Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Đề tài 13 Định lý divergence

CƠ SỞ LÝ THUYẾT- Định lý Divergence hay còn gọi là Divergence Theorem hoặc Gauss’s Theorem là một trong những công cụ quan trọng trong lĩnh vực tích phân, đặc biệt là trong lý thuyết cổ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH

KHOA

···☼···

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Môn: Giải tích 2

Đề Tài 13:

ĐỊNH LÝ DIVERGENCE

GVHD: Đào Huy Cường Lớp: L02 Nhóm thực hiện: Nhóm 13

Thành phố Hồ Chí Minh – 5/2024

STT Họ và tên Nhiệm vụ MSSV

1 Võ Hoài Phúc Làm nội dung 2312730

2 Trần Tiểu Phục Không tham gia 1914725

3 Huỳnh Thuỵ Yến Phương Làm nội dung 2312741

4 Đỗ Việt Quân Làm nội dung 2312820

5 Trương Đình Quân Làm nội dung 2312858

6 Trần Văn Kiến Quốc Thuyết trình 2312858

7 Trương Quang Quý Viết báo cáo 2312902

M Ụ L C C Ụ

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ DIVERGENCE 4

1 Bài tập 1 4

2 Bài tập 5 4

3 Bài tập 7 4

4 Bài tập 9 5

5 Bài tập 13 5

6 Bài tập 15 7

7 Bài tập 19 8

8 Bài tập 20 8

9 Bài tập 23 9

10 Bài tập 32 9

CHƯƠNG III TÀI LIỆU THAM KHẢO 11

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

- Định lý Divergence ( hay còn gọi là Divergence Theorem hoặc Gauss’s Theorem) là một trong những công cụ quan trọng trong lĩnh vực tích phân, đặc biệt là trong lý thuyết cổ điển về phương trình Maxwell trong vật lý Đây là một trong những định lý

cơ bản của giải tích vector

- Định lý này kết nối giữa tích phân của divergence của một vector field qua một không gian bề mặt đóng với tích phân của vector field đó trong một không gian thể tích mở chứa bề mặt đó Cụ thể, định lý Divergence cho rằng:

Giả sử V là một vùng mở bị chặn bởi một bề mặt đóng S với vector trường

F=(F1, F , F2 3) liên tục trên V Khi đó tích phân của divergence của F trên V bằng tích phân của F trên S, tức là:

∭

V

∇ F dV=∬

S

Fn d S

- Trong đó:

 ∇ F là divergence của , là tổng các đạo hàm riêng của thành phần của theo từngF F

biến số

 n là vecto pháp tuyến ra ngoài của bề mặt S

 dV và dS là các phần tử thể tích và phần tủ diện tích trên và tương ứngV S

- Định lý Divergence có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ vật lý lý thuyết đến

xử lý hình ảnh và thậm chí trong lĩnh vực tài chính

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ DIVERGENCE

1.Bài tập 1: Chứng minh rằng định lý phân kỳ đúng với trường vector F trên miền E

F ( x , y , z)=3 xi+xyj+2 xzk ,

Giải

∬

S

FdS=∬

S

3d y d z+∬

S xdzdx+∬

S

2xdxdy

¿ 3∫

0

1

dx∫

0

1

dy+∫

0

1

dz∫

0

1

xdx+∫

0

1

dy∫

0

1

2xdx

¿92

∭( 3+x +2 x)dV =∭( 3+3 x)dx=92

Định lý phân kì đúng với vector F trên trường E

2 Bài tập 5: Sử dụng định lí phân kì để tính tích phân của mặt ∭

S FdS; tức là, tính thông lượng của F qua S

F ( x , y , z) =e x

sinyi +e x

cosyj + y z2

k ,

S là bề mặt của hình hộp được giới hạn bới các mặt phẳng x =0 , x=1 , y=0 , y=1 , z=0, và

z=2

Giải

divF=∂ (e

x

siny)

∂ x +∂ (e

x cosy)

∂ y +∂ ( y z

2

)

