các dạng bài tập toán hình học 12

Bài 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) 10  Hướng Dẫn: S= a 16 Bài Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a Tính theo a khoảng cách đường thẳng A1B, B1D Gọi M, N, P trung điểm cạnh B1B, CD, A1D1 Tính góc đường thẳng MP C1N  Hướng Dẫn: d = a / 900 34 Bài Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính d[A, (BCD)]  Hướng Dẫn: d= / 17 (cm) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA ⊥ mp(ABC) Tính d[A, (SBC)] theo a biết SA = a 2  Hướng Dẫn: d= a /2 Bài Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi a, b, c góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh rằng: cosa + cosb + cosc ≤ Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách d = d[S, BE] Bài Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng ⊥ với mp(ABC) điểm A lấy điểm S cho góc mặt phẳng (ABC) (SBC) 600 Tính độ dài đoạn SA theo a  Hướng Dẫn: SA = a /2 Bài Tính thể tích khối tứ diên ABCD biết: AB = a, AC = b, AD = c góc BAC, CAD, DAB 600  Hướng Dẫn: V = abc / 12 cm Hãy xác định tính độ dài đoạn vuông góc Bài Cho hình tứ diện ABCD có cạnh a = chung đường thẳng AD BC  Hướng Dẫn: Đoạn vuông góc chung MN với M, N Bài 10 trung điểm BC AD, MN = (cm) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A1C, D]  Hướng Dẫn: 1200 30 Bài 11 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác cân với: AB = AC = a góc BAC = 1200, cạnh bên BB1 = a Gọi I trung điểm CC1 Chứng minh tam giác AB1I vuông A Tính cosin góc mặt phẳng (ABC), (AB1I)  Hướng Dẫn: cos = / 10 4a2 − b2 Bài 12 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b, (BCD) ⊥ (ABC), góc BDC = 900 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b  Hướng Dẫn: R = a2 / Bài 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600, gọi M trung điểm cạnh AA1 N trung điểm cạnh CC1 Chứng minh điểm B1, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA1 theo a để tứ giác B1MDN hình vuông  Hướng Dẫn: AA1 = a Bài 14 Cho hình lập phương ABC.A1B1C1 Tìm điểm M thuộc cạnh AA1 cho mp(BD1M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ  Hướng Dẫn: M trung điểm đoạn AA1 Bài 15 Cho hình chóp SABC đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc b (00 < b < 900) Tính thể tích khối chóp S.ABC d[A, (SBC)] Bài 16 Cho mpP ⊥ mpQ có giao tuyến đường thẳng d Trên d lấy điểm A, B với AB = a Trong mpP lấy điểm C, mpQ lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với d AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính d[A, (BCD)] theo a  Hướng Dẫn: R= a /2 ,d=a /2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, SA ⊥ (ABC), SA Bài 17 = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a  Hướng Dẫn: abc a + b + c ( S = a2 /2 ) a b + b c + c2a2 Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính 2 2 diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh 2S ≥  Hướng Dẫn: S = / , sử dụng BĐT Cauchy Bài 19 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy b (00 < b < 900) Tính tang góc mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b  Hướng Dẫn: V= a3 tan b / Bài 20 Cho hình trụ có đáy hình tròn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho: AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB  Hướng Dẫn: Bài 21 B  V = a3 / 12 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AD = a, AA’ = a góc AD = 600 Gọi M N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh AC’ ⊥ mp(BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN  Hướng Dẫn: V = 3a3 / 16 Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) SB tạo với mặt đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a cắt cạnh SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.BCNM  Hướng Dẫn: V = 10 a3 / 27 / Mặt phẳng (BCM) Bài 23 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a, SA ⊥ (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM  Hướng Dẫn: V=3 a3 / 50 a2 − 16b2 Bài 24 