Dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

Dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

PHAN ANH TUYẾN

DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH

HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI, 2024

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

PHAN ANH TUYẾN

DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH

HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Mã số: 9.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS.TS Đào Thái Lai 2 TS Phạm Thanh Tâm

HÀ NỘI, 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đào Thái Lai và TS Phạm Thanh Tâm Các số liệu, kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa ai công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả

Phan Anh Tuyến

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Đào Thái Lai và TS Phạm Thanh Tâm đã tận tình giúp đỡ tôi trong học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận án này

Trong suốt quá trình thực hiện luận án, tôi đã được động viên giúp đỡ của PGS.TS Trần Kiều, PGS.TS Phạm Đức Quang, PGS TS Trịnh Phương Thảo cùng các chuyên gia trong chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán Tôi thực sự biết ơn những lời động viên, sự chỉ bảo và giúp đỡ quý báu đó

Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo, các thầy cô Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô của trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh (Đồng Nai) và trường Phổ thông Thực hành sư phạm-Đại học Đồng Nai đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi xuyên suốt và hoàn thành thực nghiệm sư phạm

Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn tới các anh chị em Nghiên cứu sinh tại Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam, bạn bè, người thân, gia đình đã luôn đồng hành, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

Tác giả

Phan Anh Tuyến

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 3

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 3

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

7 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ 3

8 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN 4

8.1 Về mặt lí luận 4

8.2 Về mặt thực tiễn 4

Chương 1 5

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tổng quan nghiên cứu vấn đề 5

1.1.1 Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến mô hình hóa trong dạy học toán học 6

1.1.2 Nghiên cứu về vận dụng mô hình hóa trong dạy học toán học 8

1.1.3 Nghiên về phát triển năng lực mô hình hóa toán cho học sinh trong dạy học toán học 12

1.2 Mô hình hóa toán học 14

1.2.1 Quan niệm về mô hình 14

1.2.2 Mô hình toán học 15

1.2.3 Khái niệm mô hình hóa toán học 15

1.2.4 Một số sơ đồ thể hiện quá trình mô hình hóa toán học 16

1.2.4.1 Sơ đồ của Pollak 16

1.2.4.2 Sơ đồ của Blum & Leiß 17

1.2.4.3 Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards 18

1.2.4.4 Sơ đồ quy trình mô hình hóa toán học của Swetz & Hartzler 19

1.2.5 Đặc điểm của mô hình hóa toán học 19

1.2.6 Các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán 21

1.3 Năng lực mô hình hóa toán học 23

1.3.1 Các quan niệm về năng lực toán học và năng lực mô hình hóa toán học 23

1.3.2 Các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học 24

1.3.3 Các cấp độ mô hình hoá của học sinh 32

1.4 Dạy học theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh ở trường Trung học phổ thông 34

1.4.1 Quan niệm về dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa toán học 34

1.4.2 Vận dụng dạy học mô hình hóa toán học ở trường THPT 35

1.5 Các cơ hội dạy học hình học có thể phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học phổ thông 45

1.5.1 Trường hợp dạy học khái niệm 49

1.5.2 Trường hợp dạy học định lí 52

1.5.3 Trường hợp dạy học giải toán 53

1.5.4 Trường hợp mô hình hóa tình huống thực tiễn 54

1.6 Thực tra ̣ng vâ ̣n dụng mô hình hóa trong dạy học hình học ở trường Trung học phổ thông 55

1.6.1 Những bài toán, kênh hình liên quan đến thực tiễn trong sách giáo khoa môn toán Trung học phổ thông 55

1.6.2 Thực trạng việc dạy học theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh

trong học hình học ở Trung học phổ thông 56

1.6.2.1 Nhận thức của giáo viên về tầm quan trọng và sự cần thiết của việc rèn luyện năng lực mô hình hóa trong dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông 57

1.6.2.2 Sự quan tâm của GV về các kỹ năng thành phần của NL MHH toán học 58

1.6.2.3 Việc thiết kế bài dạy theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa khi dạy hình hoc ở trường Trung học phổ thông 59

1.6.2.4 Những khó khăn và thách thức trong quá trình rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh khi dạy nội dung Hình học ở trường THPT 60

1.6.2.5 Đề xuất của GV về rèn luyện và phát triển năng lưc mô hình hóa toán học cho học sinh khi dạy học hình học ở trường Trung học phổ thông 60

1.6.2.6 Phỏng vấn sâu giáo viên 61

2.1 Đi ̣nh hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp 65

2.2 Một số biện pháp sư phạm về dạy học hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh 67

2.2.1 Biện pháp 1 Rèn luyện và phát triển cho học sinh một số kỹ năng thành phần của mô hình hóa toán học 67

2.2.1.1 Mục đích của biện pháp 67

2.2.1.2 Cơ sở đề xuất biện pháp 67

2.2.1.3 Hướng dẫn thực hiện biện pháp 68

2.2.2 Biện pháp 2 Xây dựng các tình huống, bài toán thực tiễn giúp học sinh rèn luyện và phát triển năng lực mô hình hóa toán học 73

2.2.2.1 Mục đích của biện pháp 73

2.2.2.2 Cơ sở đề xuất của biện pháp 73

2.2.2.3 Hướng dẫn thực hiện biện pháp 75

2.2.3 Biện pháp 3 Tổ chức các hoạt động trải nghiệm trong lớp học và khuôn viên nhà trường 96

2.2.3.1 Mục đích của biện pháp 96

2.2.3.2 Cơ sở đề xuất của biện pháp 96

2.2.3.3 Hướng dẫn thực hiện biện pháp 98

2.2.4 Biện pháp 4 Đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THPT thông qua dạy hình học 104

2.2.4.1 Mục đích của biện pháp 104

2.2.4.2 Cơ sở đề xuất của biện pháp 104

2.2.4.3 Hướng dẫn thực hiện biện pháp 105

2 3 Kết luâ ̣n chương 2 112

3.3.3 Phương pháp thống kê toán học 114

3.3.4 Xây dựng phương thức và tiêu chí đánh giá 114

3.3.4.1 Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định lượng 114

3.3.4.2 Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định tính 115

3.4 Nội dung thực nghiệm và tổ chức thực nghiệm 116

3.4.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm vòng 1 122

3.4.1.1 Chọn mẫu thực nghiệm sư phạm 122

3.4.1.2 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm đợt 1 123

3.4.2 Tổ chức thực nghiệm vòng 2 127

3.4.2.1 Chọn mẫu thực nghiệm sư phạm 127

3.4.2.2 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm vòng 2 130

3.5 Tìm hiểu, đánh giá các biện pháp sư phạm đã đề xuất thông qua xin ý kiến GV, HS 134

3.5.1 Ý kiến giáo viên về giáo án 134

3.5.2 Điều tra về kết quả các của các giờ học TNSP 134

3.5.3 Điều tra đánh giá mức độ MHH của HS qua biểu hiện một số tiêu chí của NL MHH toán học 136

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1.1 Thang tiêu chí đánh giá NL MHH toán học và các mức độ biểu hiện của mỗi tiêu chí

trong dạy học hình học ở THPT 27

Bảng 1.2 Chuyển đổi một số yếu tố thực tế sang mô hình hình học 36

Bảng 1.3 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện NL MHH cho HS 57

Bảng 1.4 Mức độ thường xuyên của việc rèn luyện NL MHH cho HS 58

Bảng 1.5 Các chủ đề lớp 10 59

Bảng 1.6 Các chủ đề lớp 11 59

Bảng 1.7 Các chủ đề lớp 12 60

Bảng 2.1 Bảng tiêu chí đánh giá chất lượng của một rubic 104

Bảng 2.2 Thang tiêu chí hướng dẫn đánh giá chi tiết 108

Bảng 2.3 Thống kê đánh giá về NL MHH toán học của HS 111

Bảng 3.1 Nhóm lớp tham gia thực nghiệm vòng 1 122

Bảng 3.2 Thống kê kết quả học tập của HS lớp TN và ĐC trước khi TNSP 122

Bảng 3.3 Phân bố điểm của nhóm lớp TN và lớp ĐC sau khi TNSP vòng 1 124

Bảng 3.4 Phân bố tần suất lũy tích hội tụ lùi sau khi TNSP vòng 1 125

Bảng 3.5 Kết quả giá trị trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn 125

Bảng 3.6 Kết quả học tập của nhóm lớp TN và ĐC trước khi TNSP đợt 2 128

Bảng 3.7 Kết quả giá trị trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn 128

Bảng 3.8 Phân bố điểm của nhóm lớp TN và lớp ĐC sau khi TNSP vòng 2 131

Bảng 3.9 Phân bố tần suất lũy tích hội tụ lùi của nhóm lớp TN, ĐC sau TN vòng 2 131

Bảng 3.10 Kết quả giá trị trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn 132

