Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 Đề tài Đạo hàm và vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Báo cáo bài tập lớn Môn : Giải tích 1 Đề tài: Đạo hàm và Vi phân Nhóm 2 - Lớp P03... Điều kiện cần và đủ để hàm f có đạo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Báo cáo bài tập lớn Môn : Giải tích 1

Đề tài: Đạo hàm và Vi phân Nhóm 2 - Lớp P03

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 | Mục lục

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 3

I.1 Đạo hàm và Vi phân

I.1.1 Đạo hàm 3

I.1.2 Vi phân 4

I.1.3 Đạo hàm cấp cao 5

I.2 Các đinh lý của hàm khả vi 6

I.3 Khai triển Taylor-Maclaurin 7

I.4 Sự biến thiên của hàm

I.5 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong 9

I.5.1 Đường cong cho bởi phương trình y =f (x ) 9

I.5.2 Đường cong cho bởi phương trình tham số 10

II BÀI TẬP THAM KHẢO 11

II.1 Bài 1 11

II.2 Bài 2 12

II 3 Bài 3 12

II.4 Bài 4 12

II.5 Bài 5 14

II.6 Bài 6 14

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.1 Đạo hàm và Vi phân

I.1.1 Đạo hàm

Định nghĩa 1: Cho f : I → Rvà a I Hàm f(x) có đạo hàm tại a nếu tồn tại giới hạn:∈

lim

x→ a

f (x )−f (a )

Cho ∆x là một đại lượng có trị tuyệt đối khá bé sao cho a + ∆x I và gọi là số gia của đối∈

số x

Đại lượng: ∆ y f= (a + ∆ x)−f (a)

Được gọi là số gia của hàm số tương ứng tại a.Khi đó công thức có thể viết lại:

f '

(a)= lim

∆ x→ 0

∆ y

∆ x →0

f ( a+ ∆ x)−f ( a)

x −a

Định nghĩa 2:

Hàm f(x) có đạo hàm bên phải tại x = a nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

lim

x→ a+f (x )−f (a ) x−a =f '¿¿

¿

Hàm f(x) có đạo hàm bên trái tại x = a nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

lim

x→ a− ¿f (x )− f (a ) x−a =f '¿ ¿

¿

 Định lý 1 : Cho f : I → R Điều kiện cần và đủ để hàm f có đạo hàm tại x = a là nó

có các đạo hàm trái và phải tại a và chúng bằng nhau

Định nghĩa 3 : Hàm f : (a ,b ) → R có đạo hàm trong khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi x(a,b)

Định nghĩa 4: Hàm f :[a , b]→ R có đạo hàm trong đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi x(a, b), có đạo hàm phải tại a và trái tại b

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

 Định lý 2: Cho f , g : I → R là hai hàm có đạo hàm tại mọi x ∈ I Khi đó :

1 ∀ x ∈ I ,(f (x )± g( x ))'

=f ' ( x)+g ' ( x)

2 ∀ x ∈ I , C −hằng số ,(Cf ( x))'

=C f ' ( x )

3 ∀ x ∈ I ,(f ( x )g (x ))'

=f '

(x ) g(x ) +f ( x )g ' ( x)

4 ∀ x ∈ I(f g( x )) (x) '

=f

'

( x)g ( x)−f ( x) g '

( x)

g2(x )

 Định lý 3 (Đạo hàm hàm hợp ): Cho I, J là 2 khoảng của

R , x ∈ I , f : I → R , g : J → R , f (I )⊂ J:

(g ∘ f ) '

=g '(f (x ))f ' (x )

 Định lý 4 (đạo hàm hàm ngược ): Cho x ∈ I và f : I → f (I) ⊂R là hàm liên tục,

f−1: f (I )→ Icũng có đạo hàm tại f(x): (f−1)(f ( x))= 1

f ' ( x ).

I.1.2 Vi phân

Định nghĩa 1: Nếu tồn tại 1 hằng số A sao cho:

∆ y =A ∆ x ο+ (∆ x), (∆ x → 0)

Thì hàm f(x) khả vi tại x =a và biểu thức A ∆ x là vi phân của f(x) tại a và viết

dy df= (a)= A ∆ x

 Định lý: Hàm f(x) khả vi tại a khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm tại a và

df (a ) =f ' (a ) ∆ x

Ta có thể đồng nhất hai khái niệm đạo hàm và vi phân theo nghĩa hàm có đạo hàm thì khả

vi và ngược lại

Từ đó ta cũng có các quy tắc của vi phân tương tự như đạo hàm:

