Bài tập lớn vật lý 1 chủ Đề 8 xác Định quỹ Đạo chuyển Động ném xiên trong trọng trường có lực cản môi trường

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN VẬT LÝ 1 CHỦ ĐỀ: 8 XÁC ĐỊNH QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG TRỌNG TRƯỜNG CÓ LỰC CẢN MÔI TRƯỜNG NGƯỜI HƯỚ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO

BÀI TẬP LỚN VẬT LÝ 1

CHỦ ĐỀ: 8 XÁC ĐỊNH QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG TRỌNG TRƯỜNG

CÓ LỰC CẢN MÔI TRƯỜNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN

T.S Nguyễn Thế Thường Th.S Lê Quốc Khải

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12/2022

SINH VIÊN THỰC HIỆN

LỚP L47 – NHÓM 2

MỤC LỤC I GIỚI THIỆU 3

II CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1 BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG CÓ LỰC CẢN 4

2 BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG CÓ LỰC CẢN 7

III NỘI DUNG 11

1 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT 11

2 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH 11

3 KẾT QUẢ 14

IV KẾT LUẬN 16

TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

I GIỚI THIỆU

XÁC ĐỊNH QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG TRỌNG TRƯỜNG CÓ LỰC CẢN MÔI

TRƯỜNG

1 Yêu cầu

Phương trình chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản môi trường được biểu diễn theo biểu thức sau:

Với điều kiện ban đầu x0= y0=0;v0x=v0cos( α); v0y =v0sin(α )

Bài tập này yêu cầu sinh viên sử dụng Matlab để giải phương trình chuyển động trên, tính toán quỹ đạo và vẽ đồ thị quỹ đạo thay đổi phụ thuộc vào góc 

2 Điều kiện

1) Sinh viên cần có kiến thức về lập trình cơ bản trong MATLAB 2) Tìm hiểu các lệnh Matlab liên quan symbolic và đồ họa

3 Nhiệm vụ

Xây dựng chương trình Matlab:

1) Input: Nhập

+ Khối lượng ban đầu: m (kg)

+ Vận tốc ban đầu: v (m/s)o

+ Nhập góc ném: α (rad)

+ Nhập hằng số lực cản: h (kg/s)

2) Thiết lập các phương trình vi phân ứng với x(t) và y(t) Sử dụng các lệnh symbolic để giải hệ phương trình

3) Output: Phương trình chuyển động và quỹ đạo chuyển động của vật

II CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG CÓ LỰC CẢN

1.1 Khái niệm của chuyển động ném xiên.

Chuyển động ném xiên là chuyển động của một vật được ném lên với vận tốc ban đầu v hợp với phương ngang một góc α (gọi là góc ném) Vật ném xiên chỉ chịu tác dụng của trọng lực

Hình 1 Ví dụ về ném xiên trong cuộc sống

1.2 Phân tích chuyển động ném xiên

Chọn hệ trục Oxy, gốc tọa độ tại mặt đất, gốc thời gian tại vị trí ném vật, chiều dương Oy hướng lên, Ox theo chiều chuyển động của vật

 Theo phương ngang: vật không chịu tác dụng của lực nào nên chuyển động của vật là chuyển động thẳng đều

 Theo phương thẳng đứng:

+ Giai đoạn 1: vật chuyển động đi lên đến độ cao cực đại (khi đó vy = 0) chịu tác dụng của trọng lực hướng xuống nên vật chuyển động thẳng chậm dần đều với gia tốc -g (dấu âm do vật chuyển động ngược chiều dương) + Giai đoạn 2: vật chuyển động đi xuống lúc này chuển động của vật tương đương chuyển động ném ngang

Độ lớn của lực không đổi nên thời gian vật chuyển động đi lên đến độ cao cực đại đúng bằng thời gian vật chuyển động đi xuống ngang với vị trí vật ném

Hình 2 Ví dụ về phân tích ném xiên

1.3 Phương trình chuyển động

Trục Ox: x= ¿ (1)

Trục Oy (đi lên theo chiều dương quy ước): y=y0 + ¿ (2)

