Giao trinh bai tap bài tập lớn giải tích 1

BÀI TẬP LỚN MÔN GiẢI TÍCH HỌC KỲ 151 Hình thức đánh giá 1.1 Phần 1: Viết đoạn code (3điểm) Yêu cầu: • Đoạn code lưu thành file.m chạy với ví dụ cụ thể • Gửi file.m qua Bkel với tên file có phần: tên lớp - số nhóm Ví dụ: L35-nhom4 • Bản in gồm phần : - Trang bìa: Theo mẫu - Cơ sở lý thuyết: Theo yêu cầu nhóm - In nội dung file.m kết chụp từ hình sau chạy ví dụ cụ thể • Thời hạn nộp bài: - Nộp file.m qua Bkel : Cô báo sau - Nộp in: Khi nhóm bắt đầu làm CW 1.2 Phần 2: Giải toán cụ thể lệnh matlab Command window (7 điểm) • Tự chọn loại câu cho tổng số điểm ≤ • Thời gian chuẩn bị: 10 phút Viết đoạn code (3 điểm) Nhóm Nhập từ bàn phím hàm y = f (x), y = g(x) giá trị a < b thực Viết đoạn code tính diện tích vẽ miền D giới hạn đường cong y = f (x), y = g(x) phần ứng với a ≤ x ≤ b Chú ý trường hợp đường cong đường thẳng song song với trục Ox vẽ hình Yêu cầu: b |f (x) − g(x)| dx Chứng minh công thức tính diện tích miền D: S(D) = a Không sử dụng hàm abs Matlab đoạn code Đoạn code tính với số VD đây: 2x2 + 2x + , g = , a = −1, b = x4 + 3x2 + x4 + x + x−2 2x2 − D2 : f = , g = , a = −1, b = x + 2x3 + 3x4 − x3 + x+3 D3 : f = 2x2 − 1, g = , a = −2, b = x +1 D1 : f = 2x + , a = −3, b = +x+1 = x4 − 3x2 + 1, g = (2x + 1)/(x2 + x + 1), a = −2, b = 2x + , a = −2, b = = x4 + x2 − 2, g = x +x+3 2x − , a = −1, b = = x + x − 1, g = x + 2x + = x3 + 2x2 − 5x + 1, g = 0, a = −4, b = D4 : f = x2 − 3, g = D5 : f D6 : f D7 : f D8 : f x2 Nhóm Cho hàm α(x), β(x) giá trị x0 thực nhập từ bàn phím Viết đoạn code kiểm tra α(x), β(x) α(x) VCB x → x0 tính bậc α(x), β(x), từ suy giới hạn lim x→x0 β(x) Yêu cầu: Chứng minh lại công thức Taylor với phần dư Peano Không dùng lệnh limit MatLab đoạn code Đoạn code tính với số VD đây: √ x α(x) = sin( − x − 1), β(x) = e − 1, x0 = √ α(x) = ln x + + x2 , β(x) = sin x, x0 = √ x2 α(x) = x tan x − x2 e , β(x) = x sin 2x − 2x2 − 2x2 , x0 = Nhóm Nhập từ bàn phím hàm tham số y(t), x(t), số tự nhiên n số thực x0 Viết đoạn code tính đạo hàm hàm y = y(x) cho pt tham số x = x(t), y = y(t) đến cấp n x = x0 Yêu cầu: Chứng minh lại công thức tính đạo hàm hàm cho pt tham số đến cấp 2 Khi x = x0 mà có tương ứng nhiều giá trị t cho phép chọn giá trị tùy ý Đoạn code tính với VD cụ thể đây: x = ln t, y = t3 , n = 3, x0 = x = et , y = te−t , n = 4, x0 = 3t2 t ,y = , n = 4, x0 = x = t +2 t +1 t2 − 2t x = ,y = , x0 = 3, n = t +1 t +1 Nhóm Cho