Nhắc lại được định nghĩa, tính chất, cách tính các đôi tượng của lý thuyết vi tích phân hàm nhiều biến và chuỗi, vận dụng được lý thuyết vào các bài toán áp dụng và bài toán thực tế...,
Tham số hóa
Đôi khi, chúng ta không thể mô tả một quan hệ C bằng phương trình y = f(x) vì C không thỏa mãn định lý đường thẳng đứng Định lý này yêu cầu mỗi giá trị đầu vào x phải có một đầu ra y duy nhất Nếu một đường thẳng đứng cắt đường cong trên mặt phẳng xy nhiều hơn một lần, điều này cho thấy rằng với một giá trị x nào đó, đường cong có nhiều hơn một giá trị y, do đó không thể coi đó là một hàm Ngược lại, nếu tất cả các đường thẳng đứng chỉ cắt đường cong tại một điểm duy nhất, thì đường cong đó có thể được xem là một hàm.
Tuy nhiên, ta có thể tham số hóa x và y bằng 1 ẩn thứ
3 là t (t gọi là tham số) Nhờ đó chúng ta có thể viết x
= f(t) và y = g(t) Một cặp phương trình như vậy thường là một cách thuận tiện để mô tả một đường cong
Mỗi giá trị của tham số t tương ứng với một điểm P(x,y) trên mặt phẳng tọa độ, và khi t thay đổi, điểm P(x,y) cũng thay đổi, tạo thành một đường cong tham số hóa Mặc dù t không nhất thiết phải đại diện cho thời gian, trong nhiều ứng dụng, nó thường được hiểu là thời gian, cho phép chúng ta giải thích quá trình diễn ra theo thời gian.
Các công thức
Công thức độ dài cung
Độ dài của một đường cong phẳng được định nghĩa thông qua các phương trình tham số 𝑥 = 𝑓(𝑡) và 𝑦 = 𝑔(𝑡) trong khoảng 𝑎 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑏 Để tính toán độ dài, chúng ta sử dụng giới hạn độ dài của các đa giác nội tiếp Trong trường hợp hàm số liên tục, công thức tính độ dài đường cong được đưa ra là: 𝑓 ′ 𝑔 ′.
Hình 1: Độ dài của một đường cong trong không gian là giới hạn độ dài của các đa giác nội tiếp
Chiều dài của một đường cong không gian được xác định theo cùng một cách (xem Hình 1) Giả sử rằng đường cong có phương trình vectơ
𝐫(𝑡) = ⟨𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)⟩, 𝑎 ⩽ 𝑡 ⩽ 𝑏, hoặc, tương đương, phương trình tham số
Đường cong được xác định bởi các hàm 𝑓, 𝑔 và ℎ(𝑡) với điều kiện rằng 𝑓 ′, 𝑔 ′ và ℎ ′ là liên tục Nếu đường cong này được đi qua một lần duy nhất khi giá trị 𝑡 tăng từ 𝑎 đến 𝑏, thì độ dài của nó có thể được tính toán một cách chính xác.
✸Chú ý rằng cả hai công thức độ dài cung (1) và (2) đều có thể đưa về dạng thu gọn hơn:
Bởi vì, đố ới các đường cong phẳngi v 𝐫(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝐢 + 𝑔(𝑡)𝐣
|𝐫 ′ (𝑡)| = 𝑓| ′ (𝑡)𝐢 + 𝑔 ′ (𝑡)𝐣| = √[𝑓 ′ (𝑡)] 2 + 𝑔[ ′ (𝑡)] 2 và cho các đường cong không gian 𝐫(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝐢 + 𝑔(𝑡)𝐣 + ℎ(𝑡)𝐤,
✸Chú ý kết quả không phụ thuộc vào cách đặt biến tham số
Giả sử (𝐶) là một đường cong được xác định bởi hàm vectơ 𝐫(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝐢 + 𝑔(𝑡)𝐣 + ℎ(𝑡)𝐤 trong khoảng 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, với điều kiện hàm này liên tục và 𝐫 ′(𝑡) được duyệt qua đường cong một lần duy nhất khi 𝑡 tăng từ 𝑎 đến 𝑏 Chúng ta sẽ xác định hàm độ dài cung của đường cong này là 𝑠.
Như vậy 𝑠(𝑡)là chiều dài của một phần 𝐶giữa 𝐫(𝑎) và 𝐫(𝑡) (Xem Hình 3.)