Bảng 3.11 Điều tra GV về nội dung DH TNSP 134

Bảng 3.12 Điều tra GV về hiệu quả của tiết dạy trong quá trình TNSP 135

Bảng 3.13 Điều tra về thái độ của HS về các tiết học trong quá trình TNSP 136

Bảng 3.14 Điều tra đánh giá về NL MHH toán học của HS ở các lớp ĐC 137

Bảng 3.15 Điều tra đánh giá về NL MHH toán học của HS ở các lớp TN 138

DANH MỤC CÁC HÌNH

Trang

1 Sơ đồ

Sơ đồ 1.1 Mô hình mô tả và mô hình quy chuẩn 15

Sơ đồ 1.2 Chu trình mô hình hóa của Pollak (1979) 16

Sơ đồ 1.3 Chu trình MHH của Blum và Leiß (2005) 17

Sơ đồ 1.4 Quá trình MHH của Stillman và cộng sự (2007) 18

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa toán học 19

Sơ đồ 2.1 Chu trình trải nghiệm D.Kolb (1984) 96

Sơ đồ 2.2 Quá trình MHH toán học 97

2 Hình Hình 1.1 Quả bóng 33

Hình 1.2 Phẳng hóa hình đa diện tạo bởi lục giác đều và ngũ giác đều 34

3 Biểu đồ Biểu đồ 1.1 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện NL MHH cho HS 57

Biểu đồ 1.2 Mức độ thường xuyên của việc rèn luyện NL MHH cho HS 58

Biểu đồ 1.3 Tầm quan trọng của việc sử dụng các KN thành phần trong hoạt động MHH toán học 58

Biểu đồ 3.1 Đa giác đồ về chất lượng học tập của lớp TN và ĐC 123

Biểu đồ 3.2 Đường biểu diễn tần suất luỹ tích hội tụ lùi sau khi TNSP lần 1 125

Biểu đồ 3.3 Đường biểu diễn tần suất luỹ tích hội tụ lùi của nhóm lớp TN và ĐC trong đợt TNSP vòng 2 132

Biểu đồ 3.4 Biểu hiện các mức độ MHH của HS qua các KN thành phần 137

Biểu đồ 3.5 Biểu hiện các mức độ MHH của HS qua các KN thành phần 138

MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 MHH toán học có vị trí rất quan trọng trong giáo dục và thực tiễn, MHH

toán học được giảng dạy từ cấp tiểu học đến trung học phổ thông và thậm chí cả đại học Trong thực tiễn, MHH toán học được sử dụng rộng rãi ở các lĩnh vực như khoa học kĩ thuật, kinh tế, y tế, xã hội học, … Nó có vai trò giúp học sinh có khả năng giải quyết vấn đề đơn giản hơn bằng cách sử dụng các mô hình toán học như hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, phương trình, … MHH toán học cho phép dự đoán được những vấn đề xảy ra trong tương lai như thời tiết và tài chính hay sự phát triển dân số nhờ vào những mô phỏng, mô hình được xác lập Với vị trí, vai trò trên của MHH toán học nó sẽ mang lại ý nghĩa thiết thực trong giáo dục, giúp HS phát triển được tư duy logic, tư duy phân tích, khả năng giải quyết vấn đề, … từ đó áp dụng vào thực tiễn nhằm cải thiện chất lượng trong sản xuất, tài chính và nghiên cứu khoa học

1.2 Phương pháp DH toán ở THPT vẫn còn mang nặng tính lý thuyết chưa

thật sự đề cao tính ứng dụng toán học vào cuộc sống Trong quá trình DH toán, mặc dù đã có nhiều thay đổi về phương pháp song vẫn còn theo khuôn mẫu thường thì dạy lý thuyết xong rồi giải bài tập theo từng nhóm, dạng, chủ đề, liên hệ toán học với thực tiễn chưa xuất hiện nhiều Trong khi đó, ở nhiều nước khác, họ đề cao tính ứng dụng trong dạy học toán nhất là liên hệ toán với thực tiễn, vì thế phương pháp DH thể hiện rõ sự cộng tác, làm việc theo nhóm, tương tác giữa GV và HS, giữa HS với nhau, kết nối cuộc sống vào từng chủ đề toán học, họ tập trung vào khả năng sáng tạo và giải quyết vấn đề thực tiễn của học sinh và xem MHH như là một hoạt động DH toán học

Hiện nay, thế giới đang ngày càng nhận thức được vai trò to lớn của MHH toán học và tầm quan trọng của nó trong cuộc sống, chính vì thế họ đang tìm kiếm con đường để có thể dạy cho HS về nó Như vậy, một phương pháp DH hướng đến việc rèn luyện và phát triển NL MHH toán học nói chung và hình học nói riêng là cần thiết

1.3 Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 của nước ta chú trọng MHH toán

học và xác định NL MHH toán học là một trong năm NL toán học cốt lõi của chương trình, ở các cấp học khác nhau thì biểu hiện NL MHH toán học có những đặc trưng riêng và được thể hiện qua các thành phần NL sau: Xác định mô hình toán học (gồm công thức, phương trình bảng biểu, đồ thị, …) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn; Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp [2] Nhiều nội dung toán học ở trường THPT có tiềm năng để rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS, trong đó nội dung hình học chưa được khai thác nhiều trong các nghiên cứu ở trên thế giới và ở Việt Nam

1.4 Trong những năm qua, đã có nhiều nghiên cứu về vận dụng toán học vào

thực tiễn, MHH toán học và phát triển NL MHH toán học trong DH ở các cấp học khác nhau Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu về việc DH hình học theo hướng phát NL MHH toán học cho HS ở cấp THPT

Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho Luận án là: “Dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề xuất các biện pháp DH hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học cho học sinh

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Làm sáng tỏ hệ thống khái niệm, các luận điểm về NL MHH toán học, DH theo hướng phát triển NL MHH toán học khi dạy hình học làm cơ sở lý luận cho đề tài

- Phân tích và tổng hợp một số quan điểm của các nhà khoa học về vấn đề MHH toán học trong DH ở THPT

- Phân tích những cơ hội phát triển NL MHH toán học cho HS trong DH hình học ở THPT

- Phân tích thực trạng DH hình học ở THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS

- Đề xuất các biện pháp DH hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH môn Toán ở trường THPT

- Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp DH hình học theo hướng phát triển NL

MHH toán học cho HS THPT 5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở xác định được một số thành tố chủ yếu của NL MHH toán học, quan niệm và việc vận dụng DH MHH toán học cho HS THPT, nếu xây dựng và thực hiện được một số biện pháp sư phạm thích hợp về DH hình học thì sẽ giúp HS rèn luyện và phát triển được NL MHH toán học, góp phần vào việc nâng cao chất lượng DH toán

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho NL MHH toán học của HS THPT và việc rèn luyện để phát triển NL này trong DH toán, đặc biệt là trong DH hình học

- Phương pháp điều tra, khảo sát: Điều tra hoạt động dạy của GV, hoạt động học tập của HS bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn luyện NL MHH toán học cho người học

- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về các vấn đề nghiên cứu của đề tài

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

7 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ

- MHH trong hoạt động học hình học của HS có những đặc điểm chung với hoạt động MHH toán học và có những đặc điểm riêng

- Có thể xác định được những cơ hội trong DH hình học nhằm rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS

- Hệ thống các biện pháp sư phạm khi DH hình học có cơ sở khoa học và có tính khả thi, góp phần rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS

8 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN

8.1 Về mặt lí luận

- Làm sáng tỏ thêm về NL MHH toán học của HS phổ thông, trong DH toán, các đặc điểm riêng của MHH toán học trong hoạt động hình học của HS THPT và các cấp độ của MHH toán thể hiện trong DH hình học

- Xây dựng được khung tiêu chí đánh giá NL MHH toán học và các mức độ biểu hiện của mỗi tiêu chí trong DH hình học ở THPT

- Xây dựng các bài tập, tình huống theo chủ đề hình học nhằm hỗ trợ khả năng

MHH toán học của HS THPT trong học tập và thực tiễn

MHH toán học và toán học ứng dụng được các nước trên thế giới quan tâm, chẳng hạn: tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế (OECD) xây dựng Chương trình đánh giá HS quốc tế (The Programme for International Student Assessment) - PISA vào cuối thập niên 90 PISA đánh giá khả năng HS vận dụng KT, KN đọc để hiểu nhiều tài liệu khác nhau mà họ có thể sẽ gặp và giải quyết trong cuộc sống hàng ngày; khả năng vận dụng KT toán học vào các THTT PISA cũng đề cao NL MHH toán học của HS Hội nghị quốc tế về dạy MHH toán học và áp dụng toán ICTMA (International Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications) tổ chức hai năm một lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng toán học và MHH toán học trong tất cả các lĩnh vực của giáo dục toán Từ hội nghị lần thứ 4 (2005) đến hội nghị lần thứ 8 (2013) của hiệp hội nghiên cứu giáo dục toán châu Âu CERME (Congress of European Research in Mathematics Education), MHH và áp dụng toán là một trong những chủ đề chính của thảo luận

