BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH GVHD: Trần Ngọc Diễm Nhóm: GT1 - L14 - 04 Danh sách thành viên nhóm Họ tên MSSV Ngô Duy Anh 1912580 Lê Thu Hà 1913206 Mai Xuân Hùng 1913605 Ngô Dương Kiệt 1913873 Lê Văn Mạnh 1914118 Ngô Gia Minh 1914195 Lê Tiến Phong 1914626 Lê Đại Thịnh 1915310 Lữ Thư Trường 1915726 Phân công công việc: Câu 1: Ngô Gia Minh, Lữ Thư Trường Câu 2: + 2,4,8: Lê Văn Mạnh + 19,24,31: Lê Đại Thịnh, Ngô Dương Kiệt + 34,38,42: Mai Xuân Hùng, Ngô Duy Anh Câu 3: Lê Thu Hà, Lê Tiến Phong I Nội dung câu hỏi: Câu 1: (5đ) Đọc trình bày lại phần 1.4 “Applications of functions to economics” Applied Calculus-5th edition-Hughes Hallet Câu 2: (3đ) Áp dụng phần làm tập 2, 4, 8, 7, 19, 24, 31, 34, 38, 42 2 Câu 3: (2đ) Cho đường cong tham số: (C ) : x  2t  t , y  2t  t  Vẽ đường cong (C )    Tìm điểm tự cắt (C ) Vẽ tiếp tuyến với đường cong điểm tự cắt Tìm diện tích giới hạn đường cong (do phần tự cắt tạo ra) II Nhận xét GVHD: … ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… …………………………………………………………………… III Bài làm: Câu 1: Trình bày tóm tắt lý thuyết: 1.4 Ứng dụng hàm số kinh tế Hàm Chi Phí Hàm chi phí, C(q), đưa tổng chi phí sản xuất số lượng sản phẩm, q Càng nhiều sản phẩm tạo tổng chi phí tăng, C đồng biến Chi phí để sản xuất tách hai phần: chi phí cố định, phát sinh khơng có sản phẩm sản xuất, chi phí thay đổi, phụ thuộc vào số lượng sản phẩm sản xuất Ví dụ: Chi phí chế tạo Xét cơng ty chế tạo radio Nhà máy máy móc cần thiết để bắt đầu sản xuất chi phí cố định, phát sinh khơng có radio sản xuất Chi phí lao động nguyên liệu chi phí thay đổi nhiều sản phẩm phụ thuộc vào radio sản xuất Chi phí cố định cho cơng ty $24000 chi phí thay đổi $7 radio Khi đó: Tổng chi phí cho cơng ty = Chi phí cố định + Chi phí thay đổi = 24,000 + 7· q (Với q Số lượng Radio)  C(q) = 24,000 + 7q (Với C(q) tổng chi phí) Đây phương trình đường thẳng với hệ số góc cắt trục tung 24,000 Chi phí thay đổi cho đơn vị thêm vào gọi chi phí cận biên Đối với hàm chi phí bậc nhất, chi phí cận biên thay đổi giá cả, hay hệ số góc, hàm chi phí Ví dụ 1: Đồ thị hàm chi phí C(q) = 24000 + 7q Ký hiệu chi phí cố định chi phí cận biên Giải: Đồ thị C(q) đường thẳng hình 1.43 Chi phí cố định biểu diễn cởi điểm cắt trục tung điểm 24,000 Chi phí cận biên biểu diễn với hệ số góc 7, thay đổi chi phí tương ứng với thay đổi đơn vị sản xuất Nếu C(q) hàm chi phí bậc nhất, • Chi phí cố định biểu diển điểm cắt trục tung • Chi phí cận biên biểu diển hệ số góc đường thẳng Ví dụ 2: Trong trường hợp, vẽ đồ thị hàm số bậc thõa mãn điều kiện cho: a) Chi phí cố định