BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 đề tài đổi biến trong tích phân bội 3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Đề tài: Đổi biến tích phân bội Giáo viên hướng dẫn: THS Đoàn Thị Thanh Xuân Lớp L11 - Nhóm 09: Sinh viên thực Nguyễn Phạm Duy Nguyễn Hữu Hà Phạm Vũ Hùng Huỳnh Tuấn Khanh Nguyễn Thị Ngọc Nhi Cao Hữu Quân Vũ Nguyễn Minh Tâm Bùi Trần Nhật Thanh Nguyễn Phương Trinh Mã số sinh viên 2010184 2013040 2013374 2011378 2014018 2014258 2012014 2012021 2012273 Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng năm 2021 MỤC LỤC LÝ THUYẾT I Tích phân bội II Phương pháp biến đổi tích phân bội 1 Phép đổi biến số tổng quát Tọa độ hình trụ Tọa độ hình cầu Phép đổi biến toạ độ cầu suy rộng BÀI TẬP I Bài tập tính tốn II Bài tập thực tế 19 LÝ THUYẾT I TÍCH PHÂN BỘI 3:  Tích phân ba tương tự tích phân kép cho ba chiều Chúng cơng cụ để cộng vô số đại lượng thập phân vô hạn liên kết với điểm vùng ba chiều  Kí hiệu cho tích phân ba tổng quát là: Với R miền không gian ba chiều F(x,y,z) hàm khả tích miền V, ký hiệu dxdydz thay cho dV tích phân bội thường viết: II PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TRONG TÍCH PHÂN BỘI 3: Phép đổi biến số tổng quát Phép đổi biến số tổng quát thường sử dụng trường hợp miền V giao ba họ mặt cong Giả sử cần tính V f ( x, y, z )dxdydz V  x  x(u, v, w)   y  y (u , v , w )  z  z (u , v , w ) Thực phép đổi biến số  f ( x, y, z ) liên tục (1) Thỏa mãn  x,y,z với đạo hàm riêng hàm số liên tục miền đóng  V uvw mặt phẳng Ouvw  Công thức (1) xác định V uvw  V J  D( x, y , z ) 0 V D(u , v, w) uvw Khi đó: I  f ( x, y, z) dxdydz  f  x(u , v, w), y(u, v, w), z (u, v, w)  J dudvdw V Vuvw Cũng giống phép đổi biến tích phân kép, phép đổi biến tích phân bội ba biến biên miền V thành biên miền miền V uvw , biến miền V bị chặn thành Vuvw bị chặn Tọa độ hình trụ: Khi miền V có biên mặt mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, có hình chiếu D lên Oxy hình trịn, hàm lấy tích phân f ( x, y, z ) có chứa 2 biểu thức ( x  y ) ta hay sử dụng cơng thức đổi biến hệ toạ độ trụ Toạ độ trụ điểm M ( x, y, z) ba (r , , z ) , (r , ) toạ độ cực điểm M  hình chiếu điểm M lên Oxy Hình Hệ tọa độ trụ Công thức đổi biến J x r cos   y r sin  z z  Định thức Jacobian phép biến đổi D (x , y , z ) r D (r ,  , z ) , Ta có: I  f ( x, y, z) dxdydz f ( r cos , r sin , z) J drd  dz V V r z Tọa độ hình cầu: Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu,… 2 hàm lấy tích phân f ( x , y , z ) có chứa biểu thức ( x  y  z ) ta hay sử dụng phép đổi biến toạ độ cầu Toạ độ cầu điểm M ( x, y , z ) không gian ba ( r , , ) , đó:   r  OM     OM ,Oz        OM ,Ox       Hình Hệ tọa độ cầu Công thức phép đổi biến là: J Định thức Jacobian x r cos  sin    y r sin  sin  z r cos  D (x , y , z )  r sin D( r ,  ,  ) , ta có: I f ( x, y, z ) dxdydz  f (r cos  sin , r