Giao trinh bai tap bài tập tổng hợp

BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN Tính tích phân 1.1 Cách tính tích phân Tích phân phân thức đơn giản loại 2: du , uk tích phân dạng du (u2 + a2 )k mx + n (ax + b)k + (ax2 + bx + c)k dx Biến đổi để đưa thành tổng với k = 1, 2 Tích phân hàm hữu tỉ : f (x) = Phân tích f (x) = mx + n Pn (x) : Qm (x) mx + n Tích phân hàm vô tỉ dạng : f (x, (ax2 + bx + c)k n , k = 1, ax + b ) ; đặt t = cx + d n ax + b cx + d √ Tích phân hàm vô tỉ dạng : f (x, ax2 + bx + c) √ √ b 4ac − b2 Ta biến đổi : ax + bx + c = a x+ tức đưa ax2 + bx + c thành + 2a 4a √ √ √ a 2 2 2 dạng u + a , u − a , a − u Sau đặt u = a.tant, u = a.sint, u = cost √ du du , √ , u − a2 du sử dụng trực tiếp tích phân dạng √ 2 2 u ±a a −u Dạng đặc biệt 1: f (x) = √ mx + n ax2 + bx + c Tính tính tích phân phân thức đơn giản loại 2, đưa thành tổng dạng du √ u du du √ ,√ 2 u ±a a − u2 Dạng đặc biệt 2: f (x) = Đặt mx + n = c √ (mx + n) ax2 + bx + c để đưa dạng t Tích phân Trebusev: f (x) = xm (a + bxn )p , với m, n, p số hữu tỉ với trường hợp : a p ∈ Z : đặt x = ts với s = BCN N (m, n) m+1 b ∈ Z : đặt a + bxn = ts với s mẫu số p n m+1 c + p ∈ Z : đặt ax−n + b = ts với s mẫu số p n 1.2 Tính tích phân sau: √ x I1 = e dx I2 = arcsinx dx x2 I3 = I4 = I5 = cosx dx ex √ arcsin x √ 1−x 2x2 dx − 4x + I6 = xdx x4 + 6x2 + 13 I7 = x4 + 3x3 + 3x2 − dx (x + 1)3 I8 = 3x2 + 2x − dx x3 − 3x + I9 = dx x(x6 + 1) 10 I10 = 11 I11 = 12 I12 = 13 I13 = 14 I14 = 15 I15 = 16 I16 = 17 I17 = dx 4cosx + 3sinx + dx sin4 xcos2 x √ dx cosxsin3 x 4sin2 x x dx − 7cos2 x x−1 dx x+1 x−1 dx − 4x − x2 √ x x2 − 4dx √ dx √ (x2 + 9) 16 − x2 dx √ √ x x+ √ ln6 ex ex − 2) = dx ex + ln2 √ √ x2 + = dx x2 18 I18 = 19 I19 20 I20 2 Ứng dụng hình học tích phân 2.1 Công thức Diện tích miền D giới hạn f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x), a ≤ x ≤ b tính b (f2 (x) − f1 (x)) dx S(D) = a Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình thang cong ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b quanh b f (x)dx a Trục Ox: Vx = π a b xf (x)dx b Trục Oy: Vy = 2π a Diện tích mặt tròn xoay quay cung AB : y = f (x), a ≤ x ≤ b quanh trục Ox : b f (x) S = 2π + f (x)dx a Khi quay quanh trục Oy: ta đổi vai trò x, y cho b Độ dài cung AB : y = f (x), a ≤ x ≤ b : L = + f (x)dx a 2.2 Bài tập Tính diện tích miền phẳng sau: D1 : y = 2x, x2 = 2y D2 : x2 + y = 8, y = 2x phần hình tròn D3 : y = ln(x + 2), y = 2lnx, y = D4 : (y − 2)2 = x − 1, y = 0, tiếp tuyến với đường cong điểm có tung độ D5 : y = ex , y = e−x , x = x2 , y = D6 : y = + x2 2 Tính thể tích vật thể tạo quay