Báo cáo bài tập lớn giải tích 2

Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng và vi phân .... Cực trị của hàm nhiều biến .... Khi đó đạo hàm của hàm số z theo t được tính theo công thức:... Cho hàm s ố??, ? xác định trên miền D, để tì

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Nhóm 2:

Phạm Xuân Đăng Khoa 2013511

Thành phố Hồ Chí Minh, 05/2021

LỜI CÁM ƠN

Quá trình thực hiện báo cáo bài tập lớn là giai đoạn rất quan trọng với chúng em Đối với chúng em, Giải tích là tiền đề quan trọng cho chúng em những kỹ năng và 2 những kiến thức quý báu cho quá trình học tập Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Hồng Nhung đã tận tình giúp đỡ, giảng dạy và định hướng chúng em trong cách tư duy và phát triển lối làm việc khoa học Đó là những góp ý quý báu, là nền tảng thực hiện để chúng em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này Do giới hạn kiến thức cũng như còn nhiều thiếu sót và hạn chế Kính mong sự chỉ dẫn và đóng góp của cô để chúng em có thể hoàn thiện bản thân mình hơn Chúng em xin chân thành cảm ơn

1

MỤC LỤC

BẢNG PHÂN CHIA CÔNG VIỆC 2

PHẦN 1: TÓM TẮT LÍ THUYẾT 3

1 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng và vi phân 3

2 Cực trị của hàm nhiều biến 4

3 Tích phân kép 4

4 Diện tích mặt cong 5

5 Tích phân bội ba 6

6.Mối liên hệ giữa hệ toạ độ Descartes với các hệ toạ độ cực, hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu: 7

7 Tích phân đường 8

8 Định lý Green 8

9 Chuỗi số 9

10 Miền hội tụ và bán kính h ội tụ 10

11 Hàm mật độ xác suất đồng thời 10

PHẦN 2: GIẢI BÀI TẬP 11

A BT chapter 14 Đạo h: àm từng phần (Partial Derivatives) 11

B BT chapter 1 Tích phân nhi5: ều lớp (Multiple Integrals) 16

C BT chapter 16: Giải tích Vector (Vector Calculus) 24

D BTL_Chu s ỗi ố 29

E BT thêm 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

1.2.2 Quy tắc tìm đạo hàm riêng

a Để tìm 𝑓𝑥′ ta xem là h ng s và l𝑦 ằ ố ấy đạo hàm của 𝑓(𝑥, 𝑦) theo bi n ế 𝑥

b Để tìm 𝑓𝑦′ ta xem là h ng s và l𝑥 ằ ố ấy đạo hàm của 𝑓(𝑥, 𝑦) theo bi n ế 𝑦

được g i là xấp x tuy n tínhọ ỉ ế c a 𝑓 tại (𝑥 , 𝑦ủ 0 0)

Đây cũng chính là công thức tính gần đúng giá trị của 𝑓(𝑥, 𝑦) tại những điểm trong lân cận của điểm (𝑥 , 𝑦0 0) (Điều ki ện để có m t ph ng ti p di n và s x p x tuy n tính là hàm s ặ ẳ ế ệ ự ấ ỉ ế ố

𝑓 ph ải có đạ o hàm riêng c p m t liên t ấ ộ ục)

1.4 Đạo hàm hàm hợp (trường h p t ng quát)ợ ổ

Cho hàm s ố𝑧 = 𝑓 𝑥( 1 2, 𝑥 , … , 𝑥𝑛) kh vi trên D, ả 𝑥1= 𝑥1(𝑡), 𝑥2= 𝑥2(𝑡),…, 𝑥𝑛= 𝑥𝑛( )(𝑡 ∈ 𝑎, 𝑏 )( ) là các hàm kh vi sao cho ả 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡) ∈ 𝐷 Khi đó đạo hàm của hàm

số z theo t được tính theo công thức:

Cho hàm s ố𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trên miền D, để tìm cực trị tự do của hàm ta thực hiện:

i Tìm các điểm dừng và những điểm mà tại đó đạo hàm riêng cấp một không tồn tại

Nếu ∆ > 0, 𝐴 > 0 thì hàm đạt cực tiểu tại (𝑥 , 𝑦𝑖 𝑖)

Nếu ∆ > 0, 𝐴 < 0 thì hàm đạt cực đại tại (𝑥 , 𝑦𝑖 𝑖)

Nếu ∆ < 0 thì hàm không đạt cực trị tại (𝑥 , 𝑦𝑖 𝑖), điểm (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) được gọi là điểm yên ngựa

Hàm f của hai biến x, y được định nghĩa trong hình chữ nhật đóng R:

5

*Lưu ý : Có ít nh t 5 cách chấ ọn các điểm m u: ẫ

• Chọn các điểm ở góc trên bên phải

• Chọn các điểm ở góc trên bên trái

• Chọn các điểm ở góc dưới bên phải

• Chọn các điểm ở góc dưới bên trái

• Chọn các điểm ở giữa hình chữ nhật con là giao điểm của hai đường chéo chính

3.2 Tích phân kép trên miền bất kì tổng quát

Cho hàm s ố𝑓(𝑥, 𝑦) liên t c trên mi n D ụ ề

Nếu 𝐷: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2(𝑥), với 𝑦1(𝑥), 𝑦2( )𝑥 liên t c trên ụ [𝑎, 𝑏] thì:

3.4 Tích phân kép trong hệ toạ độ cực

Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm liên tục trên mi n ề 𝐷 = 𝑟, 𝜑 : 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽, 𝑟{( ) 1(𝜑) ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2(𝜑)} thì:

Khi tâm c a h ủ ệ toạ độ ự c c không trùng v i tâm hình tròn thì lúc này s là hàm ph thuớ 𝑟 ẽ ụ ộc vào góc 𝜑

𝑛 𝑗=1

𝑚 𝑖=1

𝑏 𝑎

*Chú ý: khi lấy tích phân theo z ta xem z là biến số còn x,y là hằng số Sau đó lấy tích phân theo y thì ta xem y là biến số còn x là hằng số Cuối cùng, ta sẽ lấy tích phân theo x Vì vai trò của x,y,z như nhau nên ta có 6 tích phân khác nhau theo thứ tự của các biến x,y,z

i Cho mi n ề 𝛺 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑧1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2(𝑥, 𝑦)}, trong đó D là hình chiếu của miền 𝛺xuống m t phặ ẳng Oxy Khi đó:

ii. Cho mi n ề 𝛺 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷, 𝑦1(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦 (𝑥, 𝑧)}, trong đó D là hình chiếu của 2

miền 𝛺 xuống m t phặ ẳng Oxz Khi đó:

7

iii. Cho mi n ề 𝛺 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷, 𝑥1(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 (𝑦, 𝑧)}, trong đó D là hình chiếu của 2

miền 𝛺xuống mặt phẳng Oyz Khi đó:

6.1 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực

Trong hình học phẳng, hệ tọa độ cực được sử dụng để mô tả các đường cong và vùng nhất định

6.2 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ trụ

Trong h tệ ọa độ hình tr , mụ ột điểm P trong không gian ba chiều được bi u di n b i b ể ễ ở ộ

ba có th tứ ự (r, 𝜃, 𝑧), trong đó r và 𝜃 là tọa độ cực của hình chi u c a P lên m t ph ng xy và z ế ủ ặ ẳ

là kho ng cách ả hướng t m t phừ ặ ẳng xy đến P

Để chuyển đổi từ tọa độ hình trụ sang tọa độ hình chữ nhật, ta s dử ụng các phương trình

{𝑦 = 𝑟 sin 𝜃𝑥 = r cos 𝜃

z = 𝑧Trong khi để chuyển đổi từ tọa độ hình chữ nhật sang hình trụ, ta sử dụng

{𝑟

2 = 𝑥2+ 𝑦2

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑥𝑦

𝑧 = 𝑧

6.3 Mối liên hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ trụ

Một h tệ ọa độ ữ h u ích khác trong không gian ba chi u là h tề ệ ọa độ ầu Nó đơn giả c n hóa vi c ệđánh giá tích phân bộ ba trên các vùng được giới hạn bởi hình cầu hoặc hình nón Các tọa độ ầ c u (𝜌, 𝜃, ∅) ủ c a một điểm P trong không gian Lưu ý rằng:

(0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋)𝜌 ≥ 0

7.1 Tích phân đường loại 1

Cho hàm s ố𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục trên cung 𝐴𝐵 Khi đó:

∫ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑙( )

𝐴𝐵

= ∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦 ) (𝑥(𝑡) (𝑡) √ ′( )2+ (𝑦′(𝑡))2𝑑𝑡

𝑏 𝑎

Khi ấy tích phân theo cung 𝐴𝐵 chúng ta không quan tâm đến việc điểm A hay B là điểm đầu hay điểm cuối của cung, mà chỉ quan tâm đến giá trị 𝑡𝜖 𝑎, 𝑏[ ].Khi đó tích phân sẽ luôn được tính b ng cách l y c n t c n nh n c n l n ằ ấ ậ ừ ậ ỏ𝑎 đế ậ ớ 𝑏

7.2 Tích phân đường loại 2

Cho hàm s ố𝑃(𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦) ( ) liên tục trong miền D chứa cung tròn 𝐴𝐵 Khi đó:

∫ 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦( ) ( )

𝐴𝐵

= ∫[𝑃(𝑥 , 𝑦 )𝑥(𝑡) (𝑡) ′(𝑡) + 𝑄(𝑥(𝑡 , 𝑦(𝑡 )𝑦) ) ′(𝑡)]𝑑𝑡

𝑏 𝑎

9

9 Chuỗi số

9.1 Tiêu chuẩn D’Alembert

Đối chuỗi ∑ 𝑎với 𝑛

hội tụ

2 D > 1 ặc D = +∞ chuỗi ∑ 𝑎ho 𝑛

∞ 𝑛=1

phân kỳ

3 D = 1 chưa kế ận đượt lu c, chu i có th h i t ho c phân k ỗ ể ộ ụ ặ ỳ

9.2 Khảo sát s h i t c a chu i ự ộ ụ ủ ỗ

Để khảo sát s h i t c a chu i s , ta th c hiự ộ ụ ủ ỗ ố ự ện sơ đồ sau:

Bướ c 1: Kh o sát s ả ự h i t tuy ộ ụ ệt đố i c ủ a chu i ỗ

Nếu chuỗi∑+∞𝑛=1𝑎𝑛là chuỗi đan dấu thì dụ tiêu chuẩn Leibniz.ta áp ng

Bướ c 3: Kh o sát s ả ự h i t c a chu i không âm b ng cách áp d ng các tiêu chu n tích ộ ụ ủ ỗ ằ ụ ẩ

phân, so sánh, D’Alembert, Cauchy

Đặt 𝐿 = lim𝑛→+∞|𝐶𝑛+1𝐶

𝑛 | Khi ó: đ

• Nếu 𝐿 = +∞ thì bán kính hộ ụ li t à 𝑅 = 0 và miền hội tụ: chu i hỗ ội tụ khi 𝑥 = 𝑎

• Nếu 𝐿 = 0 thì bán kính hộ ụ li t à 𝑅 = +∞ và miền hội tụ: chu i hỗ ội tụ ới m i x v ọ

• Nếu 𝐿 ≥ 0 và hữu hạn thì bán kính chuỗi hội t lụ à 𝑅 =1𝐿 và mi n hề ội tụ:

𝑦 𝑦

= 0

13

BT3 (Section 14.4_23/935)

Sử dụng bảng trong Ví dụ 3 để tìm xấp xỉ tuyến tính với hàm chỉ số nhiệt khi nhiệt độ gần 94 ℉ và

độ ẩm tương đối gần 80% Sau đó ước tính chỉ số nhiệt khi nhiệt độ là 95 ℉ và độ ẩm tương đối là 78%