∂ z

¿e x

siny+(−e¿¿x siny)+ 2yz¿

¿ 2yz

I=∫

0

1

∫

−1

0

∫

0

2

2yzdxdydz=2

3 Bài tập 7: Sử dụng định lí phân kì để tính tích phân của mặt ∭

S FdS; tức là, tính thông lượng của F qua S

F ( x , y , z) =3 xy2

i +ze z

j +z3

k ,

S là bề mặt của khối rắn được giới hạn bới hình trụ y2

+z2

=1 và mặt phẳng x=−1

và x=2

Giải

¿F=∂ (3 x y

2

)

∂ x +∂ (x e

z)

∂ y +∂ (z

3

)

∂ z

¿ 3y2

+0+3 z2

¿ 3( y2

+z2

)

∭

E

divFdV=∭

E

3( y2

+z2

)dV

Đặt{y =rcos

z =rsin

→ I=∫

0

2π

dα∫

0

1

dr∫

−1

2

3r2

dx

¿9π

2

4 Bài tập 9: Sử dụng định lí phân kì để tính tích phân của mặt ∭

S FdS; tức là, tính thông lượng của F qua S

F(x , y , z)=xysinzi+cos (xz) j+ ycoszk ,

S là ellipsoid x

2

a2 +y

2

b2 +z

2

c2 =1

Giải

¿F=∂ (xysinz )

∂ x +∂ cos (zx)

∂ y +∂ ( ycosz)

∂ z

¿ysinz+(− ysinz)+0

¿ 0

→ I=∭

E

5 Bài tập 13: Sử dụng định lí phân kì để tính tích phân của mặt ∭

S FdS; tức là, tính thông lượng của F qua S

F ( x , y , z) =4 x3

zi +4 y3

zj +3 z4

k ,

S là mặt cầu có bán kính R có tâm tại gốc toạ độ

Giải

divF =12 z x2

+12 z y2

+12 z3

S

FdS=∭

E

divFdV=∭

E

(12 z x +12 z y +12 z )dV

I=∭

E

(12x2

+12 y2

)zdV+∭

E

12z3

dV

Đặt{A=∭

E

(12x2

+12 y2

)zdV

B=∭

E

12z3

dV

A=∭

E

(12x2

+12 y2

)zdV

Đặt{x = ρ sinθcosφ

y = ρ sinθsinφ

z =ρ cosθ

A=∫

0

2π

dα∫

0

π

dθ∫

0

R

12p2

sinθ (p2

sin 2 cos sin sin

θ 2

φ + p2 2

θ 2

φ ) pcosθdp

¿∫

0

2π

dα∫

0

π

dθ∫

0

R

12p2

sinθ p2

sin 2

θ pcosθdp

¿∫

0

2π

dα∫

0

π

dθ∫

0

R

12p5

sin 3

θ cosθdp

¿∫

0

2π

dα∫

0

π

12 sin 3

θ cosθ R

6

6 dθ

¿ 2R6

∫

0

2π

dα∫

0

π

sin3θ cosθdθ

¿ 2R6

∫

0

2π

dα∫

0

π

sin 2

θ sinθ cosθdθ

¿ 2R6

∫

0

2π

dα∫

0

π

1−cos 2θ

2 sinθ cosθdθ

¿ 2R6

∫

0

2π

dα∫

0

π

sin 2θ −sin2θ cos 2 θ

4 dθ

¿ 2R6

∫

2π

dα∫π(sin 2θ

4 −sin 48 θ)dθ

¿ 2R6

∫

0[ (−cos 2 π

8 +cos 28 π)−(−cos 4 π

32 +cos 432π) ]dα

¿ 2R6

∫

0

2π

(0−0)dα=0(1)

B=∭

E

12z3

dV

¿ 12∫

−R

R

dx ∫

− √R2− x2

√R2−x2

dy ∫

− √R 2−x2− y2

√R 2− x2 −y2

z3

dz

¿ 3∫

− R

R

dx ∫

− √R2

− x2

√R2

−x2

[(√R2

−x2

− y2)4

−(−√R2

−x2 y

− 2)4

]dy

¿ 3∫

− R

R

dx ∫

− √R2− x2

√R2−x2

0dy=0(2 )

Từ (1) và (2) I = A+B=0

6 Bài tập 15: Sử dụng định lí phân kì để tính tích phân của mặt ∭

S FdS; tức là, tính thông lượng của F qua S

F ( x , y , z)=e y

tanzi + y√3−x2

j + xsinyk ,

z =2−x4

− y4

, −1≤ x ≤1,−1≤ y ≤1

Giải

divF=∂ (xysinz)

∂ x +∂ ( y√3−x2

)

∂ y +∂ (xsiny )

∂ z

¿ 0 +√3−x2 0

+ =√3−x2

→ I=∫

−1

1

dx∫

−1

1

dy ∫

0

2− x4− y4

√3−x2

dz=341√2

60 +81

20acrsin 1

√3

s

FdS=341√2

60 +2081acrsin 1

√3

7 Bài tập 19: Một trường vector F được biểu diễn Sử dụng cách hiểu về phân kỳ đã được

trình bày trong phần này để xác định liệu div F là dương hay âm tại P và P

Tại P vector F hướng vào div F âm1 

Tại P vector F hướng ra div F dương2 

8 Bài tập 20:

hình? Giải thích dựa hoàn toàn vào hình ảnh

của bạn cho phần (a)

Giải

(a) Vector kết thúc ở gần P1 có chiều dài ngắn hơn vector bắt đầu ở gần P1 P1 nguồn

Vector kết thúc ở gần P2 có chiều dài dài hơn vector bắt đầu ở gần P2 P2 hố (b) F (x , y ) =F(x , y2

)

¿F=∂ x+∂ ( y

2

)

=1+2 y

Giá trị y tại P1 dương¿F > 0→ P1 nguồn

Giá trị y tại P2 ←1→÷F<0→P2 hố

9 Bài tập 23: Chứng minh rằng ¿E=0 đối với điện trường E ( x )= εQ

|x|3x

Giải

¿E =εQ F÷



(√x2

+ y2

+z2)3

→ E (x ) = εQ (xi yj zk+ + )

(√x2

+ y2

+ z2)3

¿F= ¿(f G)=∇ f G+f ÷G

(√x2

+ y2

+ z2

)5( xi yj kz+ + ) ( xi yj kz+ + )+ 1

(√x2

+ y2

+z2

)3

¿−3(x2

+ y2

+ z2

)

(x2

+ y2

+ z2

)

(x2

+ y2

+ z2

)

3

¿ 0

→ ÷F=0

→ ÷E=0

10 Bài tập 32: Một khối rắn chiếm một vùng E với bề mặt và được ngâm trong chấtS

phần 6.5) Lực đẩy tổng cộng lên khối rắn do sự phân bố áp suất được cho bởi tích phân mặt

F=−∬

s pndS

Archimedes: lực đẩy lên trên một vật bằng trọng lượng của chất lỏng bị chiếm chỗ

S

f ndS=∭

E

∇ fdV

→ F=−∬

n

p ndS=−∭

E

∇ pdV

(Kết quả của bài 31)

∇ p=∂ p

∂ x i+Δ p

Δ y j+∂ p

∂ z k

¿ 0i +0 j+ ρgk

¿ρgk

→ F=−∭

E

∇ pdV

E

dV

¿−ρgk V

V

W =P=mg

→ mgk− =−Wk=F(điều phải chứng minh)

Tổng kết

Trên đây là bài giảng của nhóm em khi áp dụng định lí Divergence Với sự phân công, chuần bị kĩ lưỡng và cố gắng hết mình, nhóm em đã hoàn thành đề tài được giao Những điều nhóm đã đạt được:

- Hiểu rõ hơn về định lí Divergence, cũng như biết thêm về một công cụ dùng để tính tích phân

- Trau dồi kỹ năng học tập và làm việc nhóm, đồng thời nâng cao tinh thần trách nhiệm

và thắt chặt tình đoàn kết của các thành viên trong nhóm.

Tuy nhiên cũng có những điều mà nhóm em chưa đạt được:

- Do chưa có nhiều kinh nghiệm, bài báo cáo vẫn chưa thực sự hoàn chỉnh và có thể có một vài sai sót nhỏ về cách trình bày

CHƯƠNG III TÀI LIỆU THAM KHẢO

James Stewart, Calculus Early Transcendentals, 6e, Thomson Brooks/Cole, 2008