báo cáo bài tập lớn giải tích 1

lOMoARcPSD|11424851 A Danh sách thành viên : B Nội dung câu hỏi : 1) (2đ) Tìm hiểu đường cong tham số phần 9.2, Soo T Tan Single variable - Calculus early transcendentals 2) (2đ) Làm tập 40, 41, 42, 43 phần 9.2 nói 3) (2đ) A piston is attached to a crankshaft by means of a connecting rod of length , as shown in the figure If the disk is of radius , find the parametric equations giving the position of the point P using the angle θ as a parameter 4) (2đ) Cho đường cong tham số (C) : x = 3t2,y = 3t − t3 • Vẽ đường cong (C) • Tìm điểm tự cắt (C) • Tìm diện tích giới hạn đường cong (do phần tự cắt tạo ra) • Vẽ tiếp tuyến với đường cong điểm tự cắt Page | lOMoARcPSD|11424851 5) (2đ)Một nhà đầu tư lúc đầu tư vào lĩnh vực A B Tốc độ tăng lợi nhuận sau t năm tính từ thời điểm đầu tư A B theo thứ tự cho hàm fA(t) = 50 + t2 fB(t) = 200 + 15t (USD/năm)  Đến năm tốc độ tăng lợi nhuận đầu tư A vượt qua tốc độ tăng lợi nhuận đầu tư B  Tính độ chênh lệch lợi nhuận đầu tư đến thời điểm tìm câu  Biều diễn đồ thị độ chênh lệch Page | lOMoARcPSD|11424851 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Page | lOMoARcPSD|11424851 BÀI LÀM Câu :  Đường cong phẳng hàm tham số : Tại cần sử dụng hàm tham số? - Hình 1a cho ta nhìn bao quát lộ trình định sẵn du thuyền - Hình 1b giới thiệu hệ trục tọa độ xy khơng gian để diễn tả vị trí du thuyền Theo hệ tọa độ vị trí thuyền cho điểm P(x;y) lộ trình có dạng đồ thị hàm số 4x4 – 4x2 + y2 = , gọi đường lemniscate  Nhưng việc biểu diễn đường lemniscate trường hợp gặp phải nhược điểm lớn Đầu tiên, phương trình khơng định nghĩa cách rõ rang y làm hàm x hay x hàm y bạn cho khơng phải đồ thị hàm số cách áp dụng đường tiệm cận đứng ngang hình phẳng hình 1b (xem phần 0.2) mà khơng thể sử dụng trực tiếp kết cho hàm số xây dựng từ trước thứ hai, phương trình khơng cho biết thuyền tọa độ cho trước (x;y) thứ ba, phương trình khơng đưa nghi hướng chuyển động du thuyền Để khắc phục nhược điểm chung sta xem xét chuyển động vật thể mặt phẳng đường cong phẳng đồ thị hàm số, chuyển sang phương án sau Page | lOMoARcPSD|11424851 Nếu (x,y) điểm đường cong thid mặt phẳng tọa độ xy, viết 𝑥 = 𝑓 (𝑡 ) 𝑦 = 𝑔(𝑡) Mà f g hàm số biến phụ t với với số miền chung I hàm số gọi hàm tham số, t gọi tham số, miền chung I gọi khoảng tham số Nếu giả sử 𝑡 thuộc đoạn [𝑎, 𝑏] đại diện cho thời gian hồn tồn giải thích hàm tham số theo chuyển động hạt sau: thời điểm 𝑡 = 𝑎 hạt điểm ban đầu (𝑓(𝑎), 𝑔(𝑎)) đường cong hay quỹ đạo C 𝑡 tăng từ 𝑎 đến 𝑏, hạt di chuyển theo đường cong theo hướng cụ thể gọi định hướng đường cong, cuối hạt kết thúc chuyển động điểm cuối( 𝑓(𝑏), 𝑔(𝑏)) đường cong (xem hình 2) Chúng ta giải thích phương trình tham số phương pháp hình học sau: ta lấy đoạn thẳng, có chiều dài với đoạn [𝑎, 𝑏], sau thực cơng đoạn kéo dài, uốn xoắn để tạo đường cong C hoàn chỉnh  Phác thảo đường cong theo định nghĩa phương trình tham số :  Trước đọc ví dụ, định nghĩa thuật ngữ sau đây: Mặt phẳng