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt bên (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD  Hướng Dẫn: V = 2a3b / Bài 25 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC’ cho: CK = 2/3a Mặt phẳng () qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện  Hướng Dẫn: V1 = a3 /3, V2 = 2a3 /3 Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với: AB = a, AD = a , SA = a, SA ⊥ (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) ⊥ (SMB) Tính thể tích khối chóp ANIB  Hướng Dẫn: B ài 27 V = a3 / 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, B  AD = 600 SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi C’ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’  Hướng Dẫn: / 18 V = a3 3b2 − a2 3b2 − a2 Bài 28 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên A’A = b Gọi  góc mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan thể tích khối chóp A’.BB’C’C  Hướng Dẫn: tan = / a , V = a2 /6 Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM ⊥ BP tính thể tích khối tứ diện CMNP  Hướng Dẫn: V = a3 / 96 Bài 30 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN ⊥ BD tính theo a khoảng cách đường thẳng MN AC B ài 31 = 2a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, A  BC = B  AD = 900 , AB = BC = a, AD Cạnh bên SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh ∆SCD vuông tính khoảng cách từ H đến mp(SCD)  Hướng Dẫn: d = a/3 Bài 32 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc đường thẳng AA’, B’C’  Hướng Dẫn: V = a /2, cosφ = 1/4 Bài 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc đường thẳng SM, DN  Hướng Dẫn: V = a3 / cos = / , 17 Bài 34 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM, B’C  Hướng Dẫn: V = a3 /2,d=a/ 15 Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = AD = 2a, CD = a, góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a  Hướng Dẫn: Bài 36 V=3 a3 / Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mp(ABC) 600 ∆ABC vuông C  B AC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm ∆ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a  Hướng Dẫn: V= 9a3/208 Bài 37 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC)  Hướng Dẫn: V = 4a3 / 9, d=2 a/5 Bài 38 Cho hình chóp S.ABC mà mặt bên tam giác vuông, SA = SB = SC = a Gọi N, M, E trung điểm cạnh AB, AC, BC, D điểm đối xứng S qua E, I = AD∩(SMN) Chứng minh AD ⊥ SI tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI  Hướng Dẫn: V = a3 / 36 Bài 39 Cho tứ diện ABCD điểm M, N, P thuộc cạnh BC, BD, AC cho: BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (MNP) cắt AD Q Tính AQ / AD tỷ số thể tích phần khối tứ diện ABCD chia mp(MNP) AQ / AD = 3/5 , V1 / V2 = / 13  Hướng Dẫn: Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a , SA ⊥ (ABCD) Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD tính cosin góc đường thẳng SB, AC  Hướng Dẫn: V = a3 / , cos = /4 2 Bài 41 Cho tứ diện ABCD có mặt ABC ABD tam giác cạnh a, mặt ACD BCD vuông góc với Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD tính số đo góc đường thẳng AD BC  Hướng Dẫn: V = a3 / 12 , 600 Bài 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA = 2a, SA ⊥ (ABC) Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC H, K Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK  Hướng Dẫn: Bài 43 V = 8a / 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD, H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng 3 19 (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a  Hướng Dẫn: V = 5a3 / 24 , d = 2a / Bài 33 Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác đểu cạnh a Điểm A’ cách điểm A, B, C đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Tính thể tích hình chóp B’.ACC’A’  Hướng Dẫn: V = a3 /6 Bài 34 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc ASB =∝ Gọi O giao điểm hai đường chéo đáy ABCD Hãy xác định góc α để mặt cầu tâm O qua năm