sin  sin  , r cos  ) r sin  drd d V Vr  Vr Đặc biệt, 1  2 , (2  1 2 )  : 1 ( )  2 ( )  r ( r r ( 1 2 2 ( ) r2 (  1 1 ( ) r1 ( I  d  sin d  f  r cos sin , rsin sin , rcos  r d r Phép đổi biến toạ độ cầu suy rộng Tương tự tính tích phân kép, miền V có dạng hình ellipsoit hình cầu có tâm khơng nằm trục toạ độ ta sử dụng phép đổi biến số toạ độ cầu suy rộng Khi ta phải tính lại Jacobian phép biến đổi Nếu miền V có dạng hình ellipsoit hình cầu có tâm khơng nằm trục toạ độ nên nghĩ tới phép đổi biến số toạ độ cầu suy rộng x2 y2 z2 V :   1 a b c – thực phép đổi biến x ar cos sin   y br sin  sin z cr cos  , J  abr2 sin  2 2 -nếu V : ( x  a)  ( y  b)  ( z  c) R thực phép đổi biến x a  r cos sin  y b  r sin sin z c  r cos   , J  r sin    Xác định miền biến thiên r , , Dùng cơng thức biến đổi tổng qt để hồn tất việc đổi biến BÀI TẬP I BÀI TẬP TÍNH TỐN: *Tính tích phân bội ba cách chuyển sang tọa độ trụ (Calculus 15.8 17) I= z  z 4  x E  y dV 2 ,E giới hạn x  y 16 , Đặt: x r cos  y  r sin  E  ( r, , z) :  r 4,   2 ,   z  4 2 5  2 4   dxdy x y dz   d  r dr  192 d 384 E  4 = 0 0  I= (Calculus 15.8 18) I= Đặt: zdV E 2 , E giới hạn z x  y z 4 x r cos y r sin  E  (r , , z ) : r 2,  2 , x  y z 4 I=   2  2  32  r4    dxdy zdz  d rdr  E  x2 y       d 64    0 =   = 0 = x dV (Calculus 15.8 21) I= E 2 , E giới hạn x  y 1, z 0 2 z 4 x  y Đặt: x  r cos  y r sin   E   r, , z  :  r 1,  2 ,  z 2 x  y 2 Edxdy   x 2 y  I= 2 5 cos d   2   x 2dz   2x2 x2  y  d r cos 2 rdr  dxdy        =E 0  = =  =5 (Calculus 15.8 23) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt nón z  x2  y2 Đặt: 2 mặt cầu x  y  z 2 x r cos y r sin   E   r,  , z  : r 1,  2 , x2  y  z   x  y  Edxdy   V= 2 2 x  y  x2 y2   2 2 1   dz  d     r  r rdr     2  d         0    =   (Calculus 15.8 9) Viết lại phương trình sau cách chuyển sang hệ tọa độ trụ 2 (a) x  x  y  z 1 Đặt: 14 (Calculus 15.10 16) Tính , với R hình bình hành có đỉnh (-1,3), (1,-3), (3,-1), (1,5); Miền R có đồ thị sau: Ta thấy miền R giới hạn đường thẳng: y=ax+b Mà nên ta v = mu + n Miền giới hạn đường thẳng: Giải hệ phương trình điểm (x.y) để tìm hệ điểm (u,v), ta điểm: (0,-4), (0,4), (8,4), (8,-4): Ta có: 15 15 (Calculus 15.10 17) Tính , với R miền giới hạn đường elip Ta có: Suy ra: (miền giới hạn đường trịn tâm O bán kính R=1) Ta có: 16 (Calculus 15.10 19) Tính với R góc phần tư thứ giới hạn đường thẳng y = x, y = 3x đường hyperbol xy = 1, xy = 3; Ta có đồ thị miền R sau: Ta có: 16 Ta có: II BÀI TẬP THỰC TẾ: Người ta làm đồ chơi thủy tinh đúc khn đúc có dạng phần mặt cầu ghép với mặt nón z hình bên Tính thể tích đồ trang trí Giải: Trong tọa độ trụ, đặt: Người ta cắt khối gỗ hình lăng trụ để chuẩn bị gia công thành sản phẩm khác nhau, khối gỗ 17 cắt mặt Tính khối lượng khối gỗ biết khối lượng riêng loại gỗ cho hàm Giải: Người ta lấy khối cầu kim loại có phương trình mặt cầu dùng