1.4 Quỹ đạo và phương trình quỹ đạo

Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình quỹ đạo của vật bị ném xiên là:

y=( −g

2v0 cos 2

α)x2+ x tan α+ y0

Vậy: Vật bị ném xiên chuyển động với quỹ đạo là một parabol

1.5 Phương trình vận tốc

- Chiếu theo phương Ox:

Vì a = g = 0 chuyển động hình chiếu trên Ox là chuyển động thẳng x x  đều với v0x =v0 cosα

- Chiếu theo phương Oy:

g = const chuyển động trên Oy là chuyển động thẳng thay đổi đều với 

v0y =v0 sinα v y=− ¿+v0 sinα

Độ lớn vận tốc: v=√v x

2

+v y2

1.6 Phương trình gia tốc [1]

Tại mỗi vị trí trên quỹ đạo ta tách a thành hai thành phần là: a= a n+a t

Ta có α=tan −1v y

v x

- Gia tốc tiếp tuyến: là thành phần của vecto gia tốc a, có phương tiếp tuyến với quỹ đạo và đặc trưng cho sự thay đổi độ lớn của vecto vận tốc v

 Độ lớn: a t=d v

d t =g sin α

- Gia tốc pháp tuyến: là một thành phần của vecto gia tốc a, có phương pháp tuyến với quỹ đạo và đặc trưng cho sự biến đổi về phương chiều của vecto vận tốc v

Độ lớn : a n=v

2

R =g cos α

Độ lớn gia tốc toàn phần: a=√a t2+ a n2

1.7 Một số công thức

 Thời gian vật đạt độ cao cực đại: t=v0 sinα

g

 Độ cao cực đại: H=v0 sin 2

α

2g

 Tầm ném xa: L=v0 sin 2α

g

 Bán kính cong quỹ đạo: R=v

2

a n

2 BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG NÉM XIÊN TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG CÓ LỰC CẢN

 Giả sử rằng một vật có khối lượng m được ném từ mặt đất (trên mặt đất bằng phẳng) tại t = 0, tạo một góc so với phương ngang Ngoài ra, giả sử𝛼 ngoài tác dụng của trọng lực, vật còn chịu một lực cản không khí tác dụng ngược hướng với hướng chuyển động tức thời của nó và độ lớn của nó tỷ lệ thuận với tốc độ tức thời của nó

 Đây không phải là một mô hình đặc biệt chính xác về lực cản do môi trường, nhưng nó dẫn đến các phương trình chuyển động có thể định hình được Do đó, bằng cách sử dụng mô hình này, chúng ta có thể hiểu được cách lực cản của không khí điều chỉnh quỹ đạo chuyển động của vật một cách cơ bản nhất

 Chúng ta hãy sử dụng một hệ tọa độ Descartes có điểm gốc trùng với điểm phóng và trục Oy của nó hướng thẳng đứng lên trên Cho vận tốc ban đầu của đạn nằm trong mặt phẳng Oxy Lưu ý rằng, vì cả trọng lực và lực cản đều không làm cho đường đạn di chuyển ra khỏi mặt phẳng Oxz, chúng

ta có thể bỏ qua tọa độ y trong bài toán này một cách hiệu quả

 Chuyển động ném xiên trong trọng trường có lực cản môi trường là chuyển động ném xiên trong trọng trường chịu thêm tác dụng của lực cản tỉ

lệ với vectơ vận tốc Fc=-cv trong đó c là hệ số lực cản của môi trường

Phương trình chuyển động của đường đạn được viết:

m dv

dt =mg−¿cv

- Trong đó v = ( , ) là vận tốc của vật, g = (0, −g) là gia tốc do trọng𝑣𝑥 𝑣y lực và c (hệ số cản môi trường) là hằng số dương Ở dạng thành phần, phương trình trên trở thành:

d v x

dt =−g v

v x

(1)

d v y

dt=−(1 +v y

v t)(2)

- Ở đây v t=mg

c là vận tốc cuối: tức là vận tốc tại đó lực cản cân bằng với lực hấp dẫn ( đối với vật rơi theo phương thẳng đứng xuống dưới )

+ Tích phân phương trình (2) ta được:

∫

v0x

v x

d v x

v x=−¿

v t (3)

