Báo cáo bài tập lớn giải tích 2

MỤC LỤC PHẦN LÍ THUYẾT .... Trường Bảo Toàn ..... Cái đó được gọi là "Định luật bảo toàn năng lượng" và nó là lý do trường véc tơ được gọi là trư ng "bảo ờ toàn"... Giúp mọi người hiểu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO T O Ạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO

Giảng viên hướng dẫn: PHAN THỊ M DUYÊN Ỹ

Nhóm: GT2_L20_12 Ngày n p: 23/05/2023 ộ

THÀNH PH H CHI MINH Ố Ồ

2

B ẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

4 Huỳnh An Khang 2211427 Cho ví d v ụ ề trường b o toàn ả

6 Lê Ng c Khánh ọ 2211513 Trình bày v s bề ự ảo toàn năng lượng

Ngày 23 tháng 05 năm 2023

MỤC LỤC

PHẦN LÍ THUYẾT 4

1 B ảo Toàn Năng Lượng 4

2 Trường Bảo Toàn 5

PHẦN BÀI TẬP 6

Câu 10 6

Câu 11 7

Câu 12 8

Câu 13 8

Câu 14 9

Câu 15 9

K ẾT LUẬ .11 N TÀI LI U THAM KHỆ ẢO 11

4

PHẦN LÍ THUYẾT

1 B ảo Toàn Năng Lượng

Chúng ta áp dụng tư tưởng của chương này tới trường lực liên tục F di chuy n mể ột đổi tượng dọc theo đường đi C được cho bởi r(t), a ≤ t ≤b, trong đó r(a) = A là điểm bắt đầu

và r(b) = B là điểm kết thúc của C Được suy ra từ Định luật Newton thứ 2 về chuyển

động, lực F(r(t)) tại một điểm trên C là liên quan t i gia tốc a(t) = r"(t) theo phương trình ớ

F(r(t)) = mr"(t)

Vì th công sinh ra b i lế ở ực tác động lên đối tượng là

W = F*dr = ∫C ∫ 𝐅(𝐫(𝐭)) · 𝐫′(𝐭)𝒂𝒃 dt = ∫ 𝐦𝐫"(𝐭) · 𝐫′(𝐭)𝒂𝒃 dt

= 𝒎

𝟐∫𝒂𝒃𝒅𝒕𝒅 [ r’(t) * r’(t)]dt = 𝒎

𝟐∫𝒂𝒃𝒅𝒕𝒅[|𝒓’(𝒕)|𝟐]dt = 𝒎𝟐 [|𝒓′(𝒕)|2]𝒂= 𝒎

𝟐 (|𝒓′(𝒃)|2 - |𝒓′(𝒂)|2 )

Do đó

[16] W = 𝟏

𝟐 m|𝒗(𝒃)|2 - 𝟏

𝟐 m|𝒗(𝒂)|2

trong đó v = r’ là vận tốc

Đại lượng 1

2 m|𝑣(𝑡)|2 (m t nộ ửa tích c a khủ ối lượng với bình phương vậ ốn t c) đư c gọợ i

là động năng (kinetic energy) của đ i tượng Do đó chúng ta có thể ết phương trình 16 ố vi như sau

[16] W = K(B) - K(A)

nghĩa là công sinh ra bởi trường lực dọc theo C là bằng sự thay đổi động năng tại các mút của C

Bây gi chúng ta hãy ti p t c gi nh r ng F là mờ ế ụ ả đị ằ ột trường b o toàn, tả ức là chúng ta

có th vi t F = ể ế ∇f Trong vật lý, động năng của mộ ốt đ i tượng tại điểm (x, y, z) được xác định là P(x, y, z)= -f(x, y, z), vì thế ta có F = −∇P

Khi đó theo Định lý 2 ta có

W= F*dr = - ∫C ∫C∆P *dr = - [P(r(b)) − P(r(a))] = P(A) - P(B)

So sánh phương trình này với phương trình 16, ta thấ ằy r ng P(A) +K(A) = P(B)+K(B) Điều đó nói lên rằng nếu đối tượng di chuyển từ điểm A tới điểm B dưới tác động của một trường b o toàn, thì t ng c a th ả ổ ủ ế năng và động năng là không đổi Cái đó được gọi là

"Định luật bảo toàn năng lượng" và nó là lý do trường véc tơ được gọi là trư ng "bảo ờ toàn"