miền D quanh trục tương ứng: Vx : y = 2x − x2 , y = 0, ≤ x ≤ Vx : y = (x − 1)3 , x = x2 Vy : y = + 2x + 2, y = 2 V : y = x , y = quay quanh đường thẳng x = Tính diện tích mặt cong tạo quay miền D quanh trục tương ứng: x2 y Sx , Sy : + ≤1 Sx : y = x2 , y = x π Sx : y = tanx, ≤ x ≤ 4 Tính độ dài cung: x2 lnx y= − ,1 ≤ x ≤ e √ y = x3 , ≤ x ≤ π y = lncosx, ≤ x ≤ a, a ≤ Tích phân suy rộng 3.1 Tích phân suy rộng loại (Tp với cận vô tận) Định nghĩa : +∞ b f (x)dx = lim Hàm f (x) khả tích [a, +∞) tích phân b→+∞ a a f (x)dx gọi suy rộng loại hàm f (x) [a, +∞) b Nếu giới hạn bên phải lim b→+∞ a +∞ f (x)dx tồn hữu hạn ta gọi f (x)dx hội tụ a Tp không hội tụ gọi phân kỳ Định nghĩa tương tự cho tích phân sau: f (x)dx = lim a→−∞ a −∞ +∞ b +∞ b b −∞ −∞ f (x)dx f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx, b Tích phân hàm không âm (không dương) Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho hàm ≤ f (x) ≤ g(x) khả tích [a, +∞) Ta có : +∞ +∞ g(x)dx HT Nếu f (x)dx HT a +∞ a +∞ f (x)dx PK Nếu g(x)dx HT a a Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho hàm f (x), g(x) không âm, khả tích [a, +∞) thoả lim x→+∞ +∞ +∞ g(x)dxHT ⇒ Nếu K = : a f (x)dxHT a +∞ +∞ f (x)dxHT ⇒ Nếu K = +∞ : a g(x)dxHT a +∞ +∞ g(x)dxHT ⇔ Nếu < K < +∞ : a f (x)dxHT a Lưu ý: Ta thường so sánh hàm f (x) với hàm g(x) = +∞ a>0 dxHT α > 1, P K α ≤ xα Tích phân hàm có dấu : +∞ +∞ |f (x)|dxHT Nếu a f (x) = K Ta có: g(x) f (x)dxHT a để sử dụng kết quả: xα 3.2 Tích phân suy rộng loại (Tp hàm không bị chặn) Định nghĩa : b Hàm f (x) khả tích [a, b) lim− f (x) = ∞thì tích phân x→b a c f (x)dx = lim− c→b f (x)dx gọi a suy rộng loại hàm f (x) [a, b) b c Nếu giới hạn lim− c→b f (x)dx hội tụ f (x)dx tồn hữu hạn ta gọi a a Tp không hội tụ gọi phân kỳ Định nghĩa tương tự hàm f (x) không bị chặn điểm c thuộc [a, b] b c f (x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx c Tích phân hàm không âm (không dương) Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho hàm ≤ f (x) ≤ g(x) khả tích [a, b) không bị chặn x = b Ta có : b b g(x)dx HT Nếu a b f (x)dx HT a b g(x)dx HT f (x)dx PK Nếu a a Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho hàm f (x), g(x) không âm, khả tích [a, b) không bị chặn x = b thoả lim− x→b Ta có: b b g(x)dxHT ⇒ Nếu K = : a f (x)dxHT a b b f (x)dxHT ⇒ Nếu K = +∞ : a g(x)dxHT a b b g(x)dxHT ⇔ Nếu < K < +∞ : a f (x)dxHT a Lưu ý: Ta thường so sánh hàm f (x) với hàm g(x) = 1 g(x) = để sử dụng (b − x)α (x − a)α kết quả: b b 1 dx, dxHT α < 1, P K α ≥ α α a (b − x) a (x − a) Tích phân hàm có dấu : b b |f (x)|dxHT Nếu a f (x) = K g(x) f (x)dxHT a