Nếu chúng ta đạo hàm cả hai vế của Phương trình 4 bằng cách sử dụng Phần 1 của Định lý cơ bản của Giải tích, chúng ta sẽ thu được
Tham số hóa một đường cong theo độ dài cung là rất hữu ích vì độ dài cung tự nhiên phát sinh từ hình dạng của đường cong và không phụ thuộc vào hệ tọa độ cụ thể Khi đường cong 𝐫(𝑡) đã được xác định, chúng ta có thể giải hàm độ dài cung 𝑠(𝑡) theo công thức 6 để tìm 𝑡 dưới dạng 𝑡 = 𝑡(𝑠) Điều này cho phép tham số hóa lại đường cong theo 𝑠 bằng cách thay thế 𝑡: 𝐫 = 𝐫(𝑡(𝑠)) Ví dụ, với 𝑠 = 3, vectơ vị trí 𝐫(𝑡(3)) sẽ cho biết điểm cách 3 đơn vị chiều dài từ điểm bắt đầu của đường cong.
Công thức độ cong
Tham số hóa 𝐫(𝑡) được coi là "trơn tru" trên một khoảng 𝐼 nếu đạo hàm 𝐫′ liên tục và 𝐫′(𝑡) khác 0 trên khoảng đó Đường cong được xem là trơn nếu nó có tham số hóa trơn.
Hình 4: Các vectơ tiếp tuyến đơn vị ại các điểm cách đều nhau trên t 𝐶
Nếu 𝐶 là một đường cong trơn được xác định bởi hàm vectơ , hãy nhớ𝐫 l i rạ ằng vectơ tiếp tuyến đơn vị𝐓(𝑡)được cho bởi:
Độ lớn của đạo hàm |𝐫 ′ (𝑡)| cho biết hướng của đường cong Như thể hiện trong Hình 4, hướng của đường cong 𝐓(𝑡) thay đổi chậm khi 𝐶 khá thẳng, nhưng lại thay đổi nhanh hơn khi đường cong không thẳng.
Độ cong của một đường cong tại một điểm nhất định đo lường tốc độ thay đổi hướng của đường cong tại điểm đó Định nghĩa về độ cong giúp hiểu rõ hơn về sự biến đổi hình dạng của đường cong.
Độ cong được tính toán dễ dàng hơn khi biểu diễn dưới dạng tham số 𝑡 thay vì 𝑠 Để thực hiện điều này, chúng ta áp dụng Quy tắc Chuỗi (Chain Rule), cụ thể là 𝒅𝒕 𝒅 [𝒖(𝒇 )] =(𝒕) 𝒇′(𝒕)𝒖′(𝒇(𝒕)).
𝑑𝑠 𝑑𝑡/ | Nhưng 𝑑𝑠 𝑑𝑡/ = |𝐫 ′ (𝑡)|từ phương trình 5, do đó:
Hình tròn nhỏ có độ cong lớn, trong khi hình tròn lớn lại có độ cong nhỏ Chẳng hạn, với Trái Đất có bán kính rất lớn khoảng 6.371 km, độ cong của nó gần như bằng 0.
Mặc dù Công thức 7 có thể áp dụng cho mọi trường hợp tính độ cong, nhưng định lý sau thường mang lại sự tiện lợi hơn trong việc áp dụng Định lý này xác định độ cong của đường cong được mô tả bởi hàm vectơ 𝐫.
6 Đối với trường hợp đặc biệt của một đường cong phẳng có phương trình 𝑦 𝑓(𝑥), chọn 𝑥 làm tham số và viết 𝐫(𝑥) = 𝑥𝐢 + 𝑓(𝑥)𝐣 Sau đó 𝐫 ′ (𝑥) = 𝐢 + 𝑓 ′ (𝑥)𝐣 và 𝐫 ′′ (𝑥) = 𝑓 (𝑥)𝐣 ′′ Vì 𝐢 × 𝐣 = 𝐤và 𝐣 × 𝐣 = 𝟎, ta có 𝐫 ′ (𝑥) × 𝐫 (𝑥) = 𝑓 (𝑥)𝐤 ′′ ′′
Ta cũng có |𝐫 ′ (𝑥)| = √1 +[𝑓 ′ (𝑥)] 2 và như vậy, theo định lý trên:
Bài 1
Tìm chiều dài của đường cong:
Trước tiên, ta sử ụng công thứ d c số3 để tính độ dài cung của phương trình r(t):
Vậy ta có độdài cung tròn:
Kiểm tra kết quả Đồ thị
Bài 7
Tìm độ dài của đường cong chính xác đến bốn chữ số thập phân (Sử dụng máy tính của bạn để tính gần đúng tích phân
Giải: Để tìm độ dài của đường cong được cho bởi hàm vector r(t), ta sử dụng công thức:
Trong trường hợp này, ta có:
2√𝑡, 1,2𝑡) Độ dài của vector này là:
Do đó, độ dài của đường cong là:
Gọi 𝑪 là đường cong giao điểm của hình trụ parabol 𝒙 𝟐 = 𝟐𝒚và mặt phẳng 𝟑𝒛 = 𝒙𝒚 Tìm độ dài chính xác của 𝑪 t ừ điểm gốc đến điểm (𝟔,𝟏𝟖 𝟑𝟔, )
Để xác định độ dài chính xác của đường cong 𝐶, trước tiên cần tìm phương trình tham số hóa của nó Đường cong 𝐶 được hình thành từ sự giao nhau của hai bề mặt, vì vậy chúng ta cần giải hệ phương trình để tìm các giá trị của x, y và z.