Trong đó 𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝛼 là thành phần x của vận tốc Vì thế:

lnv x

v0x

=−¿

v t (4)

Hay: 𝑣𝑥 = v0cosα e−¿

v t(5) + Tích phân phương trình (3), ta được:

∫

v0y

v y

d v y

v y +v t=−v¿t (6)

Trong đó 𝑣0y = 𝑣0𝑠𝑖𝑛𝛼 là thành phần y của vận tốc Vì thế:

lnv y + v t

v0y +v t

=−¿

v t

(7)

v y =v0sinα e

¿

v t −v t(1−e

¿

v t)(8) + Nguyên hàm của phương trình (6) ta có:

x=v t v0cosα

g (1−e

−¿

v t)(9)

Nếu 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 ≪ v t

g, phương trình trên được rút gọn thành:

𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼.𝑡 0 (10)

Là kết quả thu được khi không có lực cản Ngược lại nếu 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 ≫ v t

g:

x=v t v0cosα

g (11)

Biểu thức trên rõ ràng đặt ra một giới hạn hiệu quả về khoảng cách vật

có thể di chuyển được theo phương ngang.

+ Nguyên hàm của phương trình (9) ta có

g (v0sinα +v t )(1−e

−¿

v t )−v t t (12)

Nếu v0sinα ≪ v t , phương trình trên được rút gọn thành:

2 g t2

(13)

Là kết quả thu được khi không có lực cản Ngược lại nếu𝑡 𝑡 ≫ v t

g

g(v0sinα +v t)−vt t (14)

Phân tích phương trình trên cho thấy rằng lực cản không khí chỉ bắt đầu

có ảnh hưởng đáng kể đến quỹ đạo sau khi vật đã bay trong không khí tới một thời điểm thời gian vt

g

- Rõ ràng, từ hai phương trình trước đó, thời gian bay của vật (tức là thời gian tại đó y = 0, không bao gồm kết quả nhỏ 𝑡 = 0 ) là

+ Khi 𝑡 𝑡 ≪ v t

g nghĩa là v0sinα ≪ v t:

t=2v0sinα

g (15) + Khi 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 ≫ v t

g nghĩa là v0sinα ≫ v t (tức là thành phần thẳng đứng của vận tốc ném lớn hơn nhiều so với vận tốc cuối)

t=v0sinα

g (16)

- Vì thế theo PT (11) và (12) rằng phạm vi ngang [0, 𝑥(𝑡𝑓)]của quỹ đạo chuyển động là:

+ Khi v0sinα ≫ v t : R=v0 sin 2α

g (17) + Khi v0sinα ≪ v t : R=v t v0cosα

g (18)

Kết quả này cho thấy rằng, trong trường hợp không có lực cản của không

lực cản của không khí, phạm vi ngang lớn nhất v t v0

g đạt được ghi góc α càng nhỏ (nhưng v0sinα ≪ v t ).

Hình 3 Quỹ đạo của vật khi có lực cản không khí

III NỘI DUNG

1 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT

- Chiếu theo phương Ox:

ma =−hv

=> Phương trình vi phân (1) :x ''(t)+h

m x

'(t)=0

với x0= 0, x0

'(t)=v0x(t)=v0cosα

- Chiếu theo phương Oy:

ma mg h= − v

=> Phương trình vi phân (2) :y ' '(t)+g + h

m y

'

(t)=0

với y0=0 , y '0=v0y(t)=v0sinα

2 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH

a Các hàm sử dụng và công dụng

b Code

clc

%% KHAI BÁO VÀ NHẬP DỮ LIỆU

alpha = alpha*pi/180;

%% HẰNG SỐ,

g = 9.8;

%% TÍNH TOÁN

pretty(x(t));

pretty(y(t));

%% VẼ ÐỐ6 THỊ

ca/n' 'color' 'white' 'numbertitle' 'off' , , , , );

fplot(subs(x(t)),subs(y(t)),[0 time]);

xlabel( 'x(t)' 'FontSize' , ,12, 'FontWeight' 'bold' 'Color' 'r' , , , ); ylabel( 'y(t)' 'FontSize' , ,12, 'FontWeight' 'bold' 'Color' 'r' , , , ); grid ; on

axis([0 inf 0 inf]);