dụng cụ cắt dạng mặt trụ có phương trình để kht cầu theo phương thẳng đứng, chia cầu thành phần lõi A phần cịn lại B Tính thể tích phần cịn lại cầu Giải: Thể tích phần lõi: Trong tọa độ cực: Thể tích phần cịn lại: Một đế kim loại để kê đồ trang trí đồ có hình dạng mặt cong, tạo cách dùng dụng cụ chuyên dụng cắt khối trụ với mặt trụ phương trình tạo cho mặt đế dạng lõm có dạng mặt paraboloid mặt đáy Tính khối lượng chân đế biết hàm mật độ có dạng Một vòng kim loại giới hạn mặt mặt ngồi hai mặt trụ có phương trình , độ dày vòng kim loại giới hạn 18 hai mặt phẳng Tính khối lượng vịng biết khối lượng riêng kim loại hàm Giải: Tìm khối lượng m hình trụ 2 giới hạn mặt x  y 1; z 0; z 1 Biết khối lượng riêng điểm M ( x, y, z) tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đến mặt phẳn Oxy Giải Vì khối lượng riêng điểm đến mặt phẳng Oxy nên r=k.Z (k: số) m kzdxdydz V Chuyển sang tọa độ trụ:  x rcos     y r sin   z z    V '   2 ,0 r 1,0 z 1 19 2 1 m  k rzdrd dz  k d  rdr zd z V k.2 r 21 z 21 0 k  Xác định trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn mặt nón:  x  y  z 0  2  x  y  z 1  z 0  mặt cầu có bán kính Giải x  y  z 0  z x  y (z 0)  2 2 x  y  z 1  z 1  x  y z 0 Ta có:  z2   z  2 Do bán kính vecto Giao tuyến mặt nón mặt cầu: điểm giao tuyến làm với trục OZ góc   (do z     cos        4 R  x  r sin  cos   y=r sin  sin  z rc os   r  1,   2 ,0    Vì lí đối xứng tính 20 xG  y G 0 xG  V 2  d dr rcossin  r 0 sin  drd  d J  r sin   J  r2 sin  , x  rcos xG  V  4V 2 0  d dr r sin  cos drd  d   2 cos d sin  d Tương tự y G 0 V xác định  r 1,0    ,0   2  2 1 2 V r sin d rd d  r d r sin d  d      2 3  V 0 zdxdydz  rcos r V sin  drd d V' r 1 r4 cos2  d cos sin d ( ) 2 r 0 cos   cos  1 2  1       2   3 2  zG   1       8   1  2      21 Tìm trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn trụ x  y mặt phẳng x=z, z=0 x=1 Giải Vật thể E hình chiếu lên mặt phẳng xy hình Các mặt E mặt z=0 z=x, mô tả E loại 1: Nếu mật độ   x , y , z   , khối lượng 1 x 1 1 m  dV   dzdxdy  x dxd y   x2 E  y2  y2 1  x 1 dy x y 1 5   4  y  dy    y  dy   y  y      1 0  Vì đối xứng E  qua mặt phẳng xz, trực tiếp nói M xz 0 y 0 Các momen khác : 1 x M yz x dV  x dzdxdy  1 y E 1   x 3 1 1 x dxdy 2 1 y x1 dy xy2 2     y  dy    y  y7    3  0 22 1 x M xy  1 z  dV  z dz dxdy  x d xdy  y2  y2 E 1     y  dy   Do trọng tâm  x, y, z   M yz M xz M xy , , m m m  5 5   , 0, 14     2 Một vật thể bên hình trụ x  y 1 , bên mặt phẳng z=4, bên 2 paraboloid z 1  x  y Mật độ điểm tỷ lệ với khoảng cách từ tới trục hình trụ Tính khối lượng E Giải Trong tọa độ trụ, phương trình hình trụ r=1 phương trình paraboloid z 1  r , ta viết   E   r, , z   2 ,  r 1,1 r2  z  Vì mật độ (x,y,z) tỷ lệ với khoảng cách từ đến trục z nên hàm mật độ f  x , y , z   K x  y K r 2 K số tỷ lệ Khối lượng E 2 m K x2  y2 dV  ( Kr) rdzdrd  0 1 r2 E 2 2 0  Kr   1  