CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI: I Tính giới hạn cách dùng giới hạn VCB, VCL x 1 n / lim m x 1 x 1 t x lim t 0 (1 t ) (1 t ) n m t m VCB lim n t 0 t n 1 m 1 VCB : (1 x ) ~ x x tan( x 1) 2x lim VCB lim lim x 0 x 0 x 0 x x x VCB : tan ( x ) ~ ( x ), ( x ) ax a a t 1 a a (a t 1) a (et ln a 1) a (t ln a ) / lim t x lim lim lim VCB lim a ln a x 1 x t 0 t 0 t 0 t 0 t t t t VCB : e ( x ) ~ ( x ), ( x ) ( ( x ) VCB) ln ln(1 t ) ln(2 t ) 1 1 t log2 x log (2 t ) 1 ln ln / lim t x lim lim lim VCB lim x 2 t 0 t 0 t 0 t 0 t x2 t t t VCB : ln(1 x ) ~ x cos(t ) cos x lim 2(cos t sin t ) lim cos t sin t / lim t x lim t 0 t 0 t 0 4x 4t 4t 4t x t2 t t VCB lim lim t 0 t 4t 4t VCB : cos x ~ x , sin x ~ x Tổng VCB không bậc tương đương với VCB bậc thấp x 1 2 x 2 x 1 x 2 2x / lim lim x x x 2x 2 x 1 x 1 x 2 2 lim 1 x 2x 1 e lim 2 x x x 1 e Giới hạn dạng : 10 / lim lim (1 ( x )) ( x) ( x ) 0 tan x sin x lim (tan x sin x ) x 0 x3 VCB : tan x ~ x,sin x ~ x x 0 e x VCB lim ( x x ) x 0 x3 Cách làm đưa giới hạn cần tính thành dạng 0.∞ nên không sử dụng Cách làm cho sau: 10 / lim x 0 tan x sin x x3 VCB : cos x ~ x2 sin x 1 cos x 1 lim ( sin x ) lim sin x VCB lim x x cos x x 0 x 0 cos x x x3 x x , sin x ~ x e 11/ lim x t2 t2 t2 t2 cos( ) x t lim e cos t lim (e 1) (1 cos t ) lim 0 x t arctan t t 0 t 0 arctan t t arctan x t2 t2 cos( ) x Giới hạn dạng vô định 12 / lim x arctan x 1 lim lim (e x cos ) e0 cos0 1, lim arctan x x x x x x e 13 / lim sin 3x.tan5 x ( x x )2 x 0 lim 3x.5 x x2 x 0 15 Mẫu số tổng VCB không bậc, tương đương với VCB bậc thấp 14 / lim ln(1 x x 3x ) ln(1 x x ) x 0 x x 3x 15 / lim x 16 / lim 2x 4x x log5 (1 5x ) x 0 lim 3x x 0 x lim x 0 sin2 x x x 0 x lim x ln(1 5x ) x arcsin 17 / lim cos x sin x 2x 4x x 0 VCL lim arcsin x x x 3x lim x.5x x x ln5 x.ln5 x 0 lim sin x sin2 x ln5 e Không phép thay số hữu hạn, khác tổng Chỉ thay số hữu hạn, khác tích thương Cách làm cho này: (dạng 1 : lim ( x ) 0 x 0 17 / lim cos x sin x cos x 1 sin x 1 sin x e x 0 lim sin x 1 ( x) ( x) lim (cos x sin x 1) x 0 x2 x2 x 0 x2 e lim e) cos x sin x 1 cos x sin x 1 1 sin x e 1 sin cos 1 x x x 1 1 18 / lim sin cos lim 1 sin cos sin x cos x 1 x x x x x x x 1 sin cos 1 x x x lim x e 1 sin cos 1 x x lim x x e 1 x x2 lim x x e e 1 x 1 x ( x) 19 / lim ln lim ln(1 x) ln(1 x) lim 1 x 0 x x x 0 x x 0 x x 0 20 / lim x e 2x x lim ( x e2 x 1) x 0 x e2 x 1 x xe 2x 1 x e2 x 1 e x 0 x lim x 2x e x 0 x lim e3 II Tính bậc VCB sau so với x x→0 1 ( x) sin x 2sin x ~ x x = Đây trường hợp không thay VCB tương đương Cách làm cho câu sau: 