lớn, chi phí cận biên nhỏ b) Khơng có chi phí cố định, chi phí cận biên lớn Giải: a) Đồ thị đường thẳng với điểm cắt trục tung lớn hệ số góc nhỏ Xem hình 1.44 b) Đồ thị đường thẳng qua gốc tọa độ hệ số góc dương lớn Xem hình 1.45 Hình 1.44 1.45 có quy mơ Hàm doanh thu Hàm doanh thu, R(q), đưa tổng doanh thu công ty từ việc bán số lượng sản phẩm, q Nếu sản phẩm bán với giá p cho sản phẩm, số lượng bán q, đó: Doanh thu = Giá ·Số lượng  R(q) = pq Nếu giá không phụ thuộc vào số lượng bán, p số, đồ thị hàm doanh thu đường thẳng qua góc tọa độ, với hệ số góc p Ví dụ 3: Nếu radio bán với giá $15 chiếc, vẽ đồ thị hàm doanh thu nhà kinh doanh Chỉ rõ giá radio đồ thị Giải: Ta có: R(q) = pq = 15q  Đồ thị hàm doanh thu ( Hình 1.46) Giá hệ số góc đường thẳng 15 Ví dụ 4: Đồ thị hàm chi phí C(q) = 24,000 + 7q hàm doanh thu R(q) = 15q trục hệ trục tọa độ Với giá trị q cơng ty kiếm lợi nhuận? Giải: Cơng ty kiếm lợi nhuận doanh thu lớn chi phí, nên ta tìm q để R(q) nằm C(q).(Hình 1.47) Điểm mà R(q) C(q) giao nhau: Doanh thu = Chi phí 15q = 24,000 + 7q 8q = 24,000 q = 3,000 Vậy, công ty bán 3,000 sản phẩm kiếm lợi nhuận Hình 1.47: Hàm chi phí doanh thu cho nhà sản xuất radio: Giá trị q để sinh lợi nhuận? Hàm lợi nhuận Xét hàm lợi nhuận, ký hiệu π, ta có: Lợi nhuận = Doanh thu − Chi phí π = R − C Điểm hòa vốn điểm mà doanh thu chi phí Xem hình 1.47 Ví dụ 5: Tìm cơng thức cho hàm lợi nhuận sản xuất radio Vẽ đồ thị đánh dấu điểm hòa vốn Giải: Ta có: R(q) =15q , C(q) = 24,000 + 7q , ta có: π(q) = R(q) − C(q) = 15q − (24,000 + 7q) = 8q − 24,000 ( Lưu ý: Chi phí cố định cắt trục tung tung độ âm điểm hịa vốn cắt trục hồnh.(Hình 1.48) Hình 1.48: Lợi nhuận nhà sản xuất radio Ví dụ 6: (a) Sử dụng bảng 1.26, dự đoán điểm hịa vốn cơng ty (b) Tìm lợi nhuận công ty 1000 sản phẩm sản xuất (c) Công ty đưa giá sản phẩm bao nhiêu? Bảng 1.26 Dự tốn cơng ty doanh thu chi phí sản phẩm q 500 600 700 800 900 1000 1100 C(q), $ R(q), $ 5000 4000 5500 4800 6000 5600 6500 6400 7000 7200 7500 8000 8000 8800 Giải: (a) Điểm hòa vốn giá trị q mà R(q) = C(q) Khi R(q) < C(q) q = 800 R(q) > C(q) q = 900, điểm hòa vốn số lượng 800 900 Theo số liệu bảng điểm hịa vốn gần với q = 800, chi phí doanh thu gần Ước tính hợp lí cho điểm hịa vốn q = 830 (b) Công ty sản xuất 1000 sản phẩm, C(1000) = 7500, R(1000) = 8000, lợi nhuận cơng ty: π(1000) = R(1000) − C(1000) = 8000 − 7500 = 500 đô la (c) Từ bảng trên, suy R(q) = 8q Điều nói cơng ty bán với giá $8 sản phẩm Chi phí cận biên, Doanh thu cận biên, Lợi nhuận cận biên Chi phí cận biên: thay đổi tốc độ, hay hệ số góc đường hàm chi phí Doanh