đường cong tập hợp C gồm cặp số (𝑥, 𝑦) xác định phương trình tham số : 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑔(𝑡) Trong f g hàm số liên tục tập xác định Page | lOMoARcPSD|11424851  Ví dụ 1: Vẽ đường cong mơ tả hàm tham số 𝑥 = 𝑡 − 𝑦 = 2𝑡 với −1 ≤ 𝑡 ≤ : Cách 1: Nối điểm (x, y) xác định giá trị t chọn sẵn ( bảng 1), thu đường cong hình 3: HÌNH Khi 𝑡 tăng từ -1 đến 2, đường cong C nối từ điểm đầu (−3, −2) đến điểm cuối (0,4) Cách 2: Chúng ta rút tham số t từ hàm y= 2t cho sau thay t vào hàm x, ta được: 𝑥 = ( 𝑦) − hay 𝑥 = 𝑦2 − Đó phương trình đường parabol mà có trục 𝑥 trục đối xứng đỉnh điểm (−4 , 0) Lúc này, nhận thấy 𝑡 = −1 ta điểm (−3, −2), điểm mở đầu đường cong 𝑡 = hay điểm (0,4) ta có điểm kết thúc đường cong Việc nối điểm từ điểm đầu đến điểm cuối cho ta đường cong mong muốn *Chúng ta phải chấp nhận quy ước này, làm miền xác định hàm số, khoảng tham số 𝑥 = 𝑓 (𝑡)và 𝑦 = 𝑔(𝑡) bao gồm tất giá trị 𝑡 𝑓(𝑡) 𝑔(𝑡) số thực, trừ vài ngoại lệ Page | lOMoARcPSD|11424851  Ví dụ : Phác thảo đường cong tham số cho : a) 𝑥 = √𝑡 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 𝑡 b) 𝑥 = 𝑡 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 𝑡 ** a) Chúng ta rút biến t cách bình phương hàm 𝑥 để 𝑥 = 𝑡 sau thay giá trị t vào hàm y, ta 𝑦 = 𝑥 , phương trình đường parabol Nhưng lưu ý điều kiện phương trình thứ 𝑡 ≥ nên 𝑥 ≥ Vì vậy, đường cong mong muốn nằm phía bên phải đường parabol hình Cuối cùng, lưu ý khoảng tham số [0, ∞), 𝑡 bắt đầu tăng từ nên đường cong bắt đầu điểm (0,0) dọc theo đường parabol nói HÌNH Do t bắt đầu tăng từ 0, nên đường cong bắt đầu gốc tọa độ dọc theo toàn nhánh phảicủa đường parabol b) Thay hàm thứ vào hàm số thứ hai, ta 𝑦 = 𝑥 Như thấy, phương trình giống với câu a, đường cong biểu diễn phương trình parabol có phần khác so với câu a trường hợp này, khoảng tham số (−∞, ∞) nữa, t tăng từ −∞ tới ∞ , đường cong chạy dọc theo đường parabol 𝑦 = 𝑥 từ trái sang phải, bạn kiểm chứng điều cách vẽ điểm tương ứng, 𝑡 = −1, 𝑣à Bạn nhận điều cách khảo sát phng trình tham số 𝑥 = 𝑡, phương trình cho biết 𝑡 tăng 𝑥 tăng theo ( xem hình 5) Page | lOMoARcPSD|11424851 HÌNH Vì t tăng từ −∞ lên ∞, toàn đường parabol vẽ ra, theo chiều từ trái sang phải Đối với vấn đề liên quan đến chuyển động, việc dùng tham số t điều hiển nhiên Nhưng trường hợp khác yêu cầu biểu dienx khác tham số, ví dụ giới thiệu tới đây, dùng góc tham số  Ví dụ : Biểu diễn đường cong cho phương trình tham số : 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣à 𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 (𝑎 > 0) Với khoảng tham số sau: a) [0, 𝜋] b) [0, 2𝜋] c) [0, 4𝜋] Ta có : Mà Suy : ** 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑦 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎2 Điều cho thấy đường cong xét thuộc hình trịn với bán kính 𝑎, có tâm gốc tọa độ Page | lOMoARcPSD|11424851 Nếu 𝜃 = 0, 𝑥 = 𝑎 𝑦 = 0, điểm (𝑎, 0) điểm đầu đường cong Do 𝜃 tăng từ đến 𝜋 nên đường cong vạch theo chiều ngược chiều kim