Được xem là một cách nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong cuộc sống thực của HS, MHH toán học ngày càng được nhấn mạnh như là một phương pháp cho giáo dục toán học từ cấp tiểu học đến đại học MHH trong DH toán đã được đề cập và nghiên cứu từ rất lâu Về cơ bản, những nghiên cứu về MHH trong DH toán chủ yếu được thực hiện theo 3 hướng chính: (1) Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến MHH trong DH toán học, (2) Nghiên cứu vận dụng MHH trong DH toán học, (3) Nghiên cứu về phát triển NL MHH cho HS trong DH toán học

1.1.1 Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến mô hình hóa trong dạy học toán học

Khi xem xét các tài liệu liên quan đến lí luận về MHH trong DH toán, có thể thấy rằng đã có nhiều nghiên cứu được thực hiện trên chủ đề này ở trong và ngoài nước Mặc dù, ngày càng có nhiều nghiên cứu quan tâm đến MHH trong dạy học toán nhưng đã có sự khác biệt về cách khái niệm hóa cấu trúc này Chẳng hạn, M Blomhøj (2009) [39]

trong nghiên cứu “Different perspectives on mathematical modelling in educational research” đã nêu ra sáu quan điểm về MHH trong giáo dục, bao gồm: Thực tế, ngữ cảnh,

giáo dục, tri thức, nhận thức, xã hội và phê phán Ý tưởng chính của Blomhøj (2009) là tích hợp mô hình và quá trình MHH vào việc giảng dạy toán học, không chỉ như một phương tiện để học toán học mà còn là một NL quan trọng mà HS cần phát triển Xem MHH như một phương tiện dạy học toán đồng thời như một mục đích của việc dạy toán, A Kürşat ERBAŞ và cộng sự (2014) [55] đã dựa trên các quan điểm về mô hình, mô hình toán học, MHH toán học của các nhà giáo dục như quan điểm mô hình của Lesh và Doerr (2003a): “Một mô hình bao gồm cả hệ thống khái niệm trong tâm trí người học và hệ thống ký hiệu bên ngoài của các hệ thống này”; mô hình toán học của Lehrer & Schauble (2003): “Mô hình toán học bao gồm một loạt các biểu đồ, phép tính và mối quan hệ, chứ không chỉ giới hạn vào một mô hình duy nhất, để giúp hiểu rõ hơn về các tình huống thực tế”; MHH toán học của Verschaffel, Greer và De Corte (2002): “MHH toán học là một quá trình trong đó các tình huống và mối quan hệ trong đời thực được xác định được thể hiện bằng cách sử dụng toán học” để phát triển một quan điểm thống nhất về mô hình toán học, đồng thời phân tích và thảo luận về hai cách tiếp cận việc sử dụng MHH trong giáo dục toán học và cho rằng dù cách tiếp cận nào được ưa thích và sử dụng thì việc tích hợp MHH vào giáo dục toán học đều rất quan trọng để cải thiện khả năng giải quyết vấn đề và tư duy phân tích của HS MHH cũng được xem như là một công cụ DH, A.Bora, S Ahmed (2019) [47] quan niệm: “MHH toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán

học”, hoạt động MHH là hoạt động giải quyết các vấn đề phức tạp xuất hiện trong tình huống thực tế đòi hỏi tạo ra một mô hình toán học như một sản phẩm Trong nghiên cứu này, đã trình bày cấu trúc lý thuyết của các hoạt động thúc đẩy để tạo ra mô hình được xem là một công cụ cần thiết trong việc DH toán, nhằm tóm tắt một quá trình phát triển mô hình được xây dựng bởi GV Theo A Perez (2014) [87], MHH toán học là quá trình lấy một vấn đề thực tế và tìm kiếm giải pháp tối ưu bằng cách sử dụng toán học, theo quan điểm này ông cũng xác định được vai trò của MHH toán học trong các tiêu chuẩn cốt lõi chung và đánh giá về khả năng MHH toán học của HS các cấp học, qua đó đã trình bày các lợi ích và những rào cản khó khăn khi DH thông qua MHH toán học Trong tài liệu “Nghiên cứu vận dụng phương pháp MHH trong DH môn toán ở trường phổ thông” của Nguyễn Danh Nam (2016) [20] tác giả đã trình bày một cách tổng thể các vấn đề lý luận về MHH trong dạy học toán, cùng với phương pháp DH MHH sẽ giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp Qua đó, giúp HS hiểu sâu, nắm chắc các KT toán học, và có thể rèn luyện được các thao tác tư duy toán học như phân tích và tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp, …, đồng thời còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn V.N.T Hương và L.T.H Châu (2013) [15] cho rằng trong DH toán MHH là một quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp Quá trình này thực hiện theo 4 bước: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề; xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét; sử dụng công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước thứ hai; phân tích và kiểm định kết quả thu được trong bước ba

Bên cạnh sự khác biệt về cách khái niệm hóa, sự khác biệt trong phân định các bước của chu trình MHH toán học cũng đã tồn tại trong các nghiên cứu về MHH trong DH toán Trong nghiên cứu của mình, Blum và Leiß (2005) [43] đã đề xuất chu trình MHH gồm 7 bước, tập trung vào giai đoạn đầu của quá trình MHH từ tình huống thực tế đến mô hình thực tế Chu trình được đề xuất của Blum và Leiß (2005) đã cung cấp một cái nhìn sâu hơn về cách MHH thực hiện việc chuyển đổi từ tình huống thực tế sang biểu diễn mô hình Trong khi đó, Kaiser (2005) [75] chỉ ra rằng chu trình của MHH toán học một cách cụ thể, đó là, nắm bắt chi tiết từng bước của việc hiểu tình huống thực tế đến tạo mô hình toán học, rồi từ mô hình toán học đến việc kiểm chứng kết quả Borromeo Ferri (2006) [48] nhấn mạnh vào sự khác biệt giữa các khía cạnh của MHH, từ việc phân biệt

giữa mô hình tình huống và mô hình thực tế đến việc không phân biệt giữa chúng Stillman và cộng sự (2007) [94] mô tả quá trình MHH gồm 7 bước, các bước có mối quan hệ hai chiều với nhau và chú trọng đến toàn bộ quá trình MHH để xem xét tính phù hợp với thực tế và nhận thức của HS Việc áp dụng quy trình này trong dạy học toán sẽ giúp HS hiểu kỹ hơn từng bước MHH của quy trình và từ đó các em có khả năng MHH toán học được tốt hơn [95]

Liên quan đến đánh giá MHH trong DH toán, có hai quan điểm tương phản với nhau mạnh mẽ (Hidayat, R và cộng sự, 2022) [72] Blomhoej và Jensen (2003) [40], đã phân biệt giữa phương pháp toàn diện (holistic) và nguyên tử (atomistic) Trong phương pháp toàn diện, HS tham gia vào quá trình MHH toán học một cách đầy đủ, bao gồm: đề xuất vấn đề, phân loại, toán học hóa, phân tích mô hình, giải thích kết quả và đánh giá tính hợp lý của mô hình Qua đó, HS có thể khám phá tất cả các khía cạnh của vấn đề, nhưng nó lại tốn thời gian và công sức vì phải toán học hóa và phân tích vấn đề, trong khi đó, thời gian dành cho việc giải quyết vấn đề thực tế bằng cách chuyển đổi sự phức tạp của thế giới thực thành các mô hình toán học bị hạn chế, phương pháp toàn diện trong nghiên cứu hiện nay là hiếm (Frejd, 2012) [57] Tuy nhiên, gần đây các nghiên cứu đã cố gắng áp dụng tiêu chí toàn diện để đánh giá khả năng MHH của HS (Chang và cộng sự, 2020 [49]; Rellensmann và cộng sự, 2020 [88]); Tong và cộng sự, 2019 [97]) Phương pháp nguyên tử được Frejd (2013) [58] nghiên cứu qua việc kiểm tra bằng bài viết, chú trọng tập trung vào sản phẩm thay vì quá trình, còn theo Blomhoej & Jensen (2003) tập trung vào các bước toán học hóa và phân tích mô hình toán học trong chu trình MHH Một lý do rất quan trọng của các nhà nghiên cứu khi sử dụng phương pháp nguyên tử trong dạy học toán học là vì nó thúc đẩy việc học toán (Frejd & Bergsten, 2018) [59] Cho đến nay, các nghiên cứu gần đây đã cố gắng sử dụng phương pháp nguyên tử để đo lường khả năng MHH toán học của HS (Fu, J., & Xie, J., 2013) [63] và kết hợp giữa tiêu chí nguyên tử và toàn diện (Durandt, R., Blum, W., & Lindl, A., 2021) [54]