2 d (αf )=α df

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

3 d (fg) =gdf + fdg

4 d(f

g)=gdf −fdg

g2

I.1.3 Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1 : Cho f : I → R, hàm (x) có đạo hàm tại  ∀ x ∈ I kí hiệu f (x) (đạo hàm cấp 1 của f(x)) thì f(x) cũng có đạo hàm trong I, kí hiệu f(x) ( đạo hàm cấp 2 của f(x))

Cứ như thế ta có đạo hàm cấp 3 f(x), đạo hàm cấp 4 f(4)(x), Đạo hàm cấp n-1 f(n-1)(x), đạo hàm cấp n (n)(x)

Chú ý: f(0)(x )=f (x)

Một số công thức đạo hàm cấp cao:

1 [(1+x ) a](n)

TH a=−1:( 1

1+x)(n )

n

n!

( 1+x ) n+1

2 (a x

)(n )

=a x

(lna) n

Đặc biệt(e x

)(n)

=e x

3 [ln(1+x )](n )

=(−1)n−1

( n−1)!

4 ( sin x) (n )

=sin(x +n π

2)

5 ( cos x) ( n) =cos(x +n π

2¿)¿

6 ( arctan x) (n)=( n+1)! cosn (arctan x¿).sin[n(arctanx+π

2) ]¿

 Định lý : Cho C ∈ R ,n ∈ N¿, f , g : I → R làcác đạo hàm cấp n trong I Khi đó :

1 ( f ± g) (n ) =f (n) ± g ( n)

2 ( Cf ) (n) =C f ( n)

3 Công thức Leibnitz : (f g ) ( n)=∑

k=0 n

C n f (k ) g ( n−k)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

I.2 Các đinh lý của hàm khả vi

Cho hàm f :[a,b] →R Giả sử f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong [a,b]:

1 Định lý Rolle: {f (a) =f (b)

∃c ∈ (a , b)=¿f ' (c)=0

2 Định lý Lagrange: ∃ c ∈(a ,b )sao cho f ' ( c) = f (b)−f ( a)

b −a

3 Định lý Cauchy: Cho f, g : [a,b] → R là hai hàm liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b)

và g’(x) ≠ 0, x (a,b) Khi đó ∀ ∈ ∃ c ∈(a ,b )sao cho :(f ' ( c)

g ' (c ))=f ( b)−f (a)

g( b)−g( a)

4 Quy tắc L’Hopitale: cho f, g: I(a) → R là các VCB khi x → a Giả sử f, g khả vi

trong I(a), g’(x) ≠ 0, x I(a) và tồn tại giới hạn ∀ ∈ lim

x→ a

f ' ( x )

g ' (x ) = A Khi đó lim

x→ a

f (x) g( x ) =A

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

I.3 Khai triển Taylor-Maclaurin

Khai triển Taylor hàm f(x) theo lũy thừa x −x0(x0 cho trước):

f ( x)=f(x0)+f

'(x0)

1 ! (x −x0)+…+ f

((n))(x0)

n! (x −x0)n

Khi x = 0 ta có khai triển Maclaurin:0

f ( x)=f (0)+ f

'(0)

1 ! x+f

' '(0)

2

(n)( 0)

n ! x

n

Phần dư dạng Larange: r n ( x)= f ( n+1 ) (c)

(n+1) !(x −x0)n+1

Phần dư dạng Peano: r n ( x)=ο( (x −x0)n)

Khai triển Maclaurin của 1 số hàm sơ cấp thường dùng :

1 e x

2

n

n! +ο(x n)

2 sinx x= −x

3

3 ! + …+(−1)

m

x 2 m+1

(2 m+1) ! +ο(x 2 m+ 2)

3 cosx=1−x

2

2 !+ +(−1)

m

x 2 m

(2m )! +ο(x 2 m+ 1)

4 (1+x) a

2

+…+ a(a−1 ) (a−n+1)

n

+ο(x n)

Các TH đặc biệt :

x n +ο(x n)

n−1

x n

n +ο(x n)

5 arctanx =x − x3

m

x (2 m+1 )

6 tanx =x + x3

3+ο (x4)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

I.4 Sự biến thiên của hàm

 Định lý 1: Giả sử hàm f ( x)xác định và có đạo hàm hữu hạn trong ( a , b),(a<b )Để cho hàm f ( x) là hằng số trên (a , b)thì điều kiện cần và đủ là f ' (x )=0trong (a , b)

