Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 Đề tài 01 chiều dài cung và Độ cong

Nhắc lại được định nghĩa, tính chất, cách tính các đôi tượng của lý thuyết vi tích phân hàm nhiều biến và chuỗi, vận dụng được lý thuyết vào các bài toán áp dụng và bài toán thực tế...,

GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 01: CHIỀU DÀI CUNG VÀ

ĐỘ CONG GVHD: ĐÀO HUY CƯỜNG

LỚP: L09 NHÓM : 01

Mục lục

Lời mở đầu 4

1 Lý thuyết 5

1.1 Tham số hóa 5

1.2 Các công thức 5

1.2.1 Công thức độ dài cung: 5

1.2.2 Công thức độ cong: 9

2 Ứng dụng 11

2.1 Bài 1: 11

2.2 Bài 7: 13

2.4 Bài 15: 16

2.5 Bài 17: 16

2.6 Bài 21: 18

2.7 Bài 26: 19

2.8 Bài 30: 22

2.9 Bài 33: 23

2.10 Bài 59: 25

3 Ứng dụng lý thuyết chiều dài cung và độ cong trong thực tế 26

4 Phụ lục 30

4.1 Kinh Nghiệm đúc kết 30

4.2 Tài Liệu Tham Khảo 30

4.3 Nhận Xét Của Giảng Viên 30

4.4 Thông Tin Liên Hệ 30

Lời m ở đầ u

Giải tích 2 là môn học đại cương có tầm quan trọng đố ới sinh viên ĐH Bách i vKhoa nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹ thuật công ngh nói ệ chung Mục đích môn học là cung cấp đầy đủ nội dung cơ bản của Giải tích hàm nhiều biến và Lý thuyết chuỗi dùng cho các ngành khoa học kỹ thuật Nó

sẽ giúp sinh viên khối kỹ thuật tiếp thu vấn đề một cách nh nhàng và trang bẹ ị những kỹ năng cơ bản cho ngườ ọc t phát triển kh năng áp dụng toán học i h ự ả vào các bài toán thự ế c t

Môn Giải tích 2 bao gồm các kiến thức cơ bản v vi tích phân hàm nhiều ề biến, lý thuyết trường và chuỗ Cùng với đó là các chuẩn đầu ra: i Nhắc lại được định nghĩa, tính chất, cách tính các đôi tượng của lý thuyết vi tích phân hàm nhiều biến và chuỗi, vận dụng được lý thuyết vào các bài toán áp dụng và bài toán thực tế , có kh năng hoạt động nhóm.ả

Ngoài ra môn giải tích 2 còn có kiến thức về chiều dài cung và độ cong Có thể nói đây là một trong những kiến thức có nhiều ý nghĩa thực tiễn trong thực tế trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, đồ họa, y tế,

Và dưới đây là tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập cụ thể được nhóm 01 trình bày để thầy/cô, các bạn hiểu rõ về kiến thức chiều dài cung và độ cong

1 Lý thuyết

1.1 Tham s ố hóa

Đôi khi ta không thể mô tả C bằng một phương trình dạng y = f(x), bởi vì C không thỏa mãn định lý đường thẳng đứng (Vertical line test) : một hàm chỉ có thể có một đầu ra y duy nhất cho mỗi giá trị đầu vào x duy nhất Nếu một đường thẳng đứng cắt đường cong trên mặt phẳng xy nhiều hơn một lần thì cho một giá trị x Onào đó, đường cong có nhiều hơn một giá trị y và do đó, đường cong không đại diện cho một hàm Nếu tất cả các đường thẳng đứng đều cắt đường cong tại nhiều nhất một điểm, thì đường cong đó biểu diễn một hàm

Tuy nhiên, ta có thể tham số hóa x và y bằng 1 ẩn thứ

3 là t (t gọi là tham số) Nhờ đó chúng ta có thể viết x

= f(t) và y = g(t) Một cặp phương trình như vậy

thường là một cách thuận tiện để mô tả một đường

cong

Mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm P(x,y)

trên mặt phẳng tọa độ Khi tham số t thay đổi, điểm P(x,y) cũng thay đổi và tạo thành một đường cong, gọi là đường cong tham số hóa Tham số t không nhất thiết phải biểu thị thời gian và, thực tế, chúng ta có thể sử dụng một chữ cái khác thay cho tham số t Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng của đường cong tham số hóa, t đại diện cho thời gian và do đó chúng ta có thể giải thích được nó như một quá trình diễn ra theo thời gian

1.2 Các công thức

1.2.1 Công thức độ dài cung:

Chúng ta đã định nghĩa độ dài của một đường cong phẳng với các phương trình tham số 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑏, là giới hạn độ dài của các đa giác nội tiếp và, đối với trường hợp và liên tục, chúng ta đã đi đến công thức:𝑓′ 𝑔′

