại diém

Mx, y ela p=p(% YW p= ø( X Y)iên tục trên D) Khi đó, khối lượng của bản phăng là:

20

VD: Tính khối lượng của bản phăng hình tròn tâm O(0,0) bán kính R biết rằng khối

V= Sf f(x y)dxdy

VD: Tính thẻ tích của vật thẻ giới hạn bởi y = 1+ x2, z = 3x,y = 5,z = 0 (phan

x> 0)

21

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

Hình 18

Giải:

Vat thé 2 được giới hạn bởi mặt trên z = 3x và mặt dưới z = 0 , hình chiếu D xuống

mặt phẳng Oxy được gọi giới hạn bởi những đường thăng

y=1+x”,y=5,x=0 Nhu vay, thé tich cua vat thé 2 là

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

18 ‘I! =aX=„Y|đA =(xỳ2x3y12;x 3 { 3 dA R= 2x3y 12; 0; 0;y }

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

7 TONG KET

* UU DIEM

Tích phân kép là một công cụ toán học mạnh mẽ được ứng dụng trong các bài toán thực

tế rất nhiều Nhờ những ưu điểm này, tích phân kép trở thành một công cụ quan trọng

và không thẻ thiếu trong toán học ứng dụng, giúp giải quyét nhiều vấn đẻ trong các lĩnh

vực khoa học và kỹ thuật

- Tính diện tích bề mặt: Tích phân kép cho phép tính toán diện tích của một vùng dưới

một bẻ mặt xác định bởi một hàm hai biến Điều này rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực

như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật

- Tính thể tích c¿a khái: Khi kết hợp với tích phân đơn, tích phân kép có thê được Sử

dụng đề tính thể tích của các khói hình phức tạp trong không gian ba chiêu

-Ứng dựng trong xác suát và thống kê: Tích phân kép được sử dụng trong lý thuyết xác suất đề tính các xác suất của các biến ngẫu nhiên hai chiều, cũng như để tìm các kỳ

Vọng và phương sai của chúng

- Giái quyết các bài toán thực tế: Tích phân kép có thê được ứng dụng đẻ giải quyết các bài toán thực tế như tính tông năng lượng tiêu thụ, phân phối nhiệt độ trong một vật thẻ,

và nhiều ứng dụng khác trong khoa học và kỹ thuật

- Chuyến đổi hệ tọa độ: Tích phân kép cho phép chuyên đổi giữa các hệ tọa độ khác

nhau (như tọa độ vuông góc, tọa độ cực), giúp đơn giản hóa việc giải các bài toán phức tạp

- Linh hoạt và tổng quát: Tích phân kép có thẻ áp dụng cho các vùng tích phân phức tạp với các đường biên không đều và các hàm phức tạp, cung cáp sự linh hoạt và tổng

quát hóa cao trong việc giải các bài toán

- Tính chát tuyến tính: Tích phân kép thừa hưởng tính chất tuyến tính của tích phân đơn,

cho phép chia nhỏ các bài toán phức tạp thành những bài toán đơn giản hơn và sau đó

tông hợp kết quả

* NHUOC DIEM

- Phức tạp trong tính toán: Việc tính tích phân kép thường phức tạp hơn so với tích phân đơn Các bước tính toán có thê trở nên rất rắc rối, đặc biệt khi tích phân trên các

miền không đơn giản hoặc khi hàm cần tích phân phức tạp

- Khó xác định miền tích phân: Xác định miền tích phân có thê là một thách thức, đặc

biệt đối với các miền có biên dạng phức tạp Điều này yêu cầu phải hiểu rõ về hình học của miền tích phân và có thê càn sử dụng nhiều kỹ thuật khác nhau để miêu tả miền đó

28

- Chuyển đổi hệ tọa độ phức tạp: Dù chuyền đôi hệ tọa độ có thẻ đơn giản hóa một số bài toán, quá trình chuyên đổi và tính toán Jacobian có thẻ phức tạp và dễ gây nhằm lẫn,

đặc biệt đối với những người chưa quen thuộc với các phép biến đôi này

- Đô chính xác số học: Khi thực hiện tính toán bằng máy tính, các tích phân kép có thẻ dẫn đén các vấn đẻ về độ chính xác số học, đặc biệt là khi các miền tích phân hoặc hàm

số có độ phức tạp cao Sai só làm tròn và sai số tích lũy có thê ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng

- Khó khăn trong việc giải tích phân bá: định: Trong nhiều trường hợp, tích phân kép

không thẻ giải được bằng các phương pháp giải tích (analytical methods) ma phai dya

vào các phương pháp số học hoặc phương pháp xấp xỉ Điều này làm cho việc giải tích phân kép trở nên phức tạp và tốn nhiều thời gian hơn

- Yêu cẩu kiến thức nền tảng mạnh: Đề áp dụng tích phân kép một cách hiệu quả, người

học cần có kiến thức vững chắc về giải tích, hình học và các phương pháp tích phân Điều này có thẻ là rào cản đối với những người mới bắt đầu học hoặc những người

không chuyên vẻ toán học

Mặc dù có những nhược điểm này, nhưng tích phân kép vẫn là một công cụ quan trọng

và mạnh mẽ trong toán học và các lĩnh vực ứng dụng Việc nắm vững các kỹ thuật và

phương pháp liên quan đến tích phân kép sẽ giúp giải quyết được nhiều vần đẻ phức tạp trong thực tế

29

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Nhóm 10_L08

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sach “Soo T Tan — Multivariable Calculus(2009)”, phan 14.1 Double Integrals,

trang 1148

[2] Gido trinh Gidi tich 2 - Nguyễn Dinh Huy, Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương,

Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thé Phiệt - NXB Đại học Quốc gia Thành phó

hồ Chí Minh

[3] https:/vi.wikipedia.org/wiki/T %C3%ADch_ph%C3%A2n_b%E1%BB%99i [4] Slide bài giáng cô Huỳnh Thị Vu

[5] Tích phân bội 2 trong tài liệu wed: https://elearning.tcu.edu.vn/

[6] Stewart, James (2008) Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole

Cengage Learning

30