Giải

Gọi hàm chỉ số nhi t là ệ 𝑓(𝑇, 𝐻)

Dựa vào bảng ta có được ℎ𝑇= 2 và ℎ𝐻= 5

Suy ra f(94,80) là hàm tương ứng khi nhiệt độ gần 94℉ và độ ẩm tương đối gần 80%

Xấp x ỉ các đạo hàm riêng của 𝑓(𝑇, 𝐻) theo giá tr cị ủa bảng trên, ta được:

14

BT4 (Section 14.5_43/945)

Một cạnh c a m ủ ột tam giác đang tăng vớ i tốc độ 3cm/s và cạnh thứ hai đang giả m với tốc

độ 2cm/s N u di n tích của hình tam giác không đổ ế ệ i, tố c đ ộ thay đổ i của góc giữa các cạnh

là bao nhiêu khi c nh th ạ ứ nhấ t dài 20 cm, c ạnh th hai dài 30 cm và có góc là ứ 𝜋

𝑎 =20 (𝑐𝑚), 𝑏 =30 (𝑐𝑚), 𝜑 =6 (𝑟𝑎𝑑)𝜋𝑑𝑎

𝑑𝑡 = 3 (𝑐𝑚𝑠 ),𝑑𝑏𝑑𝑡 = −2 (𝑐𝑚𝑠 )Đạo hàm của hàm diện tích theo t, ta được:

Vậy tốc độ thay đổi của góc giữa các cạnh là −25√3900 (𝑟𝑎𝑑𝑠)

(Vì diện tích tam giác không đổi theo thời gian t)

Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật là x,y,z

Theo gi thiả ết ta có được 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0 𝑥𝑦𝑧 = và 1000

⇒ 𝑧 =1000𝑥𝑦Diện tích toàn phần của hình chữ nhật:

⟺ {𝑥 = 10𝑦 = 10 Kiểm tra tại điểm dừng P(10,10):

Với 𝐴 = 𝑆𝑥𝑥′′(10 10, ) =4000𝑥3 = 4 > 0 (1)

𝐵 = 𝑆𝑥𝑦′′(10,10)= 2

𝐶 = 𝑆𝑦𝑦′′(10 10, ) =4000𝑦3 = 4

Xét ∆ =𝐴𝐶 − 𝐵2= 16− 4 =12> 0 (2)

Từ (1) và (2), suy ra tại (𝑥, 𝑦) = (10 10, ) thì 𝑆(𝑥, 𝑦)đạt cực tiểu

Vậy để diện tích xung quanh hình hộp là nhỏ nhất thì độ dài các cạnh như sau:

{

𝑥 = 10

𝑦 = 10

𝑧 =1000𝑥𝑦 = 10

16

B Bài t ập chương 1 5: Tích ph ân hiều lớp ( n Multiple Integrals)

BT6 (Section 15.1_2/999)

Nếu R = [0,4] x [ 1,2], sử dụng tổng Riemann với m = 2, n =3 để ước lượng giá trị

-𝑆 = ∬ (1 − 𝑥𝑦𝑅 2) 𝑑𝐴 Với những điểm được cho trước là:

a) Các điểm ở bên dưới góc phải

b) Các điểm ở bên trên góc trái

Giải

Ta có R = [0,4] x [-1,2] = {(x,y) ∈ 𝑅3 | 0 x 4, -1 y 2} ≤ ≤ ≤ ≤

Chúng ta sẽ ước lượng giá trị S dựa vào

các điểm của các hình chữ nhật được thể

hiện như dưới đâu với phần chia đoạn

= 2 0,0 + 𝑓 2,0 + 𝑓 0,1[𝑓( ) ( ) ( ) + 𝑓( )2,1 + 𝑓 0,2 + 𝑓 2,2( ) ( )]

= 2[(1) + ( ) + (1) + ( ) + (1) + ( )1 −1 −7 ]

= −8

Đặt Ox theo hướng đông – tây

Oz theo hướng t ừ dưới lên (th hiể ện độ sâu c a h ) ủ ồ

Đặt mũi phía nam của hồ bơi tại 𝑦 = −20 (vị trí có độ sâu 2ft)