điểm S, A, B, C, D  Hướng Dẫn:  = 600 Bài 35 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 30 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Hướng Dẫn: Bài 36 S = 8 a2 / Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD = a , CD = 2a Cạnh SA vuông √ góc với đáy SA = a ( ) > Gọi K trung điểm cạnh AC Chứng minh mặt phẳng(SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) tính thể tích khối chóp SBCK theo a  Hướng Dẫn: V= a3 Bài 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a (a > 0) Góc ABC = 120 , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi C’ trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (α) qua AC’ song song với BD cắt cạnh SB, SD B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’  Hướng Dẫn: Bài 38 V = a3 / 18 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông góc A D, AB = AD = a, DC = 2a Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SD = a (a số dương cho trước) √ Tính thể tích khối chóp SABCD theo a Gọi G trọng tâm tam giác DBC Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) theo a  Hướng Dẫn: a3 / a d = / 15 30 Bài 39 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy a, góc đường thẳng AB’ mặt phẳng (BB’C’C) α Tính độ dài đoạn thẳng AB’ theo a α Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a α  Hướng Dẫn: AB ' = a / 2sin , S = 4 a2 / ( 16sin2  + / 12 ) Bài 40 Tam giác MNP có đỉnh P nằm mặt phẳng (α), hai đỉnh M N nằm phía (α) Lần lượt lấy M’, N’ cho PM’N’ tam giác cạnh a Giả sử: MM’ = 2NN’ = a Tính diện tích tam giác PMN, từ suy giá trị góc hai mặt phẳng (α) (MNP)  Hướng Dẫn: S= a2 / ,  = 450 Bài 41 Cho tứ diện SABC có góc ABC = 90 ; SA = AB = 2a BC = a SA vuông góc với mặt √ 43 phẳng (ABC) Gọi M điểm đường thẳng AB, cho: đến mặt phẳng (SCM)  Hướng Dẫn: d=2 ⃗ =2 ⃗ Tính khoảng cách từ B a/ Bài 42 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên đường thẳng AC lấy điểm M đường thẳng C’D lấy điểm N cho: MN // BD’ Tính tỉ số: CM / CA  Hướng Dẫn: CM / CA = 1/3 Bài 43 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh a Gọi K trung điểm cạnh BC I tâm hình vuông CC’D’D Tính thể tích khối đa diện mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương  Hướng Dẫn: V1 = 7/36 a3, V2 = 29/36.a3 Bài 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC √ 3 19 theo a  Hướng Dẫn: V=5 a3 / 24 , d = a/ Bài 45 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60 Gọi G tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a  Hướng Dẫn: V=3 a3 / , R = 7a / 12 Bài 46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC: AH = AC/4 Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a 14  Hướng Dẫn: V = a3 / 48 Bài 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD  Hướng Dẫn: V = a3 / Bài 48 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD hình thang vuông A B có AB = BC = a, AD = 2a, góc hai mặt (SAD) (SCD) 600 Gọi V1, V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC SACD Tính tỉ số V1 V2 21 Bài 49 Cho tứ diện SABC có ∆ABC cân A, SA vuông góc với mp(ABC), SA = a, diện tích ∆SBC gấp lần diện tích ∆ABC Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC  Hướng Dẫn: d=a/2,R =a /6 2 Bài 50 Cho hình chóp tứ giác SABCD có tất cạnh a Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp SABCD Tính tang góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD)  Hướng Dẫn: V = a3 / , tan = − 1333 Bài 51 Cho hình chóp SABC có ABC tam giác cạnh a, mp(SAB) vuông góc với mp(ABC), góc hai mặt bên (SBC) (SAC) với mp(ABC) 600 Tính thể tích hình chóp SABC Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC  Hướng Dẫn: V = a3 / 16 , R = a / 72 Bài 52 Cho hình trụ bán kính đáy R nội tiếp lăng trụ tứ giác có đường chéo hợp với đáy góc α Tính thể tích diện tích xung quanh hình trụ tính thể tích lăng trụ ngoại tiếp R3 tan 2  Hướng Dẫn: V HT = 2 R3 tan , S xq =4  R2 tan , V = LT Bài 53 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), Gọi