Bài tập lớn giải tích 1

Yêu cầu làm rõ những điểm sau: Câu 1: Cách xác định 1 điểm trong tọa độ cực Câu 2: Mỗi liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes Câu 3: Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH

TP.HCM

BAI TAP LON GIAI TICH 1

GVHD: Ths.Lé Nguyén Hanh Vy

NHOM: GT1 - L02 - 12

Ngày 3 tháng 12 năm 2023

Bảng phân công công việc

STT | MSSV Ho Tén Phân công công việc Ghi chú

1 2311405 | Đào Huỳnh | Khang | Lầm slide ppt, Viết báo cáo Latex

2 2311508 | Ngô Nam | Khánh Làm slide ppt, soạn nội dung

3 2311732 Ly Tru liên Soạn nội dung

4 2311961 | Nguyễn Văn |_ Lộc Viết code Matlab, làm slide ppt

6 2313987 | Đặng Tường Vy soạn câu hỏi trả lời phản biện

Nội dung câu hỏi Tìm hiểu về tọa độ cuc, Polar System, trong phần 9.4 va 9.5, Soo T.Tan Single

variable - Calculus early transcendentals Yêu cầu làm rõ những điểm sau:

Câu 1: Cách xác định 1 điểm trong tọa độ cực

Câu 2: Mỗi liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes

Câu 3: Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa

độ cực Yêu cầu:

+ Xây dựng lại công thức tính tích phân từ tổng Riemamn

+ Vận dụng được công thức để tính diện tích miền phẳng

Lưu ý : Nêu ít nhất 2 ví dụ cụ thể cho mỗi phần, không dùng lại ví dụ có trong tài liệu (slide bài giẳng + bài tập) Vẽ hình bằng phần mềm

Nhận xét của GV hướng dẫn

Mục lục

1 Câu 1 4

11 Hệ tọa độ cực là gì Ặ vo 1.2 Cách xác định 1 điểm trong hệ tọa độ cực 4

2 Cau 2 6 2.1 Mỗi quan hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Doscartes 6

3 Câu 3 8

31 Tổng Riemann SỐ 8 3.2 Dién tích miền phẳng trong tọa độ cực 8 3.3 Diện tích miền phẳng giới hạn bởi một đường cong 9 3.4 Diện tích miền phẳng giới hạn bởi hai đường cong 11 Tổng kết 16

1 Câu 1

1.1 Hệ tọa độ cực là gì

Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm bất kỳ trên một mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc và góc từ hướng góc cho trước

Trong đó gốc thường là điểm bất kì trong mặt phẳng và đặt là O San đó vẽ

mot tia ( nửa đường thẳng) bat đầu từ O được gọi là trục cực (polar axis) Trục thường được vẽ theo phương ngang chiều hướng về bên phải tương tự với trục hoành trong hệ tọa độ Descartes

polar axis

hình 1.1 1.2 Cách xác định 1 điểm trong hệ tọa độ cực

Giả sử điểm P là một điểm bất kì trong mặt phẳng, gọi r là khoảng cách từ O đến P, 9 là góc giữa trục cực và đọan thẳng OP Khi đó, điểm P được biểu diễn bởi cặp số (r, 6) hay cặp số (r, 8) được gọi là tọa độ cực của P Ngoài ra, ta cũng

có thể viết là P(, 9)

?P\ 8ì

polar axis

hình 1.2 + r có thể nhận giá trị là âm hoặc dương.Nếu r>0,thì P(r,0) nằm trên tia OP và cách gốc tọa độ một đoạn r Nếu r<0 thì P{(r,Ø) nằm trên tia đối của OP và cách cực một đoạn |r|—-r

hình 1.3

® P(r.Ø) ®(—r 8)

+ Một số quy ước:

e Tọa độ góc 0 là dương nếu được đo ngược chiều kim đồng hồ hướng từ trục

cực và âm nếu được đo theo chiều kim đồng hồ

e Cực O được biểu thị bằng cặp có thứ tự (0,0) cho bất kì giá trị nào của 0

e Cuối cùng 1 mặt phẳng đặc trưng cho 1 hệ tọa độ cực được gọi là mặt phẳng

r8

VD Biểu diễn các điểm san bằng hệ tọa độ cực

B(3.3) C(3-5) hay C(3,7)

