Phương pháp biến đổi trong tích phân bội 3
Phép đổi biến số tổng quát
Phép đổi biến số tổng quát thường được sử dụng trong trường hợp miền V là giao của ba họ mặt cong Giả sử cần tính
trong đó f x y z( , , ) liên tục trên
Thực hiện phép đổi biến số
x,y,z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng
V uvw của mặt phẳng O uvw
Công thức (1) xác định V uvw V
Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong tích phân bội ba cũng biến biên của miền V thành biên của miền V uvw
, biến miền V bị chặn thành miền V uvw bị chặn.
Tọa độ hình trụ
Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ và hình chiếu D lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm tích phân f(x, y, z) chứa biểu thức (x² + y²), ta thường sử dụng công thức đổi biến trong hệ tọa độ trụ Tọa độ trụ của điểm M(x, y, z) được biểu diễn dưới dạng bộ ba (r, φ, z), trong đó (r, φ) là tọa độ cực của điểm M' - hình chiếu của điểm M lên Oxy.
Hình 1 Hệ tọa độ trụ
Công thức đổi biến cos sin x r y r z z
Định thức Jacobian của phép biến đổi là
Tọa độ hình cầu
Khi miền V có hình dạng cầu, chỏm cầu hoặc múi cầu, và hàm tích phân f(x, y, z) chứa biểu thức (x² + y² + z²), việc áp dụng phép đổi biến sang toạ độ cầu là rất hữu ích.
Toạ độ cầu của điểm M x y z( , , )trong không gian là bộ ba ( , , )r , trong đó:
Hình 2 Hệ tọa độ cầu
Công thức phép đổi biến là: cos sin sin sin cos x r y r z r
( , , ) ( cos sin , sin sin , cos ) sin 2
Phép đổi biến trong toạ độ cầu suy rộng
Khi tính tích phân kép với miền V có hình dạng ellipsoit hoặc cầu không nằm trên các trục tọa độ, cần sử dụng phép đổi biến trong tọa độ cầu suy rộng Trong quá trình này, việc tính toán lại Jacobian của phép biến đổi là điều cần thiết.
1 Nếu miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ nên nghĩ tới phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng.
V a b c thì thực hiện phép đổi biến cos sin sin sin cos x ar y br z cr
-nếu V: (x a ) 2 (y b ) 2 (z c ) 2 R 2 thì thực hiện phép đổi biến cos sin sin sin cos x a r y b r z c r
3 Xác định miền biến thiên của r , ,
4 Dùng công thức biến đổi tổng quát để hoàn tất việc đổi biến.
*Tính tích phân bội ba bằng cách chuyển sang tọa độ trụ
, E được giới hạn bởi z x 2 y 2 và z 4
, E được giới hạn bởi x 2 y 2 1 , z 0 và z 2 4x 2 4y 2 Đặt: cos sin x r y r
4 (Calculus 15.8 bài 23) Tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi mặt nón
2 2 z x y và mặt cầux 2 y 2 z 2 2. Đặt: cos sin x r y r
5 (Calculus 15.8 bài 9) Viết lại các phương trình sau bằng cách chuyển sang hệ tọa độ trụ
* Tính tích phân bội ba bằng cách chuyển sang tọa độ cầu.