hàm y = f (x) liên tục đoạn [a, b] (f (x), a, b Viết đoạn code để tìm GTLN, GTNN hàm đoạn [a, b] vẽ đường cong đoạn [a, b], có đánh dấu GTLN, GTNN Yêu cầu: Trình bày trình tìm GTLN, GTNN hàm y = f (x) đoạn [a, b] Đoạn code tính với số VD cụ thể duới x2 + x − x + x2 f (x) = , a = −1, b = ]item f (x) = , a = −1, b = x+3 + x − x2 √ f (x) = x2 + 4x + 5, a = −2, b = (3 f (x) = − 2x2) x Nhóm Cho hàm y = f (x) giá trị x0 nhập từ bàn phím Viết đoạn code tìm tiếp tuyến hàm x = x0 vẽ đường cong tiếp tuyến vừa tìm Chú ý trường hợp tiếp tuyến đường thẳng song song với trục Ox, Oy Yêu cầu: Chứng minh công thức: Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f (x) : y = (x − x0 )f (x0 ) + f (x0 ) Không dùng lệnh diff Matlab Đoạn code tính với VD cụ thể đây: x f (x) = x2 , x0 = f (x) = sqrt(x + sqrt(x)), x0 = √ f (x) = 2x − x2 , x0 = f (x) = |x|x, x0 = at2 + bt + c ,m = mt + n 0, a2 + b2 + c2 = nhập từ bàn phím Viết đoạn code tìm tiệm cận, sau vẽ đường cong tiệm cận vừa tìm Chú ý vẽ TCĐ, TCN Yêu cầu: Trình bày cách tìm tiệm cận đường cong cho phương trình tham số Đoạn code tính với VD đây: Nhóm Cho hàm y = f (x) xác định từ phương trình tham số y = y(t), x = x(t) có dạng t2 + ,y = 2t − 2t + x = ,y = t+1 t2 + t ,y = x = 3t + x = t 2t − t2 t+1 t+1 3t + ax2 + bx + c Nhóm Cho hàm f (x) = với a, b, c, p, q ∈ R, p = 0, a2 + b2 + c2 = nhập từ bàn phím px + q Viết đoạn code tìm cực trị, tiệm cận vẽ đồ thị y = f (x) với điểm cực trị đường tiệm cận đồ thị Yêu cầu: Trình bày cách tìm TCX cách dùng công thức Taylor cho hàm f (x) Đoạn code tính với VD cụ thể Nhóm Cho dãy số un xác định un = a+ a+ a + + √ a, a ≤ Viết đoạn code tính giới hạn dãy vẽ đường cong biểu diễn phần tử dãy để minh hoạ cho kết giới hạn vừa tìm với giá trị a số phần tử m nhập từ bàn phím Yêu cầu: Trình bày cách tính lim un để so sánh với kết chạy đoạn code n→∞ Đoạn code tính đúng, vẽ hình xong với VD cho giá trị a, m khác Nhóm Cho hàm số f (x) g(x) nhập từ bàn phím cho: đường cong y = f (x), y = g(x) cắt điểm x = a, x = b Viết đoạn code để loại trường hợp miền D nằm phía trục Ox không đối xứng; sau tính thể tích vật thể tạo cho miền D quay quanh trục Ox vẽ miền D Yêu cầu: b |f (x) − g (x)| dx Chứng minh lại công thức Sx = π a Đoạn code tính đúng, vẽ hình xong với VD cụ thể Pn (x) , với Qm (x) = (x − α)(x − β)k (ax2 + bx + c), α, β, a, b, c, k Qm (x) nhập từ bàn phím thỏa điều kiện : b2 − 4ac < 0.Viết đoạn code để phân tích hàm thành tổng phân thức đơn giản loại 1, Nhóm 10 Cho phân thức hữu tỷ dạng Yêu cầu: Trình bày cách tính tích phân mx + n dx ax2 + bx + c Không dùng hàm residue Matlab Đoạn code tính với VD ———- Các tập cụ thể • Chọn số câu để tổng điểm • Dưới dạng số cụ thể tương ứng, làm lớp có dạng khác số cho 3.1 Câu điểm: Không có 3.2 Câu điểm Dạng : Tính đạo hàm hàm f(x) x0 2.1.1 f (x) = sin x ,x = , x0 = x 1, x = 2.1.2 f (x) = ex − ,x = , x0 = x 1, x =   − cos(x − 1) ,x = 2.1.3 f (x) = , x0 = x −  0, x =  √  ex − + 2x ,x = ,x = 2.1.4 f (x) =  x, x = x0 Dạng 2: Tìm TCX đường cong sau x2 2.2.1 f (x) = |x − 1| 2.2.6 f (x) = 2.2.7 f (x) = x + 3x 2.2.2 f (x) = x−2 2.2.3 f (x) = xe √ x2 + 2x √ 2x3 + x + 2.2.8 f (x) = x + −1 x 2.2.4 f (x) = (2x + 1)e −2 x 2.2.5 f (x) = (2 − x)e x 2.2.9 f (x) = √ √ x2 + 2x3 + x2 + x 2.2.10 f (x) = 3x + − x x Dạng 3: Tính đạo hàm hàm cho pt tham số x0 , chọn giá trị t tương ứng với x = x0 2.3.1 x = 2t − t2 , y = 3t − t3 , x0 = 2.3.2 x = 2(t − sint), y = (1 − cost), x0 = 2.3.3 x = t3 t ,y = +1 t +1 2.3.4 x = − , y = − + , x0 = t t t 2.3.5 x = et , y = te−t , x0 = 2.3.6 x = ln t, y = t3 , x0 = 3.3 Câu điểm Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN hàm f(x) đoạn [a,b] tương ứng 3.1.1 f (x) = − x + x2 , a = 0, b = 1 + x − x2 3.1.2 f (x) = x2 + x , a = 1, b = 2x − Dạng 2: Tìm nghiệm tổng quát viết dạng ma trận cột A nghiệm riêng viết dạng ma trận cột B hpt vi phân sau   x =x−y+z y = x + y − z , x(0) = z(0) = 0, y(0) = 3.2.1  z = 2x − y   x = x − 3y + 3z y = 3x − 5y + 3z , x(0) = y(0) = 1, z(0) = 3.2.2  z = 6x − 6y + 4z   x = 3x + 3y + 2z y = x + y − 2z 3.2.3 , x(0) = 0, y(0) = z(0) =  z = −3x − y + z 3.4 Câu điểm Dạng 1: Vẽ tô màu miền D; sau tính diện tích 4.1.1 D : ABC, A(1, 1), B(2, 3), C(−1, 2) 4.1.11 D : y = sin x, y = 0, ≤ x ≤ 2π 4.1.2 D : −1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ ex 4.1.12 D : y = x2 − 2x, y = 0, ≤ x ≤ 4.1.3 D : y = cos x, y = 0, ≤ x ≤ 2π 4.1.13 D : y = 4.1.4 D : x2 + y = 2x, x2 + y = 2y 4.1.14 D : y = 4x, x2 = 4y 4.1.5 D : y = ln x, y = −1, x = e 4.1.15 D : y = ex − 1, y = e3x − 3, x = 4.1.6 D : x2 + y ≤ 2x, x2 + y ≤ √ 4.1.7 D : x2 + y ≤ 2y, ≤ x ≤ 3y 4.1.16 D : x2 + y = 1, x2 + y − 2y = 4.1.8 D : y = sinh(x), y = 0, x = 4.1.18 D : x2 + y = 1, x2 + y + 2y = √ 4.1.9 D : y = ,y = − x x 4.1.10 D : y = arcsin x, x = 0, y = x ,y x3 +1 = 0, ≤ x ≤ +∞ 4.1.17 D : y = ln(x + 2), y = ln x, x = e 4.1.19 D : x2 + y = 8, y = 2x π 4.1.20 D : y = 27 x2 , y = x2 + Dạng 2: Vẽ tô màu miền D; sau tính diện tích mặt cong tạo quay miền D quanh trục tương ứng 4.2.1 Sx : y = x3 , x = 0, x = 4.2.6 Sx : x2 y + =1 4.2.2 Sx : y = x2 , y = x 4.2.7 Sx : y = x2 , y = 4.2.3 Sx : y = x, y = 5x + x2 4.2.8 Sy : y = x2 , y = 4.2.4 Sx : 2y = x2 , 2x = y 4.2.5 Sy : x2 y + =1 4.2.9 Sy : x = − y , x = 4.2.10 Sx : x = − y , x = Dạng 3: Vẽ tô màu miền D; sau tính thể tích vật thể tạo quay D quanh trục tương ứng √ 4.3.5 Vy : y = x, y = x + sin2 x, ≤ x ≤ π 4.3.1 Vx : y = − x2 , y = 0, −1 ≤ x ≤ x2 + 2x + 2 4.3.2 Vy : y = 2x − x2 , y = 3, ≤ x ≤ 4.3.6 Vy : y = 2, y = 4.3.3 Vx : y = e−x sin x, y = 0, x ≥ 4.3.7 Vx : x = 0, y = e−x + 1, y = e−2x − 4.3.4 Vx : 2y = x2 , 2x + 2y − = 4.3.8 Vy : y = x2 + 1, y = Dạng 4: Giải phương trình vi phân Sau vẽ đường cong tích phân vừa tìm x 4.3.1 y − xy = y ln , y(1) = y 4.3.5 (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 , y(0) = 4.3.2 (1 − x)(y + y) = e−x , y(2) = 4.3.6 y = π 4.3.3 y − y cot x = sin x, y( ) = 4.3.7 (x2 + 1)y + 4xy = 3, y(1) = 4.3.4 y − y tan x + y cos x = 0, y(0) = 4.3.8 y + y = , y(1) = x x 2x − y + , y(0) = x − 2y + 4.3.9 x3 y = y(x2 + y ), y(1) = π 4.3.10 ydx + cot xdy = 0, y( ) = −1 y 4.3.11 y + + y = 0, y(0) = x+1 √ 4.3.12 xy − y = (x2 + y ), y( 2) = √ √ 4.3.13 ( xy + x)y − y = 0, y(1) = 4.3.14 xy + y = y ln x, y(1) = 4.3.15 y” + 2y = 3x, y(1) = 1, y (1) = 4.3.16 y” − 3y + 2y = 3e2x , y(0) = 1, y (0) = 4.3.17 y” + 2y + 5y = x + cos x, y(1) = 1, y (0) = 4.3.18 y” + y + 4y = sin2 x, y(0) = 1, y (1) = 4.3.19 5y” − 6y + 5y = xex , y(0) = 1, y (0) = Dạng 5: Phân tích hàm sau thành tổng phân thức đơn giản 4.5.1 f (x) = 4.5.2 f (x) = 3.5 2x − + x2 − 8x + 4.5.3 f (x) = x4 − 2x3 + x2 − 8x + 4.5.4 f (x) = 2x3 3x2 − x3 + 2x2 − 2x + x4 x+1 + 5x2 − 36 Câu điểm Dạng 1: Tìm tham số để hàm liên tục x = x0 vẽ đường cong minh hoạ (đánh dấu điểm đặc biệt (x0 , f (x0 ))  x + 1, x ≤  a − x2 , x ≤ 5.1.1 f (x) = , x0 = b , x0 = 5.1.5 f (x) = − ax , x >  ,x > x+1  x − 1, x ≤ 1 5.1.2 f (x) = , x0 =  ax − 2, x > 1 ,x ≥ 5.1.6 f (x) = , x0 = x−3 x + e  x + ax, x <   ax + 1, x ≤ π π x 5.1.3 f (x) = , x0 = 4−x2 , x ≥  sin x + b, x > π 5.1.7 f (x) = , x0 = −x2 + ax − 4, x < 2   ,x ≥ 1 x arctan( ), x = 5.1.8 f (x) = , x0 = x−1 + 5.1.4 f (x) = , x0 = x  ax + 1, x < a, x = Dạng 2: Tính đạo hàm hàm x = x0 vẽ đường cong tiếp tuyến (x0 , f (x0 ))   arctan , x = x2 5.2.1 f (x) = , x0 =  π,x = 5.2.2 f (x) = 0, x = x , x0 = ,x = x 1+e 5.2.3 f (x) = x2 ln x2 , x = , x0 = 0, x = Dạng 3: Tính đạo hàm trái, phải x = x0 vẽ đường cong tiếp tuyến (x0 , f (x0 ))  x  e − 1, x > x 5.3.1 f (x) = , x0 =  x + 1, x ≤ x, x ≤ , x0 = x2 − x, x > 5.3.2 f (x) = 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6   ex ,x ≤ ,x = f (x) =  x2 x ,x >    x − 1, x > ln x f (x) = , x0 =  (1 − x)2 + x + , x ≤  √ f (x) = |x2 − 2|3 , x0 = √ f (x) = |x2 − 2|3 , x0 = − Dạng 4: Tính bậc VCB Tìm a, b để α(x) ∼ axb 5.4.1 Khi x → : α(x) = sin(ax2 ) + (1 + ax)(1/a) − ex ∼ xb 2 5.4.2 Khi x → : α(x) = ln(1 + ax) + sin(a2 x2 ) 21 − axcosx ∼ xb 2 5.4.3 Khi x → : α(x) = etan(ax) − eax − sin(a3 x3 ) xb ∼ 3 √ 5.4.4 Khi x → : α(x) = xex − sinx − x2 + 2x ∼ axb Dạng 5: Tìm cực trị hàm f (x) vẽ hình minh họa (có đánh dấu điểm cực trị ) 5.5.1 f (x) = √ x2 x2 − 5.5.4 f (x) = 1 − ex x x−2 5.5.2 f (x) = √ x2 + 5.5.3 f (x) = 3.6 √ 5.5.5 f (x) = t3 −1 dt et (0, 3) x 5.5.6 f (x) = − x3 arctan √ t−t dt 1+t2 Câu điểm Dạng 1: Tìm tiệm cận hàm f (x) vẽ hình minh họa ( có vẽ tiệm cận): x3 6.1.1 f (x) = 2(x2 + 1) 6.1.3 f (x) = (2x − 1)e x x3 6.1.2 f (x) = √ x4 + x2 6.1.5 f (x) = √ + x2 6.1.4 f (x) = e x − x 6.1.6 f (x) = x2 e x 6.1.7 f (x) = (2x − 1)e1/x Dạng 2: Tính đạo hàm trái, phải x = x0 vẽ đường cong tiếp tuyến (x0 , f (x0 )) 6.2.1 f (x) = ex − x − ,x > , x0 = x x2 − 2x, x ≤ 6.2.2 f (x) = ,x = , x0 = e +1 0, x = 6.2.3 f (x) = x−1 ,x > , x0 = ln x x ,x ≤ x x 6.2.4 f (x) = |x|(x + 2), x0 =  √  + 2x − − 1, x ≤ , x = 6.2.5 f (x) =  √x, x x> 6.2.6 f (x) = x|x − 2|, x0 = 3.7 Câu điểm Tìm cực trị hàm y = (x + 2) |x − 3| + 2x + Tìm cực trị hàm y = |x − 3| (2x + 5) + x2 +3 Tìm cực trị hàm y = |x − 1| (2x + 1) + x2 + x Tìm cực trị hàm y = |x + 1| + |x2 − x − 2| ... 3.4 Câu điểm Dạng 1: Vẽ tô màu miền D; sau tính diện tích 4 .1. 1 D : ABC, A (1, 1) , B(2, 3), C( 1, 2) 4 .1. 11 D : y = sin x, y = 0, ≤ x ≤ 2π 4 .1. 2 D : 1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ ex 4 .1. 12 D : y = x2 − 2x,... 1 y 4.3 .11 y + + y = 0, y(0) = x +1 √ 4.3 .12 xy − y = (x2 + y ), y( 2) = √ √ 4.3 .13 ( xy + x)y − y = 0, y (1) = 4.3 .14 xy + y = y ln x, y (1) = 4.3 .15 y” + 2y = 3x, y (1) = 1, y (1) = 4.3 .16 y” −... 4 .1. 3 D : y = cos x, y = 0, ≤ x ≤ 2π 4 .1. 13 D : y = 4 .1. 4 D : x2 + y = 2x, x2 + y = 2y 4 .1. 14 D : y = 4x, x2 = 4y 4 .1. 5 D : y = ln x, y = 1, x = e 4 .1. 15 D : y = ex − 1, y = e3x − 3, x = 4 .1. 6