%% ĐỐ6 THỊ VỚI CÁC GÓC KHÁC NHAU

ca/n' 'color' 'white' 'numbertitle' 'off' , , , , );

% Góc alpha =15

alpha = 15*pi/180

fplot(subs(x(t)),subs(y(t)),[0 time]);

% Góc alpha =30

hold ; on

alpha = 30*pi/180;

fplot(subs(x(t)),subs(y(t)),[0 time]);

% Góc alpha =45

alpha =45*pi/180

fplot(subs(x(t)),subs(y(t)),[0 time]);

% Góc alpha =60

alpha =60*pi/180

fplot(subs(x(t)),subs(y(t)),[0 time]);

% Góc alpha =75

alpha =75*pi/180

fplot(subs(x(t)),subs(y(t)),[0 time]);

legend( 'α=15°' 'α=30°' 'α=45°' 'α=60°' 'α=75°' , , , , );

xlabel( 'x(t)' 'FontSize' , ,12, 'FontWeight' 'bold' 'Color' 'r' , , , ); ylabel( 'y(t)' 'FontSize' , ,12, 'FontWeight' 'bold' 'Color' 'r' , , , );

grid ; on

axis([0 inf 0 inf]);

hold off ;

%%Kê,t Thúc

c Sơ đồ khối

BẮT ĐẦU

NHẬP CÁC DỮ LIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

(m, h, v0, α ,t)

IN NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH RA MÀN HÌNH

KẾT THÚC

3 KẾT QUẢ

VD: Cho vật có khối lượng 0.5kg ném xiên trong trọng trường có hệ số lực

cản là 0.05 kg/s, vận tốc ban đầu 15m/s và góc ném là α =π4

Hình 4 Nhập số liệu

Hình 5 Giải phương trình

Hình 6 Đồ thị tọa độ của vật khi α = π

4

Hình 7.Đồ thị quỹ đạo chất điểm với các góc α khác nhau

IV KẾT LUẬN

Nghiên cứu này đã xác định được lực cản có ảnh hưởng như thế nào trong quá trình chuyển động của vật, suy ra một phương trình quỹ đạo ném xiên trong gia tốc trọng trường có lực cản và đưa ra các ví dụ cụ thể cho từng trường hợp đó Nhờ vào định lý II Newton, phương trình này được suy

ra như sau:

x=m v0cosα

g (1−e

−ht

m)

y=m (v0sinα h +mg)

h2 −mgt

h −

m (v0sinα h +mg)e −¿

v t

h2

Với điều kiện ban đầu x0 = y = 0; v0X = v0𝑐𝑜𝑠α; v0 0y = v0𝑠𝑖𝑛α.

Đồng thời với sự hỗ trợ của chương trình Mathlab, những phương trình này được suy ra khá dễ dàng và nó có thể mô phỏng được quỹ đạo chuyển động của vật Qua đó chúng tôi thấy rằng hình dạng quỹ đạo của vật khi ném xiên trong gia tốc trọng trường có lực cản là một đường cong không đối xứng Vì mô phỏng này chỉ đơn giản dựa vào lý thuyết nhưng nó đã cung cấp cho chúng tôi cơ sở để đi tới kết luận rằng lực cản trên thực tế ảnh hưởng rất lớn đến quỹ đạo chuyển động của vật

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]MathWorks https://www.mathworks.com/

[2]Nguyễn Thị Bé Bảy, Huỳnh Quang Linh, Trần Thị Ngọc Dung (2011) Vật

lý đại cương A1 Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Bách Khoa

[3]A.L Garcia and C Penland (1996) MATLAB Projects for Scientists and Engineers Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ

[4]Ý kiến của các anh chị K20

MỤC LỤC HÌNH ẢNH

Hình 1 Ví dụ về ném xiên trong cuộc sống 4

Hình 2 Ví dụ về phân tích ném xiên 5

Hình 3 Quỹ đạo của vật khi có lực cản không khí 10

Hình 4 Nhập số liệu 14

Hình 5 Giải phương trình 14

Hình 6 Đồ thị tọa độ của vật khi α = π 4 15

Hình 7.Đồ thị quỹ đạo chất điểm với các góc α khác nhau 15