BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 CHỦ ĐỀ ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀ SƯU TẦM CÁC VÍ DỤ

lOMoARcPSD|11424851 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH CHỦ ĐỀ : ƠN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀ SƯU TẦM CÁC VÍ DỤ Giảng viên hướng dẫn :Huỳnh Thị Hồng Diễm Nhóm lớp: L21,nhóm:07 Tp Hồ Chí Minh,Ngày tháng năm 2021 lOMoARcPSD|11424851 Mụcl ục Sinh viên thực hiên:………………………………………… Hoàn thành chủ đề:……………………………………… I: Bài làm thành viên…………………………………… II:Nội dung …………………………………………………… Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện Chủ đề 2: Vi phân Chủ đề 3: Đạo hàm hàm nhiều biến Chủ đề 4: Ứng dụng hình học tích phân kép Chủ đề 5: Tích phân bội ba Chủ đề 6: Tích phân đường Chủ đề : Tích phân mặt Chủ đề : Chuỗi ( chuỗi số,chuỗi lũy thừa) Danh sách thành viên nhóm (L21) : + Lê Hoàng Đức -MSSV: 2012991 + Nguyễn Hữu Hạnh -MSSV: 2013095 + Hồ Thanh Hải -MSSV: 2013066 + Nguyễn Tấn Hào -MSSV: 2013053 + Phan Anh Hào -MSSV: 2013055 lOMoARcPSD|11424851 + Trần Công Hiển -MSSV: 2013188 + Đặng Trung Hiếu -MSSV: 2013137 + Đỗ Hữu Trung Hiếu -MSSV: 2013138 I/ Bài làm thành viên STT:01 Tên: Đặng Trung Hiếu MSSV:2013137 Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện Ví dụ 1: Cho f(x,y) = ln ⁡( x + y ) +2x+4xy, M(1;2) , Mo(3;5) Tìm đạo hàm f M theo hướng ⃗l với ⃗l vecto đơn vị ∇f ( M ) 2 Giải: f 'x = 2x x + y2 +2+4y f 'y = 2x x + y2 +4x ∇f ( M ) ( 2 =( 52 24 ; ) 5 ∂f ∂ ⃗l = (M)= (M), f 'x 52 ' ⇒f x ( M )= +2+8= 5 24 ⇒f ' y ( M )= +4= 5 f 'y (M))= ( ) 52 24 ⃗ , l 5 √ = ∇f ( M ) |∇f ( M )| = √ 52 24 ( ; ) 41 5 f 'x (M).l₁ + f 'y (M).l₂= 205 = √5 ( 525 525 + 245 245 ) 14 √ 415 52 24 + 5 lOMoARcPSD|11424851 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cong 1 ¿ , , 2 √2 điểm P ( x 2+ y +z 2=1 Giải: Đặt F(x,y,z) = x + y + z − 1=0 2 Ta có: F’x = 2x ; F’y = 2y ; F’z = 2z Tại P ( 1 , , ¿ 2 √2 ta có F’x = ; F’y = ; F’z = √ Phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cong P : ( x ¿ 1 ¿ +(y– + √ ( z - √2 ¿ Hay x + y + √ z – =0 Chủ đề 2: Vi phân Ví dụ 1: Tính vi phân hàm số f(x,y)= tan( xy ¿ ? Giải: f'x f ' (x,y)= [ tan ( x y ) ] ' = (x,y)= [ tan ( x y ) ] ' = x y [ 1+ tan ( x y ) ] y y [ 1+tan ( x y ) ] 2 y ⇒df ( x , y )=f ' x (x,y)dx+ f (x,y)dy = ' y y [ 1+ tan ( x y ) ] + 2 y [ 1+ tan ( x y ) ] Ví dụ 2:Cho hàm số f(x,y) = 2 2x y − x y Giải: ' f x ( x , y) = 2 x y − xy ' ⇒f x (1 ; −1) =8 Tính df(1;-1)? lOMoARcPSD|11424851 