1.1.2 Nghiên cứu về vận dụng mô hình hóa trong dạy học toán học

Dựa trên kết quả của những nghiên cứu về các vấn đề lí luận liên quan đến MHH trong DH toán học, nhiều tác giả đã tiến hành các nghiên cứu về việc vận dụng MHH trong DH toán cho người học và đây một trong những hướng nghiên cứu đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm Việc vận dụng MHH trong DH toán hiện nay được các nhà nghiên cứu triển khai theo những con đường và cách tiếp cận rất phong phú, trải dài ở các bậc học khác nhau

Ở cấp tiểu học, đã có một số nghiên cứu trong và ngoài nước về vận dụng MHH trong DH toán, có thể kể đến một số nghiên cứu tiêu biểu của Lâm Thùy Dương - Trần Việt Cường (2018) [5], Lê Thị Thu Hương và Đinh Thị Hồng Liên (2019) [14] hay James J Watters, Lyn English, và Sue Mahoney (2004).Trong đó, hai nghiên cứu ở Việt Nam (Lâm Thùy Dương - Trần Việt Cường (2018), Lê Thị Thu Hương và Đinh Thị Hồng Liên (2019)) đều thực hiện việc đề xuất quy trình MHH gồm bốn bước: Toán học hóa; giải bài toán; thông hiểu/ hiểu và thông dịch; đối chiếu, kiểm định kết quả/ đối chiếu thực tế để thiết kế các bài toán số học, hình học theo quy trình này và vận dụng vào tổ chức các hoạt động dạy học cho HS Nghiên cứu của James J Watters, Lyn English, và Sue Mahoney (2004) [102] tập trung vào thiết kế các trải nghiệm “trước MHH” cho HS lớp 3, các hoạt động trải nghiệm MHH được thực hiện trong quá trình DH, những hoạt động này là cơ hội để khám phá cách suy nghĩ toán học của trẻ, cùng với sự tương tác của GV đã đưa các em vào tình huống cụ thể, kết quả cho thấy đã nâng cao được khả năng tham gia vào các hoạt động MHH toán học của các em, nhiều ý tưởng nổi bật xuất hiện, chất lượng học tập được cải thiện nhất là khả năng sử dụng bảng của các em

Ở cấp THCS, vận dụng MHH vào DH toán được đề cập trong rất nhiều nghiên cứu, có thể kể đến một số nghiên cứu của Ok-Ki Kang, Jihwa Noh (2012), Emine Özdemir, Devrim Üzel (2013), Gloria Stillman (2010), Trong nghiên cứu của mình, Ok-Ki Kang, Jihwa Noh (2012) [74], thông qua những ví dụ được thiết kế để minh họa quá trình sử dụng các vấn đề trong SGK nhằm tạo ra một tình huống chân thực hơn, nơi mà HS tham gia vào một quá trình lặp lại trong việc xác định biến, hình thành một mô hình, diễn giải kết quả và xác nhận mô hình Trong nghiên cứu này, Ok-Ki Kang, Jihwa Noh (2012) cho rằng vai trò của GV là rất quan trọng để giúp học sinh biểu đạt - kiểm tra - điều chỉnh suy nghĩ của họ theo hướng có hiệu quả Thực hiện một nghiên cứu trường hợp trên 38 HS lớp 8 được chọn ngẫu nhiên tại một trường thực hành, Emine Özdemir, Devrim Üzel (2013) đã cho thấy hiệu quả của việc vận dụng MHH trong DH toán ở bậc THCS Trong nghiên cứu của Emine Özdemir, Devrim Üzel (2013) [53], các giáo án giảng dạy dựa trên MHH được thiết kế bởi GV dạy toán tiềm năng, những GV này đã được đào tạo về MHH trong vòng 3 tháng GV chuẩn bị “Kế hoạch dạy học hàng ngày” gồm ba phần: phần chính thức (ngày thực hành, trường thực hành, lớp, lĩnh vực học, lĩnh vực học phụ, mục tiêu, thời gian, chiến lược-phương pháp học và kỹ thuật, vật liệu được sử dụng); phần hoạt động chuẩn bị (đó là một hoạt động đo lường sự sẵn sàng và có tác dụng trong việc chuẩn bị HS để chuyển sang nhiệm vụ MHH); phần xử lý (yêu

cầu xác định một nhiệm vụ MHHquan trọng, phù hợp với lớp học của HS, lĩnh vực học, lĩnh vực học phụ, mục tiêu học tập và quá trình MHH) HS ở các lớp học được chia theo nhóm dựa vào kết quả học tập được GV đánh giá, nhiệm vụ mô hình được GV giao cho từng nhóm, GV đóng vai trò hỗ trợ và hướng dẫn cho từng nhóm khi cần thiết, cuối tiết học các nhóm tóm tắt lại và giải thích kết quả cho nhau.Nghiên cứu này, bước đầu đánh giá vận dụng MHH trong DH có hiệu quả, HS rất thú vị trong các nhiệm vụ MHH và thoải mái vui vẻ khi học toán bằng cách sử dụng MHH Việc áp dụng phương pháp DH theo con đường tiếp cận MHH trong DH toán liên quan đến thực tế được Gloria Stillman (2010) [92] đề cập trong nghiên cứu “Implementing Applications and Modelling in Secondary School: Issues for Teaching and Learning” nhằm tạo ra sự hấp dẫn trong quá trình học tập của HS, đặc biệt là cách GV xây dựng các bài học và quản lý chuỗi nhiệm vụ theo thời gian, để hỗ trợ sự tiến bộ của HS mà trọng tâm là đặt vào bản chất của việc MHH và các nhiệm vụ MHH

Ngoài ra, vận dụng MHH trong DH toán ở bậc Đại học cũng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, có thể nhắc đến nghiên cứu của Đồng Thị Hồng Ngọc (2022), Phạm Mỹ Hạnh và Trần Thị Ngọc Giàu (2021), Alsina, C (2007), … Với nghiên cứu “Dạy học mô hình hóa trong môn Xác suất và Thống kê cho sinh viên ngành Kinh tế và Quản trị kinh doanh”, Đồng Thị Hồng Ngọc (2022) [24], đã đề xuất các biện pháp để DH MHH toán học trong môn Xác suất – Thống kê dành cho sinh viên ngành Kinh tế và Quản trị kinh doanh, trong nghiên cứu này, tác giả cũng xây dựng được các ví dụ, bài tập và tình huống thực tiễn để làm tư liệu trong dạy học của GV và tài liệu tham khảo cho sinh viên Trong nghiên cứu “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong giảng dạy học phần đại số sơ cấp ngành sư phạm toán”, Phạm Mỹ Hạnh và Trần Thị Ngọc Giàu (2021) [8] đã dựa vào sơ đồ MHH của Blum và LeiB (2006) và bốn bước DH theo phương pháp DH bằng MHH của Lê Thị Hoài Châu (2014) đề xuất quá trình MHH gồm bốn bước, từ đó tổ chức hoạt động DH thông qua các ví dụ theo bốn bước này Theo Alsina, C (2007) [36], nhấn mạnh việc DH MHH ở bậc Đại học trong ngữ cảnh, việc DH trong ngữ cảnh có thể cung cấp động lực làm cho sinh viên tham gia vào các vấn đề thực tế chủ động hơn và khả năng MHH tốt hơn

Xem xét riêng ở bậc THPT, Bambang Riyanto và cộng sự (2019) [90] đã xây dựng các bài tập, ví dụ về MHH toán học, giáo án và phiếu bài tập dành cho HS ở cấp THPT, đồng thời đưa ra các nhiệm vụ toán học nói chung và MHH toán học