2 Trường B o Toàn ả

Trong phép tính vectơ, Trường b o toànả là 1 trường vectơ F có giá trị bằng f ( f là ∇ thế vô hướng của trường F ) Trường b o toàn có tính chả ất là tích phân đường c a nó ủ không ph thuụ ộc vào đường đi, giá trị ủa tích phân đườ c ng c a ủ Trường b o toànả ch ỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cu i ố Các trường th trong v t lý chính là m t vài ví ế ậ ộ

dụ cho Trường bảo toàn:

𝑊 = −∆𝑈

• Thế năng trọng trường: 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ

• Thế năng hấp d n: ẫ 𝑈 = −𝐺𝑀𝑚𝑟

• Thế năng tĩnh điện: 𝑈(𝑟) =4𝜋𝜀1

0×𝑄𝑞𝑟

• Thế năng đàn hồi: 𝑈(𝑥) =12𝑘𝑥2

• Thế năng từ trường: 𝑈 = −𝜇 × 𝐵

PHẦN BÀI T P Ậ

6

Câu 10 Determine whether or not F is a conservative vector field

If it is, find a function such that F = 𝛁𝒇

𝑭(𝒙, 𝒚 = ( 𝐜𝐨𝐬𝐡) 𝒙𝒚 𝒙𝒚+ 𝐬𝐢𝐧𝐡𝒙𝒚)𝒊 + (𝒙 𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐 𝒙𝒚 )𝒋

Bài làm

Xét trường vectơ:

F(x , y) = ( cosh + sinh xy xy xy)i + ( cosh x2 xy)j

Mục đích là xác đ nh xem ị F có bảo toàn hay không, n u có thì tìm m t hàm ế ộ f sao cho F= ∇𝑓 Trường vectơ F bảo toàn khi và chỉ khi tồn tại một hàm vô hướng có độ dốc bằng F

Điều ki n chung quyệ ết định f có tồn t i hay không là ạ

𝜕𝑭 𝑿

𝜕𝑦=𝜕𝑭𝒚

𝜕𝑥

𝜕𝑭𝒙

𝜕𝑦= 𝜕𝜕𝑦(𝑥𝑦cosh( ) + sinh( )) 𝑥𝑦 𝑥𝑦

= 𝑥 𝑦𝑠𝑖𝑛ℎ2 (𝑥𝑦)+ 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥𝑦)+ 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥𝑦)

= 2𝑥 cosh( ) + 𝑥 𝑦 sinh(𝑥𝑦 2 𝑥𝑦)

𝜕𝑭𝒚

𝜕𝑥= 𝜕𝜕𝑥(𝑥2cosh(𝑥𝑦)) = 2xcosh( ) + 𝑥 𝑦 sinh(𝑥𝑦 2 𝑥𝑦)

và miền xác định c a F là ủ ℝ Do 𝜕𝐹 𝑋

𝜕𝑦=𝜕𝐹𝑦

𝜕𝑥 nên F là trường b o toàn t n t i hàm sao cho ả ⇒ ồ ạ 𝑓

∇𝑓 = F

Khi đó:

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = ∫(𝑥2cosh( ))𝑥𝑦 𝑑𝑦= 𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ( ) + 𝐴(𝑥)𝑥𝑦 (1)

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥𝑦) + sinh 𝑥𝑦))𝑑𝑥 ( (

= 𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥𝑦 − ∫ 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥𝑦𝑑𝑥 +1𝑦 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑦 + 𝐵(𝑦) = 𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥𝑦 −1𝑦𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑦 +1𝑦𝑐𝑜𝑠ℎ + 𝐵(𝑦)𝑥𝑦

= 𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑥𝑦)+ 𝐵(𝑦) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 𝑓 𝑥, 𝑦( ) = 𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑥𝑦)+ 𝐶 ( 𝐶 hằ số)là ng là hàm th c a F ế ủ

Câu 11 The figure shows the vector field 𝑭( 𝒙, 𝒚 = < 𝟐𝒙𝒚, 𝒙) 𝟐> and three curves that start at (1, 2) and end at (3, 2)

(a) Explain why ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟𝐶 has the same value for all three curves

(b) What is this common value ?