f ' y ( x , y) = ⇒df ( x , y )=f (x,y)dx+ ' x = -5 ⇒f ' y (1; − 1) x3 y − x2 f (x,y)dy= 8dx-5dy ' y Chủ đề 3: Đạo hàm hàm nhiều biến: Ví dụ 1: Cho doanh nghiệp sản xuất mặt hang với giá P₁= 60 P₂=75 Hàm chi phí C= Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂² Tìm mức sản lượng Q₁, Q₂ doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại? Giải: Hàm doanh thu : R= P₁Q₁+ P₂Q₂= 60Q₁+75Q₂ Hàm chi phí: C= Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂² Hàm lợi nhuận: { { π 'Q =0 ◦ ' π Q =0 { ⇒ −2 Q1 − Q 2+ 60=0 ⇒ Q1=15 −Q1 −2 Q 2+ 75=0 Q2=30 ◦ π ''Q Q =R – C =60Q₁+75Q₂ - (Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂²) π = -2 ; = -1 ; π ' 'Q Q Xét điểm M( 15; 30) có Vì ∆=3>0 π ' 'Q Q π ' 'Q Q = -2 ∆=( −2 ) ( −2 ) − ( − ) =3 = -2 < nên M( 15;30) điểm cực đại đơn vị sản xuất 15 đơn vị hàng hóa thứ 30 đơn vị hàng hóa thứ hai ⇒π cđ =60.15+75.30−(15 +15 30 +30²)=1575 2 lOMoARcPSD|11424851 Chủ đề 4: Ứng dụng hình học tích phân kép Ví dụ 1: Tính SD với D={ y 2=4 x ; x + y=3 ; y ≤0 } ? Giải: { Chiếu lên trục Oy: D: 3−y dy ∫ dx = ∫ = ∫ −6 y ⇒S D −6 ( −6≤ y≤0 y2 ≤ x≤3− y 3− y − ) y dy =18 Ví dụ 2: Tính diện tích miền D giới hạn { x + y 2=2 x ; x + y 2=4 x x= y ; y=0 Giải dxdy Ta có: S= ∬ D π 4 cosφ S= ∫ dφ ∫ cosφ rdr = , đặt π { x =rcosφ y=rsinφ ∫ 12cosφdφ = ⇒D : { π cosφ ≤r ≤ cosφ ≤ φ≤ 3π + Chủ đề 5: Tích phân bội ba lOMoARcPSD|11424851 Ví dụ 1: Tính I = x (¿ ¿ 2+ y )dxdydz ∭¿ với D miền giới hạn z + V x +y ; z = Hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy hình trịn x 2+ y ≤ Giải: Chuyển sang hệ tọa độ trụ V giới hạn 2π I= ∫ dφ∫ r ∫ dz = r2 { x =rcosφ y=rsinφ z=z ≤ φ ≤2 π ; ≤ r ≤2 ; r ≤ z ≤ 32 π Ví dụ 2: Tính I= ∭ √ x + y + z x + y +z ≤ z 2 dxdydz V 2 với V miền giới hạn Giải: Chuyển sang hệ tọa độ cầu : { { rsinθcosφ rsinθsinφ rcosθ , miền V giới hạn 0≤ r ≤ cosθ π 0≤θ≤ 1≤ φ ≤ π ⇒ I= ∭ r sin θdrdθdφ V π cosθ = ∫ dφ ∫ dθ ∫ r 0 sinθdr= π 10 Chủ đề 6: Tích phân đường lOMoARcPSD|11424851 ∫ y ds Ví dụ 1: Tính { ; C đường cong C x =a ( t − sint ) y=a ( −cost ) ; ≤t ≤2 π ; a>0 Giải: ◦ { ' x t =a (1− cost) ' y t=asint ⇒√ x + y '2 t ∫ Ví dụ 2: Tính '2 t = 2a x + y =2 x 2π 256 a t ⇒I =∫ a ( −cost ) 2asin dt= 15 ( x4 ) dy − y ( x + 4y ) dx x2 y+ t sin 2 ? Giải: Đặt: { ( 4x ) y Q ( x , y )= y ( x+ ) P ( x , y ) =x y+ Từ công thức Green : I =∫ D ( ∂∂Qx − ∂∂ Py ) dxdy=∫ (4 xy+ 34 x + 34 y ) dxdy D xydxdy =0 ∫ ¿ D ¿ ∫ ( x2 + y ) dxdy ¿ 4D Đặt =rcosφ , có : − π ≤ φ ≤ π ; ≤ r ≤ cosφ {xy=rsinφ 