đồng hồ kết thúc điểm (−𝑎, 0) (hình 6a) b) Lúc này, đường cong vịng trịn hồn chỉnh vẽ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu điểm (𝑎, 0) kết thúc điểm (hình 6b) c) Đường cong đường tròn vạch lần, theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu điểm (𝑎, 0) kết thúc (𝑎, 0) (hình 6c) a) Hình HÌNH Đường cong a tạo hình bán nguyệt, đường cong b vẽ hình trịn hồn chỉnh, đường cong c tạo hình trịn hồn chỉnh vẽ lần tất đường cong vẽ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Page | lOMoARcPSD|11424851  Ví dụ : Mơ tả đường cong cho : { x = 4cos 𝜃 𝑦 = sin 𝜃 (1) (2) 𝑣ớ𝑖 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ** Giải phương trình (1) theo cos(θ) phương trình (2) theo sin(θ), cho ta: { cos 𝜃 = sin 𝜃 = 𝑥 𝑦 Bình phương phương trình cộng lại vế theo vế, ta được: cos2(θ) + sin2(θ) = Mà  x   4 +  y   3 sin2(θ) + cos2(θ) = Ta phương trình: x 16 + y =1 Từ đây, thấy tập hợp điểm đường cong lập thành hình elip Nếu θ = tọa độ (4,0) làm điểm ban đầu đường cong Khi θ tăng từ đến 2, đường cong elip vạch theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, kết thúc (4,0) (Hình 7.) Page | 10 lOMoARcPSD|11424851 Từ (1) (2) suy : { 𝑥 = 𝑟𝜃 − 𝑑 sin 𝜃 𝑦 = 𝑟 − 𝑑 cos 𝜃 (đpcm) b) Đường cong trochoid với:  dr : * Sử dụng phần mềm vẽ đồ thị GeoGebra Graphing Calculator* Page | 17 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 41) “ Witch of Agnesi ” đường cong biểu diễn hình minh họa đây: Chứng minh đường cong có phương trình tham số là: { 𝑥 = 2𝑎 cot 𝜃 𝑦 = 2𝑎 sin2 𝜃 ** Ta có :  𝑥 = 𝑂𝐵 = 𝐵𝐶 tan 𝜃 = 𝐵𝐶 cot 𝜃 = 2𝑎 cot 𝜃 (1)  𝑦 = 𝐵𝑃 = 𝐴𝐷 = 𝑂𝐻 sin 𝜃 Page | 18 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Mà 𝜋 𝑂𝐻 = 𝑂𝐼 cos ( − 𝜃) = 𝑎 sin 𝜃 ⇒ 𝑦 = 2𝑎 sin2 𝜃 (2) Từ (1) (2) suy : { 𝑥 = 2𝑎 cot 𝜃 (đpcm) 𝑦 = 2𝑎 sin2 𝜃 42) Nếu sợi dây gỡ từ vịng trịn (I,a) theo cách mà giữ mặt phẳng vịng trịn điểm P chạy dọc theo đường cong gọi “ Involute of the circle ” ( Đường thân khai ) Cho hình minh họa đây: Hãy chứng minh đường cong có phương trình tham số là: { 𝑥 = 𝑎(cos 𝜃 + 𝜃 sin 𝜃) 𝑦 = 𝑎(sin 𝜃 − 𝜃 cos 𝜃) ** Page | 19 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Ta có :  Gọi L độ dài cung trịn chắn góc 𝜃 𝑂𝐴 = 𝑎 cos 𝜃 𝐴𝐶 = 𝑎 sin 𝜃 𝐶𝑃 = 𝐿 = 𝑎𝜃 𝜋 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝑎𝜃 cos( − 𝜃) 𝜋 𝑃𝐷 = 𝑎𝜃 sin( − 𝜃) 2 𝜋  𝑥 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑎 cos 𝜃 + 𝑎𝜃 cos( − 𝜃) = 𝑎(cos 𝜃 + 𝜃 sin 𝜃) (1) = 𝑎(sin 𝜃 − 𝜃 cos 𝜃) (2) 𝜋  𝑦 = 𝐴𝐶 − 𝑃𝐷 = 𝑎 sin 𝜃 − 𝑎𝜃 sin( − 𝜃) Page | 20 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Từ (1) (2) suy : { 𝑥 = 𝑎(cos 𝜃 + 𝜃 sin 𝜃) (đpcm) 𝑦 = 𝑎(sin 𝜃 − 𝜃 cos 𝜃) 43) Dùng phần mềm vẽ đồ thị để vẽ đồ thị đường cong với phương trình tham số sau: 𝑥 = sin(3𝑡) (𝑡 ≥ 0) { 𝑦 = sin( 𝑡) ** * Sử dụng phần mềm vẽ đồ thị GeoGebra Graphing Calculator* Page | 21 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Câu : Một pít-tơng gắn vào trục khuỷu nối có chiều dài hình vẽ Nếu đĩa trịn có bán kính R, tìm phương trình định vị trí điểm