Bây giờ, chúng ta có thể tham số hóa đường cong bằng cách sử dụng x làm tham 6 số:
Sử dụng công thức độ dài cung, chúng ta có:
2 ) Độ dài của vector này là:
Do đó, độ dài của đường cong là: 4
Bài 15
Giả s b n bử ạ ắt đầu t i mạ ột điểm (𝟎, 𝟎, 𝟑)và di chuyển 5 đơn vị ọ d c theo đường cong 𝒙 = 𝟑𝐬𝐢𝐧 𝒕 , 𝒚 = 𝟒𝒕, 𝒛 = 𝟑𝐜𝐨𝐬 𝒕 theo chiều dương Bạn đang ở chỗ nào?
Giải: Đầu tiên, với các phương trình tham số cho đường cong đã cho, ta có:
Để xác định tọa độ của điểm đích trong đường cong được mô tả bởi hàm số 𝑟(𝑡) = (3sin(𝑡), 4𝑡, 3cos(𝑡)), chúng ta cần tìm giá trị tham số 𝑡 Việc này được thực hiện bằng cách sử dụng công thức tính chiều dài đường cong.
Trong trường hợp này, ta có:
Vậy điểm đích trên đường cong là:
Bài 17
(a) Tìm tiếp tuyến đơn vị và vectơ pháp tuyến đơn vị𝐓(𝒕)và 𝐍(𝒕)
(b) Sử dụng Công thức 7 để tìm độ cong.
V y vecto ti p tuy n cậ ế ế ủa phương trình:
Nên : |𝑇 ′ (𝑡)| = √29 1 √(−2 sin𝑡) 2 + 0 2 + (−2 cos 𝑡) 2 = √29 2 Vậy vecto pháp tuyến của phương trình:
Kiểm tra kết quả vecto tiếp tuyến
Kiểm tra kết quả vecto pháp tuyến
(b)(b) Ta s dử ụng công thức số 7 để tính độ cung của phương trình :
Mà theo như 17a ta có : {|𝑇′(𝑡)| = √29 2
|𝑟′(𝑡)| = √29 Nên ta suy ra được độ cong K(t) :
V y ta k t luậ ế ận độ cong của phương trình là𝐾(𝑡) = 29 2 với mọi t.
Bài 21
Sử dụng Định lý 8 để tìm độ cong.
Sử dụng Định lý để tìm độ cong r ’ r ’’ r(𝑡) = 𝑡 i + 𝑡k 2 giải ta sử dụng công thức :
Bài 26
Vẽ đồ thị đường cong với phương trình tham số và tìm độ cong tại điểm
Giải: Đồ thị đường cong với phương trình tham số: Độ cong của đường cong tại điểm A = ( 1, 4, -1 )
Dựa vào giả thiết, ta có:
|𝐫 ′ (𝑡) × 𝐫 ′′ (𝑡)| = √36𝑡 2 + 4 +9 t =√36𝑡 3 + + 94t Áp dụng Định lý 10 d n tẫ ới ta được:
Tại điểm A = ( 1, 4, -1 ) tọa độ, 𝑡 = 1độ cong là
Kiểm tra k t qu b ng thuế ả ằ ật toán C++
In this article, we explore the computation of curvature in a 3D space using a mathematical approach We define a point A with specific coordinates based on the variable \( t \), where \( x = t \), \( y = 4.0 \cdot t^{1.5} \), and \( z = -1.0 \cdot t^{2} \) The tangent vector components at point A are calculated as \( xt = 1.0 \), \( yt = 6.0 \cdot \sqrt{t} \), and \( zt = -2.0 \cdot t \) Additionally, the second derivative components are determined, with \( xtt = 0.0 \), \( ytt = 3.0 / \sqrt{t} \), and \( ztt = -2.0 \) The curvature is then computed using the formula that incorporates both the first and second derivatives, resulting in a numerical value derived from the ratio of the numerator, which combines the cross products of the tangent and second derivative vectors, to the denominator, which is based on the magnitude of the tangent vector raised to the power of 1.5.
// Output the curvature cout