Bài tập lớn Giải tích -2013 câu ngắn 1.1 Dạng 1: Tính giới hạn 9n n→∞ n! 13 lim (2 + x) x lim x→±0 n→∞ n + (−1)n √ √ lim n2 + − n3 + lim n→∞ 2n + 3n n→∞ 2n − 3n lim 2n3 + 3n2 − ln9 n n→∞ ln7 n − n3 √ m x−1 lim √ n x→1 x−1 √ √ x+ x−1−1 √ lim x→1 x2 − √ − cos x limπ x→ π − 4x 14 1 15 lim (e x + )x x→0 x 2x − x2 16 lim x→2 x − lim lim tan x→a πx x−a sin 2a loga x(1 + x) x→0 x 10 lim 11 lim x→∞ x−3 x+2 tan(2x) − arcsin(4x) x→0 sin(5x) − arctan(7x) 17 lim esin x + ln(1 − x) − x→0 arcsin x − sin x 18 lim ex + ln(1 − sin x) − √ x→0 − x4 − 19 lim (1 + x) x − e 20 lim x→0 sin2 x + x √ + x cos x − + 2x 21 lim x→0 ln(1 + x) − x 22 lim (cos ln x) − cos x 2x+1 x→0 23 lim ( 12 lim x a x − x→∞ x→∞ 1.2 | tan(4x − π)| x→ ±0 2x − π2 lim π 2x2 + x2 ) 2x2 − Dạng 2: Tính đạo hàm √ f (x) = ( x − 1) √ + , f (1) x sin x − cos x f (x) = , f (0) sin x + cos x x x f (x) = e cos2 , f (0) π x f (x) = ln tan , f (0) + f (x) = (sin x) arcsin x , f (1) f (x) = e2x sin 3x, f (0) f (x) = x3 ln x, f (4) (1) f (x) = 2sin x cos(sin x), f (0) f (x) = ex , f ”(1) x2 10 f (x) = (x + sin x)x , f ( π4 ) 11 f (x) = ln(x2 + √ x4 + 1), f (0) 12 f (x) = (2x + 3)e−x , f 1.3 Dạng 3: Tính tích phân (x2 + x − 2)dx arctan xdx x e dx lnx dx x x.e−x dx a2 +x2 √ x dx 1−x2 14 dx x3 +x+1 e−x dx 12 sin x dx x +∞ +∞ 13 dx 11 xlnxdx π/2 dx a2 +x2 +∞ +∞ 1.4 10 −x x arctan xdx 2 a cos2 xdx x.e−x dx 15 −∞ Dạng 4: Vẽ miền D D : ABC, A(1, 1), B(2, 3), C(−1, 2) D : −1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ ex D : y = cos x, y = 0, ≤ x ≤ 2π 1.5 Dạng 6: Tính diện tích D : y = sin x, y = 0, ≤ x ≤ 2π D : y = x2 − 2x, y = 0, ≤ x ≤ √ D : y = 1.6 x ,y x3 +1 = 0, ≤ x < +∞ Dạng 7: Tính thể tích Vx : y = √ − x2 , y = 0, −1 ≤ x ≤ Vy : y = 2x − x2 , y = 3, ≤ x ≤ 3 Vx : y = e−x sin x, y = 0, x ≥ 1.7 Dạng 8: Giải phương trình vi phân y − xy = y ln x y y + y = , y(1) = x x (1 − x)(y + y) = e−x , y(2) = 10 x3 y = y(x2 + y ) y − y cot x = sin x π 11 ydx + cot xdy = 0, y( ) = −1 y − y tan x + y cos x = 12 y + (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 y + y2 = x+1 2x − y + y = x − 2y + 13 xy − y = (x2 + y ) √ √ 14 ( xy + x)y − y = y − y cot x = sin x 15 xy + y = y ln x, y(1) = (x2 + 1)y + 4xy = 16 y” + 2y = 3x 17 y” − 3y + 2y = 3e2x 19 y” + y + 4y = sin2 x 18 y” + 2y + 5y = x + cos x 20 5y” − 6y + 5y = xex Câu dài 2.1 Dạng 1: Tìm tham số để hàm liên tục