riêng, tập trung vào việc thiết kế giáo án, bài tập hợp lý và thiết thực trong DH toán nhằm nâng cao chất lượng học tập và thành tích toán học cho HS Trong nghiên cứu này, thông qua các ví dụ, bài tập về chủ đề áp dụng toán trong thực tế, HS giải quyết vấn đề bằng cách MHH toán học, cụ thể là: HS phải đưa ra các giả định, lựa chọn, xác định các biến, toán học hóa, làm việc toán học và xác nhận kết quả thu được kết quả cả về mặt toán học và thực tế Trong khi đó, Trần Trung (2011) [34] nhấn mạnh việc sử dụng CNTT và áp dụng quy trình MHH trong DH toán gồm 4 bước (Toán học hóa, giải bài toán, thông hiểu, đối chiếu) vào một ví dụ cụ thể nhằm mục đích cho HS tham gia các hoạt động MHH kể cả trên máy tính bằng phần mềm GeoGebra để dự đoán, tìm lời giải cho bài toán Từ đó, có thể giúp HS được rèn luyện và phát triển tư duy, khả năng giải quyết vấn đề và các NL toán học cần thiết cho cuộc sống Một nghiên cứu khác ở bậc THPT được thực hiện bởi Kaiser, G (2020) [76] cũng đã nêu lên tầm quan trọng của MHH toán học và ứng dụng MHH trong giáo dục, trong quá trình học tập, ở mỗi bước của hoạt động MHH HS luôn được sự hỗ trợ của GV, qua đó HS đã từng bước phát triển khả năng MHH và những KT toán học khác Vận dụng MHH vào DH toán ở mỗi cấp học khác nhau thì có những nhiệm vụ và cách tiếp cận khác nhau, tuy nhiên nó đều dựa trên quy trình MHH, nghiên cứu “Mathematical Modelling” của Katrin Vorhölter đã trình bày việc vận dụng MHH trong dạy học toán thông qua các dự án, ví dụ ở các cấp học, trong đó chú trọng việc lựa chọn và sử dụng các chu trình MHH cho các tình huống khác nhau (H N Jahnke, L.Hefendehl-Hebeker, 2016) [73] Nhìn chung các nghiên cứu về vận dụng MHH trong dạy học toán ở THPT hiện nay đã giúp HS phát triển được khả năng tư duy logic, tăng cường được kỹ năng giải quyết vấn đề, khuyến khích và thúc đẩy được sự tự học và tự tìm hiểu của HS Tuy nhiên các nghiên cứu hiện vẫn còn một số hạn chế cần được quan tâm giải quyết, cụ thể: (i) Các đề xuất vận dụng MHH vào dạy toán của các nghiên cứu hiện vẫn chưa thực sự quan tâm đến quỹ thời gian của các hoạt động DH tại lớp (do sẽ mất khá nhiều thời gian để triển khai theo đề xuất của các nghiên cứu); (ii) Khả năng vận dụng các biện pháp MHH trong các nghiên cứu chỉ mang tính đơn lẻ, chỉ phù hợp với một số vấn đề hoặc mạch nội dung cụ thể, khó có thể áp dụng được cho tất cả các loại hoặc mạch nội dung Toán ở bậc THPT; (iii) Các nghiên cứu vận dụng MHH trong DH hình học hiện còn rất hạn chế

1.1.3 Nghiên về phát triển năng lực mô hình hóa toán cho học sinh trong dạy học toán học

Bên cạnh các nghiên cứu về vận dụng MHH trong DH toán ở các bậc học khác nhau, các nghiên về phát triển NL MHH cho HS trong DH toán cũng đã xuất hiện với một số lượng tương đối lớn

Khi nghiên cứu về phát triển NL MHH toán học cho HS trong các NL thành phần của toán học, Niss & Højgaard (2011) [85] đã xác định NL MHH toán học là một trong tám NL toán học (NL tư duy toán học, NL giải quyết vấn đề, NL MHH, NL lập luận, NL biểu diễn, NL kí hiệu và hình thức, NL giao tiếp, NL sử sụng công cụ và phương tiện), NL MHH bao gồm khả năng thực hiện hoạt động MHH trong các ngữ cảnh cụ thể, tức là việc biểu đạt bằng toán học và áp dụng nó vào các tình huống ngoài lĩnh vực toán học Niss & Højgaard (2011) cho rằng các NL toán học mặc dù có sự khác biệt nhưng nó liên kết chặt chẽ và liên quan với nhau, do đó để phát triển NL MHH cho HS, thứ nhất GV phải có những NL toán học nhất định, có khả năng phân tích, đánh giá tính hợp lý của việc sử dụng các mô hình toán học trong những tình huống cụ thể và áp dụng chúng trong DH, thứ hai việc phát triển NL MHH toán học sẽ liên quan đến các NL và KT toán học khác

Liên quan đến phát triển NL MHH toán học cho HS trong DH thông qua việc đánh giá hoạt động của các nhóm bằng cách xây dựng tiêu chí đánh giá, P Biccard (2010) [38] đã thiết kế thang đánh giá NL MHH theo sáu nguyên tắc của Lesh và được điều chỉnh lại để đánh giá dựa trên cách tiếp cận toàn diện của mô hình, HS học theo nhóm và được giao các nhiệm vụ về MHH một cách cụ thể, MHH được đặt trong lĩnh vực dạy và học toán như một công cụ và phương tiện quan trọng Kết quả phân tích cho thấy, việc phát triển NL MHH trong DH toán là phức tạp, nhiều mặt và liên quan đến các NL toán học khác, mặc dù một số NL đã được cải thiện rõ rệt song một số NL cần thời gian dài hơn để rèn luyện Sự hỗ trợ và can thiệp của GV đã có hiệu quả tích cực đối với các nhóm HS, đặc biệt là nhóm có khả năng MHH còn yếu Nghiên cứu này đã phân tích và trình bày được sự phát triển NL MHH toán học cho HS thông qua các nhóm học tập bằng thang tiêu chí Tuy nhiên có thể thấy rằng, với mẫu nghiên cứu nhỏ (12 học sinh, chia thành hai nhóm) và đối tượng chỉ là HS lớp 7 nên vẫn bị hạn chế để áp dụng cho lớp đối tượng và bậc học khác

Trong quá trình dạy học theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS, thì việc thiết kế nội dung dạy học là rất quan trọng, với mong muốn có một mẫu chung cho GV,nghiên cứu “Developing a task design and implementation framework for fostering mathematical modelling competencies” của Vince Geiger và cộng sự (2021) [66] đã xây

dựng và phát triển Khung thiết kế và triển khai cho nhiệm vụ MHH toán học (DIFMT) gồm hai thành phần chính: Các nguyên tắc thiết kế nhiệm vụ MHH (Bản chất của vấn đề; động cơ thực hiện; khả năng tiếp cận; khả năng thực hiện kết quả; phương pháp DH); Kiến trúc giáo dục (chuẩn bị; đánh giá lại quy trình MHH; trình bày vấn đề ban đầu; nội dung bài học; kết luận; báo cáo (nếu cần)), mỗi thành phần mô tả yêu cầu, kiến thức và các hoạt động cần thiết của GV và HS liên quan đến nhiệm vụ MHH Trong quá trình thực hiện DIFMT, GV đã chấp nhận trách nhiệm gia tăng trong việc phát triển các nhiệm vụ, tích hợp kiến thức chi tiết của họ về các đặc điểm ngữ cảnh quan trọng, như yêu cầu chương trình học tập cụ thể và kinh nghiệm học toán trước đó của HS, có thể nói rằng GV đã đóng góp vào việc làm rõ và mở rộng cần thiết để tăng cường DIMFT Điểm mạnh thứ nhất của nghiên cứu này là tính dài hạn, nghĩa là nó không dựa trên sự tương tác ngắn gọn với những người tham gia, mà dựa trên sự tham gia trong một khoảng thời gian kéo dài; điểm mạnh thứ hai là cung cấp sự liên kết mạnh mẽ giữa các GV tham gia phát triển DIFMT Tuy nhiên, vì nghiên cứu được tiến hành với một số lượng người tham gia tương đối nhỏ, lấy từ một lựa chọn hạn chế của ngữ cảnh và tình huống trường học nên hiệu quả của DIFMT chỉ có thể được mở rộng ra ngoài nhóm giáo viên tham gia nghiên cứu một cách tạm thời

Xem xét trong bối cảnh giáo dục Việt Nam, các nghiên về phát triển NL MHH

toán cho HS trong DH toán học chủ yếu được thực hiện theo hướng đề xuất các biện pháp cụ thể cho các nhánh/mạch nội dung Toán học khác nhau ở các cấp học Chẳng hạn, trong nghiên cứu “Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học đại số”, Lê Hồng Quang (2020) [29] trên cơ sở (i) tổng quan về tình hình bồi dưỡng NL MHH toán học cho HS trong DH trong và ngoài nước, (ii) đánh giá được thực trạng về NL MHH của HS ở một số trường THPT, (iii) xác định được các thành tố của NL MHH toán học và (iv) đề xuất khung NL MHH toán học, đã xây dựng ba biện pháp bồi dưỡng NL MHH toán học trong DH đại số và đã chứng minh được hiệu quả của các biện pháp trong việc nâng cao NL MHH toán học cho HS THPT Trong nghiên cứu “Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh phổ thông”, Nguyễn Danh Nam (2015) [19] đã dựa trên các KN và cấp độ MHH tiến hành nghiên cứu trên 68 HS lớp 10 bằng cách thiết kế các tình huống MHH trong DH nhằm đánh giá về NL và cấp độ MHH của HS, kết quả nghiên cứu cho thấy NL MHH của HS còn hạn chế, đặc biệt là khả năngứng dụng toán học để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn Nghiên cứu này thực hiện trên mẫu nhỏ ở khối 10 và các tình huống thiết kế DH ở phân nhánh đại số nên áp dụng