Bz 120

5 7 60°

+ Các ví dụ được vẽ bằng phần mềm Geogerbra

2 Cau 2

2.1 Mối quan hệ giữa tọa độ cực va toa dé Descartes

Để thiết lập mối quan hệ giữa các tọa độ cực và tọa độ Descartes, ta đặt mặt phẳng Oxy lên một mặt phẳng cực sao cho gốc tọa độ O trùng nhau và trục x

dương trùng với trục cực Gọi P là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng và khác gốc

tọa độ Biểu diễn điểm P theo tọa độ Descartes (x,y) và tọa độ cực (r,0)

P\r 8) = P(x yì

hình 2.1 Hình trên ta có r >0 và Ø > 0 nên ta có thể dễ dàng thấy mối liên hệ giữa x,y và r,0 Mối liên hệ được biểu diễn như sau:

cos8 = # và sinØ = # hay x=r.cosØ và y = r.sin

Nếu r<9, ta có hình bên dưới:

Pix, y)

hinh 2.2

Tìm được mối liên hệ giữa x,y và r,0 như sau:

CO8 = TẾ = —# = # hay x =r.cOsØ Ir —T r

at — yy net

sind = -4 = 4 = © hay y = r.sind

Ir|

Trong cả hai trường hợp có thể thấy:

z2 +2 = rẺ và tan9 = # (xz0)

Như vậy mối liên hệ giữa hệ tọa độ cưc và hệ tọa độ Descartes là:

X = r.cos? va y = r.siné

z2 +2 =rẺ và tan9 = # (xz0)

VD

1/ Trong hệ tọa độ cực cho G (4,8)

Nên trong hệ tọa độ Descartes: G (4cos(2), 4.sin(Z)) hay G (2V3, 2)

2/Trong hệ tọa độ Descartes cho H (1⁄2)

Nên trong hệ tọa độ cực : H(v5; -54,74°) hay H(v3; 305,26°)

* Các ví dụ được vẽ bằng phần mềm Geogerbra

3 Câu 3

3.1 Tong Riemann

Ta đều biết ứng dụng thường dùng nhất của tích phân là để tính diện tích

Trong phần này, ta sẽ cùng đi qua một phương pháp dùng diện tích để tính gần đúng giá trị của tích phân, gọi là tổng Riemanmn Phương pháp này cực kì hữu hiệu

khi ta cần tính tích phân mà không biết chính xác hàm f(x) chỉ biết tập hợp gồm

toạ độ các điểm x và f(x) trong một miền xác định

3.2 Diện tích miền phẳng trong tọa độ cực

Để phát triển một công thức tìm diện tích của một vùng bị giới hạn bởi một đường cong được xác định bởi một phương trình cực bằng tổng Riemamn, đầu tiên chúng ta cần có một công thức cho diện tích một khu vực của một hình tròn

8

Trong đó:

-r là bán kính của vòng tròn

-8 là góc trung tâm của vòng tròn được

AS do b&ng radian

-Công thức này được tính dựa theo việc quan sát diện tích của khu vực đó gấp

sử lần so với khu vực trong vòng tròn,

đó là:

FIGURE 1

The area of a sector of a

circle is A TN:j A= aq Pure = 5770

hinh 3.2.1

3.3 Diện tích miền phẳng giới hạn bởi một đường cong

Ta dat R là khu vực được bao quanh bởi đồ thị của phương trình cực r= f(9)

và các tỉa Ø = œ và Ø = Ø, trong đó f là một hàm liên tục và 0< Ø8 — œ< 3z (như được mô tả ở đồ thị trên) Cho P là một phân vùng trong khoảng [a, đị :

