Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 Đề tài 12 giá trị trung bình của hàm số

PHU LUC HINH ANH Hinh 1 — Dé thị ham tinh giá trị trung bình 6 Hình 2 Đồ thị hàm số fx và hình chữ nhật biêu diễn giá trị trung bình 8 Hình 3 Định lí giá trị trung bình 9 Hinh 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM

DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH

ĐÈ TÀI 12:

GIÁ TRI TRUNG BINH CUA HAM SO

Giảng viên hướng dân: ĐÀO HUY CƯỜNG

TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP.HCM

DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH

BAO CAO

BAI TAP LON GIAI TICH 1

Kiêm tra lại đáp án tất cả bài tập băng phân mền

Lam bia, tén thanh vién, muc luc

Dịch tài liệu và soạn ly thuyết

„ Lam powerpoint

Đánh máy tất cả bài tập vào báo cáo

Lam powerpoint

Giảng viên hướng dân: ĐÀO HUY CƯỜNG

LỚP L24 - NHÓM 9

Danh sách các thành viên

MUC LUC

PHU LUC HINH ANH

Hinh 1 — Dé thị ham tinh giá trị trung bình 6

Hình 2 Đồ thị hàm số f(x) và hình chữ nhật biêu diễn giá trị trung bình 8

Hình 3 Định lí giá trị trung bình 9

Hinh 4 — Kiém tra bai 1 bang Wolframalpha c.cccccccsccssssesssesssessssesesssessssesssessesssessesesusssssssesssessusssesesssssess 11

Hình 6 — Kiểm tra bai 3 bang Wolfram alpha (1).cc.ccscccccsssssessseesseesssessscesccosccssesssesseessesssecsecsecsecsecseescenseees 13 Hinh 7 Kiém tra bai 3 bang WolframA Ipha (2) cc.scsssesssssssssssesssesssessesesusssessssesssessesssessenssusesesssssusesssessesses 14 Hinh 8 — Kiém tra bai 3 bang phan mềm Geogebra — Biéu diễn giá trị trung bình bằng hình chữ nhật 15

Hình I1 — Kiểm tra bài 7 bằng phần mềm Wolffam Alpha 25+ 25+ 52+ 25+ Sx+xeSxSx tre vay crec 18 Hình 12 — Kiểm tra câu § bằng phần mềm WolframAlpha () sec ccc+ectceexstkxrxeerrrxrertrrrves 19 Hình 13 — Kiểm tra bài 8 bằng phần mềm Wolffam Alpha 2+ 25+ 25+52+ 25+ Sx xxx tre vay crec 20

LOI MO DAU

Giải Tích l là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách

KhoaTPHCM nói riêng và sinh viên các ngành khôi khoa học kỹ thuật — công nghệ nói chung

Do đó, việc dành cho môn học này một khối lượng thời gian nhất định và thực hành là

điêu tât yêu đê giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các môn KHTN va lam tiên đề đê học tôt các môn khác trong chương trình đảo tạo

Ở bài tập lớn này, nhóm đã tìm hiểu về nội dung lý thuyết và các công thức “Giá trị trung bình của một hàm sô” Qua đó giải các bài tập đề hiệu thêm về đê tài này Sau đây là phân nội dung tìm hiệu của nhóm

CO SO LY THUYET

I NOI DUNG LY THUYET

Chúng ta co thé dé dang tinh duoc gia trị trung bình của một tổng gồm nhiều số có giá trị

hữu hạn yi, yo, ., Yn!

_ Vit Vote Yn

Y trungbinh— rung bin n

Nhung lam thé nao dé ta có thê tính được nhiệt độ trung bình trong một ngày nêu có thê

có tới vô hạn những thông số nhiệt độ được đo lường? Hình | là hình ảnh biểu diễn đồ thị

của một hàm tính giá trị trung bình T(t), trong do t dugc tinh theo gio, T duoc tinh theo

độ C, và một dự đoán về giá trị nhiệt độ trung bình

Hinh 1 — Đồ thị hàm tính giá trị trung bình

Theo cách thông thường, hãy thử tính giá trị trung bình của hàm y = f(x), a<x <b Ta bắt đầu bằng cách chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau có chiều đài Ax=Í(b—a)/n

Sau đó ta chọn những điểm x; , X¿ trong những đoạn nhỏ liên tiếp đã được chia và tinh giá trị trung bình của những hàm ƒ |x¡]+ *ƒ ( xj)

fxr} FOX)

n

(Gia str, néu ham f la ham số tính nhiệt độ và n = 24, thi nghĩa là ta đang lấy số đo nhiệt

độ mỗi giờ và tính giá trị trung bình của chúng) Từ biểu thức Ax=(b—a)/n, ta suy ra được n=Í(b—a)/Ax, từ đó giá trị trung bình trở thành

flxï]* +ƒ x, b-a

giống với định nghĩa của một tích phân xác định

Từ đó, ta có thể định nghĩa giá trị trung bình của một hàm f trên đoạn [a, b] bằng công thức