2 lOMoARcPSD|11424851 π Vậy I= ∫ dφ π − cosφ ∫ r r dr= π ∫ cos φ= 98 π − π Chủ đề 7: Tích phân mặt Ví dụ 1: Tìm phần diện tích mặt Parabolic có phương trình z = 1-x²-y² nằm mặt trụ x²+y²=1 Giải: S = ∬ √1+( z ) +( z ) dxdy ' x ' y D Có: z 'x =− x Đặt =rcosφ {xy=rsinφ 2π ⇒ , z 'y =−2 y với S= ∫ dφ∫ √1+4 r rdr ≤ r ≤ 1; 0≤ φ ≤ π = (5 √5 − 1)π Ví dụ 2: Tính ∬ z ( x + y ) dxdy S nửa mặt cầu x + y +z =1 ; z ≥ , hướng chiếu S phía ngồi mặt cầu.? 2 S 2 Giải: lOMoARcPSD|11424851 Ta có mặt z=√ 1− x − y ; hình chiếu S lên mặt phẳng Oxy miền D: x + y ≤1 Hơn ⃗n tạo với Oz góc nhọn nên: I =∬ √ 1− x − y ( x + y ) dxdy 2 2 2 2 D Đặt =rcosφ ⇒0 ≤ φ ≤2 π ; 0≤ r ≤1 {xy=rsinφ 2π 0 ⇒I =∫ dφ ∫ √ 1− r r dr = 4π 15 Chủ đề 8: Chuỗi ∞ 1+n ln ⁡( ) Ví dụ 1: Xét hội tụ phân kì chuỗi số ∑ n −1 ? n=2 √ n Giải: Ta có: ( ) ( 1+ n ln = ln 1+ n −1 √ n n −1 √ n ) 2 √ n n −1 n1,5 ∞ Mà ∑ hội tự 1,5 n=2 n ⇒cℎ uỗsố i ℎ ội tụ 10 lOMoARcPSD|11424851 2 7.1 Phễu có dạng hình nón z  x  y giới hạn mặt phẳng z 0.5 mặt phẳng z 4 S : z  x  y  dS    zx    zy  dxdy  2dxdy 2 Ta có: Chiếu xuống mặt phẳng Oxy 0.5 r 4 D: 0  2 Đặt x r cos  , y r sin  Khối lượng phễu: m ∫∫p( x, y, z ) dS S 83 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851  ∫∫14  x  x  y D 2 0.5  2dxdy  ∫d ∫ 14  r cos   2r rdr 2  203 511   ∫  cos  d 24    7.2 Gọi S1 406  601.27 x  y  z 0 mặt phẳng Lấy mặt phẳng S1 S  S1 tạo thành mặt kín vật thể  có pháp vecto hướng phía ngồi vật thể  Theo cơng thức Gauss – Ostrogratxki, ta có: I1  ∫∫ x  y dydyz   y  z  dzdx   z  3x  dxdy S  S1 G O  ∫∫∫   1 dxdydz ∫∫∫4dxdydz   Nhận thấy mặt phẳng đơi với R 2 S1 cắt hình cầu làm 4 64  I1 ∫∫∫4dxdydz 4   23  3  Với I2  I  diện tích mặt S1 Xét ⃗ I : z  x  y  n    1,  1,  1  x  y  z dS 0 ∫ 3∫ S1 84 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851  I I1  I  64 Chủ đề 8: Chuỗi  Ví dụ 1:Khảo sát sự hợi tụ Giải: Tổng riêng k k 1 2k  (k  1) 2 tính tổng có 2.1  2.2  2.k  Sk     2 (1 1) (2 1) k (k 1) 1 1 1        2 k ( k  1)  1   k  1 (k  1)  Vâ ̣y chuỗi hô ̣i tụ k k 1 2k  1 (k  1) 2 STT: 08 Tên:Lê Hoàng Đức MSSV:2012991 Chủ đề 1:Vectơ Gradient,mặt phẳng tiếp diện Ví dụ 1: Đặt đĩa phẳng kim loại hệ trục tọa độ Oxy Nhiệt độ điểm đĩa cho công thức T(x, y) = x  xy Trên đĩa có hạt tìm nhiệt thiết kế để ln di chuyển theo hướng nhiệt tăng nhanh Khi đặt hạt điểm M(1, 2), di chuyển theo hướng nào? 2 Giải: 85 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 T ' x 2 x  y ;T ' y 2 xy  T (1; 2) (T ' x (1; 