trên diện rộng và phân nhánh khác của toán học có thể sẽ gặp những khó khăn Để phát triển được NL MHH trong DH toán ở THPT, Cao Thị Hà, Nguyễn Xuân Dung (2023) [7] đã dựa vào quá trình MHH gồm 4 giai đoạn của Swetz và Hartzler (1991) và mô tả về NL MHH cùng các yêu cầu HS cần đạt khi học nội dung “Hàm số” được quy định trong Chương trình GDPT 2018 (lớp 10) để đề xuất năm biểu hiện của NL MHH của HS khi học Hàm số, từ đó xây dựng hai biện pháp nhằm phát triển NL MHH cho HS lớp 10 ở trường THPT Nghiên cứu của Phạm Thị Thanh Tú và Trần Thị Hồng Nhung (2020) [32] trên 44 HS của trường THPT và đã đề xuất được ba biện pháp để phát triển NL MHH toán học cho HS thông qua dạy học nội dung hình học 10: (1) hình thành tri thức mới cho HS thông qua hoạt động khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn; (2) tăng cường xây dựng các tình huống gắn với đời sống thực tiễn để HS giải quyết; (3) tổ chức cho HS khai thác, vận dụng kiến thức đã học dựa trên các đồ dùng được làm từ vật liệu có sẵn trong cuô ̣c sống thường ngày Kết quả cho thấy, NL MHH của HS được cải thiện thông qua việc phát huy được khả năng sáng tạo và vận dụng được vào thực tiễn Tuy nhiên điểm hạn chế của nghiên cứu này là phần phân tích ví dụ chưa được thực hiện theo một quy trình nhất định khiến việc áp dụng trở nên khó khăn, hơn nữa với mẫu nghiên cứu nhỏ và phạm vi nghiên cứu hẹp nên các biện pháp đề xuất chỉ có thể vận dụng vào một vài nội dung ở hình học 10

Nhìn chung các nghiên cứu đều đã chỉ rõ tầm quan trọng của việc phát triển NL MHH toán cho HS trong DH toán học Các kết quả từ những nghiên cứu kể trên đã mở ra cơ hội để phát triển NL MHH cho HS nói chung, HS THPT nói riêng Tuy nhiên, có thể nhận thấy rằng, hầu hết các nghiên cứu đều đang tập trung khai thác nhiều ở nội dung đại số và giải tích, số lượng các nghiên cứu về DH theo hướng phát triển NL MHH toán học thông qua dạy nội dung hình học ở THPT còn rất hạn chế Hơn nữa các đặc điểm riêng của MHH toán học trong hoạt động DH hình học và các cấp độ của MHH toán thể hiện trong quá trình DH hình học cho HS THPT Việt Nam là hoàn toàn chưa được làm rõ và đề cập đầy đủ trong các nghiên cứu hiện tại

1.2 Mô hình hóa toán học

1.2.1 Quan niệm về mô hình

Theo Swetz & Hartzler (1991) [96], mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý

- Mô hình vật lý: Là một bản sao, thường khác về kích cỡ, nhưng có cùng nhiều tính chất với đối tượng gốc mà mô hình đó biểu diễn

- Mô hình lý thuyết: Là tập hợp các quy tắc biểu diễn một sự vật hiện tượng trong

tư duy của người quan sát

Theo Đặng Thanh Hưng (2017) [13], mô hình là đồ vật thay thế hay ý niệm (tưduy có chủ định) phản ánh một sự vật hay quá trình có thật đang tồn tại hoặc có thể sẽ xuất hiện trong thế giới,cho biết những thuộc tính bản chất nhất, những nguyênlí cơ bản nhất, những đặc điểm nổi bật nhất hiện có hoặcsẽ có của nó một cách tinh giản, khái quát và minh bạch

- Khi mô hình làđồ vật thì gọi là mô hình vật chất

- Khi mô hình là tư duythì gọi là mô hình lí thuyết (hay mô hình quan niệm)

1.2.2 Mô hình toán học

Trong nghiên cứu này, tác giả dựa vào một số quan niệm về mô hình toán học dưới đây: Mô hình toán học ở đây còn có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2003 [101]; Van de Walle, 2004 [99])

Mô hình toán học là một cấu trúc toán học (đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ

phương trình, biểu thức đại số, hàm số, hình vẽ…) gồm các kí hiệu và các quan hệ toán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu (Swetz & Hartzler, 1991) [96]

Ngoài ra, ta có thể tìm hiểu thêm về mô hình toán học theo sơ đồ sau (Greefrath & Vorhölter, 2016) [68]):

Sơ đồ 1.1 Mô hình mô tả và mô hình quy chuẩn

1.2.3 Khái niệm mô hình hóa toán học

Thuật ngữ MHH toán học có thể hiểu là quá trình xây dựng mô hình, từ một tình huống thực tế đến một mô hình toán học, hoặc toàn bộ quá trình giải quyết vấn đề được áp dụng, hoặc để kết nối thế giới thực với toán học (Blum, W., 1993) [44]

Mô hình Toán học

Mô hình Mô tả

Mô hình quy chuẩn

Mô tả Giải thích Xác định Xác suất

Edwards & Hamson (2001) định nghĩa như sau: MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận (Blum và cộng sự, 2007) [46]

Theo Trần Vui (2014) [35], MHH toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từng bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý

Với các phân tích trên, chúng tôi quan niệm như sau: “MHH toán học là một hoạt động chuyển tình huống thực tiễn/bài toán thực tế sang mô hình toán học bằng cách sử dụng kí hiệu, sơ đồ, hình vẽ toán học, giải quyết vấn đề trên mô hình Toán học, từ lời giải Toán học chuyển thành lời giải cho tình huống thực tiễn ban đầu”

1.2.4 Một số sơ đồ thể hiện quá trình mô hình hóa toán học

1.2.4.1 Sơ đồ của Pollak

Sơ đồ chu trình MHH biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán và thực tế theo cả hai chiều phải kể đến đó là sơ đồ của Pollak (1979) (Xem Ferri, 2006, [56])

Sơ đồ 1.2 Chu trình mô hình hóa của Pollak (1979)

Trong sơ đồ này, Pollak đã chia thành hai phần, phần thứ nhất là toán học bao gồm những kiến thức về toán từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt nhấn mạnh tính ứng dụng của toán, nghĩa là sử dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế Phần thứ hai là từ vấn đề ngoài toán học chuyển thành vấn đề toán học cơ bản nhất, làm việc trong toán học và phản ánh lại thế giới ngoài toán học Pollak đã dùng kí hiệu chiều mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho thấy từ một vấn đề ngoài toán học chuyển qua vấn đề toán học, giải quyết trong toán học và phản ánh lại vấn đề ngoài toán học, chiều mũi tên thể

hiện tính tuần hoàn, cho phép lặp lại một chu trình nếu chưa thỏa đáng Sơ đồ của Pollak đã cho thấy được mối quan hệ giữa toán học và vấn đề ngoài toán học, ta cũng hiểu vấn đề ngoài toán học là những vấn đề thực tế trong cuộc sống hằng ngày MHH ngày càng được quan tâm, họ chú trọng tìm ra được một thuật toán cho quá trình MHH, nghĩa làm tìm được một sơ đồ chung nhất về quá trình MHH

1.2.4.2 Sơ đồ của Blum & Leiß

Theo Blum & Leiß (2005) [43] đã sử dụng một sơ đồ gồm 7 bước để mô tả quá trình giải quyết một nhiệm vụ MHH Trong sơ đồ này, mô hình tình huống nghiêng về cách tiếp cận Reussers (1997) [89] và tích hợp nó như giai đoạn mới trong chu trình MHH của họ Blum và Leiß nhấn mạnh mô hình tình huống là một giai đoạn quan trọng trong quá trình lập mô hình, thậm chí là điều quan trọng nhất Như vậy, điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tế và mô hình thực, vì họ cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình MHH

Sơ đồ 1.3 Chu trình MHH của Blum và Leiß (2005)

Bước 1: Hiểu tình huống thực tế được cho, phác thảo mô hình cho tình huống đó; Bước 2: Đơn giản hóa, cấu trúc lại tình huống và đưa vào các biến phù hợp để được mô hình thực của tình huống;

Bước 3: Toán học hóa;

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học;

Bước 5: Diễn đạt và giải thích kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

Bước 6: Xác nhận tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện quá trình tiếp theo; Bước 7: Trình bày cách giải quyết vấn đề

1.2.4.3 Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards

Ngược lại với hai sơ đồ 1.2 và 1.3, sơ đồ 1.4 không tách biệt giữa thế giới thực và thế giới toán học Theo Stillman và cộng sự (2007) [94], cùng với việc mô tả quá trình MHH thì họ nhấn mạnh tính chất so sánh, phản ánh giữa mỗi giai đoạn hoặc toàn bộ quá trình, đồng thời xem xét lại toàn bộ quá trình có phù hợp với thực tế và nhận thức của HS hay không

Sơ đồ 1.4 Quá trình MHH của Stillman và cộng sự (2007)