13

fm„am= p—g | flxldt Note: Với một hàm số dương, ta có thể ví định nghĩa trên như là

Néu T(t) la nhiệt độ tại thời diém t, thi ta có thé đặt ra câu hỏi rằng liệu có tồn tại 1 thời

điểm cụ thê mà tại đó nhiệt độ bằng với nhiệt độ trung bình không? Dựa trên đồ thị nhiệt

độ ở Hình I, ta có thê thấy được có 2 thời điểm như vậy — ngay trước giữa trưa và ngay

trước nửa đêm Nhìn chung, có phải luôn tồn tại một số c mà tại đó giá trị của hàm f hoàn

toàn bằng với giá trị trung bình của hàm số, f{c) = fiung vin? Định lý sau đây chứng minh

rằng điều đó đúng với mọi hàm số liên tục

Dinh lý giá trị trung bình của tích phân Nếu f liên tục trên đoạn [a,b], thì sẽ tồn tại l số c

thuộc [a, b| sao cho

fIe\=f„„u„=p—= J fix) dx

> f fleldx=fle)(b—-a)

Dinh ly Gia tri Trung binh cua Tich phan la mot hé qua cua Dinh ly Gia tri Trung binh của Đạo hàm và Định lý Cơ bản của Giai tích (Tính toán) Bằng chứng được trình bày ở bài tập 23

Định lý Gia trị Trung bình của Tích phân có thê được diễn giải bằng phương pháp hình

học như sau: với một hàm £ dương, sẽ tồn tại một số c mà hình chữ nhật có chiều dài là

đoạn [a, b] và chiều rộng là f{e) có diện tích bằng với diện tích của vùng tạo bởi tích phân

của £ chạy từ a tới b

FIGURE 2

Tình 2 Đô thị ham sé f(x) và hình chữ nhật biểu diễn giả trị trung bình

Ta luôn có thể cắt phân đỉnh của một ngọn núi (2 chiều) tại độ cao xác định và dung nó

dé lap vao thung lũng đề ngọn núi trở nên hoàn toàn băng phăng

VI DU 2 Với ƒÍx=1+xˆ liên tục trên đoạn [-1,2], theo Định lý Giá trị Trung bình của

Tích phân tôn tại một sô c sao cho

2

f (14x2] dx=flc| [2-(-1)}]

-1

Trong trường hợp cụ thé nay, ta co thé tim thay c mét cach chinh xac Ti vi du 1, ching

ta biét rang, f,,-=2, vi vay, gia tri của c thỏa mãn

Hình 3 Dinh li gid trị trung bình

VÍ DỤ 3 Cho thấy vận tốc trung bình của ô tô trong một khoảng thời gian [t1.t2] là giống như vận tốc trung bình của nó trong suốt chuyến đi

Nếu s(t) là sự dịch chuyển của chiếc xe tại thời điểm t, thì theo định nghĩa, vận tộc trung bình của xe trong khoảng thời gian là

As_Š t;'—slt,)

At tt,

Mặt khác, giá trị trung bình của hàm vận tốc trên khoảng là

Ill TOM TAT CONG THUC

Công thức tính giá trị trung bình của | ham số liên tục trên đoạn [a, b]

Hình 4— Kiểm tra bài 1 bang Wolframalpha

Bài 2 (Cdéu 5 — muc 6.5 — Jeams Stewart) Tim gia trị trung bình của hàm số: ƒÍxÌ=te " trên đoạn |0; 5]

Bài giải

11

Hinh 5 Kiém tra bai 2 bang WolframAlpha

Bai 3 (Cau 11 — muc 6.5 — Jeams Stewart) Cho ham số ƒÍx)=2sinx—sin2xtrên đoạn

(0,z]

Bài giải:

a) Tìm giá trị trung bình của hàm số ƒtrên đoạn cho trước

Giá trị trung bình của ƒ Íx) là:

[ 1/mr0Integratel(2sinx-sin2x),{x,0,ru] @ aÌ

$F NATURAL LANGUAGE] Sf MATH INPUT GH EXTENDED KEYBOARD $33 EXAMPLES 4 UPLOAD > RANDOM

Assuming multiplication | Use a list instead

Tình 6— Kiểm tra bai 3 bang Wolfram alpha (1)

b, Tìm c sao cho 4= /(e )

c2,8081 cx1,2382

Hinh 7 Kiém tra bai 3 bang WolframAlpha (2)

c) Vẽ đồ thị của hàm số ƒvà 1 hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của phần được

tao boi fva truc Ox

14

Hình chữ nhật (màu xanh lá cây) có diện tích bằng hình giới hạn bởi đường cong và trục

Ox (màu đỏ)

Hình 8— Kiểm tra bài 3 bằng phần mềm Geogebra— Biểu diễn giá trị trung bình bằng lình chữ nhật