P với góc Ɵ tham số ** P chạy rãnh kim loại nên y=0 Theo đề bài: AP=L OA=R ⇒ { 𝐴𝐻 = 𝑂𝐴 𝑠𝑖𝑛Ɵ = 𝑅 𝑠𝑖𝑛Ɵ 𝑂𝐻 = 𝑂𝐴 𝑐𝑜𝑠Ɵ = 𝑅 𝑐𝑜𝑠Ɵ Theo định lý Pytago tam giác AHP: ⇒ HP= √𝐴𝑃2 − 𝐴𝐻2 = √𝐿2 − (𝑅 𝑐𝑜𝑠Ɵ)2 X= OH + HP = R cosƟ + √𝐿2 − (𝑅 𝑐𝑜𝑠Ɵ)2 Page | 22 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Câu : Cho đường cong tham số (C) : x = 3t2,y = 3t − t3 • • • • Vẽ đường cong (C) Tìm điểm tự cắt (C) Vẽ tiếp tuyến với đường cong điểm tự cắt Tìm diện tích giới hạn đường cong (do phần tự cắt tạo ra) ** 1) Cơ sở lý thuyết:  Tìm điểm tự cắt: Ta tìm dạng tham số t, cho x=x, y=y, suy t Thế t vào phương trình tham số, ta điểm tự cắt  Tiếp tuyến hàm tham số điểm tự cắt: 𝒚′ (𝒕) 𝒚 𝒙) = ′ 𝒙 (𝒕) ′( - Điểm tự cắt A(x0;y0) Thế x0 vào x(t) => t => y’(x0) - Phương trình tiếp tuyến : y= y’(x0)(x-x0)+y0  Tìm diện tích giới hạn đường cong phần tự cắt tạo ra: Tài liệu tham khảo: https://ctec.tvu.edu.vn/ttkhai/TCC/33_Ung_dung_tich_phan.htm 2) Một số lệnh matlap dùng làm:  Fprintf: Có thể truy xuất đến phần tử chuỗi VD: (‘Trường %s\n’, name(8:35));  Diff: đạo hàm  Int: Nguyên hàm, tích phân Page | 23 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851  Solve: giải phương trình  Plot: vẽ đồ thị  Subs: thay biến số biểu thức khác c) Bài làm : (Code Matlap_2017b) Page | 24 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Page | 25 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Page | 26 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Câu : Một nhà đầu tư lúc đầu tư vào lĩnh vực A B Tốc độ tăng lợi nhuận sau t năm tính từ thời điểm đầu tư A B theo thứ tự cho hàm fA(t) = 50 + t2 fB(t) = 200 + 15t (USD/năm)  Đến năm tốc độ tăng lợi nhuận đầu tư A vượt qua tốc độ tăng lợi nhuận đầu tư B  Tính độ chênh lệch lợi nhuận đầu tư đến thời điểm tìm câu  Biều diễn đồ thị độ chênh lệch ** Thuật toán : Page | 27 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Page | 28 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Page | 29 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TỔNG KẾT I   II Nhận xét chung Matlab : Ưu điểm : Tính tốn cho kết xác cao Giúp hiểu thêm việc ứng dụng matlab toán kĩ thuật Nhược điểm : Đoạn code rườm rà Mất nhiều thời gian để thiết kế Dễ sai sót, nhầm lẫn mã code Kết luận : Với phân công chuẩn bị kĩ lưỡng cố gắng, trách nhiệm cao, nhóm hồn thành tập giao cho kết mong muốn Qua phần tập lớn này, nhóm : - Hiểu thao tác giải toán Matlab - Nâng cao hứng thú môn học - Trau dồi kĩ học tập làm việc nhóm -END Page | 30 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) ... lOMoARcPSD |11 4248 51 Page | 25 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD |11 4248 51 Page | 26 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD |11 4248 51 Câu... lOMoARcPSD |11 4248 51 Page | 28 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD |11 4248 51 Page | 29 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD |11 4248 51 TỔNG... lOMoARcPSD |11 4248 51  Ví dụ 1: Vẽ đường cong mô tả hàm tham số