Vì hồ bơi có đường kính 40ft nên 𝑦 = 20 tương ứng với mũi bắc

𝑏 =92Suy ra th tích h ể ồ bơi được tính bởi:

𝑉 = ∬(18 𝑦

𝐷

+9𝑥)𝑑𝐴Đặt

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 (0 ≤ 𝑟 ≤ 200 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋)

và

𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 Vậy th tích cể ủa hồ bơi:

𝑉 = ∫ ∫ (18 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 +92)

20 0

≈ 4.1073 (đ𝑣𝑑𝑡)

= ∫ (2𝜋 2554 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 + 84𝑐𝑜𝑠𝜑 −2554 sin2𝜑 − 84 𝑠𝑖𝑛𝜑)

21

BT12 (Section 15.8_Applied project:5/1052)

Giả sử rằng một quả bóng đặc (một viên bi), một quả bóng rỗng (một quả bóng bí), một khối trụ đặc (một thanh thép), và một khối trụ rỗng (một ống chì) lăn xuống một mặt phẳng dốc Vật nào trong số những vật này chạm đến đáy đầu tiên? (Hãy phỏng đoán trước khi tiến tục)

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta xem một quả cầu hoặc hình trụ có khối lượng m, bán kính r và momen quán tính I (về trục quay) Nếu thả theo phương thẳng đúng là h thì thế năng ở đỉnh là mgh Giả sử vật chạm đáy vớ i vận tốc v và vận tốc góc nên v =𝜔 𝜔𝑟 Động năng ở đáy gồ m hai phần: 12m𝑣2 t ừ khi t nh ti n (chuy ị ế ển động xu ng d c) và ố ố 1

2I𝜔2 t chuy ừ ển động quay N u chúng ta gi ế ả định r ng m ằ ất mát năng lượng do ma sát lăn là không đáng kể, khi đó bảo toàn năng lượng cho

𝑑𝑣 = 192

3 0

= 1 ⇔ 𝐶 ∫ (𝑥𝑦 +𝑦22 )|

0

2 3

2

−∞

Ta có 𝑓(𝑥, 𝑦 = 0) nếu (𝑥, 𝑦) không nằm trong [0,3] [ ] x 0,2

Nên ta có thể viết lại tích phân ở dạng:

∫ ∫115 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

2 1

=15 5 =1 13Vậy 𝑃(𝑋 ≤ 2, 𝑌 ≥ 1) =13

0

𝑑𝑥 =115 ∫ [𝑥(1 − 𝑥) +(1 − 𝑥)2 2] 𝑑𝑥

1 0

𝑃(𝑥 + 𝑦 ≤ 1) =15 1 3 =1 451

D

Toạ độ của tâm là giá trị trung bình hoặc giá trị trung bình của x và y trên D

Vì vậy, ta có công thức tích phân kép cho (𝑥, 𝑦), trọng tâm cũng có thể được tính từ tích phân đường bằng cách sử dụng định lí Green Vì vậy ta có:

Đối với tích phân

là diện tích mặt của bề quả cầu)

𝑛 | = |(𝑛 + 2)322𝑛+3𝑛+1 (2𝑛 + 1 32𝑛+1) 𝑛| =𝑛 + 2𝑛 + 1 34 (𝑛 ≥ 1)

với

𝐷 = lim𝑛→+∞|𝑎𝑛+1𝑎

𝑛 | = lim𝑛→+∞𝑛 + 2𝑛 + 1 34 =34 < 1Như vậy chuỗi ∑(−1)𝑛(𝑛 + 1)322𝑛+1 𝑛 đã cho hội tụ tuyệt đối

+∞

n=1

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Giáo trình Giải tích 2, Trường ĐH Bách Khoa – NXB ĐH Quốc gia TPHCM, 2018 [2] [Xác Suất] Hợp nhiều biến ngẫu nhiên (dominhhai.github.io)

[3] Giải tích (Calculus 8th Edition), James Stewart