1 Hiểu, cấu trúc, đơn giản hóa, giải thích ngữ cảnh

2 Giả định, xây dựng các quan hệ tương ứng của tình huống thực tế và toán học, lập mô hình toán học

3 Giải toán

4 Giải thích kết quả toán học 5 So sánh, phê bình, xác nhận

6 Truyền đạt, giải thích (nếu mô hình được coi là đạt yêu cầu)

7 Kiểm tra, xem xét lại quá trình MHH (nếu mô hình được coi là không đạt yêu cầu)

Từ sơ đồ trên ta nhận thấy, từ A đến G, giữa các mục biểu diễn mũi tên đậm được biểu thị là sự chuyển đổi giữa các bước của quá trình MHH Nếu kết quả chưa thỏa đáng thì có thể thực hiện tiếp tục một quá trình đến khi thỏa mãn yêu cầu thì kết thúc Đường đi của hướng mũi tên đậm là những hoạt động nhận thức của HS trong từng bước của quá trình MHH, đường mũi tên nhạt thể hiện sự phản ánh về tính phù hợp giữa các bước, nếu sự phản ánh, đối sánh không phù hợp thì thực hiện tiếp một quá trình, điều này không có nghĩa là quá trình ban đầu không có ý nghĩa mà nó làm sáng tỏ thêm quá trình tiếp theo và phản ánh được nhận thức của HS trong suốt quá trình MHH

1.2.4.4 Sơ đồ quy trình mô hình hóa toán học của Swetz & Hartzler

Mô hình tình huống là điều cần thiết để giải quyết các vấn đề MHH, trực quan nhất của mô hình là hình ảnh của một thực thể vật chất Các hoạt động mô hình tập trung nhiều thời gian trên một phiên bản thu nhỏ của một đối tượng hoặc một tình huống Thuật ngữ mô hình toán học thường đề cập đến cấu trúc toán học tương tự như một vấn đề, hiện tượng trong thế giới thực Quá trình thực hiện hoạt động để tạo ra mô hình và giải quyết trên nó ta gọi là MHH toán học (Swetz & Hartzler, 1991) [96]

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa toán học

Sơ đồ 1.5 cho thấy một quy trình MHH toán học đơn giản, mô tả bốn giai đoạn MHH, đó là: Quan sát, Phân tích, Diễn giải và Ứng dụng Mặc dù, các thuật ngữ được sử dụng có thể khác nhau tùy theo các nhà nghiên cứu nhưng tất cả quá trình MHH đều bắt đầu từ vấn đề trong thế giới thực và có thể được xây dựng thành các vấn đề toán học Các giải pháp toán học thu được thường được giải thích trong bối cảnh thế giới thực trước khi nó có thể được chấp nhận

- Quan sát: Quan sát hiện tượng trong thế giới thực, xây dựng giả thuyết và thiết lập mô hình toán học

- Phân tích: Phân tích các quan hệ trong mô hình, giải toán trên mô hình

- Diễn giải: diễn đạt và giải thích các kết quả toán học, kết luận nếu mô hình phù hợp và dự đoán phương án tiếp theo cần điều chỉnh mô hình

- Ứng dụng: Dựa vào kết luận về kết quả toán học liên hệ với thực tiễn

1.2.5 Đặc điểm của mô hình hóa toán học

Để tìm hiểu đặc điểm của MHH toán học và những nét riêng biệt của MHH hình học trong DH thì một số đặc điểm phổ biến của học toán và học hình học của HS THPT cũng được cần xem xét:

- Đặc điểm học toán của HS THPT: (1) Tư duy logic: Việc học toán luôn đòi hỏi HS phải có khả năng suy luận, suy diễn và phân tích vấn đề có tính hệ thống; (2) Tính trừu tượng: Toán học cấp THPT thường có chứa nhiều khái niệm trừu tượng hơn ở cấp

học trước, đòi hỏi HS phải có khả năng áp dụng các khái niệm và nguyên lý vào các tình huống khác nhau; (3) Khả năng giải quyết vấn đề: HS sử dụng các kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán, chủ đề, vấn đề phức tạp; (4) Tính ứng dụng: Đó là việc áp dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn; (5) Kỹ năng tính toán: HS cần phải phát triển kỹ năng tính toán cơ bản và nâng cao để giải quyết các bài toán toán học

- Vì các đối tượng nghiên cứu của hình học là điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, mặt phằng, đa giác, đa diện, …và các quan hệ hình học như vuông góc, song song, chéo nhau, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, … nên ngoài có những đặc điểm học toán của HS THPT thì đặc điểm học hình học của HS THPT có những nét riêng như sau: (1) Tính trực quan: Ở cấp học này, nội dung về hình học không gian được đề cập tương đối nhiều, đòi hỏi HS phải có khả năng nhìn nhận và hiểu các mối quan hệ giữa các đối tượng hình học trong không gian; (2) Kỹ năng biểu diễn hình học: HS cần phải có khả năng vẽ và biểu diễn các hình học trên giấy, cũng như kỹ năng sử dụng các công cụ hình học như thước kẻ, compa; (3) Hoạt động MHH: Từ bối cảnh thực tế, bằng tư duy xem xét phân tích từ góc độ hình học để thay thế những đối tượng thực trong thực tế thành đối tượng và mối quan hệ hình học và được thể hiện bằng hình vẽ, sau đó xem xét hình vẽ ở góc nhìn dễ quan sát hoặc dễ nghiên cứu nhất Trên cơ sở ấy, có những thao tác xem xét mối quan hệ ẩn tàng hoặc chưa tường minh (giao điểm, giao tuyến, …) những đối tượng hình học bị khuất để tìm ra được những kết luận trung gian, dần đi đến giải quyết được vấn đề đặt ra của bài toán hình học

Vì MHH toán học là quá trình sử dụng toán học để biểu diễn, giải quyết và phản ánh các vấn đề thực tế nên MHH toán học có một số đặc điểm chính sau:

Tính trừu tượng: MHH liên quan đến việc đơn giản hóa các vấn đề thực tiễn bằng cách bỏ qua những phần không cần thiết Do đặc điểm nổi bật này mà mô hình toán học được xác lập đúng mục đích, khi cần thiết có thể điều chỉnh lại mô hình

Tính đa lĩnh vực: MHH toán học sử dụng ngay trong nội bộ môn toán, liên môn học và sử dụng trên nhiều ngành khác nhau như: vật lý, sinh học, kinh tế, khoa học-kỹ thuật, y tế, môi trường, xã hội học, …

Tính dự đoán: MHH toán học đưa ra dự đoán về hành vi hoặc kết quả trong tương lai dựa trên một mô hình toán học cụ thể, ví dụ như sự phát triển dân số, sự tăng trưởng về kinh tế

Tính tối ưu hóa: MHH toán học có tính tối ưu hóa, nhờ vào những mô hình toán học được tìm ra như: mô hình giảm thiểu chi phí, tối đa hóa lợi nhuận hoặc tối ưu phân bổ vốn, nhân lực, …

Hình học là một phân nhánh của toán học liên quan đến hình dạng, kích thước, vị trí tương đối của các hình khối và các tính chất của không gian, do đó ngoài những đặc điểm chung của MHH toán học thì MHH hình học có những nét riêng như sau:

Tính mô tả trực quan: Sử dụng các hình dạng hình học, thước đo và đặc tính của

chúng để mô tả các đối tượng (ví dụ: mô hình Kim Tự Tháp bằng hình chóp, bể nước như một hình trụ, …)

Tính thiết kế: Áp dụng các phương pháp hình học để giải quyết các vấn đề thiết kế

trong thực tiễn (ví dụ: thiết kế một đối tượng, một cấu trúc để thỏa mãn các điều kiện vật lý hoặc kinh tế (giảm thiểu chi phí); làm việc với hệ thống lưới tọa độ, …)

Vai trò của hình vẽ trong MHH hình học: Khi thực hiện MHH trong nghiên cứu,

học tập hình học, hình vẽ thường được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để thể hiện các đối tượng hình học, thể hiện các thành phần và mối quan hệ giữa chúng

Vai trò của tưởng tượng không gian: Trong hoạt động MHH toán học khi học hình

học, ngoài việc huy động các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quá hoá, trừu tượng hoá, … thì HS cần huy động tới trí tưởng tượng không gian (hình dung được các yếu tố khuất trong mô tả hình vẽ, tưởng tượng việc kéo dài đoạn thẳng, tưởng tượng được giao điểm, giao tuyến …)