2); T ' y (1; 2)) (6; 4) Vậy đặt hạt điểm M(1, 2), di chuyển theo hướng nhiệt tăng nhanh hướng vecto gradient T (1; 2) =(6;4) Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt trụ paraboloid y + z - = điểm M (1;  2; 2) Giải: Phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt trụ paraboloid y + z2 - = điểm M (1;  2; 2) z-  y2 (y 2 ) f(x ;y ) = f ' x (x ;y )(x - x ) + f ' y (x ;y )(y - y ) z – = 0(x - 1) -   với z = f(x;y) = (y + 2) 4z + y – = Vậy phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt trụ paraboloid y + z - = điểm M (1;  2; 2) mặt phẳng : 4z + y – = Chủ đề 2: Vi phân Ví dụ 1:Tìm df với f(x;y)= x  3xy  y Giải: Theo cơng thức vi phân ta có: df = f ' x dx + f 'y dy = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy Ví dụ 2: Tìm vi phân cấp hai f(x, y)= x x=1;y=2 yy 86 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) + x3  y x lOMoARcPSD|11424851 Giải: f ' x 2 xy  x  y '' 2y ; f xx 2 y  x  x x  f '' xx (1; 2) 14  f '' xy (1; 2) 1 x f ' y x  y  ; f '' yy 6 y  f '' yy (1; 2) 12 x '' d f ( x0 ; y0 )  f xx ( x0 ; y0 ) dx  f '' xy ( x0 ; y0 ) dxdy  f '' yy ( x0 ; y0 ) dy f '' xy 2 x   d f (1; 2) 14dx  2dxdy  12dy Chủ đề 3:Đạo hàm hàm nhiều biến( BT thực tế) Ví dụ 1: Một hộp có chiều dài x (m), chiều rộng y (m) chiều cao z (m) Tại thời điểm xác định, x = 3(m) y = z = (m), y z tăng với tốc độ (m/s) x giảm với tốc độ (m/s) Tại thời điểm đó, tốc độ biến thiên thể tích Giải: Gọi V thể tích hộp   V xyz Tốc độ biến thiên thể tích điểm(3;2;2) dV (3; 2;2) V ' x (3; 2;2)dx  V ' y (3;2;2)dy  V ' z (3;2;2)dz V ' x yz  V ' x (3; 2; 2) 4;V ' y  xz  V ' y (3; 2; 2) 6;V ' z xy  V ' z (3; 2; 2) 6 Với V ' x (3; 2; 2) dx  V ' y (3; 2; 2) dy  V ' z (3; 2; 2) dx  1; dy 2; dz 2  dV (3; 2; 2) 4.( 1)  6.2  6.2 20 Vậy tốc độ biến thiên thể tích thời điểm tăng 20( cm /s) 87 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Ví dụ 2: Chỉ số cảm nhiệt ( C ) mơ hình hóa hàm số W(T,v) 13,12  0, 6215T  11,37 v 0,16  0,3965Tv 0,16 T nhiệt độ mơi trường ( C ) v tốc độ gió (km/h) Khi T = 30 C v = 30 (km/h), 0 số cảm nhiệt W tăng nhiệt độ môi trường tăng C? Giải: W 'T 0, 6215  0, 3965v 0,16  W 'T (30;30) 1,3 0C Vậy số cảm nhiệt W tăng 1,3 C nhiệt độ môi trường tăng 1C 0 Chủ đề 4:Ứng dụng tích phân kép Ví dụ 1: Tìm khối lượng m phẳng D giới hạn y  x ; y 2  x , biết hàm mật độ điểm (x, y) D ρ (x, y) = − x Bỏ qua đơn vị tính Giải: x 2  x  x 1; x  Khối lượng M= 2 x ∫dx ∫2  x  ∫(2  x) y 2 x2 2 x x2 2 dx  ∫(2  x )(2  x  x )dx 11, 25 2 Vậy khối lượng phẳng D 11,25 Ví dụ 2:Tính diện tích phần hình trịn đường  x  y x x  y 2 x Giải: 88 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) giới hạn lOMoARcPSD|11424851 Phương pháp tọa độ cực Đặt x r cos  ; y rsin   r cos   r sin  2r cos   r 2 cos  Với      4  Diện tích hình S=  2cos ∫ d ∫ rdr  ∫ cos   Vậy diện tích hình   d    1 Chủ đề 5:Tích phân bội ba Ví dụ 1:Câu 2-Ca 2-Đề thi CHK 192 Cho Ω miền giới hạn mặt cong : x z 9  x 2020  y 2022   y 9, z  x 2020  y 2022  Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính) Giải: Thể tích vật thể : x 2020  y 2022 1 V ∫∫∫dxdydz ∫∫dxdy  D ∫ dz  9dxdy ∫∫ x 2020  y 2022 1 D với D: x x r cos  ; y rsin   (r cos  )  (r sin  )2 9 Đặt:  r 3 với  2 2 2 81   V  ∫d ∫9rdr  ∫ d  81 0 89 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com)  y 9 lOMoARcPSD|11424851 Vậy thể tích vật thể 81  Ví dụ 2:Câu 4-Ca 1-Đề thi CHK 172 Tính I ∫∫∫ x  y dxdydz  ,trong Ω miền cho z  x  y , x  y  z 4 z x y , Giải: Phương pháp tọa độ cầu x  sin  cos  Đặt y  sin  sin  z  cos   3z  x  y  3 cos   (  sin  cos  )  (  sin  sin  )  tan        x  y  z 4 z  (  sin  cos  )  (  sin  sin  )  (  cos  ) 4  cos    4 cos   Chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy,ta I ∫∫∫ x  y dxdydz      4cos 0 ∫ d ∫d ∫   3    4 sin  d    Chủ đề 6:Tích phân đường Ví dụ 1:Câu 4-Ca 3-Đề thi CHK192 Trong lần thử nghiệm máy bay mơ hình,do lỗi thiết bị điều khiển,máy bay bay 10s chạm vào tường rơi 90 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 xuống.Chuyển động máy bay mơ tả phương trình tham số x(t) = , y(t) = t - 3sint , z(t) = - 3cost Trong x(t),y(t),z(t) tính theo mét (m) ,và t tính theo giây (s) Tính độ dài đường bay máy bay lần thử nghiệm Giải: x ' (t) = 0, y ' (t) = - 3cost , z ' (t) = 3sint Độ dài đường bay máy bay: 10 ∫ ( x (t )) ' L=  ( y ' (t ))  ( z ' (t )) dt 10 ∫0  (1  3cos t )  (3sint) dt = 10  ∫ 10  6cos tdt  31,34 mét 91 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Vậy độ dài đường bay máy bay lần thử nghiệm 31,34 mét Ví dụ 2:Câu 3-Ca 1- Đề thi CHK 182 Cho miền phẳng D: D.Tính x  y 4, x 1 ( x  1) dy  ydx I ∫ x2  y C C biên định hướng dương Giải: Tham số hóa C1 x :1     t :  5  3 Tham số hóa C2 : x 1, y t  x ' 0, y ' 1 y: x 2cost , y 2 sint :  x ' 2sin t , y ' 2 cos t  3  3   t:  2 2 I I1  I ( x  1)dy  ydx I1  ∫ x2  y C1 5 = (2 cos t  1)2 cos t  2sin t.