thu cận biên Lợi nhuận cận biên thay đổi tốc độ, hay hệ số góc đường doanh thu hàm lợi nhuận “Cận biên” sử dụng ta tìm hiểu làm mà chi phí, doanh thu, lợi nhuận thay đổi “trong phạm vi biên”, bán thêm sản phẩm Ví dụ: Một người làm radio, chi phí cận biên $7/1 sản phẩm ( chi phí nhận thêm sản xuất thêm sản phẩm $7), doanh thu cận biên $15/1 sản phẩm ( doanh thu nhận thêm từ việc bán thêm sản phẩm $15), lợi nhuận cận biên $8/1 sản phẩm ( lợi nhuận nhận thêm từ việc bán thêm sản phẩm $8) Hàm sụt giá Cho người làm radio với máy có giá trị $20,000 bán với giá $3,000 sau 10 năm Ta nói giá trị sụt giảm máy từ $20,000 hôm đến bán lại với giá $3,000 10 năm Cơng thức tính sụt giá (V(t))(đô la) máy hàm số theo t máy bán Ta cho giá trị máy sụt giảm theo đường thẳng Giá trị máy $20,000: V(0) = 20,000; Giá bán lại t = 10 $3,000 Ta có: 3000  20000 10 Hệ số góc = m = = −1700 (đơ la/năm) Hệ số góc cho biết giá trị má giảm 1,700 đô la năm Khi V(0) = 20000 nên: V(t) = 20000 − 1700t đô la Đường cong cung cầu Đường cong cung, ý cung cấp sản phẩm, liên quan đến số lượng, q, số lượng mà nhà sản xuất sẵn sàng làm cho sản phẩm theo giá cả, p, sản phẩm bán Đường cong cầu liên quan đến số lượng, q, sản phẩm cần người tiêu dùng cho đơn vị theo giá cả, p, sản phẩm Đường cong cung cầu biểu diễn Hình 1.49 Hình 1.49: Đường cong cung cầu Ví dụ 7: Các nhà kinh tế định nghĩa ý nghĩa giá p p1 số lượng q1 Hình 1.49? Giải: - p0 giá đó, số lượng sản phẩm cung cấp hay mức giá p nhà sản xuất khơng sản xuất sản phẩm - p1 mức tương ứng với nhu cầu người mua - q1 số lượng nhu cầu mức giá giá sản phẩm miễn phí Sự cân giá sản lượng Nếu ta vẽ đồ thị cung cầu hệ trục tọa độ ( hinh 1.50), hai đường cong cắt điểm gọi điểm cân (q*,p*), với p* q* gọi cân giá cân bàng số lượng Nó cho thị trường ổn định đến điểm cân Hình 1.50: Sự cân giá sản lượng Ví dụ 8: Tìm cân giá sản lượng Lượng cung = 3p − 50 Lượng cầu = 100 − 2p Giải: Để tìm cân giá, ta tìm điểm mà: Cung = Cầu 3p − 50 = 100 − 2p 5p = 150 p = 30 Vậy cân giá $30 Để tìm cân số lượng, ta tìm sản lượng cung sản lượng cầu mức giá $30: Sản lượng cầu = 100 − 2.30 = 40 (sản phẩm) Vậy cân sản lượng 40 Trong hình 1.51, đường cung cầu cắt q* = 40 p* = 30 Sự tác động thuế vào cân Hai loại thuế: - Thuế số lượng thuế đánh theo tỷ lệ cố định tính số đơn vị vật sản lượng.Thuế thường áp dụng sản phẩm như: Gas, rượu, thuốc Thuế thường đánh vào nhà sản xuất - Thuế tiêu thụ thuế đánh vào phần trăm sản lượng bán Có nhiều thành phố tỉnh thu thuế tiêu thụ vào nhiều dạng sản phẩm Thuế số lượng thường đánh vào người tiêu dùng Ví dụ 9: Thuế số