I trung điểm cạnh BC Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SI cắt SB, SC M, N Biết rằng: VSAMN = 1/4 VSABC , Hãy tính: VSABC (VSAMN , VSABC thể tích khối chóp SAMN SABC)  Hướng Dẫn: V = a3 15 Bài 54 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B, AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) Cho biết góc (SAD) (SCD) 600 Tính thể tích hình chóp  Hướng Dẫn: V = a3 /6 Bài 55 Cho hình chóp ABCD có AB = x (x > 0), cạnh lại Tính độ dài đoạn vuông góc chung AB CD Tính thể tích hình chóp Tìm điều kiện x để toán có nghĩa − x2  Hướng Dẫn: V= x / 12 , < x < Bài 56 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông A Biết AB = AC = AA’ M điểm di động AC’, N điểm di động BC cho M ≠ A AM = BN Chứng minh: MN // (ABB’A’) Xác định vị trí MN cho độ dài MN ngắn  Hướng Dẫn: M trung điểm AC’, N trung điểm BC, Min MN = a /2 Bài 57 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông cân B, BC = a, SA ⊥ (ABC) SA = 2a Gọi I trung điểm SC M điểm cạnh SB Tính diện tích tam giác AIM (AIM) 14 ⊥ (SBC)  Hướng Dẫn: S = a2 / 10 Bài 58 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, ABC tam giác cân Dựng nửa đường thẳng Ax vuông góc mặt phẳng (P) S điểm Ax Gọi D, E tương ứng hình chiếu A SB SC Chứng minh DE không song song với BC Chứng minh S di động Ax (S ≠ A) tồn điểm cố định cách năm điểm A, B, C, D, E  Hướng Dẫn: Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC Bài 59 Cho đường tròn đường kính AB 2R C điểm chạy đường tròn Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng đường tròn, lấy điểm S cho SA = a < 2R  Giả sử  góc hai mặt phẳng (SBA) (SBC) Đặt  = B AC Hãy tìm sin  theo: a, R,  Gọi E F tương ứng trung điểm AC, SB Xác định vị trí C đường tròn cho EF đường vuông góc chung cùa AC SB a2 + 4R2 a2 + 4R2cos2  Hướng Dẫn: sin  = cos / C giao điểm đường tròn cho với đường tròn tâm B bán kính a, có vị trí C Bài 60 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Giả sử: SC ∩ (AB’D’) = C’ Chứng minh: AB’C’D’ tứ giác nội tiếp Giả sử ABCD hình vuông cạnh a, SA = 2a Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’  Hướng Dẫn: V = 16a3 / 45 Bài 61 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Hai nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mặt phẳng (P) phía (P) M N tương ứng hai điểm Bx Dy Đặt: BM = u, DN = v Tìm mối liên hệ u, v để (MAC) ⊥ (NAC) Giả sử đại lượng u, v thỏa mãn điều kiện câu Chứng minh rằng: (AMN) ⊥ (CMN)  Hướng Dẫn: 2uv = a2  Bài 62 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác cân ABC với AB = AC, B AC = α Gọi M trung điểm AA’ giả sử mặt phẳng (C’MB) tạo với đáy (ABC) góc   Chứng minh: C ' BC =  Tìm mối liên hệ   để C’MB tam giác vuông  Hướng Dẫn: tan(α/2) = cosβ Bài 63 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Có hình cầu qua A tiếp xúc với SB, SD trung điểm chúng Xác định tâm O tính bán kính hình cầu 2 Tính thể tích hình chóp S.OBCD  Hướng Dẫn: R= 3a 2/8,V=5 a3 / 48 Bài 64 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Trên AB lấy điểm H Từ H kẻ đường vuông góc với AB cắt nửa đường tròn M Gọi I trung điểm HM Nửa đường thẳng vuông góc với (P) I cắt mặt cầu đường kính AB K Chứng minh H di động mặt phẳng (KAB) tạo với (P) góc không đổi Chứng minh H di động tâm S mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABKI nằm đường thẳng cố định  Hướng Dẫn Bài 65 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Từ B C phía (P) dựng hai nửa đường thẳng Bx, Cy vuông góc với (P) Trên Bx Cy lấy hai điểm M, N Đặt: BM = u, CN = v Tìm hệ thức u, v để MAN tam giác vuông M Giả sử  A MN = 900 v = 2u Gọi  góc hai mặt phẳng (AMN) (BCMN) Tính giá trị   Hướng Dẫn: 2uv = a2 + 2u2 α = 450 Bài 66 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Đoạn SA = 2a vuông góc với (P) A Điểm M N di động BC CD Đặt: BM = u, DN = v Tìm mối liên hệ u v để hai mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với góc 