6 (Calculus 15.9 bài 23) dV Đặt: x=psin cosɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ
Vậy thể E trong hệ tọa độ cầu được giới han bởi:
I=== 7 (Calculus 15.9 bài 35) Đặt: x=psin cos ɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ
Vậy thể E trong hệ tọa độ cầu được giới han bởi:
Bởi vì đối xứng nên tọa độ x,y của tâm là 0, ta chỉ cần tìm tọa độ z:
8 (Calculus 15.9 bài 21) Evaluate triple integral () dV, where B is the ball with 2 center the origin and radius 5. Đặt: x=psin cosɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ
Vậy thể E trong hệ tọa độ cầu được giới han bởi:
Tương tự chiếu lên Oxy, ta được: 0≤ ≤2πɸ
I=== 9 (Calculus 15.9 bài 30) Đặt: x=psin cosɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ
Vậy vật thể trong tọa độ cầu dược giới hạn bởi:
===π Đặt:x =psin cosɵ ɸ y=psin sinɵ ɸ z=pcosɵ
Ngoaì ra: Suy ra: │J│= sinɵ
Vậy vật thể trong tọa độ cầu dược giới hạn bởi:
Chiêú lên trục Oxy: Suy ra: 0≤ ≤2πɸ
, trong đó V là nửa của khối ellipsoid
Lời giải Cách 1: Sử dụng phép đổi biến trong tọa độ trụ suy rộng. Đặt
' cos sin z bz x ar y ar
I d dr bz ar a brdz a b r dr
Cách 2: Sử dụng phép đỏi biến trong tọa độ cầu suy rộng. Đặt
0 0 0 0 0 cos sin sin 2 cos sin 2
*Tính tích phân bội ba bằng công thức đổi biến tổng quát
12.(Calculus 15.10 bài 6) Tìm định thức Jacobian:
Theo công thức tính định thức Jacobian:
13.(Calculus 15.10 bài 15) Tính với R là miền tam giác với 3 đỉnh (0,0), (2,1), (1,2); x = 2u + v, y = u + 2v.
Miền R có đồ thị như sau:
Miền R được giới hạn bởi 3 đường thẳng y x/2, y = 2x, y = 3 - x
Thế x = 2u + v, y = u + 2v vào các phương trình đường thẳng trên:
* u + 2v = 3 - 2u - v => u + v = 1 => v = 1 - u Đồ thị được vẽ lại với hoành độ u, tung độ v như sau:
14.(Calculus 15.10 bài 16) Tính , với R là hình bình hành có 4 đỉnh (-1,3), (1,-3), (3,-1), (1,5);
Miền R có đồ thị như sau:
Ta thấy miền R được giới hạn bởi các đường thẳng: y=ax+b
Mà nên ta được v = mu + n
Miền cũng giới hạn bởi các đường thẳng:
Giải hệ phương trình tại 4 điểm (x.y) để tìm hệ điểm (u,v), ta được 4 điểm:
15.(Calculus 15.10 bài 17) Tính , với R là miền giới hạn bởi đường elip
Suy ra: (miền giới hạn bởi đường tròn tâm O bán kính R=1)
16 (Calculus 15.10 bài 19) Tính với R là góc phần tư thứ nhất giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y = 3x và đường hyperbol xy = 1, xy = 3;
Ta có đồ thị miền R như sau:
Bài tập thực tế
Món đồ chơi bằng thủy tinh được chế tác từ khuôn đúc có hình dạng kết hợp giữa một phần mặt cầu và mặt nón Để tính thể tích của món đồ trang trí này, cần áp dụng công thức tính thể tích cho từng hình khối và cộng lại với nhau.
Trong tọa độ trụ, đặt:
2 Người ta cắt một khối gỗ hình cắt bởi các mặt Tính khối lượng của khối gỗ biết khối lượng riêng của loại gỗ này cho bởi hàm
Người ta sử dụng một khối cầu kim loại có phương trình mặt cầu để thực hiện việc khoét quả cầu theo phương thẳng đứng bằng dụng cụ cắt dạng mặt trụ, từ đó chia quả cầu thành hai phần: phần lõi A và phần còn lại B.
Tính thể tích của phần còn lại của quả cầu
Thể tích phần còn lại:
Một cái đế kim loại được thiết kế để hỗ trợ đồ trang trí hoặc các vật phẩm có hình dạng cong Đế này được tạo ra bằng cách sử dụng dụng cụ chuyên dụng để cắt khối trụ, với mặt trên có dạng lõm hình paraboloid và mặt đáy phẳng Để tính khối lượng của chân đế, cần biết hàm mật độ của vật liệu.
Vòng kim loại được định nghĩa bởi hai mặt trụ có phương trình và , với độ dày được xác định bởi hai mặt phẳng Để tính khối lượng của vòng này, cần biết khối lượng riêng của kim loại là một hàm.
