BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH GVHD: Nguyễn Văn Thìn NHĨM: LỚP: L11 Ngày 15 tháng năm 2022 BTL Giải tích Nhóm Danh sách thành viên STT Tên Huỳnh Tuấn Kiệt Lê Nguyễn Quỳnh Mai Chung Thanh Quỳnh Lê Phước Tài Lê Quốc Tài Nội dung câu hỏi Lý thuyết chương I: Hàm nhiều biến Lý thuyết chương III: Tích phân đường Bài tập tính tốn Ứng dụng tích phân MSSV 2111595 2114010 2114612 2114682 2112223 BTL Giải tích Nhóm Mục lục Chương I: Hàm nhiều biến 1.1 Các định nghĩa 1.2 Đạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến 3 1.3 Đạo hàm hàm hợp 1.4 Đạo hàm hàm ẩn 1.5 Đạo hàm theo hướng ý nghĩa 7 1.6 Vector gradient - Vector pháp tuyến 1.7 Khai triển Taylor - Maclaurint 1.8 Mặt bậc hai 1.9 Cực trị - Gía trị lớn nhất, Giá trị nhỏ 11 Chương III: Tích phân đường 14 2.1 Tham số hóa đường cong mặt phẳng 14 2.2 Tích phân đường loại 14 2.3 Tích phân đường loại 16 Bài tập áp dụng 18 Ứng dụng tích phân 45 Tổng kết 47 BTL Giải tích Nhóm Chương I: Hàm nhiều biến 1.1 Các định nghĩa a) Hàm biến Cho D tập R2 Hàm biến f(x, y) ánh xa f :D→R (x, y) → f(x, y) = z b) Miền xác định, miền giá trị Miền (Tập) xác định hàm tập tất giá trị (x, y) làm biểu thức hàm có nghĩa Miền (Tập) giá trị hàm tập tất giá trị mà hàm nhận c) Đồ thị hàm nhiều biến Cho f(x, y) hàm biến với MXĐ D Đồ thị hàm f tập tất điểm M (x, y, z) ∈ R3 , với (x, y) ∈ D , z = f(x, y) d) Đường mức Đường mức hàm biến f(x, y) đường cong f(x, y) = k (k số tùy ý thuộc tập giá trị hàm) mặt phẳng Oxy 1.2 Đạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến a) Đạo hàm riêng ý nghĩa BTL Giải tích Nhóm Cho hàm biến f(x, y), điểm (x0 , y0 ) thuộc miền xác định hàm f Đặt g (x) = f(x, y0 ), hàm g (x) có đạo hàm x = x0 ta gọi đạo hàm riêng theo biến x hàm f điểm (x0 , y0 ) ký hiệu là: ′ fx (x0 , y0 ) = ∂f ′ (x0 , y0 ) = Dx f(x0 , y0 ) = g (x0 ) ∂x Với hàm có nhiều biến, ta lấy đạo hàm riêng tương tự Quy tắc: Khi lấy đạo hàm riêng theo biến, ta xem biến khác số Trong số trường hợp, ta phải tính đạo hàm riêng định nghĩa gốc đạo hàm: ′ fx (x0 , y0 ) = ∂f f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim h ∂x h→0 Ý nghĩa đạo hàm riêng: tốc độ biến thiên (độ dốc hay hệ số góc), đồ thị hàm số f(x, y) điểm (x0 , y0 ) theo hướng trục ′ Ox f y (x0 , y0 ) có ý nghĩa tương tự theo hướng trục Oy b) Tiếp diện mặt cong Phương trình tiếp diện hàm z(x, y) (x0 , y0 ): ′ ′ z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) Phương trình tiếp diện dạng hàm z(x, y) (x0 , y0 ) coi xấp xß tuyến tính hàm z(x, y) lân cận (x0 , y0 ) (càng gần (x0 , y0 ), sai số nhỏ) c) Khả vi - Vi phân Cho hàm biến z = f(x, y), ta cho biến x, y số gia ∆x, ∆y số gia tương ứng hàm ∆f , định nghĩa bằng: ∆f = f(x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) BTL Giải tích Nhóm Hàm cho gọi khả vi (x0 , y0 ) số gia hàm viết dạng: ′ ′ ∆f = f x (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y Trong đó: ε1 → 0, ε2 → ∆x → 0, ∆y → Tuy nhiên, việc xem xét hàm khả vi định nghĩa tương đối vất vả, thay vào đó, ta kiểm tra định lý sau: Nếu hàm f(x, y) có đạo hàm riêng theo x, y lân cận (x0 , y0 ) liên tục hàm khả vi (x0 , y0 ) Vi phân cấp 1: Nếu hàm biến z = f(x, y) khả vi (x0 , y0 ), ta coi dx, dy biến độc lập gọi vi phân hàm là: ′ ′ dz = fx dx + f y dy Vi phân cấp cao: thực chất vi phân cấp n là: dn f = d(dn−1 f) Tuy nhiên, việc tính vi phân phức tạp, để đơn giản hơn, ta dùng công thức : n d f= n  k=1 Cnk ∂ nf dxn−k dy k n−k k n∂x dy d) Đạo hàm cấp cao Hàm f(x, y) có đạo hàm riêng (nói chung) lại hàm biến Ta định nghĩa đạo hàm cấp đạo hàm đạo hàm riêng cấp Và ta có đạo hàm cấp sau: - Đạo hàm cấp theo x : ′ ′ ∂ 2f fxx (x0 , y0 ) = (x0 ; y0 ) = (fx )x ∂x ′′ - Đạo hàm cấp theo y : BTL Giải tích Nhóm ′′ fyy (x0 , y0 ) = ′ ′ ∂ 2f )y (x ; y ) = (f 0 y ∂y - Đạo hàm hỗn hợp : ′ ′ ∂ 2f (x0 ; y0 ) = (fx )y f xy (x0 , y0 ) = ∂x∂y ′′ ′′ f yx (x0 , y0 ) = ′ ′ ∂ 2f (x0 ; y0 ) = (fy )x ∂y∂x ′ ′′ ′′ ′′ Định lý Schwarz: Nếu hàm f(x, y) có đạo hàm riêng fx , fy , fxx , fxy , fyy ′′ miền mở chứa (x0 , y0 ) liên tục (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 ) = ′′ fyx (x0 , y0 ) ′ Định lý Schwarz cho đạo hàm riêng từ cấp trở lên Tức đạo hàm riêng hỗn hợp số lần lấy đạo hàm theo biến nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo biến 1.3 Đạo hàm hàm hợp a) Đạo hàm cấp Cho hàm z = z(x, y) khả vi miền D ; biến x, y không biến độc lập mà hàm theo biến t: x = x(t), y = y(t) khả vi khoảng (t1 , t2 ).Khi đó, z hàm hợp z = z(x(t), y(t)) (là hàm theo biến z = z(t)) khả vi khoảng (t1 , t2 ) đạo hàm hàm z(t) tính cơng thức: dz ∂z dx ∂z dy = + dt ′ ∂x dt ∂y dt ′ ′ ′ ′ → zt = zx xt + zy yt Tổng quát hơn: Cho z = z(x, y) x = x(u, v ), y = y(u, v ) tức z hàm hợp biến u, v Ta có cơng thức tương tự: BTL Giải tích Nhóm ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y + = ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ′ zv = + = ∂x ∂v ∂y ∂v ∂v ′ zu = b) Đạo hàm cấp Cho z = z(x, y) x = x(u, v ), y = y(u, v ) tức z hàm hợp biến u, v ∂ 2z ′ ′ zuu = = (zu ) u ∂u ∂ 2z ′ ′ ′′ z vv = = (z v ) v ∂v ∂ 2z ∂ 2z ′ ′ ′ ′ = (zu )v = (zv )u = = ∂v∂u ∂u∂v ′′ ′′ ′′ z uv = zvu 1.4 Đạo hàm hàm ẩn a) Hàm ẩn biến Cho hàm y = y(x) xác định từ phương trình hàm ẩn f(x, y) = Ta ′ tính đạo hàm y cách lấy đạo hàm vế phương trình f(x, y) = theo x qua số phép biến đổi sơ cấp, ta được: ′ f dy = − x′ fy dx b) Hàm ẩn biến Cho hàm z = z(x, y) xác định từ phương trình hàm ẩn f(x, y, z) = Ta phải tính đạo hàm riêng Tương tự hàm ẩn biến, ta lấy đạo hàm vế phương trình hàm ẩn theo x y , trải qua số phép biến đổi sơ cấp, ta được: ′ f ∂z = − x′ ∂x fz ′ fy ∂z =− ′ fz ∂y BTL Giải tích 1.5 Nhóm Đạo hàm theo hướng ý nghĩa Định nghĩa: Đạo hàm hàm f(x, y) theo vector u = (a, b) điểm M (x0 , y0 ) (nếu tồn tại) là: ′ fu(M ) = Du f(M ) = ∂f f(x0 + ha, y0 + hb) − f(x0 , y0 ) (M ) = lim ∂u h→0 h Cơng thức tổng qt tính đạo hàm hàm f theo hướng vector u = (a, b) điểm M (x0 , y0 ): ′ ′ af x (M ) + bfy (M ) ∂f √ fu(M ) = (M ) = ∂u a2 + b ′ Ý nghĩa: Đạo hàm hàm f(x, y) theo vector u = (a, b) điểm M (x0 , y0 ) tốc độ biến thiên (độ dốc hay hệ số góc) đồ thị hàm số f(x, y) điểm M (x0 , y0 ) theo hướng vector u = (a, b) 1.6 Vector gradient - Vector pháp tuyến a) Vector pháp tuyến Vector pháp tuyến đồ thị hàm f điểm M (x0 , y0 ) thực chất vector mặt phẳng tiếp diện đồ thị hàm số điểm Và ta biết phương trình tiếp diện đồ thị hàm số f điểm M (x0 , y0 ) có dạng: ′ ′ z − z0 = fx (M )(x − x0 ) + fy (M )(y − y0 ) ′ ′ → fx (M )(x − x0 ) + fy (M )(y − y0 ) − z + z0 = Từ đó, ta suy vector pháp tuyến đồ thị hàm số f ′ ′ điểm M (x0 , y0 ) là: n = (fx (M ), fy (M ), −1) b) Vector gradient ý nghĩa Hình chiếu vector pháp xuống mặt phẳng z = vector pháp đường mức gọi vecto gradient hàm f (x0 , y0 ) Kí hiệu là: ′ ′ ∇f(M ) = (fx (M ), fy (M )) BTL Giải tích Nhóm ∇f(x0 , y0 ).u = cos(u, ∇f(M )).|∇f(M )| ⩽ |∇f(M )| |u| ′ → −|∇f(M )| ⩽ f u(M ) ⩽ |∇f(M )| Như vậy: √ Đạo hàm hàm f M0 đạt giá trị lớn theo hướng vector: ∇f(M ) ′ ′ (M ) = |fu(M )| u = ′ , f u |∇f(M )| √ Đạo hàm hàm f M0 đạt giá trị nhỏ theo hướng vector: ∇f(M ) ′ ′ (M ) = −|f u = − ′ , f u u(M )| |∇f(M )| Ta có: fu(M ) = ′ 1.7 Khai triển Taylor - Maclaurint a)Công thức Taylor với phần dư Peano Cho hàm f(x, y) khả vi đến cấp (n + 1) hình cầu mở tâm M0 B(M0 , r) Ta có cơng thức: n dn f(x , y )  0 + Rn (x, y) k! k=1  Trong đó, Rn (x, y) = Ã(Än ), Ä = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 f (x, y) = f (x0 , y0 ) + Khi (x0 , y0 ) = (0, 0), cơng thức Taylor gọi công thức Maclaurint: n dn f(0, 0)  + Rn (x, y) f (x, y) = f (0, 0) + k! k=1 b) Phương pháp khai triển Taylor - Maclaurint với hàm biến Phương pháp chung để khai triển Taylor cho hàm biến điểm (x0 , y0 ) đặt ẩn phụ, đưa hàm biến, thao tác lại thực tương tụ hàm biến: Bước 1: Đặt X = x − x0 , Y = y − y0 ô x = X + x0 , y = Y + y0 Bước 2: Đặt t = aX + bY Bước 3: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm biến để khai triển hàm f(t) Bước 4: Thay t = aX + bY vào công thức vừa khai triển Bước 5: Sắp xếp theo thứ tự bậc X, Y, X.Y tăng dần Bước 6: Thay X = x − x0 , Y = y − y0 vào để khai triển cần tìm BTL Giải tích Nhóm Thể tích V = = =  D  dy = 2  dxdydz D 4−y2  dydz dx 2−y (4 − y )dz (4 − y )(2 − y)dy = 20 BTL Giải tích Nhóm Tính thể tích khối bao mặt x2 + y = 1, z = −y, z = BTL Giải tích Nhóm V =  à 1 dxdydz Ω =2 dφ =2 à 0 rdr −r sin φ 1 r dr sin φdφ = dz BTL Giải tích Bài 2.5 (Tích phân đường) Tính: Nhóm BTL Giải tích Nhóm √ Chiều dài đường r(t) = (2 2t, e−2t , e2t ), ⩽ t ⩽ Giải: lr(t) √ √ ′ x(t) = 2t → x (t) = 2 ′ y (t) = e−2t → y (t) = −2e−2t ′ z(t) = e2t → z (t) = 2e2t 1  ′ ′ ′ (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt = = 1  √ (2 2)2 + (−2e−2t )2 + (2e2t )2 dt 1 √  2 + e4t dt(1) = √ Đặt a = + e4t → a2 = + e4t ´ a2 − = e4t → 2ada = 4e4t dt (Lấy vi phân vế) → 2ada = 4(a2 − 1)dt ada → dt = 2(a2 − 1) (1) → = = √ 2 √ √ 1+e  √ √ √ 1+e  √ √ √ 1+e4 a2 da 2(a2 − 1)  1+  1+  da a2 − 1  − da a+1 a−1   √1+e4 a+1 = a + ln a − √2 √ √ !  + 1)( − 1) √ √ √ ( + e = + e4 − + √      ln  √ √ ( + e − 1)( + 1)  BTL Giải tích Nhóm Tìm khối lượng sợi dây hình parabol y = x2 , ⩽ x ⩽ với mật độ y khối lượng Ä(x, y) = x m= Giải Ä(x, y)dl C Tích phân loại 1:  Với C : y = x2 , ⩽ x ⩽ 2, ta biến đổi dl thành dx: dl = + (2x)2 dx 2  m = x + (2x)2 dx  2, ⩽ x ⩽ Đặt t = + (2x) √ √ ⇒ t2 = + (2x)2 , ⩽ t ⩽ 17 ⇒ 2tdt = 8xdx ⇒ tdt = xdx m= √  17 √ √ 17 17 − 5 (đvkl) t dt = 12 √  (x + y)ds, với C cung tròn (cos t, sin t), ⩽ t ⩽ à C! ! ′ x (t) = − sin tdt x = cos t ′ Có: y = sin t (0 ⩽ t ⩽ Ã) ô y (t) = cos tdt à à     ′ ′ (x2 + y)ds = → x2 (t) + y (t) (x (t))2 + (y (t))2 dt = (cos2 t + C sin t)dt = à 0 à t 1 + cos 2t à + sin t)dt = + sin 2t − cos t = + ( 2  (x + y + z )ds, với C đường xoắn (cos t, sin t, t), ⩽ t ⩽ à  C Giải:  ′ ø  x = − sin t x = cos t ′ y = sin t (0 ⩽ t ⩽ Ã) Có: y = cos t ′ z=t z =1  BTL Giải tích ⇒ à  Nhóm (x+y+z)ds = C à √  x(t)+y(t)+z (t) (cos t + sin t + t) 2dt = √ √  (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt = ′ ′ ′ à  √ Ã2 = √ +2 2 sin t − cos t + t 2 + 9xyds, với C đường y = x3 , ⩽ x ⩽ C Giải: Có: y = x3 y = 3x2 ′ ⇒   + 9xyds = C 1 1  + 9xy(x)  + (y (x))2 dx = ′ 1  + 9x4  + 9x4 dx = 1 14 (1 + 9x )dx = x + x = 5 0  x2 yds, với C đường thẳng từ A(1, 2) tới A(3, 5)  C Giải: Phương trình đoạn thẳng AB : y = x + (1 ⩽ x ⩽ 3) 2 ′ ôy = √ 3  3   13 ′ 2 x yds = x y(x) + (y (x))2 dx = dx = x + x ⇒ 2 √ √ C 1 103 13 13 = x + x 6  4ydx + 2xdy , với C đường y = x3 , ⩽ x ⩽ C Giải: Tích phân loạiII Ta có: dy = 3x2 dx BTL Giải tích Nhóm  = 4ydx + 2xdy C  4x3 dx + 2x(3x2 dx) = 1 10x3 dx 10 = (1 − 0) =  x2 ydx + xy2 dy , với C đường y = x3 , ⩽ x ⩽ C Giải: Tích phân đường loại II Ta có : dy = 3x2 dx  x2 ydx + xy2 dy C = 2 x2 x3 dx + x.(x3 )2 3x2 dx = 2 x5 dx + 3x9 dx = 1587  sin z dx + ex dy + ey dz , với C đường (2, t, et ), ⩽ t ⩽ C Giải: Ta có: ø x=2 y=t ⇒ z = et ø dx = dy = dt dz = et dt BTL Giải tích Nhóm  = C   sin z dx + ex dy + ey dz t 2 = 1  (e2 + e2t )dt e2t = = e + 2  10 t sin(e ) + e + e e dt  t e2 t + 1 F dr, với F (x, y, z ) = (sin z, z, −xy) C đường (cos ¹, sin ¹, ¹), ⩽ C ¹⩽ 9à Giải: Tích phân đường loại :  F (x, y, z)dr = C  P (x, y, z )dx+Q(x, y, z )dy+R(x, y, z )dz = C ′ ′ Q.y (t) + R.z (t) dt t1 Tham số hóa đường cong C , ta được:  (x(¹), y(¹), z(¹)) = F (¹) = (sin ¹, ¹, cos ¹ sin ¹) F  F (x, y, z)dr C = 9à 4  t2   sin ¹.(− sin ¹) + ¹ cos ¹ − cos ¹ sin ¹ d¹ ′ P.x (t)+ BTL Giải tích = 9à 4  Nhóm  − (sin ¹)2 + ¹ cos ¹ − cos ¹ sin ¹ d¹ = 1.171 11 Tìm cơng trường F(x, y, z) = (y − x2 , z + x, yz) đường (t, t2 , t3 ), ⩽ t ⩽ Giải: Vì trường F thực công đường C : (t, t2 , t3 ) nên ta tham số hố trường F sau:  (x(t), y(t), z(t)) = F (t) = (0, + t2 , t5 ) F Vì C khơng phải đường thẳng nên ta chia C thành đoạn nhỏ mà đoạn xem đoạn thẳng cơng mà trườngF thực quãng đường nhỏ dC : (dt, 2tdt, 3t2 dt) C tính bằng: dA = Xdx + Y dy + Zdz = 0dt + (t6 + t)2tdt + t5 3t2 dt = (5t7 + 2t2 )dt Khi đó, cơng mà trường F gây đoạn đường C tổng công mà trường F gây tất đoạn đường nhỏ thuộc C : A=  C dA = 1 (5t7 + 2t2 )dt =  t + t 1 = 31 24 12 Tìm cơng trường F (x, y, z) = (2z, x2 , 3x) đường (t, t2 , et ), ⩽ t ⩽ Giải: Vì trường F thực công đường C : (t, t2 , e t ) nên ta tham số hoá trường F sau:  (x(t), y (t), z (t)) = F (t) = (2et , t2 , 3t) F BTL Giải tích Nhóm Vì C khơng phải đường thẳng nên ta chia C thành đoạn nhỏ mà đoạn xem đoạn thẳng cơng mà trường  thực quãng đường nhỏ dC : (dt, 