Hệ quả định lý 1: Giả sử hai hàm f ( x) , g (x ) xác định và có đạo hàm hữu hạn trong

(a , b) Khi đó nếu f ' (x )=g ' ( x ) trong ( a , b) thì f ( x) và g ( x) chỉ khác nhau một hằng số:

f ( x)=g (x )+C

 Định lý 2: Giả sử hàm f (x) xác định và có đạo hàm hữu hạn trong khoảng (a,b) Điều kiện cần và đủ để f (x) tăng (giảm) trong (a,b) là

f ' (x )≥ 0 ,(f ' ( x) ≤0)trong (a , b)

Định nghĩa 1: Xét hàm f ( x) xác định trong lân cận U (x0) của điểm x0 Hàm fcó cực đại(cực tiểu) tại x0nếu với mọi x ∈ U(x0), f (x) ≤ f(x0)(f ( x ) ≥ f(x0)) Nếu hàm có cực đại hoặc cực tiểu tại x0thì ta nói hàm có cực trị tại x0

 Định lý 3(Fermat): Gỉa sử hàm f ( x) xác định trong lân cận U(x0) của điểm x0và có cực triệu tại điểm đó Nếu tại x0hàm có đạo hàm hữu hạn thì f '(x0)=0

 Định lý 4 (Điều kiện đủ thứ 1) Giả sử f (x) xác định trong U (x¿¿0)¿ và x0 là điểm dừng :

a Nếu ∀ x ∈U (x¿¿0), x< x0¿hàm f (x) tăng và ∀ x ∈U(x0), x > x0 hàm f (x) giảm thì hàm f ( x) đạt cực đại tại x0

b Nếu ∀ x ∈U(x0), x < x0 hàm f (x) giảm và ∀ x ∈U(x0), x > x0 hàm f ( x)tăng thì hàm f ( x) dạt cực tiểu tại x0

 Định lý 5 (Điều kiện đủ thứ 2 ) Giả sử f ( x) xác định và có đạo hàm hữu hạn trong U(x0)và x0 là điểm dừng

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

a Nếu ∀ x ∈U(x0), x , <x0, f ' ( x) ≥ 0và ∀ x ∈U(x0), x > x0, f ' ( x)≤ 0 thì hàm f ( x) đạt cực đại tại x0

b Nếu ∀ x ∈U(x0), x < x0, f ' ( x)≤ 0 và ∀ x ∈U(x0), x > x0, f ' ( x)≥ 0 thì hàm f (x) đạt cực tiểu tại x0

 Định lý 6 (Điều kiện đủ thứ 3) Giả sử f (x) xác định và có đạo hàm hữu hạn trong

U (x¿¿0)¿ và x0 là điểm dừng

a Nếu f ''

(x0)<0thì hàm f (x) đạt cực đại tại x0

b Nếu f ''(x0)>0 thì hàm f (x) đạt cực tiểu tại x0

I.5 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong

I.5.1 Đường cong cho bởi phương trình y =f (x )

Việc khảo sát và vẽ đồ thị được tiến hành theo các bước sau:

(1) Tìm miền xác định, khảo sát tính chẵn lẻ , tuần hoàn

(2) Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên để khỏa sát tính đơn điệu và cực trị

(3) Tìm các đường tiệm cận:

a Nếu x → a mà y → ± ∞ thì đường thẳng x =a là tiệm cận đứng (TCĐ)

b Nếu x → ± ∞ mà y → bthì đường thẳng y =b là tiệm cận ngang (TCN)

c Nếu x → ± ∞ , y →± ∞ và tồn tại các giới hạn

lim

x→ ±∞

y

thì đường thẳng y =ax b+ là tiệm cận xiên(TCX)

Chú ý: Có thể chỉ có tiệm cận 1 phía

(4) Vẽ đồ thị hàm số

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 | I.5.2 Đường cong cho bởi phương trình tham số

Đường cong tham số cho bởi {x =x (t )

cong hàm số

Lưu ý:

1 y ' x=y

'

t

x '

t

2 Tại các giá trị t0:

 y '

x(t0)=0: tiếp tuyến song song với trục hoành

 y '

x(t0)=± ∞: tiếp tuyến song song với trục tung

3 Nếut → t0, x → a , y → ± ∞: đường x =alà TCĐ

4 Nếu t → t0, x → ± ∞ , y →b: đường y = b là TCN

5 Nếu t → t0, x → ± ∞ , y →± ∞, tồn tại các giới hạn

lim

t →t0

y (t )

x (t ) =a , lim t → t0

( y(t )−ax (t ))=b thì đường y =ax b+ là TCX

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

II.1 Bài 1 : Tìm giá trị trung gian c trên [0 , 2] của f ( x) :

f ( x) :{3−x2

2 nếu 0≤ x ≤ 1 1

x nếu 1 <x <+ ∞

Giải

Ta có: ¿

 hàm số liên tục tại x=1

Vậy hàm số liên tục trên [0 ,+∞]