1 ( x ) sin x sin x sin x(cos x 1) ~ x 1 x x Bậc 2 2 2 ( x ) esin x cos x (esin x 1) (1 cos x) ~ sin x x ~ x x ~ x1 Bậc 3 ( x ) cos x cos x (cos x 1) (1 cos x ) (cos x 1) cos x cos x cos x 3 1 1 (1 cos x ) 1 ~ x x 3 3 cos x cos x Bậc 4 ( x ) x x ( x 1) x (1 x) 1 1 1 x ~ x x ~ x 2 Bậc ½ 5 ( x ) arcsin 2 x x2 2 x ~ x 1 ~ x 4 Bậc 2 6 ( x ) tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x x x Bậc 4 x x4 7 ( x ) arctan( x 2) ~ x 1 ~ x 8 12 1 e x ln 3 Bậc 8 ( x ) x ~ x ln3 ln3 x 9 ( x ) x x x ~ x x ~ x Bậc 1/2 Bậc 1/3 10 ( x ) cos3 x (1 cos x)(1 cos x cos2 x) ~ x x Bậc III Tính giới hạn phía lim x x x x x lim 2x lim x x x 1 x x 1 2 x 2, lim x 2x x2 x x2 x 2x 2 2 x x 1 x x 1 x 1 x 1 lim arctan , lim arctan x 1 x 1 x 1 x 1 2 lim arctan x lim x x x | x | lim x2 x x x x lim 1, lim lim 1 x | x | x x x | x | x x lim lim ( x 1)e x x 0 lim ( x 1)e x 0 x , lim ( x 1)e x 0 x 0 IV Hàm liên tục sin(ln x ) ,x 1 Tìm a để hàm f ( x ) x liên tục với x ax 1, x sin(ln x ) Khi x1 : f ( x ) ax hàm sơ cấp nên hàm liên tục x Khi x=1: ta khảo sát liên tục phía hàm o Liên tục phải : Tính giới hạn phải : lim f ( x ) lim (ax 1) a x 1 Và so sánh : lim f ( x ) f (1) x 1 x 1 Nên hàm liên tục phải x=1 o Liên tục trái : Tính giới hạn trái: sin(ln x ) ln(1 ( x 1)) lim 1 x 1 x 1 x x 1 lim f ( x ) lim x 1 Để hàm liên tục trái x=1, ta phải có lim f ( x ) f (1) a a x 1 Vậy hàm liên tục với x a = 2 Tìm f(0) để hàm f(x) liên tục x=0: eax ebx a f ( x ) x tan( x 1) b f ( x ) x ax bx ,a b eax ebx (eax 1) ( ebx 1) lim a lim f ( x ) lim lim x 0 x x 0 x 0 x 0 x x Khong thay VCB duoc, a b a b, a b Khong thay VCB duoc, a b Để hàm liên tục x=0, ta phải có f (0) lim f ( x ) f (0) a b, a b x 0 Trường hợp a=b xét chương sau b Để hàm liên tục x=0, ta phải có f (0) lim f ( x ) f (0) x 0 (Kết I.2) Bài tập : I Tính giới hạn sau x n 1 ( n 1) x n lim x 1 ( x 1)2 lim a x am xm x m 12 lim 1 x log x 1 x 1 x x 0 11 lim x x x x x n n x 1 x 1 x 1 lim HD : x n 2x x4 x 2 cos x cos x lim x 0 x2 x lim 1 x tan x 1 x t t HD : t x tan tan cot lim lim x 0 cos x cos x x 0 15 lim x sin x 16 lim x a sin a tan x x a x2 17 lim x x x2 x 0 sin x cos x cos lim x 3 x3 19 lim sin x x ax 1 lim ( a 0) HD : a x e x ln a x 0 x x sin x 10 lim x 0 ex II Tính giới hạn phía 1 lim arctan x 1 1 x lim x 0 1 e x ln e x x x lim x 1 x 18 lim x x lim ln x ln m ( m 0) xm xm 14 lim x ln( x 1) ln x 13 lim 1 ( x 1) n 1 e x 1 x III Khi x x0 , tính bậc VCB sau so với x x0 x : a. ( x ) x 3x b. ( x ) tan x sin x c. ( x ) (2 x ) x x a. ( x ) x x x : b. ( x ) e x e c. ( x ) x tan x x2 20 lim x x x2