lượng $5/sản phẩm đánh vào nhà cung cấp ví dụ Vậy đâu cân giá sản lượng sản phẩm? Giải: Gọi số tiền mà người tiêu dùng phải trả p ($/sản phẩm), nhà cung cấp nhận p − la sản phẩm $5 đóng thuế cho quyền.Khi đó: Lượng cung = 3(Số lượng sản phẩm nhận người cung cấp) − 50 Lượng cung = 3(p − 5) − 50 = 3p − 65 ; Phương trình lượng cầu: Lượng cầu = 100 − 2p Sự cân giá: Cầu = Cung  100 − 2p = 3p − 65  5p = 165  p = 33 · Vậy giá cân $33 Số lượng cân : 100 − 33 = 34 (sản phẩm) , Ở ví dụ cân giá $30; với đánh thuế $5 ví dụ 9, cân giá $33 Sự cân giá tăng lên $3 thuế ( thuế phải nộp) Người tiêu thụ cuối phải trả $3 khơng có thuế Tuy nhiên quyền nhận $5 cho đồ Người sản xuất trả thêm $2 tiền thuế, giữ lại giá $28 Hình 1.52: Thuế thay đổi đường cong cung, thay đổi cân giá sản lượng sản phẩm Mặc dù thuế đánh vào nhà sản xuất, số loại thuế thông qua người tiêu dùng với giá cao Thuế làm tăng giá làm giảm số lượng sản phẩm bán Xem hình 1.52 Chú ý thuế ảnh hưởng đến đường biểu diễn cung cấp tăng lên $5 nhà cung cấp phải trả $5 để sản xuất với số lượng Sự giới hạn ngân sách - Càng đầu tư nhiều tiền vào quốc phòng, đầu tư cơng tác xã hội - Ví dụ: Về việc mua súng bơ, cho nguồn vón cố định, ta thấy mối liên hệ số lượng súng bơ đường thẳng Nếu đầu tư $12,000 số tiền chia sau: Súng 400$/cây bơ $2000/Tấn Cho số súng g, số lượng bơ b Số tiền mua súng $400g, số tiền cho việc mua bơ $2000b Giả sử số tiền sử dụng hết: Số tiền mua súng + Số tiền mua bơ = 12000  400g + 2000b = 12000  g + 5b = 30 Biểu thức giới hạn ngân sách, viết dạng: g = 30 − 5b Lệnh vẽ đồ thị matlab: (b) Phương trình cung với đô la thuế: q = 10.(p – 6) – 500 = 10.p – 560 Để sản lượng giá cân bằng: cung = cầu ⟺ 10.p – 560 = 2500 – 20.p ⟺ 30.p = 3060 ⟺ p = 102 (đô la) Sự cân sản lượng mới: q = 10.102 – 560 = 460 Sự thay đổi đồ thị: 18 Lệnh vẽ đồ thị matlab: (c) Giá cân 100 đô la chưa áp thuế Giá cân 102 đô la áp thuế đô la vào sản phẩm đánh vào nhà cung cấp Do giá cân tăng thêm đô la thuế Nên người tiêu dùng phải trả đô la nhà sản xuất phải trả đô la cho việc bị đánh thuế (d) Tổng số tiền thuế mà phủ thu được: 6.460 = 2760 (đô la) 19 Câu 3: Đường cong tham số: x  2t  t , y  2t  t Tập xác định : D  R x'  t    2t y '  t   4t  3t , x'  t    t  , y '  t    t  t y '  t  4t  3t y'  x    x'  t   2t , t  t y '  x    t  Bảng biến thiên:  t x'  t  x t  +   y t  y'  x   20 +     y'  t  + +  32 27  Đồ thị hàm số :   +  + Lệnh code matlab đồ thị : t=[-1:0.02:3] => enter => x=2*t-t.^2 => enter => y=2*t.^2 – t.