Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 hàm vector (hàm một biến có giá trị vector

Trình bày về độ cong và độ dài cung của đường cong: định nghĩa, ý nghĩa, cách tính.. Trình bày về vận tốc và gia tốc của một chuyển động có hàm vi tri rt.. Bài làm: 1.1 Định nghĩa: Ham v

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH

TRUGNG DAI HOC BACH KHOA

G

eo

BAO CAO BAI TAP LON GIAI TICH 2

HAM VECTOR (HAM MOT BIEN CO GIA TRI VECTOR)

NHÓM L15 - 22

TP.HCM, 5-2024

Nội dung câu hỏi

Hàm vector (Hàm một biến có giá trị vector) Tham khảo: Soo T Tan - Multivariable Calculus -Brooks Cole (2009), chucng 12

1 Trinh bay dinh nghia ham vector

2 Trình bày về đạo hàm hàm vector: định nghĩa, ý nghĩa, cách tính

3 Trình bày về độ cong và độ dài cung của đường cong: định nghĩa, ý nghĩa, cách tính

4 Trình bày về vận tốc và gia tốc của một chuyển động có hàm vi tri r(t) Viết một hàm vector mô tả giao tuyến của ellipsoid # + ÿ + s = lvà trụ

y — +z° Dùng một phần mềm hoặc một ứng dụng để vẽ giao tuyến này (cho phép nhập a, b, c Mô phỏng chuyển động của một chất điểm trên giao tuyến Tại mỗi vị trí, vẽ các vector vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến Yêu cầu vẽ luôn 2 mặt cong tạo ra giao tuyến, chọn định dạng làm nổi bật

1 |2313034| NGUYÊN THANH | TÂM

2 |2210590| NGUYÊN VĂN | DŨNG

3 | 2311630 | NGUYEN VO ANH | KHOA

Nhận xét và chầm điểm của giáo viên

Muc luc

1 Trình bày định nghĩa hàm vector

Bài làm:

1.1 Định nghĩa:

Ham vector là một hàm toán học của một hoặc nhiều biến với miền giá trị của

nó là một bộ của những vectơ đa chiều hoặc những vectơ chiều vô hạn Hàm vectơ

là một hàm xác định trên một tập nào đó của trục số thực và giá trị của hàm là

một vecto

Một ví dụ phổ biến của hàm vecto là hàm F(t), ma ứng với mỗi giá trị thực ¢, giá trị của hàm z là một vectơ trong không gian ba chiều Dưới dạng vectơ đơn vị chuẩn ?, 7, k của hệ trục tọa độ Decartes, những trường hợp của hàm được biểu diễn một cách tổng quát nhu sau:

rữ) = (70) gứ).h()) = f0)? + g0) + hữ)#

( Một hàm có dạng r( r{ = f(t) y? + g(t )ÿ hoặc r(f) = f(t i +g(t)7 ‡) j + hít )# là mot ham vectØ, trong đó hàm “hanh phần f,g va h là các Of am giá trị thực sự của tham số t Các hàm giá trị vecbơ đôi khi được biểu thị như r(#) = (ƒ(),ø)) hoặc r(f) = (f(t), g(t), h(t)) Trong dé, các hàm thanh phan f(t), g(t) va h{£) là các hàm

số một biến số thực, còn 3, 7 và # là các vectơ đơn vị tương ứng với các trục #,1

Theo quy ước thông thường, miền của bao gồm tat cA cdc gid tri cla t mA biéu thức cho F(t) được xác định Các biểu thức được xác định khi £ — 0, do đó miền

D là khoảng £ € (3;+œ) Giới hạn của hàm vectơ được xác định bằng cách lấy các giới hạn của các hàm thành phần của nó như sau:

lim 7 (t) = (lim f(t), lim g(t), lim Ẳ))

Một hàm vectơ zÈ() liên tục tại a néu lim ? (t) = r(a) Ching ta nhan thay ring

ch

T(t) lién tuc tai a khi va chi khi cAc hAm thanh phan f,g,h lién tuc tai ạ Ngoai

ra, còn có mồi liên hệ giữa hàm vectơ liên tục và đường cong trong không gian Giả

sử ƒ,ø và h là các hàm số một biến số thực cùng liên tục trong miền Ị Khi đó tập

€ gồm tất cả các điểm (z,ø,z) trong không gian với: z = ƒ(f);y = øŒ);z = h() khi

£ biến thiên trong miền I được gọi là đường cong trong không gian (space curve) Nếu ta cơi ?(£) = <ƒ(f),ø(#),h(£)> thì 7Ì@) chính là vectơ ứng với điểm

P(ƒŒ),sŒ).,h(®) trên đường cong © Do đó mọi hàm vectơ liên tục xác định một đường cong trong không gian

2_ Trình bày về dao ham hàm vector: định nghĩa, ý nghĩa, cách tính

AB Khi At 3 0,B— Avà Ô 70 tiến dần tới vectơ tiếp tuyến với đường cong tại

A, theo nghĩa tương tự như đối với đường cong trong mặt phẳng Dé chính xác hóa khái niệm này đối với đường cong trong không gian 3 chiều, người ta thường định nghĩa vectơ tiếp tuyến với đường cong tại 4 là vectơ cùng phương với ƒ“Œ)

(Hình 2)

Vi du:

—>

Cho ƒ () = (cost, sint, 0) là hàm vectơ từ / vào #9 Tập ảnh là đường tròn đơn

vị trên mặt phẳng Øz Ta có f’(t) = (—sint,cost,0) Day 1A hudng tiép tuyén véi dung tron tai moi diém (cost, sin t,0), t € R

2.3 Cách tính:

Dinh ly:

Ham vécto F(t) = ƒfiŒ) 7 + 2Œ) 7 + faŒ).k khả vi khi các hàm thành phần

fi fa, fg déu kha vi và trong trường hợp này:

Độ cong của một đường cong là « = ar , VỚI T là véc tơ tiếp tuyến đơn vị

Uy nghia:

Độ cong cho biết mức độ và cách mà đường cong bị nến cong tại một điểm

cụ thể Nó rất quan trọng trong việc nghiên cứu hình học vi phân và các ứng dụng như thiết kế đường cong trong đồ họa máy tính, cơ học, và các lĩnh vực khác

trong dé 7/(t) là đạo hàm bac nhat va 7’”(t) là đạo hàm bac hai cia 7 (t)

Độ cong trong không gian 2 chiều có công thức :

4_ Trình bày về vận tốc và gia tốc của một chuyền động có hàm

Vì # là tốc độ thay đổi của khoảng cách ( được đo theo cung ) theo thời gian,

nó đo lường được tốc độ của máy bay Do đó, vector ' (?) cho ta biết được cả tốc

độ lẫn phương hướng của máy bay Nói cách khác, điều đó hoàn toàn hợp lí khi định nghĩa vector vận tốc của máy bay tại thời điểm # là 7 (t) Tuong tu, ta dinh nghĩa vector gia tốc của máy bay tại thời điểm ¿ là r?”{) - tốc độ thay đổi vector vận tốc theo thời gian

Lúc này, £ là một số cố định còn h là một số có giá trị nhỏ Vector 0) tiếp tuyến với quỹ đạo bay tại đỉnh của vector '? (£), còn vector 7”(+h) tiếp tuyến với quỹ đạo bay tại dinh cia vector P(t +h)

T”(EEh)— r?”

Vector i Ứ) chỉ vào hướng mà máy bay đang rẽ

13

0) = T0) = f0) Ÿ + g0 + (0#

=>

k

14

V202 — 24£ + 10

t 0.6 h’(t) | -0+4+

Vậy vật đạt tốc dé nhé nhat tai t = 0,6

Bài làm:

Tìm giao tuyến của ellipsoid và trụ:

Thay y = x? vao phương trình của ellipsoid, ta có:

a l-a-pr? =€ —= ©z_-+dec I—sTm

Giao tuyến là một đường cong 3 chiều, có thể được mô tả bằng hàm vector:

t Các vector vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến tại mỗi điểm trên giao tuyến:

(a) Vector vận lốc:

Vector vận tốc là đạo hàm bậc nhất của hàm vector 7 ():

dr

ZG (t) = — UO) =e Tính từng thành phần của 7°):

(b) Gia tốc tiếp tuyến:

Để tìm gia tốc tiếp tuyến, ta đạo hàm của #() theo í:

av

tf) =

(OF Tính từng thanh phan ctia @,(t):

Tìm giao tuyến của ellipsoid va tru:

Thay = z2 vào phương trình của ellipsoid, ta có:

Tạo các đường cong d1 và d2:

di=Curve((t,t^(2),c sart(1-(Ct^(2))/(a^(2)))-C(t^(4))/@^(2))))), t,-sgrt(C(C(-b^(2))/(2 a^(2)))+(Œ^(2))/(2)) sart(((1)/(a^(4)))+

((4)/(b*(2))))) ,sqrt (((-b7 (2) ) /(2 a7 (2))) +0067 (2) /(2)) sqrt (( (1) / (a7 (4)))+((4)/(b7 (2))))))

d2=Curve ((t,t7*(2),-c sqrt(1-C(t^(2))/(a^(2)))-(C(t^(4))/b^(2)))))

»t,-sqrt (((-b7(2))/(2 a7 (2)))+((b7(2)) /(2)) sart(C((1)/(a^(4)))+((4) / (b* (2) )))) , sqrt (C(-b* (2))/(2 a> (2))) +0067 (2)) /(2)) sqrt (C1) / (a7 (4))) +((4)/(b7(2))))))

Tạo các thanh trượt t1 và t2 và các điểm Al va A2 trén đường cong:

t = 851ider(-sqrt(((-b^2)/(2a^2))+(b^2/2)*sqrt((1/a^4)+(4/b^2))), sqrt (((-b72) /(2a72) )+(b7 2/2) *sqrt ((1/a74) +(4/b72))), 0.01)

A1B1=Vector(A1,B1)

v2=Curve((1,2 t,=c sqrt(1-(€(t^(2))/(a^(2)))-(C(t^(4))/Œ^(2)))))

;t,=sqrtCC(-b^(2))/@ a^(2)))+£Œœ^(2))/(2)) sqrt(((1)/(a^(4)))+ C()/@^(2))))),sart((C(-b^(2))/(2 a^(2)))+(Œœ^(2))/))

Cét^(2))/(a^(2)))-(CŒ^(4))/b^(2))))))),CCCŒc t (C1)

+((c^(2 (((t)/(a^(2)))+(Œ@ t^(3))/b^(2))))^(2)))/Œ-(C€t^(2))

/€a^(2)))-(CŒ^(4))/@^(2))))))),(C@)/(1+4 t^(2)+((c^(2 (C(t)

/(a^(2)))+(@ t^(3))/(b^(2))))^(2)))/(1-C(t^(2))/(a^(2)))

~C€t^(4))/Œ^(2)))))))),t,-sart(C(b^(2))/2 a^(2)))+C@œ^(2))/@)) sgrt(C(Œ)/(a^(4)))+((4)/^(2))))),sqrtC(C(-b^(2))/ a^(2)))+

Hình 3: Hình 1 có thêm đường gia tốc tiếp tuyến va vector gia toc tiếp tuyến

Z¬

TONG KET

Đạt được:

E Hoàn thành Bài tập lớn đúng hạn

tÌ Biết áp dụng những kiến thức được trang bị trên lớp để ứng dụng vào Đề tài

VÌ Hiểu về các định nghĩa và đặc trưng của hàm vector

VÌ Biết ứng dụng hàm vector để giải quyết các bài toán, vấn đề được đặt ra

VÌ Biết cách giải quyết bài toán đưa ra và mô phỏng hình ảnh bằng các phần mềm, ứng dụng hỗ trợ

tÌ Biết sử dụng Latex, Geogabra để hỗ trợ cho việc trình bày bài báo cáo

VÌ Biết sử đụng một số phương pháp nghiên cứu khoa học phù hợp để thu thập và phân tích dữ liệu ứng dụng vào đề tài

Chưa đạt được:

Nhóm chưa có kinh nghiệm làm việc nhóm nên đồi khi còn gặp khó khăn trong việc phối hợp làm việc, chưa có cơ hội trao đổi và thảo luận sâu các vấn đề được đặt ra

VÌ Một số thành viên trong nhóm còn gặp khó khăn trong việc phân chia công việc, phối hợp làm việc và giải quyết các vấn đề phát sinh

v Một số thành viên trong nhóm còn chưa chủ động trong việc tìm kiếm thông tin, nghiên cứu và hoàn thành nhiệm vụ được giao

b Chưa biết nhiều về ứng dụng của hàm vector trong thực tiễn

EÌ Bài cáo cáo vẫn còn nhiều sai sót về mặt lý thuyết, có thể chưa hoàn toàn chính xác, hy vọng thầy cô và các bạn góp ý để bài báo cáo được hoàn thiện hơn TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Soo T Tan - Multivariable Calculus -Brooks Cole (2009), chuong 12

2 Vector Function - Multivariable Calculus, 7th James Stewart

3 The not so Short Introduction to LaTeX, Vietnamese edition

4, Vector Functions

5 Calculus with Vector Functions

26