450 Giả sử M, N di động thỏa mãn điều kiện câu Hãy xác định vị trí M, N để tứ diện SAMN tích lớn  Hướng Dẫn: a(u + v) + uv = a2 M ≡ B, N ≡ C M ≡ C, N ≡ D Bài 67 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh AB lấy điểm M Đặt: AM = x Qua M vẽ đường thẳng ∆ vuông góc với (P) Lấy S ∆ cho MS = MA Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (ABC) Gọi I trung điểm BC Mặt phẳng (SMI) cắt AC kéo dài N (NA > NC) Tìm x để hệ có hệ thức: VSMBI + VSCNI = VSABC 21 /7  Hướng Dẫn: cos = x =a −1 /2 ) ( 3 Bài 68 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) 2a Với giá trị góc α mặt bên mặt đáy hình chóp thể tích hình chóp nhỏ Tính giá trị bé  Hướng Dẫn: cos = / , VMin = a Bài 69 Cho tứ diện ABCD có: BC = a, AB = AC = b, BD = DC = c Với điều kiện b, c đường thẳng nối I, J đường vuông góc chung BC AD I, J tương ứng trung điểm BC AD Chứng minh hình cầu đường kinh CD qua I J Gỉả sử: b = c = √ Gọi α góc tạo hai mặt phẳng ABC DBC Tìm α để hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD  Hướng Dẫn: b = c sin  / = ( ) − ( /2 ) Bài 70 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Các mặt (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy (ABC) góc α, β, γ Tìm thể tích hình chóp S.ABC Tìm khoảng cách từ C tới mặt phẳng (SAB)  Hướng Dẫn: V = a3 / 2sin  cot + cot  + cot  a ( ) ,h= sin / Bài 71 Cho tứ diện OABC OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) Giả sử: OA = OB = OC = 3 15 a, BOC = 120 Tìm bán kính hình cầu nội ngoại tiếp tứ diện OABC  Hướng Dẫn: R= a / , r = 3V / Stp = a ( 4+ + ) Bài 72 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, góc mặt bên đáy 60 Dựng thiết diện với hình chóp qua CD tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Tìm diện tích thiết diện 3 Giả sử thiết diện cắt SA, SB tương ứng N, M Tìm thể tích hình chóp tứ giác S.CDNM  Hướng Dẫn: S=3 a2 / , V = a3 / 16 Bài 73 Cho tứ diện ABCD có: AB = AC = a, BC = b, (BCD) ⊥ (ABC), BDC = 90 Xác định tâm tính bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b Bài 74 Cho hình chóp tam giác S.ABC Biết tồn hình cầu tâm O, bán kính R (O nằm chiều cao hình chóp) tiếp xúc với sáu cạnh hình chóp Chứng minh S.ABC hình chóp Cho SC = R Tính chiều cao hình chóp √  Hướng Dẫn: SH = R/9 3b2 − a2 Bài 75 Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên b (b > a) Một hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) A tiếp xúc với cạnh SB Tìm bán kính hình cầu  Hướng Dẫn: R= a ( 2b − a ) /2 Bài 76 Cho hình chóp tứ giác đếu S.ABCD cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng điểm D qua trung điểm SA Gọi M, N tương ứng trung điểm AE, BC Chứng minh: MN ⊥ BD 2 Tìn khoảng cách theo a hai đường thẳng MN, AC  Hướng Dẫn: d=a /4 Bài 77 Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD Dựng đoạn SA ⊥ (P) Qua A dựng mặt phẳng (Q) ⊥ SC Mặt phẳng cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng minh AB’ ⊥ SB, AD’⊥ SD SB’.SB = SC’.SC = SD’.SD Gọi I trung điểm SA, M, N tương ứng trung điểm AB, DC Chứng minh: IB’⊥ (B’MN)  Hướng Dẫn: Bài 78 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Dựng đoạn SA = a 2, SA⊥ √ (ABCD) Qua A dựng mặt phẳng (Q) ⊥ SC Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’ Chứng minh điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu Tính bán kính mặt cầu ... số đo góc phẳng nhị diện [B, A1C, D]  Hướng Dẫn: 120 0 30 Bài 11 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác cân với: AB = AC = a góc BAC = 120 0, cạnh bên BB1 = a Gọi I trung điểm CC1 Chứng... tích khối tứ diên ABCD biết: AB = a, AC = b, AD = c góc BAC, CAD, DAB 600  Hướng Dẫn: V = abc / 12 cm Hãy xác định tính độ dài đoạn vuông góc Bài Cho hình tứ diện ABCD có cạnh a = chung đường... giác AB1I vuông A Tính cosin góc mặt phẳng (ABC), (AB1I)  Hướng Dẫn: cos = / 10 4a2 − b2 Bài 12 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b, (BCD) ⊥ (ABC), góc BDC = 900 Xác định tâm tính bán