^3 => enter => plot(x,y) => enter 21 22 Note : nhập ký tự dãy lệnh ( dấu “ => ” để chuyển sang bước nhập ) Dấu cách (space) không ảnh hưởng đến lệnh  Tìm điểm tự cắt đồ thị Điểm tự cắt đồ thị điểm mà với t1 , t2 phân biệt cho giá trị (x,y) Ta có : x = 2t – t2 =>> 2t – t2 – x = giải phương trình bậc ( coi x tham số ), ta : t1 = – √ 1−x ; t2 = 1+ √ 1−x , ( với x ≤ ) để tìm điểm tự cắt ta cần y(t1) = y(t2)  2(1 - √ 1−x )2 – (1 – √ 1−x )3 = 2(1+ √ 1−x )2 – (1+ √ 1−x )3 Giải phương trình ta nghiệm thực x0= => y0 = với t1 = t2 = Vậy điểm tự cắt đồ thị (x0,y0)=(0,0)  Tại điểm tự cắt (0,0) có tiếp tuyến sau: Tiếp tuyến : y = y’(x0/t1).(x-x0/t1) + y0  thay t1= vào (*) ta có y’(x0/t1) =  y = 0.(x-0) +  y = tiếp tuyến điểm tự cắt (0,0) : đường màu đỏ Tiếp tuyến : y = y’(x0/t2).(x-x0/t2) + y0  thay t2 = vào (*) ta có y’(x0/t2) =  y = 2(x-x0) +  y = 2x tiếp tuyến điểm tự cắt (0,0) : đường màu vàng Đồ thị tiếp tuyến: 23 Lệnh code matlab đồ thị : : t=[-1:0.02:3] => enter => x=2*t-t.^2 => enter => y=2*t.^2 – t.^3 => enter => hold on => enter => plot(x,y) => enter => y1=0*x => hold on => plot(x,y1) => y2=2*x => hold on => plot(x,y2) => enter 24 25 26  Đồ thị đường cong tham số hợp đồ thị sau 1) y = 2(1 - √ 1−x )2 – (1 – √ 1−x )3 cụ thể : Lệnh code matlab đồ thị : x=[-2:0.05:1] => enter => y= 2*(1-sqrt(1x)).^2 – (1- sqrt(1-x)).^3 => enter => plot(x,y)=> enter 27 28 Và 2) y = 2(1+ √ 1−x )2 – (1+ √ 1−x )3 cụ thể : Lệnh code matlab đồ thị : x= x=[-2:0.05:1] => enter => y= 2*(1+sqrt(1x)).^2 – (1+ sqrt(1-x)).^3 => enter => plot(x,y)=> enter 29 30  Diện tích giới hạn đường cong ( phần tự cắt tạo ) tính sau: 1 S = ∫ ¿ ¿ -∫ ¿ ¿]dx 0 =  31 15 (đvdt) IV Tổng Kết Mục lục Câu 1: Trình bày tóm tắt lý thuyết: 1.4 Ứng dụng hàm số kinh tế .3 Hàm Chi Phí Hàm doanh thu Hàm lợi nhuận Chi phí cận biên, Doanh thu cận biên, Lợi nhuận cận biên .6 Hàm sụt giá Đường cong cung cầu Sự giới hạn ngân sách Câu 2: Làm tập 2, 4, 8, 7, 19, 24, 31, 34, 38, 42 Bài Bài Bài Bài 19 11 Bài 24 12 Bài 31 12 Bài 34 13 Bài 38 14 Bài 42 14 Câu 3: 16 32 ... Ngô Duy Anh 19 12580 Lê Thu Hà 19 13206 Mai Xuân Hùng 19 13605 Ngô Dương Kiệt 19 13873 Lê Văn Mạnh 19 1 411 8 Ngô Gia Minh 19 1 419 5 Lê Tiến Phong 19 14626 Lê Đại Thịnh 19 15 310 Lữ Thư Trường 19 15726 Phân... sau 1) y = 2 (1 - √ 1? ??x )2 – (1 – √ 1? ??x )3 cụ thể : Lệnh code matlab đồ thị : x=[-2:0.05 :1] => enter => y= 2* (1- sqrt(1x)).^2 – (1- sqrt (1- x)).^3 => enter => plot(x,y)=> enter 27 28 Và 2) y = 2 (1+ ... ≤ ) để tìm điểm tự cắt ta cần y(t1) = y(t2)  2 (1 - √ 1? ??x )2 – (1 – √ 1? ??x )3 = 2 (1+ √ 1? ??x )2 – (1+ √ 1? ??x )3 Giải phương trình ta nghiệm thực x0= => y0 = với t1 = t2 = Vậy điểm tự cắt đồ thị (x0,y0)=(0,0)