(  2sint) dt 4 (2 cos t )  (2sin t )   ∫  3 ( x  1)dy  ydx  ∫ I2  ∫  x2  y C2  I I1  I  (1  1).1  t.0 0 12  t 4  Chủ đề 7:Tích phân mặt Ví dụ 1:Câu 5-Ca 1-Đề thi CHK 192 92 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 Một phễu kim loại mỏng có hình dạng phần mặt 2 nón z  x  y ứng với 0,5 z 4 Tính khối lượng phễu,biết mật độ điểm ( x, y, z) ứng với  ( x, y, z ) 14  x  z bỏ qua đơn vị tính Giải: Khối lượng phễu: M ∫∫ ( x, y, z )dS S ∫∫ ( x, y, z )  Z x'  Z y' dxdy với D phẳng = D hình chiếu phễu lên mặt Oxy 2 ∫∫(14  x  x  y )  D x2 y2  dxdy x2  y x2  y ∫∫(14  r cos   2r ) 2dxdy D 0,5  x  y 4  0,5 r 4;0  2 2 0,5  M  ∫d ∫r (14  r cos   2r )dr 406  = Vậy khối lượng phễu 406  601, 27 Ví dụ 2:Câu 6-Ca 2-Đề thi CHK 192 2 Cho (S ) mặt cầu x  y  z ngồi.Tính tích phân mặt 9 ,biết (S ) định hướng phía I ∫∫xdydz  xydxdz  z 3dxdy S Giải: 93 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 I ∫∫xdydz  xydxdz  z 3dxdy S = = ∫∫∫(( x) ' x  ∫∫∫(1  x  3z )dxdydz x  sin  cos  y  sin  sin  z  cos  (Công thức Gauss-Ostrogratxki)  : x  y  z 9  Đặt  (  xy) 'y  (z ) 'z ) dxdydz ; x  y  z 9  (  sin  cos  )  (  sin  sin  )  (  cos  ) 9   3 Chiếu Ω lên Oxy ta hình trịn  2 0 x  y 9   2  I ∫d ∫d ∫ sin  (1   sin  cos   3 cos  )d  1152 = Chủ đề 8:Chuỗi Ví dụ 1:Câu 8-Ca 3-Đề thi CHK 192  Khảo sát hội tụ chuỗi  ( 1) n 1 n 1 n 4n  Giải: Đặt n U n  4n  n 0 n  4n   lim U n lim n  94 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 U n'  4n   8n(n  2)  4n  16n   (2n  4)  17   (4n 1) (4n 1) (4n  1) U n' 0 với  Vậy chuỗi n 1  U n  ( 1) n 4n  n 1 n 1 giảm hội tụ theo tiêu chuyển Leinitz Ví dụ 2:Xét phân kì ,hơi tụ chuỗi Giải: Khi n  2 n  e n n   n  2 3 n1 n n3 Vậy chuỗi n  e n  n1 n 1  phân kì  n  e n  n1 n 1  2 1 95 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 96 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 97 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) ... tích phân sau: ❑ I= ∬ ∫ 2 2− x − y x + y ≤1 (x + z) dz dx dy ❑ = ∬ x 2+ y 2? ?? 2? ? x( 2? ?? x2 − y )+ (2? ?? x2 − y )2 = ∫∫ (rcos (φ) (2? ?? r 2) + = (2 −r 2) 2 ) r dx.dy dr.d φ 7π 26 Downloaded by nhung... lOMoARcPSD|11 424 851 Tại M(1 ,2, 2) có nhiệt độ 120 0C thì: TM(1 ,2, 2)= 120 0C c Suy √1 +2 +2 = 120 => c=360 2 360 Vậy T= √ x + y + z + 2 =(1,-1,1); ⃗ MN ∇T ( M ) = − 40 (1 ,2, 2) Tốc độ biến thiên T M theo... (M), f 'x 52 ' ⇒f x ( M )= +2+ 8= 5 24 ⇒f ' y ( M )= +4= 5 f 'y (M))= ( ) 52 24 ⃗ , l 5 √ = ∇f ( M ) |∇f ( M )| = √ 52 24 ( ; ) 41 5 f 'x (M).l₁ + f 'y (M).l₂= 20 5 = √5 ( 525 525 + 24 5 24 5 ) 14