BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN – GIẢI TÍCH 1 đề TÀI 7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP.HO CHI MINH KHOA KHOA HOC UNG DUNG BO MON TOAN UNG DUNG BAO CAO BAI TAP LON - GIAI TICH DE TAI TICH PHAN SUY RONG Khoa: Ky thuat xay dung Lop: L32 Nhom: GVHD: Huynh Thi Héng Diém TP HCM, thang 01 nam 2021 TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM MUC LUC Cơ sở lý thuyết e e Tích phân suy rộng loại Ï .ccẶ cà seằ Tích phân suy rộng loại se MOt 80 bai Tén vin cece ec cec cece ecu ceuceeceecuscutencetcetcaeeaeeasancaeeaeens 12 ccc ccc ccc ccc cece ccc eeccccencenccuccenceccenceuccceeecneeneeuees 17 TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM Cơ sơ lý thuyết Tích phân suy rộng loại Cho f(x) khả tích [a, b], Vb>a Ÿ fx)dx= lim | ƒ(x)dx gọi tích phân suy rộng loại l f [a, +) Nếu giới hạn ton hữu hạn ta nói tích phan hoi tu, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ Giới hạn gọi giá trị tích phân suy rộng NHẬN DẠNG TÍCH PHẦN SUY RỘNG LOẠI Nếu f{x) liên tục [a, +œ©) có hữu hạn điểm gián đoạn loại l [a, +) thi: ƒ f(x)dx tích phân suy rộng loại l VD: > SUX dx Xx +00 fa ) SIHNX ƒ dx “y X +x+1 +00 fw ) X +2x—3 la tich phan suy rong loai TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM DINH NGHIA b J f (x) dx=lim j f(x)dx —oœ a> g Ï [Ix)e= Ï fx)a+Ï le Lưu ý: tích phân trái hội tụ tích phân phải hội tụ (chỉ cần tích phân phải phân kỳ tích phân trái phân kỳ, khơng cần biết tích phân cịn lại) Ví dụ Khảo sát hội tụ tính giá trị tính phân hội tụ TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM +00 b I= J cosx dx olbl= 0 cosx dx= sinb Khơng có giới hạn khib > + > Phan ky b I Inb o(b)=f —=J tde=— [In b—1] b — +00+00 > > Phan ky TICH CHAT TICH PHAN SUY RONG f khả tích [a, bị, Vb> a Khi Va>a [Ƒx)& Ÿ flx)& hội tụ phân kỳ (cùng chất) f khả tích [a, bị, WVb> a Khi Vœ#0 ƒ f(x)dx ƒ af (x) dx hội tụ phân kỳ (cùng chất) TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM f, g kha tich trén [a, b], V b=>a f flex) dx > ƒ (ƒ+g)dx — J (f+g)dx fal dx hội tụ hội tụ J F(x) dx > hội tụ [is dx phân kỳ phan ky TICH PHAN HAM KHONG AM Cho f{x) không âm khả tich trén [a, b], V b= a Khi do: b ø(b)= ƒ f(x)dx hàm theo biếnb a => ø(b) hội tụ ø(b) bị chặn TIEU CHUAN SO SANH Cho f{x), ø(x) khơng âm khả tích [a, b], V b> a Nếu f(x) œ>a lai )dx hội tụ thi fF )dx hội tụ ƒ f(x)dx phân kì laig(x)dx phân kì TIEU CHUAN SO SANH TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM Cho f(x), ø(x) khéng 4m va kha tich trén [a, b], V b>a Dat: k = lim f(x) xt g(x) °« (JWzkzœ > k=0 J f(x) dx, fat f gixidx héitu dx Cùng hội tụ phân kỳ => f f(x)dx hội tụ TY s—K= wo Pox phan ki=> ‘Cet j ftx)dx— (Xx a Chứng minh tiêu chuẩn so sanh 1: e f(x) < kg(x) © 9;(b) ,(b )bị chặn r> ø;(b) bị chặn r> [ ƒ(x)dx hội tụ e f(x) )dx phân kỳ [ai phân Kĩ TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2: lim f(x) =Kz0,œ — > ek cK Vx>a g(x) > S9(x)a © két luan nhu tiéu chuan so sanh f(x) _ lm ——=0 x 400 g(x) & f(x) —_-—ơ g(x) fix) < g(x), Vx>a = Két luan nhu tiéu chuan so sanh np fice tim WX) c0 TT F(X) Lưu ý: tiêu chuân so sánh dùng cho hàm âm TICH PHAN CƠ BẢN ed [= x rs với a> Hội tụ © >1 a (Nghia la: a > thi tich phan hoi ty, a< thi tich phan phan kỳ) TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM Tich phan suy rong loai Diém ky di: Cho f{x) xác định trén [a,b]\{xo} Néu lim fÍx)}=œ X>X + Ta nói xo điểm kỳ dị f trén [a,b] b Tích phân suy rộng loại ƒ f (x)dx Với f có nhat diém ky di trén [a,b] TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM DINH NGHIA Cho f(x) kha tich trén [a,b - €4, vGi moi €>0 du nho, ky thi tai b al f(x)dx= a b Nếu f kỳ dị a |f f(x)dx= a lim E> 0° f (x)dx lim £ =0" ƒ ƒ(x)dx dé b Nếu giới hạn hữu hạn: ƒ f(x)dx hội tụ Ngược lại: phân kỳ Nếu f kỳ dị a b f Flxjex=f flx)ax+j f (x)dx Nếu f kỳ di xo €(a,b) [fx)&=Ÿ fx)&+Ƒ fIx)a b a (về trái hội tụ > tích phân phải hội tụ) Ví dụ: b ¿¿ TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM Bai _= Jy - b dx = lim x+“+#z boo J, = —] — ~ \a r+Ì lim [In |x| —In|z + 11]? boo” = im (In |b} — In |b + 1| — (Ìn — ìn 2)] = jim (In |b} — In |b + 1| + In 2] = jim Ìn (2bJ — In |b + 1) = lim [In bac 2b | |b+I = Ìn lim | | In In Hoi tu | In lim > dx „ i +0 b | | ï TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM Bài / ~ du U?2+2u-3 - lm / í du (v+3)(v—-1) (v+3)—(v—1) (v+3)(v—1) dv = jim — tox im Lƒ (+3) (v—1) eo (v+3)(v—-1) ~F3w— jj iyi 1 imi), wo) ae” = Jim j [tle —1|—mmjo+3i] = lim v-1 jịm v+3 t-+c0 | = Jim > Hoi tu nf = |- nfo t TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM Bai - [~ « = re—* ¥—OO lim I, đ t+—co" dx = _„1 lim — i l lm —-— > Hội tụ t t — lim t+o00 —# t-+—o0 det? _ má lim lo re" t+co* : = tmp tet eG = gG* va dx+ Gaal Í—+—œc rie—* dz + [7 re—* v¥—oo re? = “ fe le] l dx dx t l —# ye) lim — ~— t-400 Aet* =0 Bài lim - / 3—-4z dx lim - Ìn |3 — trị a-»—% „im lim a-—>—co Phan ky a (-im3 — [Fin |3 — tal] (im - mm l3 — 4a\) —7 ins +00 > TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM OO J go e € 2x +3 dx +3 — ; {ten fant (| 24)]° = t = Sz tan-(S) = | tan mm Stan) ‘ !(s) — | TT - 6V3 -+1 (7 = _wv3`'2ˆ " T _9v3 6v3 T 6v3 T 3v3 ... U?2+2u-3 - lm / í du (v+3)(v— -1) (v+3)—(v? ?1) (v+3)(v? ?1) dv = jim — tox im Lƒ (+3) (v? ?1) eo (v+3)(v— -1) ~F3w— jj iyi 1 imi), wo) ae” = Jim j [tle ? ?1| —mmjo+3i] = lim v -1 jịm v+3 t-+c0 | = Jim > Hoi... 4|(2b +1) 2 t= 1) >| i, — | i tn b -3 dx | ° (2x +1) ~° TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP HCM ^ | T ——Vv1l+23 dr = b lim Í boo lg T7 ——ễ (Ỉr — lim Í Y1+ 23 b-+00 Jy san + yr] = lim b+c0 = - lim lv 1+ |... boo J, = —] — ~ \a r+Ì lim [In |x| —In|z + 11 ]? boo” = im (In |b} — In |b + 1| — (Ìn — ìn 2)] = jim (In |b} — In |b + 1| + In 2] = jim Ìn (2bJ — In |b + 1) = lim [In bac 2b | |b+I = Ìn lim | |