Bài làm a) 𝜕𝐹𝑥

𝜕𝑦 =

𝜕

𝜕𝑦(2𝑥𝑦)= 2x

𝜕𝐹 𝑦

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥(𝑥2)= 2x

Suy ra 𝜕𝐹 𝑦

𝜕𝑥 = 𝜕𝐹𝜕𝑦𝑥 → F là 1 trường vector b o toàn ả

→ tích phân đường c a F không ph thu c hình dủ ụ ộ ạng đường đi, mà chỉ ph thuụ ộc điểm đầu và điểm cuối

Vì cả 3 đường cong đều có chung điểm đầu và điểm cu i nên giá tr ố ị

∫ 𝐹𝑑𝑟𝐶 s gi ng nhau cho mẽ ố ỗi đường cong

b) Đầu tiên ta tìm m t hàm thộ ế 𝑓 sao cho ∇𝑓 = 𝐹 Ta có:

{ 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 (1) →{𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑥2𝑦 + 𝐴(𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑥2𝑑𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝐵(𝑥)2 →A(y)=B(x)= C là h ng s ằ ố

Do đó, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝐶2 Cả ba đường cong đều xuất phát tại (1,2) và kết thúc tại (3,2) nên:

8

∫ 𝐹𝑑𝑟𝐶 = ∫ 𝛻𝑓𝑑𝑟𝐶 = 𝑓(đ𝑖ể𝑚 ố𝑖) 𝑐𝑢 - 𝑓(đ𝑖ể𝑚 đầ𝑢) = 𝑓(3,2) - 𝑓(1,2) = 3 2 1 2 = 162 – 2

Câu 12-15 (a) Find a function f such that F = 𝛁𝒇 and (b) use part (a) to evaluate ∫ 𝑭 ∙ 𝒅𝒓𝑪 along the given curve C

Câu 12 𝑭( x, y) = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋,

C is the arc of the parabola y = 2𝑥2 from (-1, 2) to (2, 8)

Bài làm

a ) 𝑓𝑥′(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 → 𝑓 𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑥( 2𝑑𝑥 =𝑥33+ 𝐴(𝑦) (1)

𝑓𝑦′(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 = (𝑥33+ 𝐴(𝑦))

𝑦

′

= 𝐴′(𝑦)

→ = 𝑦2 𝐴 (𝑦)′ → A(y) = 𝑦33+ 𝐶 (2)

Từ (1)(2) suy ra f(x,y) = 𝒙 𝟑

𝟑 + 𝒚𝟑

𝟑+ 𝑪 = 𝒙𝟑+𝒚𝟑𝟑+ 𝑪

b ) Ta có: ∫ 𝐹𝑑𝑟𝐶 = ∫𝐶𝛻𝑓𝑑𝑟

= 𝑓(đ𝑖ể𝑚 ố𝑖) − 𝑓(đ𝑖ể𝑚 đầ𝑢) 𝑐𝑢

= 𝑓(2, 8) − 𝑓(−1, 2)

= 2 3 + 8 3

3 -

(−1) 3 + 2 3

3

= 520

3 - 37= 171

Câu 13 𝑭(𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚 𝒊 + 𝒚𝒙 𝒋,) 𝟐 𝟐

C: r(t) = < 𝑡 + sin12𝜋𝑡, 𝑡 + cos12𝜋𝑡 >,0 ≤ 𝑡 ≤ 1

Bài làm

a ) {𝑓𝑥′(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2

𝑓𝑦′(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 → {

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑥𝑦2𝑑𝑥 =𝑥22𝑦2+ 𝐴(𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑥2𝑦𝑑𝑦 =𝑥2𝑦2

2 + 𝐵(𝑥)→ A(y)=B(x)= C là hằng s ố

Do đó 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐𝟐𝒚𝟐+ 𝑪

b ) {∫ 𝐹𝑑𝑟 r(t): 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

r(t): 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

∫ 𝐹𝑑𝑟

𝑐 = 𝑓(𝑟(1)) − 𝑓(𝑟( ))0

r(0) = ( 0 + sin 0; 0 + cos 0 )=(0,1)

r(1) = ( 1 + sin12𝜋; 1 + cos12𝜋 )=(2,1)

∫ 𝐹𝑑𝑟

𝑐 = 𝑓(𝑟(1)) − 𝑓( (0))𝑟

= 𝑓(2; 1 − 𝑓 0; 1) ( ) = 2 122 - 0 2 1

2 = 2

Câu 14 𝑭 𝒙, 𝒚( ) = ( 𝟏 + 𝒙𝒚)𝒆𝒙𝒚𝒊 + 𝒙𝟐 𝒙𝒚𝒆 𝒋,

C: r(t) = cos 𝑡 𝑖 + 2 sin 𝑡 𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤𝜋2

Bài làm:

a ) {𝑓𝑥′(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦(1 + 𝑥𝑦)