œ = gu <0) < 92 < < On = B

(a) The region # (b) The kth subregion

hinh 3.3.1

Các tỉa 0 = Ø„ chia R thành n phần nhỏ ?ìị, ñạ, ñạ, , R„ của A4i,A4s

A.4„ một cách lần lượt Nến chúng ta chọn một tia #' trong khoảng Í9;_+,0;], sau

đó khu vực của A4; của vùng nhỏ thứ k được bao quanh bởi các tia 8 = Øy_¡ và

0 = 0, giữa cái phần có góc ở tâm và bán kính ƒ(9) xấp xỉ bằng:

Ag = 9

Tém lai, dién tich xAp xi cia ving A trong R được tính bằng công thức:

A=S 7 AA SP [Z2] A9 @)

k=1

Cuối cùng, ta rút ra được từ (2), cách tính diện tích một vùng bi giới hạn bởi

đường cong r= Í{0) đó bằng cách chia nhỏ vùng đó ra bằng các tỉa 0 = a, 0 = Ø thành nhiều phần bằng nhan gọi là tổng Riemann của một hàm số liên tục 3ƒ? trong khoảng [a,b]

Bên cạnh đó, ta thấy điều này luôn đúng, đó là:

A-lim S5 [ƒ(0j)2]A9 = | 3 [#(0)]40

Chú ý: Khi xác định giới hạn của một vùng nào đó, đảm bảo rằng vùng R đó

được quét theo chiều ngược chiều kim đồng hồ bởi những tia bắt đầu từ góc a và kết thúc ở góc Ø

VĐ:Tìm diện tích bao quanh bởi r = 1+sin(2u), với Ú < u < =

10

*Ví dụ được vẽ bằng phần mềm Geogerbra

Áp dụng công thức ở trên ta tính được diện tích được giới hạn là:

J3 #(0)?]40

=f? $ (i+ sin(2u)]Ÿ du

2,2ï

3.4 Diện tích miền phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho một khu vực R được bao quanh bởi hai đường cong của phương trình cực r=f(Ø) và r=g(0) và hai tỉa Ø —= a, Ø = 6, trong đó f9) > g( Ø0) >0 và 0< đØ— œ < 2z Từ đó chúng ta có thể suy ra được ằng khu vực A trong R được tạo ra bằng cách trừ đi diện tích khu vực phía trong của r=g(Ø) từ diện tích khu vực phía trong của r=f{6) Từ định lí phía trên, ta có:

r=q(@)

0 \

FIGURE 6

R is the region bounded by the

graphs of r = f(@) and r = g(@) for

asSé=B8

VD: Tính diện tích miền phẳng được giới hạn bởi hai đường r = 1+sin(x) (a) va r = 1+2sin(x) (b) với (0 < z < 2z ) Biết rằng diện tích được bao quanh bởi đường b và nằm bên ngoài đường a (phần

được tô sọc)

*Ví dụ được vẽ bằng phần mềm geogerbra,

11

, 9 :

a = Cunve((1~sin(x):x) (0 < x < 2z].x

® = (1+sin(x):x)(0<x<2z) vu (0<x

b = Curve((1 + 2 sin(x);x) (0 < x

® 1+2 sin(x);x)(D<x<2x), (0

Ta tìm được giao điểm của 2 đường là x = 0 và x = 7

Ấp dụng công thức ở trên ta tính được diện tích được giới hạn là:

A=4 72 {LF OP — [a Ol} a9

A=3f0 {u + 2sin(a)]? — [L+ sin(x)) dx

Az 4,36

Viết chương trình (bằng phần mềm matlab)

1.Viết chương trình vẽ hình và tính điện tích giới hạn bởi đường cong r= 1+cos(20) với 0 < Ø < Bs Doan Code

12

=) btLm x | btl1.m x | untitledm x | +

/MATLAB Drive/btl._m

1 clc; clear all; close all; A

2 f = @(theta) (1 + sin(2*theta)).^2; _

3 b = 3*pi/4;

4 a= 09;

5 n = 199;

6 value = 9;

7 dx = (b-a)/n;

8 for k= 1:n

9 c = dx*rand + (a + (k-1)*dx);

10 value = value + f(c);

11 end

12 value = (1/2)*dx*value;

13 disp('Dien tich mien phang la:');

14 disp(value)

15 theta = linspace(@, 3*pi/4);

16 figure

17 h = polar(theta, 1 + sin(2*theta), 'r'); -

18 set(h, 'Linehlidth',1.2);

19 title('r = 1 + sin(2\theta)');

29

Kết

quả xuất ra màn hình

blỦmx tim x unffedmx + |* Figuret x +

Tne cles clear all; close all; r= 1 + sin(26)

2 + = @(theta) a + sin(2*theta)).*23 4 90 2

5 n= 100;

7 dx = (b-a)/n;

9 © dx*rand + (a + (k-1)*dx);

19 nL value = value + f(c); end 180 0

ng value = (1/2)*dx*value;

13 đisp('Dien tích mien phang 1a:");

14 disp(value)

1 h = polar(theta, 1 + sin(2*theta), 'r'); =

18 set(h, 'Lineb(1dth" ,1.2);

Command Window

Dien tich mien phang la:

2.2667

»

13

2 Viết chương trình vẽ hình và tính diện tichs giới hạn bởi 2 đường cong r = I-+sin(Ø) và r = 1+2sin(Ø) với (0< Ø < 2z)

Đoạn Code

11

*| btLm x | btit.m x untitled m x | +

‘MATLAB Drive/btl1.m

clc; clear all; close all;

syms theta;

f = @(theta) (1 + sin(theta)).^2;

b = pi;

a= 20;

n = 1000;

= 9;

dx = (b-a)/n;

for k= 1:n

c = dx*rand + (a + (k-1)*dx);

A=A+f(c);

end

A = (1/2)*dx*A;

f = @(theta) (1+2*sin(theta)).^2;

b = pi;

a

n

dx = (b-a)/n;

for k= 1:n

c = dx*rand + (a + (k-1)*dx);

Al = Al + f(c);

end A1 = (1/2)*dx*A1;

area = ( Al - A) disp( ‘Dien tich mien phang can tim la: '}

disp(area);

theta = linspace(9, 2*pi);

figure

h = polar(theta, 1+2*sin(theta), 'r');

set(h, 'Linellidth' ,1.2);

hold on

h = polar(theta, 1+sin(theta), 'b');

set(h, ‘LineWidth',1.2);

legend('r = 1+2*sin(\theta)','r = 1 + sin(\theta)');

14

Két qua xuat ra man hinh

btm btit.m x | untitled m

MATLAB Drive/btlt

1

f = @(theta) (1 + sin(theta)).^2;

b= pls

am;

n = 1008;

A

ax = (b-a)/n;

for k= iin

c = dxtrand + (a + (k-1)*dx);

A-A+ F(0);

end

A = (1/2)*dx*A;

# = @(theta) (1+2*sin(theta)).*2;

b-

-6;

n = 1608;

Al = 8;

dx = (b-a)/n;

for k= lin

c= dxtrand + (a + (k-1)*3x);

Al = Al + f(C);

end

A1 = (1/2)*đx*A1;

area = ( A1 - A)

đisp('Dfen tích mien phang can tím la:

đisp(area);

Command Window

area =

4.3565

Dien tich

4.3565

>»

mien phang can tim la:

ue

Figure 1 x

Kết luận:Đoạn Code của 2 ví dụ trên cho ra kết quả giống với công thức lý thuyết và cho ra hình vẽ của đường cong giống với phần mềm khác(Geogerbra)

TONG KET

Những việc đã làm được

e Hiểu được lý thuyết, định nghĩa về hệ tọa độ cực

e Biết cách xác định 1 điểm trong tọa độ cực Có thể chuyển tọa độ một điểm từ hệ tọa độ Descartes sang hệ tọa độ cực và ngược lại

e Vận dụng được công thức tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi một đường cong

e Có thể sử dụng phần mềm Geogebra, Matlab để vẽ hình, tính toán kết quả

Những việc chưa làm được

e Đoạn code Matlab còn dài, chưa thể nhập giá trị bất kỳ, chỉ tính toán với giá trị cho trước

16

TAI LIEU THAM KHAO

1 Sach Soo T.Tan Single variable -Calculus early transcendentals

2 Phan mém Matlab

3 Phan mém Geogerbra

4 Phần mém Latex

17