2tdt, et dt) C F tính bằng:   dA = Xdx + Y dy + Zdz = 2et dt + t2 2tdt + 3tet dt = 2t3 + (3t + 2)et dt Khi đó, cơng mà trường F gây đoạn đường C tổng công mà trường F gây tất đoạn đường nhỏ dC thuộc C : A=  C dA = 1  t4 + (3t − 1)et 2t + (3t + 2)e dt = t   1 = + 2e BTL Giải tích Nhóm Ứng dụng tích phân 3.7 (Ứng dụng tích phân bội) Giả sử gốc tọa độ trung tâm thành phố mật độ dân số điểm có tọa độ (x, y ) có mơ hình p(x, y) = 2000(x2 + y )−0.2 người km2 , tìm số dân bán kính 5km từ trung tâm thành phố Giải: Gốc tọa độ trung tâm thành phố, bán kính ⇒ D x2 + y = 25  P (x, y) ta có: Sử dụng ứng dụng tích phân bội : D  P (x, y) = D  2000(x2 + y )−0,2 dxdy D ! x = r cos ϕ y = r sin ϕ 2à 5 dϕ r.2000r 2.−0,2 dr ≈ 103143, 51 ⇒ Đặt 0 3.10(Tích phân đường) Phân tử DNA khơng gian ba chiều có hình dạng đường xoắn ốc kép, đường mơ hình hóa đường (R sin t, R cos t, ht) (hãy vẽ đường này) Bán kính đường xoắn ốc khoảng 10 angstrom (1 angstrom = 10−8 cm) Mỗi đường xoắn ốc xoắn lên khoảng 34 angstrom sau vịng xoay Hãy ước tính chiều dài vịng xoay phân tử DNA Giải: Ta có: R = 10 angstrom, h = 34 angstrom Vì phân tử ADN khơng gian có hình dạng xoắn ốc ⇒ D ⩽ t ⩽ 2à Phân tử ADN dạng mạch kép ⇒ nhân vào đáp án 2à Sử dụng tích phân đường loại I : l = 2x dl BTL Giải tích Nhóm ′    x = 10 cos t y = 10 sin t Đặt  34  z=( 2à −10 sin t  x = ′  y = 10 cos t 34   z = ⇒ 2à )t 2à 2Ã ′ ′ ′ (x )2 + (y )2 + (z )2 dt = 142, 882 ⇒ l = 2x dl = 2x 0 BTL Giải tích Nhóm Tổng kết Nhờ phân cơng chuẩn bị kỹ lưỡng cố gắng hết mình, nhóm hoàn thành đề tài giao cho kết mong muốn Qua phần tập lớn nhóm đã: + Biết thao tác giải vẽ hình Geogebra + Nâng cao hứng thú với môn học + Trao dồi kỹ làm việc nhóm + Nâng cao tinh thần trách nhiệm thắt chặt tình đồn kết thành viên nhóm 4444444444444444444444 BTL Giải tích Nhóm Bảng phân cơng cơng việc ... e2t → z (t) = 2e2t 1  ′ ′ ′ (x (t) )2 + (y (t) )2 + (z (t) )2 dt = = 1  √ (2 2 )2 + (−2e−2t )2 + (2e2t )2 dt 1 √  2 + e4t dt(1) = √ Đặt a = + e4t → a2 = + e4t ´ a2 − = e4t → 2ada = 4e4t dt... phương trình:  (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 = ±1 + −  2 c b a f)Mặt trụ  (x − x )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 − = ±1 + + c2 a2 b2 Mặt xoay:  trụ tròn (x − x0 ) + (y − y0 )2 = R ((x0 , y0 ) trục... Bài 2. 5 (Tích phân đường) Tính: Nhóm BTL Giải tích Nhóm √ Chiều dài đường r(t) = (2 2t, e−2t , e2t ), ⩽ t ⩽ Giải: lr(t) √ √ ′ x(t) = 2t → x (t) = 2 ′ y (t) = e−2t → y (t) = −2e−2t ′ z(t) = e2t