6 Tìm khối lượng m của một hình trụ được giới hạn bởi các mặt x 2 y 2 1; z 0; z 1
Biết rằng khối lượng riêng của nó tại mỗi điểm M x y z ( , , ) tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳn Oxy
Vì khối lượng riêng tại mỗi điểm đó đến mặt phẳng Oxy nên r=k.Z (k: hằng số) zdxdyd
Chuyển sang tọa độ trụ: os sin x rc y r z z
7 Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón:
và mặt cầu có bán kính bằng 1.
Giao tuyến của mặt nón và mặt cầu:
Do đó những bán kính vecto của các điểm trên giao tuyến ấy làm với trục OZ một góc 4
2 4 4 sin os y= sin sin os
Vì lí do đối xứng chúng ta sẽ tính được
8 Tìm trọng tâm của vật thể đồng chất được giới hạn bởi trụ x y 2 và các mặt phẳng x=z, z=0 và x=1
Vật thể E và hình chiếu của nó trên mặt phẳng xy được minh họa trong hình Các mặt dưới và trên của E lần lượt là mặt z=0 và z=x, do đó chúng ta có thể mô tả E thuộc loại 1.
Nếu mật độ là x y z, , , khối lượng là
Vì sự đối xứng của E và qua mặt phẳng xz, chúng ta có thể trực tiếp nói rằng z 0
M x và do đó y 0Các momen khác là :
Do đó trọng tâm là x y z , , M m yz , M m xz , M m x y 5 7 ,0, 14 5
Một vật thể nằm bên trong hình trụ có phương trình x² + y² = 1, ở phía dưới mặt phẳng z = 4 và phía trên paraboloid z = -x² - y² Mật độ của vật thể tại mỗi điểm tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến trục của hình trụ Cần tính khối lượng E của vật thể này.
Trong tọa độ trụ, phương trình hình trụ là r=1 và phương trình paraboloid là z 1 r 2 , vì vậy ta có thể viết
Vì mật độ tại (x,y,z) tỷ lệ với khoảng cách từ đó đến trục z nên hàm mật độ là
, , 2 2 r f x y z K x y K trong đó K là hằng số tỷ lệ Khối lượng của E là
10.Người ta muốn tạo ra một món đồ chơi với dạng hình trụ được tính bằng
Vì lim ln r 0 r r 2 1 1 lim ln( r 0 r r 2 9 3) 0
nên thực chất I I 1 , 2 là các tích phân xác định. Đặt r 2 1 t rdrt td , ta có
Một chiếc móc khóa bằng thủy tinh có hình nón, với mặt nón được xác định bởi phương trình và mặt đáy tương ứng với mặt phẳng Để tính khối lượng của chiếc móc khóa, cần biết khối lượng riêng của thủy tinh được mô tả bởi một hàm số.
12.Tính thể tích món đồ chơi bằng nhựa được xác đinh bằng xdyd
2 sin cos sin sin cos sin x r y r J r z r
13.(Calculus 15.8 bài 28) Tính khối lượng của quả bóng B được cho bởi phương trình Mật độ tại mỗi điểm của nó tỷ lệ với khoảng cách từ đó tới trục z
Trong tọa độ trụ, ta có:
Vì mật độ tại (x,y,z) tỷ lệ với khoảng cách từ đó đến trục z nên hàm mật độ là:
M k x y dV k x y dz dxdy akr dr d a kd a k
14.(Calculus 15.9 bài 27) Tìm thể tích của một phần của quả bóng nằm giữa các hình nón
Hình nón =: Quả bóng có r=a:
=2) 15.(Calculus 15.9 bài 42) Mật độ khối lượng của bầu khí quyển gần bề mặt Trái đất có biểu thức như sau:
Khoảng cách từ tâm trái đất được đo bằng kilomet (km), và mật độ khí quyển được tính bằng kilogam trên mét khối Để tính khối lượng của khí quyển giữa mặt đất và độ cao 5 km, cần lưu ý rằng việc sử dụng đơn vị mét có thể dẫn đến kết quả không chính xác.
Giải: Nếu ta coi bề mặt trái đất là một hình cầu có bán kính 6370 km, thì
Chia phần khí quyển đang xét thành các vỏ hình cầu có bán kính , bề dày d
(rất nhỏ), thể tích dV d
Ta có khối lượng khí quyển được tính bằng công thức sau:
