Việc vẽ thêm Đường phụ trong giải bài toán hình học phẳng và mô hình hóa toán học

Một số kỳ thuật vẽ thêm đường phụ thường sử dụng trong việc giải các bài toán hình học phẳng ở chương trình Toán 7, Toán 8 và Toán 9.. Để trả lời câu hỏi trên, chúng tôi bắt đầu tm hiểu

BO GIAO DUC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHÍ MINH

'Trần Nguyễn Phương An

VIEC VE THEM DUONG PHU TRONG GIAI

BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẢNG VÀ MÔ HÌNH

HÓA TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2021

BO GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHÍ MINH

'Trần Nguyễn Phương An

VIEC VE THEM DUONG PHY TRONG GIAI

BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẢNG VÀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGUOI HUONG DAN KHOA HOC:

TS TRAN ANH DUNG

“Tôi xin cam đoan luận văn nảy là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự

hướng dẫn của TS Trần Anh Dũng, các trích dẫn được trình bảy trong luận văn

hoàn toàn chính xác và đáng tin c

“Tác giả Trần Nguyễn Phương An

ắc đến TS Trần Anh Dũng, GVHD của tôi, người đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn của Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

mình một cách tốt nhất

Toi xin chân thành cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS

Lê Văn Tiến, PGS TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Tăng Minh Dũng đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý trong suốt quá trình tôi tham gia học tập và hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn:

+ Ban lãnh đạo và các thầy cô Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - tin học Trường Đại học Sư phạm

TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa

quá tình tôi tham gia khóa học Thạ

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tha thiết đến gia đình, các anh

chị em bạn bè,

ng nghiệp đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ, chia sẻ và

đồng hành cùng tôi trong suốt quá trình học tập

Trin Nguyễn Phương An

2.1 Một số kỳ thuật vẽ thêm đường phụ thường sử dụng trong việc giải các

bài toán hình học phẳng ở chương trình Toán 7, Toán 8 và Toán 9

2.2 Một số bài toán thực tế được xâ

32.1 Các bài toán thực nghiệm

Từ viết tắt it day di

chương trình giáo dục phổ thông mới đó là:

Chương trình giáo dục phổ thông bảo đảm phát triển phẩm chất và năng lực người học thông qua nội dung giá dục với những kiến thức, kĩ năng

cơ bản, thiết thực, hiện đại bài hoà đức, tr, thể, mĩ; chú trọng thực hành,

vân dụng kiến thức, kĩ năng đã học để giải quyết vẫn để rong học tập và đời sống

(Bộ Giáo dục và Dào to, 201845)

Đặc biệt ở mục V Định hướng nội dung giáo dục, phần Giáo dục toán học có

Giáo dục toán học góp phẳn hình thành và phát triển cho học sinh các

phẩm chất chủ yễu, năng lực chung và năng lực toán học bi hiệp tập toán học, mô hình ho toán hộc, giải quyết vẫn đ toa hoe, giao tgp ton học, sử dụng các công cụ và phương tiện họ toán phát iển kiến th,

trải nghiệm vận dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế

Với hình hoc THCS, việc vẽ thêm đường phụ để giải quyết các bài toán

trong hình học phẳng là vẫn để bản thân tôi cảm thay rit hip dẫn Có rắt nh

đường phụ để tính toán, đo đạt là việc cần thiết và xuất

hiện khá thường xuyên Ở THCS, kỹ thuật "vẽ thêm đường phụ” có xuất hiện

trong thực hành giải các bài toán thực tế hay không? Để trả lời câu hỏi trên, chúng tôi bắt đầu tm hiểu sơ lược SƠK Toán 7, š và 9 hiện hành, chúng tôi

nhận thấy rằng số lượng các bài toán thực tế mà khi giải

ân vẽ thêm đường

phụ có xuất hiện trong nội dung SGK Toán 7, 8 và 9 tuy nhiên số lượng là khá

it, Điều đó dẫn đến thực tế là học lh thiếu kỳ năng vận dụng kỹ thuật vẽ thêm đường phụ khi giải quyết vấn đề Để giúp học sinh thay được mỗi liên hệ giữa

toán học và thực tẾ, người ác tình huống giúp học sinh

có cơ hội trải nghiệm, vận dụng toán học để giải quyết các vấn đẻ 'Nhắc đến các bài toán thực tế không thể không nhắc đến mô hình hóa

và mô hình hóa toán học cũng là một trong những năng lực được chú trọng phát

thực tế mà khi giải cần vẽ thêm đường phụ từ các bài toán toán học thuần túy

trong SGK ? Chúng ta có thể xây đựng thêm các bài toán thực trong SGK hay không ?

Những câu hỏi trên đã dẫn dắt chúng tôi đến hướng nghiên cứu vẻ tính

có yêu cầu vẽ thêm đường phụ và mô hình

khả thĩ của việc liên kết các bai toa

hóa toán học

1.2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu:

Chúng tôi bắt đầu tìm kiếm những kết quả nghiên cứu có liên quan

dung vẽ thêm đường phụ trong giải toán hình học phẳng và mô hình

hóa để làm cơ sở cho đề tài,

"Với các nghiên cứu sau:

- Nguyễn Thị Nga (2014), Dạy học mô hình hóa toán học ở bậ trùng học,

đề tài khoa học công nghệ cắp trường, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hỗ

Chí Minh

~ Lê Thị Hoài Châu (2014), *Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo

- Đoàn Công Thành (2015), *Mô hình hóa tong day học khái niệm vectơ

ở hình học lớp 10”

Các tác giả đều đưa ra khái niệm về mô hình hóa toán học, sơ đồ và quá

trình mô hình hóa Nhìn chung các tác giả đều cho rằng mô hình hóa toán học

là quá trình chuyển vấn đề thuộc lĩnh vực ngoài toán học thành vấn để của toán học, rồi sử dụng các công cụ toán để tìm câu trả lời cho vấn để được đặt ra ban đầu và quá trình mô hình hóa gồm bốn bước chính

Với nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Nga (2014), Day học mô hình hóa toán học ở bậc trung học, đề tài khoa học công nghệ cấp trường, Trường Đại

học Sự phạm Thành phố Hồ Chí Minh, sau khi tình bảy cơ sở lý luận về mô

hình hóa tác giả còn so sánh vấn để day học mô hình hóa với chủ đề hàm số lượng giác ở Việt Nam và Pháp

'Với nghiên cứu của tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) *Mô hình hóa

tình mô hình hóa

trong dạy học khái niệm đạo him”, tác giá sử dụng sơ đồ quá

khái niệm đạo hàm và các nghĩa khác nhau của khái niệm đạo hàm và từ đó xây dựng thực nghiệm

Với nghiên cứu của tác giả Đoàn Công Thành (2015), *Mô hình hóa

trong day học khái niệm vecto ở hình học lớp 10° Tác giả dành hẳn chương 1

để trình bày tổng quan một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học Tác

trình bày trong luận văn của mình Phần tiếp đó tác giả Tác giả phân tích mối

liên hệ giữa mô hình hóa với khái niệm vectơ trong SGK Hình Học 10 hiện

học khái niệm vectơ gắn với mô hình hóa

1.3 Lợi ích và tính cần thiết thực hiện đề tài

2 PHẠM VI LÍ THUYẾT THAM CHIẾU

Để làm rõ các vấn đề nghiên cứu, chúng tôi vận dụng các yếu tổ của Didacúe Toán Cụ thể là:

~Thuyết nhân học: thông qua các tổ chức toán học, chúng tôi tiến hành

phân tích các bài toán cần vẽ thêm đường phụ ở SGK Toán 7, Toán 8 và Toán

9, để thấy sự xuất hiện của mô hình hóa trong các bài toán thực tế có nội dung

hình học nói chung và các bà ~ Lý thuyết tì th huồng để xây dựng một tiểu đồ án dạy học giúp học sinh 'm đường phụ nói riêng

có thể vận dụng việc vẽ thêm đường phụ để giải các bải toán hình học phẳng

vẽ thêm đường phụ trong SGK Toán 7, SGK Toán 8 và SGK Toán 9

4 MỤC TIÊU VÀ CÂU HÔI NGHIÊN CỨU

4,1 Mục tiêu nghiên cứu

XXây dựng một tiểu đồ án day học vận dụng việc vẽ thêm đường phụ để

giải các bài toán hình học phẳng gắn với mô hình hóa

4.2 Câu hỏi nghiên cứu

“Trong khuôn khổ phạm vi va lí thuyết đã lựa chọn, chúng tôi xin trình bày

các câu hỏi nghiên cứu của mình như sau:

(Cau hỏi 1: Kỹ thuật vẽ thêm đường phụ xuất hiện trong các bài toán thực

tế ở SGK Toán 7, Toán 8 và Toán 9 như thế nào?

"Những kỹ thuật vẽ thêm đường phụ nảo thường được sử dụng

khi giải các bài toán hình học phẳng? Câu hỏi

'Câu hỏi 3: Làm thể nào để xây dựng một đỗ án dạy học giúp học sinh có

thể vận dụng việc vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học phẳng gắn

với mô hình hóa

5, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

sự xuất hiện của mô hình hóa

~ Phường pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một

ô công trình đã có làm cơ sở so sánh hoặc sử dụng các kết quả nghiên cứu đã

nghiệm đối với học sinh lớp 9

6 NHIEM VỤ NGHIÊN CỨU

"Để đạt được mục đích nghiên cứu, và trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi xác định nhiệm vụ nghiên cứu như sau:

~ Phân tích, tổng hợp một số công trình đã có để hiểu về khái niệm mô hình hóa và quá trình mô hình hóa

~ Phân tích các bài toán thực tế ở SGK Toán 7, Toán 8 và Toán 9

~ Xây dựng đồ án dạy học, tiến hành thực nghiệm, tổng hợp kết quả thực

nghiệm, tổng kết lại các nội dung đạt được trong quá trình nại

7 CÁU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn dự kiến gồm các phần như sau:

"Phần mở đầu: Trong phần này chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu

Ji do chon dé tai, câu hỏi xuất phát, khung lý thuyết tham chiếu, mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Chương 1: Kỹ thuật vẽ thêm đường phụ xuất hiện trong các bài toán thực

eo

SGK Toán 7, Toán 8 và Toán 9,

Phân tích SGK Toán 7, 8 và 9 để thấy sự xuất hiện của kỹ thuật vẽ thêm đường phụ trong các bài toán thực tế

“Chương 2: Việc vẽ thêm đường phụ trong giải bài toán hình học phẳng và

mô hình hóa toán học

“Trình bày khái niệm về mô hình hóa, quá trình mô hình hóa, một số kỹ

thuật

thêm đường phụ thường gặp, và một số ¡ toán thực tí

thể xây,

dựng từ các bài hình học phẳng thuần túy

“Chương 3: Thực nghiệm

Phần kết luận

HIỆN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở SGK TOÁN 7,

TOÁN 8 VÀ TOÁN 9

Mục đích nghiên cứu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi I: Kỹ thuật

vẽ thêm đường phụ xuất hiện trong các bài toán thực tế ở SGK Toán 7, Toán 8

và Toán 9 như thể nào?

Trước tiên ta tìm hiểu về "kỹ thuật”

"Lâm món trứng ốp-la” hay `

iải phương trình bậc hai" là những kiểu nhiệm vụ, và ta phái có một “cách làm”, tức là một kỹ thuật nào đồ để thực hiện Như vậy, ta có thể nói: "có một kỹ thuật để làm món trứng ốp-la”,

“Thống kê số lượng các bài tập toán thực tế

rong SGK Toán 7, Toán 8 và

Toán 9 ở Việt Nam, chúng tôi thu thập được số

liệu như sau,

kỹ thuật vẽ thêm đường phụ để thấy được sự hiện diện của kỹ thuật ở SGK

“Toán 7, Toán 8 và Toán 9

1.1 Kỹ thuật vẽ thêm đường phụ xuắt hiện trong các bài toán thực tế ở

Gọi đ là đường chéo của tủ, h là

chiều cao của nhà (I = 2ldm)

đường phụ này học sinh cần nhận ra trong một tam giác vuông thì cạnh Huyễn

'Với bài toán này ta thấy rằng mô hình đã được cho sẵn Các đường nét đứt

chính là các đường phụ cần vẽ để có thể tính được các khoảng cách OA, OB,

OA, OB, OC, OD là khoảng cách từ O đến các vị trí A, B, C, D

Bài 43 Đố: Có hai con đường cắt

nhau và cùng cắt một con sông tại

hai điểm khác nhau (h.40)

Hãy tìm một địa điểm để xây đựng

một đầi quan sắt sao cho các khoảng

Cö hai điểm cách đều hai con đường và con sông:

~ Điễm thứ nhất là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác do bai cơn đường và con sông tạo nên (điểm nằm trong tam giác)

A - Điểm thứ hai, theo bai

p 32, là điểm chung của tia

phân giác của góc hợp bởi hai con đường và hai góc

"ngoài của tam giấc tạo bởi con sông và hai con đường (điểm nằm ngoài tam giác)

- Có thể hỏi HS nhận thấy bằng trực giác: điểm th nhất

là địa điểm mà các khoảng cách này ngắn nhất (bài giải inns) UAH 66 thé dmg 6 day)

“Tuy nhiên, thực chất của vẫn đề này là chứng mình bán kính đường tròn nội tiếp tam giác nhỏ hơn bán kính đường trồn bang, tiếp mà ta có thể dùng công thức tính di

Cho tam giác ABC Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

7 và bản kính đường tròn bàng tiếp góc A là +, Ta phải chứng minh

tích tam giác để chứng mình rer,

Gọi 7 và 7 lần lượt là tam đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn

bàng tiếp góc A của tam giác ABC Ta có A,ƒ,J thẳng hàng và / ở

giữa A,/ Gọi 2” là chân đường vuông góc kẻ từ 7 đến đường thẳng AB(h31)

đoạn thẳng //" Vì 7 ở giữa AVA J nen Sy < §,„„ từ đó 3A <2At, suy rà r<7,

(SGV Toán 7 tập 2, 2017, tr99) Bài toán này quy vẻ việc tìm điểm cách đều ba cạnh của một tam giác ĐỀ xác định được điểm này ta cần vẽ các đoạn thẳng tạo thành tam giác, các đường

phân giác, và học sinh cần có suy nghĩ vận dụng tính chất điểm thuộc đường

phân giác của một góc SGV chỉ nêu đáp án, không vẽ lại hình, cũng không giải

thích rõ vì sao lại đưa về tìm giao điểm của các đường phân giác, điều này có

tình huống tương tự trong thực tế

Bài 49, Hai nhà máy được xây dựng bên cùng

một bở sông tại bai địa điểm A và B (b.44)

Hãy tìm trên bờ sông đó một địa điểm € để cho hai nhà

xây dựng trạm bơm đưa nước về

máy, sao cho độ đài đường ống dẫn nước là Pi

ngắn nhất

(SGK Toán 7 tập 2, 2017, tr77)

Hướng dẫn giải: Dựa vào bài 48 ta có CA + CB bé nhất khi € là giao

điểm của bở sông và đoạn thẳng BẢf, trong đó A' là điểm đổi xứng của

Á qua bờ sông bờ sông nói đến là bổ ng gin hai dja diém A va 8)

(SGV Toán 7 tập 2, 2017, t.102)

Voi bai toán trên để xác định được điểm

Hướng dẫn giải: Địa điểm

trung trực của đoạn thẳng nổi hai điểm dân cư

{§GV Toán 7 tập 2017, t.102)

Lời giải trong SGV chỉ đưa ra đáp án nhưng không giải thích vi sao “Bia điểm cần tìm là giao của đường quốc lộ và đường trung trực của đoạn thẳng nồi

nối hai điểm dân cư Học sinh cần vận dụng kiến thức điểm nằm trên đường

kế được đường phụ và xác định được vị trí cần tìm Việc chi nêu đáp án không

giải thích tại sao vị trí cần tim lại là giao điểm của đường trung trực của đoạn

Bai 53 Ba gia dinh quyết định đào chung một cái giếng (h.50) Phải

chọn vị trí của giếng ở đâu đễ các khoảng cách từ giếng đến các nhà

của tam giác có ba đỉnh tại vị tí ba ngôi nhà

(SGV Toán 7 tập 2, 2017, tr.106)

ếng, cần đưa về tìm điểm cách đều ba đỉnh của

ác định được điểm này ta cần về các đoạn thẳng tạo thành

Để xác định được vị trí

một tam giác,

tam giác, đường trung trực của các cạnh của tam giác, và học sinh cẫn có suy

nghĩ vận dụng tính chất điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì

cũng không giải thích rõ vì sao điểm cằn tìm lại là điểm chung của ba đường trung trực của tam giác có ba đình tại vị tí ba ngôi nhà Bài §7 Có một chỉ tiết máy

đường tròn) bị gấy (h 52)

Lầm thể nào để xác định được

Hình 5 (SGK Toán 7 tập 2, 2017,

(SGV Tosn 7 tip 2,2017, 1.106)

Với bài toán này để giải quyết được vấn đề, cần vẽ được hai đường phụ là

hai đường trung trực như hình, khi đó tâm giao điểm của hai đường trung trực

'Khi xác định được tâm O thì khoảng cách từ tâm đến một điềm bắt ky trên cung

tròn chính là bán kính cdn tim, Tuy nhiên để vẽ được hai đường trung trực, học

đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng từ đó xác định 3 điểm thuộc

cung tròn và vẽ các đường trung trực để tìm tâm O

1.2 Kỹ thuật vẽ thêm đường phụ xuất hiện trong các bài toán thực tế ở

Chia dim đất ABCDE thành hình thang ABCE và hình tam giác ECD Cần vẽ đường cao CH của hình thang và đường cao ĐK của tam giác Cin do AB,CE,CH.DK

có thể tính được diện tích các phần Đồng thời ta t

“Tinh Syyee Va Spey ấy tổng hai điện ch trên rồi nhân với

5000” = 25 000000

1

(vi bản đỗ được vẽ theo tig 5000, )

(SGV Toán 8 tập 1, 2017, t.180) Đối với bài toán này đường phụ là các đường cao Có các đường cao mới

iy rằng để tính được diện

tích đa giác ABCDE cũng cần vẽ EC nhằm chia đa giác thành các hình quen

thuộc rồi tính diện tích Nếu như trong thực tế chỉ cho mảnh đắt ABCDE thì ta cũng cần biết cách vẽ các đường phụ để chia mảnh đắt thành các hình quen

thuộc có thể tính diện tích Như vậy bài toán trên đã cho sẵn một đường phụ là

EC Bai 12 C6 thé do được chiều rộng

của một khúc ng mà không cần

phải sang bờ bên kia hay không?

Người tiền hành đo đạc các yếu tổ _ <

hình học cần thiết đ

của khúc sông mà không cần phải

sang bờ bên lúa (h.18)

- Xác định ba điểm A,B,B" thing hàng

- Từ 8 và BY về BC vuông góc với AB BI

_ ba ap Be PY h

- Tính được AB =

(SGV Toán § tập 2, 2017, tr74) Đối với bài toán này đường phụ đã được cho sẵn trong hình vẽ Trong thực

tế nếu chỉ có một con sông, đẻ đo chiều rộng của khúc sông ta cần tiền hành

xác định các điểm bên bờ sông, vẽ thêm các đường phụ là các đoạn 8C,C” Bài 13 Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bing cdụng cụ đơn giản được không?

Hình 19 thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các

‘dung cụ đo đơn giản gồm:

_Xic dinh diém C trên mặt đắt sao cho E, K, C thẳng hàng (bằng cách dũng dây (hoặc thước) căng thẳng theo đường thẳng PK cho đến khí cham đầu,

_ Từ C đo các đoạn thẳng #C =a,DC =b (E và Ð là chân các cọc thẳng hàng với BC)

5 DK BC, PE hay 1 => Tinh dave hh

tế nếu chỉ có bức tường và các dụng cụ đo cần tiền hành xác định vị trí

cọc, vẽ các đường phụ (hoặc dùng thước dây đo trực tiếp) để được như hình vẽ

hiện hai tam giác vuông đồng dạng, từ đó suy ra các đoạn thẳng tỉ lệ và tính

được chiều cao của ống khói Để vẽ được duong phy BC,B'C' học sinh cần có suy nghĩ vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để giải quyết bài toán

Bài $3 Một người đo chiều cao của một cây nhở một cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m và đặt xa cây LSmr Sau khi người ấy lùi xa cách cọc

0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng

Hi cay cao bao nhiên, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy 216m?

(SGK Toán § tập 2, 2017, tr87) Giải

thức về tam giác đồng dạng để giải quyết bài

Bài 54, Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm A và 8, trong đó Ø

không tới được, người ta tién hành đo và tính khoảng AZ như hình 57:

ABIL DF:AD =m:DC =n; DF =a

3) Em hãy nổi 18 cách đo như th nào

b) Tính độ đài x của khoảng cách AB

(SGK Toán § tập 2, 2017, tr87) Hướng dẫn giải

(h.48) a) Bai toán này được do bằng

dụng cụ đơn giản là êke và thước đo độ

dài, cách đo như sau

~ Ö vi trí Á đo góc BÁC =90), từ đó

xác định được ti6a AC vuông góc với

tia AB (dùng bai cạnh của góc vuông,

của eeke xác định bai tia AB và AC)

‘Véi bài toán này đường phụ cũng da được cho trong hình Trong thực tế nếu chỉ cho hai vj rf A, B thì ta cần xác định điểm C, D, E từ đó vẽ và đo đạt

một số đường phụ như AD, CD, DE, CE và tìm được khoảng cách giữa hai

Đối với bài toán này đường phụ đã cho sẵn trong hình vẽ, trong thự tế nếu chỉ

cho AB thì ta sẽ vẽ thêm đường phụ để xác định các diém I, K, sau d6 đo góc

và tính độ dài IB, IA từ đó suy ra khoảng cách

Bài 39

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng

dây vượt qua vực trong hình 49 (làm

Đối với bài toán này đường phụ đã được cho sẵn trong hình vẽ, trong

thực tế nếu chỉ có hai cọc thì cần dựng các đường phụ để được như hình đề

để đo chiều cao cây, khi tính toán cần vẽ và đo thêm các đường phụ để được số

liệu như đề bài cho

Bài 35 Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m Véi khoảng cách bao nhiêu kilômết thì `% x người quan sát trên tầu bắt đầu thấy ngọn đến này,

biết ng mắt người quan sit & 49 cx0 10m so với Mam

mực nước biển và bán kính Trái Đắt

(0.28) Ap dụng kết quả của bài tập 34, ta có

“Tiểu kết chương 1

'Qua các nội dung trên ta thấy rằng, vẽ thêm đường phụ là một kỹ thuật

dùng để giải nhiều bài toán hình học Sự xuất hiện của kỹ thuật này ở bài toán thực tế ở SGK Toán 7, 8, và 9 khá í Một số đường phụ đã được gợi ý sẵn ở hình vẽ kèm theo dé bài hoặc được gợi ý thông qua câu hỏi “Nêu trình

tự các bước thực hiện” Ở phần hướng dẫn giải da phần các hướng dẫn giải

đều nêu đáp án là vẽ thêm đường phụ nào, không nêu rõ tại sao lại vẽ như vậy

Việc không giải thích lý do v

sẽ khiển học sinh khó hiểu và khó có thể giải quyết được bài toán khi gặp lại sao lại vẽ được đường phụ như vậy có thể tình huống tương tự Đa phần các đường phụ xuất hiện trong e bài toán thực

tế ở SGK Toán 7, 8, và 9 là các đoạn thẳng được vẽ làm xuất hiện tam giác,

đường vuông góc, đường song song, và đường kính củ

đường tròn 'Các bài toán thực tế khi giải cẳn sử dụng kỹ thuật về đường phụ xuất hiện trong SGK Toán 7, Toán 8 và Toán 9 thường thuộc các dạng sau:

+ Bài toán về điện tích

‘Chwong 2 VIỆC VỀ THÊM DUONG PHỤ TRONG GIẢI BÀI TOÁN HINH HQC PHANG VÀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

“Trong chương này chúng tôi thực hiện một nghiên cứu song song SGK và sách tham khảo (STK) có nội dung về vẽ thêm đường phụ được sử dụng rộng

rãi hiện nay để tìm câu trả lời cho câu hỏi 2: Những kỹ thuật vẽ thêm đường phụ nào thường được sử dụng khi giải các bài toán hình học phẳng?

“Trước khi tìm hiểu về những kỹ thuật trên, chúng tôi để cập đến vai trò

quan trọng của mô hình hóa toán học trong việc xây dựng các bài toán thực tế liên quan đến kỹ thuật vẽ đường phụ

“Mô hình hóa toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra

trên hệ thẳng này Quá trành mô hình hóa toán học là quá trình thiết

lập một mô hình toán học cho vẫn đê ngoài toán học, giải quyết vẫn

đề trong mô hình đó, rằi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiễn mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận

(Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr6) (MHH)

“Trong các phẩn tiếp theo để ngắn gọn, chúng tôi lùng Mô hình hó thay cho MHH Toán học Về quá trình mô hình hóa đã có rất nhiều tác giả

ện qua sơ đồ dưới đây và gồm có bốn bước:

hình hóa được thể

Bai toa phng dee tiến

PHAM VIPHONG THUC TIEN

(@) Phat bigu vẫn để bằng ngôn ngữ

toán học đã lựa chợn

‘Sadi Quảnình mồ hình hóa

Bén bước của quá trình mô hình hóa được cụ thể hóa như sau:

Bước 1 Xây dựng mô hình phỏng thực tiển của vấn đề, tức là xác

những quy luật mà chúng ta phải tuân theo

"Bước 2 Xây dựng mô hình toán học cho vẫn đề đang xét, tức là diễn

tủ lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình phỏng thực tiển Lieu ý là ứng với vẫn đề đang xem xét có thể có nhiễu mô hình toán

học khác nhau, tầy theo chỗ các yẫu tổ nào của hệ thẳng và mồi liên

tệ nào giữa chúng được xem là quan trọng

“Bước 3 Sử dụng các công cụ toán học để khảo sắt và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai

Bước 4 Phân tích va kiém định lại các kết quả thu được trong bước

ba, Ở đây,

người tạ phải xác định mức độ phà hợp của mô hình và kết quả tính

toán với vẫn để thực tế Nêu kết quả không thể ấp nhân được thì

phải lặp lại quá trình để tìm câu trả lời phầ hợp cho bài toán ban

đâu

(Lê Thị Hoài Châu, 2014)

2.1 Một số kỹ thuật vẽ thêm đường phụ thường sử dụng trong việc giải

các bài toán hình học phẳng ở chương trình Toán 7, Toán 8 và Toán 9

“Chúng ôi tiền hành khảo sát và nhận được phản hồi Trong đó 74.1% GV

có sử dụng sách lầm tài liệu tham khảo trong qua trinh giảng dạy Đồng thời

quyền sách trên đã được tái bản nhiều lần

“Trong các phần tiếp theo để ngắn gọn, chúng tôi sẽ dùng STKI thay cho

tên sách * Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải toán hình học phẳng " (tái bản năm 2017)

'Ở chương 1, chúng tôi đã phân tích SGK Toán 7, Toán 8, Toán 9 và nhận

+ Bài toán về xác định điểm thỏa điều kiện cho trước,

+ Bài toán liên quan đến đường tròn, cung tròn

kỹ thụ

tham khảo c

“Cùng với ví vẽ đường phụ ở STK1 va mục đích hướng đến giải quyết bốn dạng bài toán trên chúng tôi tiễn hành phân chia kỳ' thuật vẽ thêm đường phụ thành bốn loại

+ Kỹ thuật 1 (KT): Vẽ thêm đường cao

Mục đích: Vẽ đường phụ để tính diện tích, chứng minh tỉ số + Vẽ đường vuông góc (đường cao)

+ Vẽ các đoạn thẳng (thường là đường cao) chia hình được cho thành các hình quen thuộc như tam giác, hình vuông, hình chữ nhật để tính điện ch

hoặc suy ra các tỉ số về diện tích dễ dàng hơn

Bài 18 Cho tam giác ABC và đường

Gợi ý: Để chứng minh S,„„, <1 AC.BD cần sự vẽ thêm đường phụ Dễ

nhận ra các đường cao BH/,DK của các tam giác ABC,DAC giúp ta 06 lồi giải bài toán

Giải

Gọi Ø là giao điểm của AC và BD Vẽ BH,DK lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, DÁC,

Do đó

+ Vẽ đoạn thẳng nỗi các điềm đề tạo thành tam giác đồng dạng

“+ Vẽ đường song song để áp dụng định lí Ta, định lí đảo của Ta-lét, hệ quả định lí Ta-lết

+ Vẽ đoạn thẳng tạo ra tam giác vuông để áp dụng định lí Pytago + Vẽ đoạn thẳng làm xuất hiện đường trung bình của tam giác, của hình thang

+ Vẽ đường phân giác của một góc để làm xuất hiện các đoạn thẳng tỉ lệ khi áp đụng tính chất đường phân giác của một góc trong tam giác

Ví dụ 76 (Lớp 7)

Cho tam giác ABC ¢6 A=60', BD va CE là hai đường phân giác của

iao điểm cia BD và CE Chứng mình rằng

tam giác ABC Gọi /

Ip=

Gợi ý: Dễ thấy BỊC =120

Đường phân giác /M của tam giác IBC, A

Do 46 EIB MIC = DIC = 60

Xét ABEI = ABMI có BIM

EBI = MBI (BD là đường phân giác của tam giác ABC) EIB = BIM (~60), Bí cạnh chung Do 46

ABBI = ABMI(ge.g)=s IE = IM

Chứng mình twong ty ta ¢6: 1D = IM Vay ID = 1E(= IM),

(STKI, 2017, tr37)

ABC cân tại A, gợi tá

nghĩ đến vẽ A// là đường cao của tam giác

ABC

Giải

VE AH là đường cao của tam giác

ABC AABC cân định A

Do đồ A7 cũng là đường trung tuyển

Gọi Ở là giao điểm của AH va BD

AABC có AH,BD là hai đường trung

tuyển cất nhau tại G

=3G là trọng tâm tam giác ABC

Gợi ý: việc chứng minh trực tiếp ^^ = không ý 1 P TC” xạ, không dễ đàng a8 đàng Để có tỉ số

“trung gian” ta vẽ đường phụ EEUAB,E e BC

Chú ý: Việc vẽ thêm đường phụ là đường thẳng song song để tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ thường được sử dụng

(STKI, 2017, tr31)

Ví dụ 81 (Lớp 8)

Cho tam g ác ABC cân tại A 6 BAC=36' Tinh 9 BC

Gợi ý: AABC cân tại A, có BÁC

Chota AD= BDBC Giúp dễ dàng tính

' thêm đường phân giác, đường trung trực

lế xác định điểm thỏa điều kiện cho

+ Vẽ thêm đường phân giác: để áp dụng tính cÌ thuộc đường phân

giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc Đối với một số bài toán để có

cho số đo góc hoi sóc thông thường đường phụ sẽ là đường

phân gi