𝐿 =  ∫𝑏

𝑎 √[𝑓′(𝑡)]2+ [𝑔′(𝑡)]2𝑑𝑡 = ∫  𝑏

𝑎 √(𝑑𝑥𝑑𝑡)2+ (𝑑𝑦𝑑𝑡)2𝑑𝑡

1

Hình 1: Độ dài của một đường cong trong không gian là giới hạn độ dài của các

đa giác nội tiếp

Chiều dài của một đường cong không gian được xác định theo cùng một cách (xem Hình 1) Giả sử rằng đường cong có phương trình vectơ

𝐫(𝑡) = ⟨𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)⟩, 𝑎 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑏, hoặc, tương đương, phương trình tham số

𝑥 = 𝑓 , 𝑦 = 𝑔 , 𝑧 = ℎ(𝑡)(𝑡) (𝑡) , trong đó 𝑓′, 𝑔′, và ℎ′ liên tục Nếu đường cong được đi qua chính xác một lần khi 𝑡tăng từ𝑎đến 𝑏, thì có thể chỉ ra rằng độ dài của nó là:

𝐿 = ∫  𝑏

𝑎  √[𝑓′(𝑡)]2+ [𝑔′(𝑡)]2+ [ℎ′(𝑡)]2𝑑𝑡 = ∫  𝑏

✸Chú ý kết quả không phụ thuộc vào cách đặt biến tham số

Bây giờ chúng ta giả sử (𝐶) là một đường cong được cho bởi một hàm vectơ: 𝐫(𝑡) = 𝑓( )𝐢 + 𝑔 𝐣 + ℎ𝑡 (𝑡) ( )𝐤 𝑎 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑏 𝑡

ở đâu liên tục và 𝐫′ 𝐶 được duyệt qua chính xác một lần khi 𝑡 tăng từ𝑎 đến 𝑏 Chúng ta xác định hàm độ dài cung của nó 𝒔 bằng:

Như vậy 𝑠(𝑡) là chiều dài của một phần 𝐶giữa 𝐫(𝑎) và 𝐫(𝑡) (Xem Hình 3.)

Việc tham s ố hóa một đường cong đố ới độ dài cung thường r t hi v ấ ữu ích vì

độ dài cung phát sinh tự nhiên từ hình dạng của đường cong và không phụ thuộc vào một hệ tọa độ cụ thể Nếu một đường cong 𝐫(𝑡) đã được cho sẵn dưới dạng

m t tham sộ ố 𝑡 và 𝑠(𝑡) là hàm độ dài cung được cho bởi Công thức 6, thì chúng

ta có thể giải dưới 𝑡 dạng một hàm của 𝑠: 𝑡 = 𝑡(𝑠) Sau đó, đường cong có thể

được tham s hóa lại ố 𝑠 bằng cách thay thế cho 𝑡: 𝐫 = 𝐫(𝑡(𝑠)) Do đó, nếu 𝑠 = 3

ví dụ, 𝐫(𝑡(3))là vectơ vị trí của điểm 3 đơn vị chiều dài dọc theo đường cong từ điểm bắt đầu của nó

5

1.2.2 Công thức độ cong:

M t tham s ộ ố hóa 𝐫(𝑡) được gọi là “trơn tru” trên một kho ng ả 𝐼 nếu 𝐫′nó liên tục

và 𝐫′(𝑡) ≠ 𝟎 trên Một đường cong được gọi là 𝐼 trơn nếu nó có tham số hóa trơn

Hình 4: Các vectơ tiếp tuyến đơn vị ại các điểm cách đều nhau trên t 𝐶

Nếu 𝐶 là một đường cong trơn được xác định bởi hàm vectơ , hãy nhớ𝐫 l i rạ ằng vectơ tiếp tuyến đơn vị𝐓(𝑡)được cho bởi:

𝐓(𝑡) =𝐫′(𝑡)

|𝐫′(𝑡)|

và cho biết hướng của đường cong T ừ Hình 4, bạn có thể thấy rằng nó 𝐓(𝑡)thay đổi hướng rất ch m khi ậ 𝐶khá thẳng, nhưng nó thay đổi hướng nhanh hơn khi 𝐶uốn cong hoặc xoắn mạnh hơn

Độ cong của 𝐶 tại một điểm nhất định là thước đo tốc độ đường cong thay đổi hướng tại điểm đó

ĐỊNH NGHĨA:

Độ cong của một đường cong là

𝜅 = | 𝑑𝐓 𝑑𝑠|

với 𝐓 là vectơ tiếp tuyến đơn vị

Độ cong sẽ dễ tính toán hơn nếu nó được biểu thị dưới d ng tham số ạ 𝑡 thay vì 𝑠,

vì vậy chúng tôi sử dụng Quy tắc Chuỗi (Chain Rule): 𝒅

𝒅𝒕[𝒖(𝒇 )] = (𝒕) 𝒇′(𝒕)𝒖′(𝒇(𝒕)) để viết:

Đối với trường hợp đặc biệt của một đường cong phẳng có phương trình 𝑦 =𝑓(𝑥), chọn 𝑥 làm tham số và viết 𝐫(𝑥) = 𝑥𝐢 + 𝑓(𝑥)𝐣 Sau đó 𝐫′(𝑥) = 𝐢 + 𝑓′(𝑥) 𝐣

Kiểm tra kết quả

Kiểm tra kết quả

2.4 Bài 15:

Đề:

Giả s b n b ử ạ ắt đầu t i mạ ột điểm (𝟎, 𝟎, 𝟑)và di chuyển 5 đơn vị ọ d c theo

đường cong 𝒙 = 𝟑𝐬𝐢𝐧 𝒕 , 𝒚 = 𝟒𝒕, 𝒛 = 𝟑𝐜𝐨𝐬 𝒕 theo chiều dương Bạn đang ở

Nên : |𝑟′(𝑡)| = √(2 cos 𝑡) + 5 + (−2 sin 𝑡)2 2 2= √29

V y vecto ti p tuy n cậ ế ế ủa phương trình:

𝑇(𝑡) =| ( )|𝑟𝑟′′( )𝑡𝑡 = √291 〈2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 5, −2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 〉

Kiểm tra kết quả vecto tiếp tuyến

Kiểm tra kết quả vecto pháp tuyến

𝑘(𝑡) =|〈2𝑡, 1,0〉 × 2,0, 0〈 〉|

|〈2𝑡,1,0〉|3

Rút gọn ta được :

Độ cong của đường cong tại điểm A = ( 1, 4, -1 )

Dựa vào giả thiết, ta có:

double t = 1.0; // value of t at point A

double x = t; // x-coordinate as a function of t

double y = 4.0 * pow(t, 1.5); // y-coordinate as a function of t double z = -1.0 * pow(t, 2.0); // z-coordinate as a function of t double xt = 1.0; // x-component of tangent vector at point A double yt = 6.0 * sqrt(t); // y-component of tangent vector at point A double zt = -2.0 * t; // z-component of tangent vector at point A double xtt = 0.0; // x-component of second derivative at point A double ytt = 3.0 / sqrt(t); // y-component of second derivative at poi double ztt = -2.0; // z-component of second derivative at point A // Compute the curvature using the formula

double num = sqrt(pow(yt * ztt - zt * ytt, 2.0) + pow(zt * xtt - xt * zt2.0) + pow(xt * ytt - yt * xtt, 2.0));

double den = pow(pow(xt, 2.0) + pow(yt, 2.0) + pow(zt, 2.0), 1.5); double curvature = num / den;

// Output the curvature

cout << "The curvature of the curve at point A is " << curvature << e return 0;

}

Vậy K’(x)=0 tương đương với: 𝐾′(𝑥) =√(𝑥−2𝑥2+1)2+15= 0

Suy ra phương trình có nghiệm: 𝑥 = ±√12 ( ạ𝑖 𝑥 = −𝑙𝑜 √12 𝑣ì Đ Đ 𝑥 > 0)𝐾𝑋

Ta có: 𝑥→∞lim𝐾(𝑥) = lim𝑥→∞√(𝑥 +1)𝑥22 3= 0

𝑥→0lim𝐾(𝑥) = lim𝑥→0√(𝑥 +1)2𝑥2 3= 0

B ng ả biến thiên của hàm số K(x) :

Kiểm tra kết quả

Giải:

(a) Ta có:

Độ cong =𝐵á𝑛 𝑘í𝑛ℎ 𝑐𝑜𝑛𝑔1Theo định nghĩa: Bán kính của độ cong là bán kính của vòng tròn dao động Vậy

Nếu bạn vẽ các vòng tròn dao động ở P và Q, vòng tròn dao động ở P sẽ nhỏ hơn

Do đó bán kính cong ở P ít hơn và độ cong là nhiều hơn

Độ cong của đường cong nhất định C lớn hơn P sau đó đến Q

(b) ta có các hình vẽ đường tròn tại các điểm

Lưu ý rằng bán kính của vòng tròn dao động tương ứng với Q lớn hơn bán kính của vòng tròn dao động tương ứng với P.Recall rằng độ cong của một vòng tròn

là không đổi và bằng với bán kính đối ứng của nó Do đó, độ cong của đường cong ở P lớn hơn độ cong ở Q

Ước tính rằng đường kính của vòng tròn dao động ở P là 2.Vì vậy bán kính là 1 Tương tự, chúng tôi ước tính rằng đường kính của vòng tròn dao động ở Q là khoảng 3 vì vậy bán kính của nó là 1,5