r2   drd   K d  3r  r4  dr 0 1 12 2 K  r3  r5    K 0  23 10 Người ta muốn tạo đồ chơi với dạng hình trụ tính  V d xdydz x2  y2  ( z  2)2  x  y 1 V :  z 1 , Giải Đặt  x r cos   y r sin   J r ,Vr z z ' z      2  :  r 1    z'   Ta có 2 1 I  d rdr   dz ' r  z' 2 z '1  r.ln ( z '  r  z ' ) 2 dr z '  1   2   r ln( r 1  1)dr- r ln( r 9  3)dr  0  2  ( I  I 2) lim r ln r 0  Vì phân xác định Đặt  r2    lim r ln( r2   3)  r 0 nên thực chất I1 , I2 tích r  t  rdr tdt , ta có r ln( r 1  1)d r t ln( t  1) dt t2 t2  ln(t  1)   dt 2 t 1 t2  t2 t   C ln(t  1)  24 Do  t2  1 1 t2 t  ln( t  1)     ln(  1)   (  1) I1  21  Tương tự, I2  t 2 t 3t ln( t  3)   C nên  t2  t 3t  ln( t  3)    I2  23  10 1  ln( 10  3)   ( 10  3) Kết luận I 2 (I1  I2 )  (ln 21  10   10  2) 11 Một móc khóa thủy tinh có hình nón với mặt nón tương ứng với phương trình mặt đáy ứng với mặt phẳng Tính khối lượng móc khóa, biết khối lượng riêng thủy tinh cho hàm Giải: I= 25 12 Tính thể tích đồ chơi nhựa xác đinh dxdydz E 2 2 2 2 giới hạn z  x  y , x  y  z 1, x  y  z 4 Giải x r sin  cos   y r sin sin   J  r sin  z r cos  Đặt  0  2    : E  E1 0    1 r 2 2  0 V  d  d  r sin  dr  14   3 26 13 (Calculus 15.8 28) Tính khối lượng bóng B cho phương trình Mật độ điểm tỷ lệ với khoảng cách từ tới trục z Trong tọa độ trụ, ta có: E  (r , , z ) : r a,   2 ,  a  z a Vì mật độ (x,y,z) tỷ lệ với khoảng cách từ đến trục z nên hàm mật độ là: f  x , y , z   K x  y  Kr 2 a 2  a    2a4 k 2 M   k x  y dV   k x  y dz  dxdy   2akr dr  d    d   a 4k   3    0 E E  a 2 14 (Calculus 15.9 27) Tìm thể tích phần bóng nằm hình nón = Hình nón =: Quả bóng có r=a: Suy ra: { E: (,ɵ,ɸ)0≤ ; 0≤ɵ≤2;≤} 27 = =2) = 15 (Calculus 15.9 42) Mật độ khối lượng bầu khí gần bề mặt Trái đất có biểu thức sau: Với (khoảng cách từ tâm trái đất) tính đơn vị kilomet (km) (*bài Calculus bị nhầm lẫn chỗ tính m mật độ số âm) có đơn vị kilogam mét khối Tính khối lượng khí khoảng mặt đất độ cao 5km Giải: Nếu ta coi bề mặt trái đất hình cầu có bán kính 6370 km, (m) Chia phần khí xét thành vỏ hình cầu có bán kính , bề dày d (rất nhỏ), thể tích dV d Ta có khối lượng khí tính cơng thức sau: 28 Với Do đó: TÀI LIỆU THAM KHAO [1] JAMES STEWART,Calculus-Early-transcendentals-Sixth_Edition [2] Truy cập từ: http://khoacoban.tnut.edu.vn/download/toan3/Giai%20tich %202%202014%20Chuong%203.pdf 29 ... (x, y , z ) a 2br, Vr z'   ? ?2? ?? , r 1, z '   r J  D (r ,  , z ) y ar sin   Vậy 12 2 1  r2 0 I  d dr  bz' ar a2 brdz' ? ?2 a3 b2 r2  r2 2? ?? a3 b2 dr  15 Cách 2: Sử dụng phép... dt t2 t2  ln(t  1)   dt 2 t 1 t2  t2 t   C ln(t  1)  24 Do  t2  1 1 t2 t  ln( t  1)     ln(  1)   (  1) I1  2? ??1  Tương tự, I2  t 2? ?? t 3t ln( t  3)   C nên  t2 ... r2 E 2? ?? 2? ?? 0  Kr   1  r2   drd   K d  3r  r4  dr 0 1 12 ? ?2? ?? K  r3  r5    K 0  23 10 Người ta muốn tạo đồ chơi với dạng hình trụ tính  V d xdydz x2  y2  ( z  2) 2