x = x0 vẽ đường cong minh hoạ (đánh dấu điểm đặc biệt (x0 , f (x0 )) f (x) = x + 1, x ≤ , x0 = − ax2 , x > f (x) = x − 1, x ≤ , x0 = ax2 − 2, x > f (x) = f (x) = ax + 1, x ≤ π π , x0 = π f (x) = sin x + 3, x > 2 f (x) = 2.2 a − x2 , x ≤ −2 , x0 = ,x > x+1 1 ,x ≥ , x0 = x−3 x + e x + ax, x < x 4−x2 , x ≥ , x0 = −x2 + ax − 4, x < f (x) = x arctan( ), x = , x0 = x a, x = f (x) = ,x > , x0 = + ax + 1, x ≤ 1 x−1 Dạng 2: Tính đạo hàm hàm x = x0 vẽ đường cong tiếp tuyến (x0 , f (x0 )) arctan , x = x2 , x0 = f (x) = π,x = 2 f (x) = x3 − 2x2 + x − 5, x0 = −1 f (x) = 2.3 x2 ln x2 , x = , x0 = 0, x = Dạng 4: Tính bậc VCB khai triển Taylor Tìm a, b để α(x) ∼ axb Khi x → : α(x) = sin(ax2 ) + (1 + ax)(1/a) − ex ∼ xb 2 Khi x → : α(x) = ln(1 + ax) + sin(a2 x2 ) 21 − axcosx ∼ xb 2 Khi x → : α(x) = etan(ax) − eax − sin(a3 x3 ) xb ∼ 3 √ Khi x → : α(x) = xex − sinx − x2 + 2x ∼ axb 2.4 Dạng 5: Tìm cực trị hàm f (x) vẽ hình minh họa (có đánh dấu điểm cực trị )( dùng đạo hàm cấp để tìm cực trị) x2 f (x) = √ x2 − x−2 f (x) = √ x2 + f (x) = − ln x − x2 + x −x2 f (x) = xe f (x) = 2.5 + ln x x Dạng 6: Phân tích hàm sau thành tổng phân thức đơn giản f (x) = 2x − 2x + x2 − 8x + f (x) = 3x2 − x3 + 2x2 − 2x + f (x) = x4 − 2x3 + x2 − 8x + f (x) = x+1 x4 + 5x2 − 36 2.6 Dạng 7: Vẽ tính diện tích miền D: D : y = x2 ; y = D : y = x2 − 2x, y = 3, x ≥ D : y = 2.7 ln x , y = x ln x x Dạng 8: Vẽ hình miền phẳng tính thể tích tạo miền quay quanh trục tọa độ ( theo yêu cầu): √ √ Vx , D : y = ex − x; y = − x Vx , D : y = x2 ; y = 0; x + y = Vy , D : y = x2 ; y = 0; x + y = Vy , D : y = 2x − x2 ; y = 3, ≤ x ≤ 2.8 Dạng 9: Vẽ phần đường cong tính diện tích mặt tròn xoay tạo cung quay quanh Ox: √ + x2 , ≤ x ≤ √ Sx : y = 61 x(x − 12), ≤ x ≤ 12 Sx : y = 3.1 Câu khó Dạng 1: Tìm tiệm cận đường cong y = f (x) vẽ hình minh họa ( vẽ đương cong đường tiệm cận): x3 f (x) = 2(x2 + 1) x3 f (x) = √ x4 + 3.2 f (x) = (2x − 1)e x f (x) = e x − x f (x) = x2 e x f (x) = (2x − 1)e1/x x2 f (x) = √ + x2 Dạng 2: Tính đạo hàm trái, phải x = x0 vẽ đường cong tiếp tuyến trái, phải tiếp tuyến (nếu có)tại (x0 , f (x0 )) x e − 1, x > x f (x) = , x0 = x + 1, x ≤ ex ,x ≤ ,x = f (x) = x2 x ,x > f (x) = 3.3 x−1 ,x > , x0 = ln x 2x − 1, x ≤ Dạng 3: Tìm tiệm cận đường cong tham số x = x(t), y = y(t) x(t) = t.et y(t) = t.e−t x = t3 − 3π, y = t3 − arctan t x = t ln t, ln t y= t