¿

 Hàm số khả vi tại x=1

Vậy hàm số khả vi trên [0 ,+∞]

Vậy f ' (x )={−x nếu 0 ≤ x ≤ 1

−1

x2nếu 1 <x<+∞

Theo định lý Larange, tồn tại c thuộc [0,2] sao cho:

f ' (c)= f (2) −f (0 )

−1 2

TH1: c ∈[0 , 1]

−c=−1

2

 c=1

2

TH2: c ∈ (1 ,+∞ )

=>−1

c2=−1

2

 c=√2 (loại c=−√2 vì c ∈ (1 ,+∞ )¿

Vậy c ∈{1

2;√2}

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 | II.2 Tìm khai triển Maclaurin của hàm f ( x) : e 2 x−x

5

đến x5 Giải

Ta có e 2 x−x

2

=1+(2 x−x2)+( (2 x−x2) )2

2 +(2 x−x2)3

3! +(2 x−x2)4

4! +(2 x−x2)5

5! +ο(x5)

¿1+2 x x+ 2−2

3

3

6

4

5+ ο(x5)

II.3 Tìm y” của hàm số sau:(x)

{x(t )=e t cos t

y (t) =e t

sin t

Giải

cos t −e t

sin t e t

¿¿¿

x '' (t )=e t

¿

y ' (t)=e t

sin t +e t

.cos t

y ' ' (t) =e t

¿

¿> y } rsub {x} = {{{y} ^ {''}} rsub {t}} over {{{x} ^ {''}} rsub {t}} =- cot {t¿

II.4 Khảo sát và vẽ đồ thì hàm số:

x= 3 t 1+t3

y= 3 t

2

(1+t3)

Giải

Miền xác định: x (t ) , y ( t) xác định ∀ t ≠−1

x ' (t )=3(1−2 t3) (t3+1)2 ; x ' (t)=0≤¿t=31

√2

y '

(t )=3(2 t t−4) (t3+1)2 ; y ' (t)=0≤¿t=√32

+∞

3

√4

0

3

√2

0

−∞

+∞

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

Bảng biến thiên

t

−∞ -1 0 31

√2 3√2 +∞

x ' (t) +¿ +¿ +¿ 0 −¿ −¿

x (t)

y (t )

y ' (x ) ∞ 0 0

y ' (x )= y

' (t )

x ' (t )=

(2t t−4) (1−2 t3)

t →−1

y (t ) x(t )= lim

t →−1

3t2

t →−1(y( t )−mx( t ))= lim

t →−1(3 t2

t3

3 t

t3+1)=1

Tiệm cận xiên y=− −1x

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

II.5 Cho hàm f ( x)=(x2+1) e x Tìm f(2023 )(0).

Giải

Áp dụng công thức Lebniz: f (n) ( x )=C n(x2

+1)e x

+C n (2 x )e x

+C n (2)e x

¿[ (x2

+1)+2 nx+(n (n+1)

2 )2]e x

¿>f (n) (0)=n2

−n+1

Do đó: f(2023)(0 )=2023 2023 12− + =¿4090507

II.6 Tính giới hạn sau:

lim

x →0

x(e x+1)−2(e x−1)

x3

Ta có:

e x

2

3

3! +ο(x3)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

Nên: x(e x

+1)−2(e x

−1)=x(2+x +x

2

3

6+ο(x3) )−2(x2

3

3 ! +ο(x3) )=x

3

6+ο(x3)

Vậy

lim

x →0

x(e x+1)−2(e x−1)

x3 =lim

x→ 0(x3

6+ο(x3)

x3 )=1 6

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |

Tài liệu tham khảo

(1) Trần Lưu Cường-Lê Thái Thanh, Giáo trình toán 1 (chương trình chất lượng cao Việt-Pháp) ,NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh]

(2) Jean-Marie Monier, Giáo trình Toán-Tập 1 :Giải Tích 1,NXB Giáo Dục, Hà Nội-1999

(3) Bài tập chương 3 (tuần 3): Đạo hàm và Vi phân

(4) Đề thi giữa kì 1 Việt-Pháp 2023-2024

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN NHÓM 2 |