Bài 4 (Câu 13 — mục 6.5 — Jeams Stewarj) Cho hàm số ƒ liên tục và [rixe= 8, chứng

minh hàm số ƒ nhận giá trị bằng 4 ít nhất một lần trên đoạn [I, 3] ộ

> Ton tai it nhất I điểm c €|a;b] sao cho ƒ(c)=4

Bài 5 (Câu 15 — mưực 6.5 — Jeams Stewari) Bảng sô liệu bên đưới cho ta thấy giá trị của một hàm số liên tục Dùng tổng Riemann trung tâm để tính gần đúng giá trị trung bình của hàm sô trên đoạn [20, 50]

15

Bai 6 (Cau 16 — muc 6.5 — Jeams Stewart): Van téc của một chiếc xe đang chuyển động

nhanh dân được cho như hình dưới:

a Tim van tốc trung bình của xe trong 12s đầu tiên của chuyên động

b Vào thời điệm t băng bao nhiêu thì vận tôc tức thời có giá trị băng với vận tôc trung bình?

ủ (km/h)

Tại thời điểm t=5,1s thì ô tô di chuyên với Y„=45,36 (km/h)

Bai 7 (Cau 17 — muc 6.5 — Jeams Stewart): G mét thành phó, nhiệt độ (tính bằng độ F) tại / giờ sau thời điểm 9 giờ sáng được cho bởi công thức:

» Wolfra mAlpha

# NATURAL LANGUAGE] Jy MATH INPUT fH EXTENDED KEYBOARD $83 EXAMPLES $33 + # 2z

Hinh 11 — Kiém tra bài 7 bang phan mém Wolfram Alpha

Bai 8 (Cau 18 — muc 6.5 —Jeams Stewart)

a Một cốc cà phê ở nhiệt độ 95°C mat 30 phút để nguội tới 61°C trong một căn

phòng có nhiệt độ là 20°C Sử dụng Định luật Làm nguội cla Newton (ở mục 3.8)

để chứng minh rằng nhiệt độ của cốc cà phê sau t phút được xác định bằng công thức:

T[t|=20+75e""

với k * 0.02

b Nhiệt độ trung bình của cốc cà phê trong nửa tiếng đầu tiên là bao nhiêu? Bài giải:

a) TŒ) là nhiệt độ của cốc cà phê sau t (phút) Nhiệt độ môi trường T„„=20”C Theo

“định luật làm nguội của Newton”

dT oo

——=k de yéo>y —ky= —ky=0

¿>e ".y—ke "”y=0

¿>(e¿¿—kt y)'=0=¿e"“ y=Có

¥ WolframAlpha x"

HE NATURAL LANGUAGE | Jf MATH INPUT BB EXTENDED KEYBOARD $33 EXAMPLES # UPLOAD 34 RANDOM

first-order linear ordinary differential equation

Differential equation solution Approximate form ( [¥ Step-by-step solution )

yx) = cy

Hinh 12— Kiém tra cau 8 bang phan mém WolframAlpha (1)

b, Nhiệt độ trung bình của côc cà phê trong nửa tiếng đầu tiên là:

3#WolframAlpha -:

Tình 13— Kiểm tra bài 8 bang phan mém Wolfram Alpha

Bai 9 (Cau 19 — muc 6.5 — Jeams Stewart): Khéi lượng trên một đơn vị chiều dài của một

^ at r > ^ z 12 r > A r r `

sợi dây dài 8m được tính băng công thức xem AI m, x được tính băng sô mét tính từ

một đầu của sợi dây Tìm giá trị trung bình của khối lượng trên một don v1 chiều đài của sợi đây

Hinh 14— Kiém tra bai 9 bang phan mém WolframAlpha

Bai 10 (Cau 20 — muc 6.5 — Jeams Stewart): Nếu | vat thé bat đầu rơi từ trạng thái nghỉ

Vip rod vide r-0] 2#! c2 g 5 g Vr

Vận tốc trung bình theo quãng đường s là

23

KET LUAN Trong suốt quá trình thực hiện bài tập lớn, nhóm chúng em đã có cho mình nhiều kiến

thức và những bài học quý giá

Qua bài tập lớn này chúng em đã có cho mình:

Kỹ năng học tập và làm việc nhóm

Nâng cao được tinh thân trách nhiệm

That chat duoc tinh than doan ket

Năm vững kiên thức lý thuyết và công thức áp dụng

Biết nhiều hơn ứng dụng của “Giá trị trung bình” trong đời sông thực tiên

Cũng nhân đây, nhóm em xin gửi lời cảm ơn đến thầy ĐÀO HUY CƯỜNG đã tận tình

giảng day ly thuyết hết sức kỹ cảng để bọn em có một nên tảng vững chắc nhăm giải quyét những bài toán trên

Đây cũng là lần đầu tiên nhóm chúng em làm bài tập lớn và viết báo cáo, chúng em mong răng thây sẽ thông cảm cho chúng em khi có nhiêu điều còn thiêu sót

24

TAI LIEU THAM KHAO Jeams Stewart, Calculus Early Transcendentals, 6e, Thomson Brooks/Cole, 2008

25