Chúng tôi kết luận rằng độ cong ở P là khoảng bằng 1 và độ cong ở Q là xấp xỉ bằng 1

a = 10 Å

Điều này là do tham số a được xác định bởi bán kính của xoắn

Bây giờ chúng ta phải xác định b hằng số Trong một thời gian, tọa độ z tăng 2pi Mỗi xoắn tăng khoảng 34 Từ việc này chúng ta sẽ nhận đượcÅ

trong đó a và b ở dạng angstrom Xoắn kia đối diện với cái đầu tiên nên tọa độ a

và y của nó cũng ngược chiều nhau Do đó, phương trình của phương trình kia

A Thiết kế và Điều hướng Đường bộ:

Trong quy hoạch công trình dân dụng và giao thông vận tải, độ dài và độ cong cung đóng một vai trò quan trọng trong việc thiết kế đường và đường cao tốc Các kỹ sư cần đảm bảo rằng các khúc cua và khúc cua trên đường được thiết kế với độ cong và độ dài vòng cung phù hợp để đảm bảo lái xe an toàn và thoải mái

Độ cong của đường xác định mức độ ngoặt của phương tiện và độ dài vòng cung giúp xác định khoảng cách cần thiết để điều hướng một đường cong cụ thể Bằng cách xem xét các yếu tố này, các kỹ sư có thể thiết kế những con đường phù hợp

với tốc độ và loại phương tiện cụ thể, giảm thiểu rủi ro tai nạn và nâng cao hiệu quả vận chuyển tổng thể

2 Thiết kế tàu lượn siêu tốc:

Độ dài và độ cong của vòng cung là những cân

nhắc cơ bản trong thiết kế tàu lượn siêu tốc

Tàu lượn siêu tốc được thiết kế để mang đến

những trải nghiệm ly kỳ và thú vị đồng thời

đảm bảo an toàn cho người lái Các nhà thiết

kế sử dụng khái niệm về độ dài vòng cung để

xác định tổng chiều dài của đường đua cần

thiết để đạt được thời lượng đi xe cụ thể Bằng

cách điều chỉnh cẩn thận độ cong của đường

đua, các nhà thiết kế có thể tạo ra nhiều cảm

giác khác nhau, chẳng hạn như xoắn gấp, rơi

và vòng, để tăng cường yếu tố kích thích và

hồi hộp cho người lái

3 Mô hình 3D và hoạt hình:

Trong đồ họa máy tính và hoạt hình, độ dài và độ cong của cung được sử dụng

để tạo ra các bề mặt cong chân thực và bắt mắt Bằng cách tính toán chính xác độ dài cung và độ cong của một đường cong hoặc bề mặt, người tạo mô hình 3D và người tạo hoạt ảnh có thể đảm bảo các đối tượng trông mượt mà và tự nhiên

Điều này đặc biệt quan trọng trong các lĩnh vực như trò chơi, sản xuất phim và thực tế ảo, trong đó khả năng hiển thị và chuyển động chân thực là rất quan trọng đối với trải nghiệm sống động

4 Hình ảnh y tế và X quang:

Chiều dài và độ cong của cung tìm thấy các ứng dụng trong hình ảnh và X quang

y tế để phân tích và định lượng cấu trúc giải phẫu Trong các lĩnh vực như X quang, tim mạch và chỉnh hình, các phép đo chiều dài và độ cong của cung được

sử dụng để đánh giá hình dạng, độ cong và sự biến dạng của xương, mạch máu

và các cơ quan Các phép đo này hỗ trợ chẩn đoán và theo dõi các tình trạng khác nhau, lập kế hoạch phẫu thuật và đánh giá hiệu quả của các phương pháp điều trị

4 Phụ l c ụ

4.1 Kinh Nghi ệm đúc kế t

Trau dồi thêm kinh nghiệm làm việc nhóm

Thành thạo thêm về giao tiếp trực tuyến và sử dụng các phần mềm hỗ trợ Học thêm về lý thuyết, công thức giải tích chiều dài cung và độ cong

Cách làm bài tập giải tích chiều dài cung và độ cong

4.2 Tài Liệ u Tham Kh ảo

[1] James Stewart

[2] Giáo trình giải tích 2

[3] Google

4.3 Nhận Xét Củ a Gi ảng Viên

….………

………

………

………

………

………

………

………

4.4 Thông Tin Liên Hệ

Kiều Lê Trọng Tuyển: tuyen.kieuletrong@hcmut.edu.vn

Đặng Hà Minh Tuấn:tuan.dangha2213764@hcmut.edu.vn

Lưu Trọng Nghĩa:nghia.luu02012004@hcmut.edu.vn

Phan Văn Duẫn:duan.phan2210483@hcmut.edu.vn

Võ Nguyên Cát:cat.vonguyen@hcmut.edu.vn

HẾT