𝑓𝑦′(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑒𝑥𝑦

{

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑒𝑥𝑦(1 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 =1𝑦 𝑒𝑥𝑦+ 𝑥𝑒𝑥𝑦−1𝑦 𝑒𝑥𝑦= 𝑥𝑒𝑥𝑦+ 𝐴(𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑦𝑑𝑦 =𝑥𝑥 𝑒2 𝑥𝑦+ 𝐵(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥𝑦+ 𝐵(𝑥)

→ A(y)=B(x)= C là hằng s ố → 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒆𝒙𝒚+ 𝑪

b ) {∫ 𝐹𝑑𝑟 r(t): 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

r(t): 0 ≤ 𝑡 ≤2𝜋

∫ 𝐹𝑑𝑟

𝑐 = 𝑓 (𝑟 (𝜋2)) − 𝑓(𝑟(0)) r(0)=cos(0)i + 2sin(0)j=1.i + 0.j=(1,0)

r(𝜋

2)=cos(𝜋2)i + 2sin(𝜋2)j=0.i + 2.j=(0,2)

→ ∫ 𝐹𝑑𝑟

𝑐 = 𝑓 (𝑟 (𝜋2)) − 𝑓(𝑟(0)) = 𝑓(0,2) − 𝑓(1,0) = 0𝑒2∗0− 1𝑒1∗0= −1

Câu 15 𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒚𝒛𝒊 + 𝒙𝒛𝒋 +( ) (𝒙𝒚 + 𝟐𝒛)𝒌,

C is the line segment from (1, 0, -2) to ( 4, 6, 3)

Bài làm:

a

𝑓𝑥′(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧

𝑓𝑦′(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧

𝑓𝑧′(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 2𝑧

→ { 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ 𝑦𝑧𝑑𝑥 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝐴(𝑦, 𝑧)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫𝑥𝑧𝑑𝑦 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝐵 𝑥, 𝑧( ) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫(𝑥𝑦+ 2𝑧)𝑑𝑧 =𝑥𝑦𝑧+ 𝑧 + 𝐶 𝑥, 𝑦2 ( ) Suy ra {𝐴𝐴(𝑦, 𝑧 = 𝑧(𝑦, 𝑧) = 𝐵(𝑥, 𝑧) = 𝐷(𝑧)) 2+ 𝐶(𝑥, 𝑦)→ {𝐶(𝑥, 𝑦) = 𝐶 𝑙à ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố𝐴(𝑦, 𝑧 = 𝐵 𝑥, 𝑧 = 𝑧) ( ) 2

Vậy nên: 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒚𝒛 + 𝒛 + 𝑪) 𝟐

b ) Ta có ∫ 𝐹𝑑𝑟𝐶 = ∫𝐶𝛻𝑓𝑑𝑟

10

= 𝑓(đ𝑖ể𝑚 ố𝑖) − 𝑓(đ𝑖ể𝑚 đầ𝑢) 𝑐𝑢

= 𝑓(4,6,3) − 𝑓(1,0, −2)

= 4.6.3 + 3 − (0 + (−2)2 2)

= 72 + 9 − 4 = 77

⇒ ∫ 𝐹𝑑𝑟

KẾT LUẬN

Về ph n lý thuy t, ầ ế thông qua tìm hi u ph n lí thuyể ầ ết được giao các thành viên trong nhóm

đã tự tìm hi u thêm v i lí thuy t c a phể ớ ế ủ ần Bảo toàn năng lượng và Trường bảo toàn Giúp

mọi người hiểu rõ ràng đầy đủ và mở rộng thêm Phần trình phần lí thuyết của nhóm tự nhận xét đã đầy đủ, chi tiết nhưng chưa có nhiều sự sáng tạo và điểm mới

Về ph n bài t p, ầ ậ Thông qua các bài tập được hoàn thành góp ph n áp d ng các lí thuy t ầ ụ ế được học và hiểu sâu hơn nữa Phần bài tập tự nhận xét các thành viên hoàn thành tốt bà tập được giao

Đánh giá chung, các thành viên hoạt động năng nổ nhiệt tình và thảo luận về bài báo cáo

được giao cho

TÀI LI U THAM KH O Ệ Ả

1 Giáo Trình Gi i Tích 2ả , Nguyễn Đình Huy, Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn

Bá Thi, Tr n Ng c Diầ ọ ễm, Đậu Th Phi t NXBDHQG 2018 ế ệ

2 James Stewart, Calculus Early Transcendentals, 7E, Thomson Brooks/Cole, 2008