1.2.6 Các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán

MHH toán học ngày càng được đưa nhiều vào chương trình, sách giáo các nước, NL MHH toán học là một trong những NL bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán ở các nước Đức, Pháp, Hà Lan, Úc, Mỹ (Blum, 2007 [46]; Stillman, 2010 [93]) Ở Singapore, MHH được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích đề cao tầm quan trọng của MHH trong việc học toán và áp dụng toán để giải quyết các vẫn đề thực tiễn, đáp ứng các yêu cầu và thách thức của thế kỉ 21 (Balakrishnan, 2010) [37] Tiếp cận MHH trong giáo dục toán có nhiều quan điểm khác nhau, tuy nhiên chưa có quan điểm duy nhất nào được thống nhất giữa các nhà giáo dục (Kaiser và cộng sự, 2011; Kaiser & Sriraman, 2006) [79], [78] Để làm rõ sự khác biệt về vấn đề này và có được sự đồng thuận, Kaiser & Sriraman (2006) đã hệ thống và trình bày các phương pháp tiếp cận MHH có thể được coi là quan điểm hàng đầu Theo đó, đối với

cách tiếp cận này, các quan điểm được phân loại là: (i) mô hình thực tế hoặc ứng dụng, (ii) mô hình ngữ cảnh, (iii) mô hình giáo dục, (iv) mô hình phản ánh, (v) MHH nhận

thức luận hoặc lý thuyết, (vi) MHH nhận thức MHH cũng được phân loại theo mục đích của nó trong giáo dục toán, chẳng hạn như: (i) MHH như mục đích của việc giảng

dạy toán học: theo quan điểm này, MHH toán học được xem như một NL cơ bản và mục đích của việc giảng dạy toán học là trang bị cho HS NL này để giải quyết các vấn đề thực tế trong toán học và các ngành khác (Blum, 2002; Blomhøj & Jensen, 2007; Haines & Crouch, 2001; Crouch & Haines, 2004) [45], [41], [69], [51] Trong cách tiếp cận này, ban đầu, các khái niệm toán học và mô hình toán học được cung cấp và sau đó những khái niệm hoặc mô hình làm sẵn này được áp dụng cho tình huống thực tế (Lingefjard, 2006; Niss và cộng sự, 2007) [82], [86] các mô hình và khái niệm toán

học được xem xét như các đối tượng đã tồn tại (Gravemeijer & Stephan, 2002) [67]

Các nhà nghiên cứu áp dụng quan điểm này tập trung vào vấn đề hình thành khái niệm, phát triển và đo lường NL MHH (Haines & Crouch, 2001; Haines & Crouch, 2007) [69], [70] hoặc (ii) MHH như một phương tiện (Galbraith, 2012; Niss và cộng

sự, 2007) [65], [86]: Theo cách tiếp cận này, MHH được coi là một phương tiện để hỗ trợ những nỗ lực của người học trong việc tạo ra và phát triển kiến thức toán học sơ khai của họ và các mô hình (Lesh & Doerr, 2003a; Gravemeijer & Stephan, 2002)

[81], [67] Quan điểm tiếp cận MHH toán học trong giáo dục theo hướng thực tế thì xem xét mô hình không chỉ mô tả các biểu diễn vật lý hoặc toán học của các hiện tượng, mà còn cả các thành phần hệ thống khái niệm của HS, chẳng hạn như mục đích và cách suy nghĩ về tình huống (Cobb, 2002) [50], MHH không chỉ là chuyển các tình huống có vấn đề trong thực tế thành toán học, mà còn liên quan đến việc phát hiện các mối quan hệ mới trong các hiện tượng được nhúng vào các tình huống ban đầu

(Gravemeijer & Stephan, 2002) [67] Các nghiên cứu trên cho thấy dù tiếp cận MHH

theo quan điểm nào cũng rất cần thiết và quan trọng trong DH toán Cho đến nay, có thể thấy 5 cách tiếp cận MHH:

- Freudenthal có thể xem là người đi đầu theo quan điểm nhận thức luận, ông thừa nhận vai trò quan trọng của mô hình trong toán học, nhấn mạnh mô hình tình huống trong hoạt động DH toán [60], [61], [62] Hoạt động mô hình tình huống trong DH dẫn đến sự phát triển lý thuyết toán học là quá trình MHH, thể hiện ở bộ ba: “Tình huống - Mô hình - Lý thuyết”, nghĩa là mô hình được xây dựng từ tình huống thực tiễn

và đi đến sự phát triển về toán Như vậy, theo quan điểm này thì có thể vận dụng MHH vào DH các khái niệm toán học

- Mogens Niss [85] tiếp cận MHH theo quan điểm giáo dục đề cao vai trò của NL Toán học trong dạy học đặc biệt là NL MHH toán học, chú trọng mối quan hệ giữa các NL toán học, gắn kết mối quan hệ dạy học toán với thực tế Với quan điểm này, thì việc phát triển NL toán học của HS đòi hỏi GV phải có những NL sư phạm và những biện pháp dạy học cụ thể, trong đó rèn luyện và phát triển NL MHH nói riêng không tách rời với các NL khác của toán học

- Lê Thị Hoài Châu [4], [15] và Lê Văn Tiến [31]: Xem MHH là hoạt động trong DH toán có thể tạo ra hứng thú học tập, rèn luyện NL tư duy cho HS và giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra Theo cách tiếp cận này MHH là một quá trình trong DH, từ thực tiễn đến toán học và ngược lại, với mục đích dùng dùng kiến thức toán học, xây dựng mô hình để giải quyết một vấn đề thực tiễn khác với quan điểm của Freudenthal là để phát triển một lí thuyết mới Đặc biệt, quan điểm này vừa có tính thực tế và vừa có tính giáo dục

- Mô hình hóa cho ngành nghề ICTMA (International Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications) với mục đích thúc đẩy ứng dụng toán học và MHH toán học trong tất cả các lĩnh vực của giáo dục toán, phương pháp MHH trong DH toán được chú trọng, NL MHH toán học không chỉ cần thiết cho HS mà còn cho GV từ cấp tiểu học đến bậc đại học, MHH được đưa vào Chương trình dạy học và đào tạo, quan tâm đến ứng dụng CNTT trong quá trình MHH toán học Theo cách tiếp cận này, MHH toán học được vận dụng trong tất cả các hoạt động giáo dục của các bậc học, nó có tính giáo dục, tính thực tế, tính ngữ cảnh và tính phản ánh [20]

- Chương trình GDPT 2018: xem MHH toán học như một mục đích cần đạt sau DH, NL MHH toán học thể hiện: (1) Thiết lập mô hình toán học; (2) Giải quyết vấn đề ở mô hình; (3) Đánh giá và điều chỉnh

Theo phân tích trên, chúng tôi tiếp cận MHH trong DH toán theo quan điểm của Freudenthal, đồng thời chú trọng đến thiết kế các tình huống thực tiễn trong dạy học hình học theo quan điểm của Lê Thị Hoài Châu

1.3 Năng lực mô hình hóa toá n học

1.3.1 Các quan niệm về năng lực toán học và năng lực mô hình hóa toán học

NL MHH toán học là một trong những NL thành phần của NL toán học, quan điểm

về NL toán học được PISA (2015) định nghĩa: NL toán học là khả năng cá nhân biết lập

công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm” [6]

Mogens Niss đã xác định có tám NL Toán học, trong đó có NL MHH NL MHH toán học là khả năng phân tích, giải thích các yếu tố và kết quả của của mô hình từ một tình huống thực tiễn, nó cũng liên quan đến khả năng cấu trúc một lĩnh vực hay một tình huống được MHH, tức là khả năng dịch chuyển các đối tượng, quan hệ, xây dựng vấn đề, …, vào toán học, sau đó là khả năng làm việc với mô hình, đánh giá và điều chỉnh mô hình [85]

Theo Blomhoj & Jensen (2007): NL MHH toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH trong một tình huống cho trước [41] Maab (2006) cho rằng: NL MHH toán học bao gồm các KT và khả năng thực hiện quá trình MHH nhằm đạt được mục tiêu xác định [84] Quan điểm của Kaiser (2014) khẳng định: NL MHH toán học đặc trưng cho khả năng thực hiện toàn bộ quá trình MHH toán học và phản ánh về quá trình đó [77]

NL MHH toán học là tổ hợp những thuộc tính của cá nhân người học như KT, KN, thái độ và sự sẵn sàng tham gia vào hoạt động MHH toán học nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả (Henning và Keune, 2007) [71]

Theo Nguyễn Danh Nam (2016) [20], NL MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra

Dựa trên những quan điểm trên và trong thực tế nghiên cứu, chúng tôi quan niệm: “NL MHH toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH và phản ánh về toàn bộ quá trình đó nhằm giải quyết các vấn đề đặt ra”

1.3.2 Các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học

Theo Qi Dan & Jinxing Xie (2011) [52], xác định được các KN của MHH toán học là: (1) Đơn giản giả thuyết; (2) Làm rõ mục tiêu; (3) Thiết lập vấn đề; (4) Xác định biến, tham số, hằng số; (5) Thiết lập mệnh đề toán học; (6) Lựa chọn mô hình; (7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị; (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn Nghiên cứu của Peter Galbraith & Derek Holton (2018) [64], chỉ ra được khung mô hình toán học Maaβ (2006) [84], cho biết các NL phụ của quá trình MHH toán học, gồm: (1) NL hiểu vấn đề và thiết lập một mô hình dựa trên thực tế: (2) NL thiết lập mô hình toán học từ mô hình thực

tế; (3) NL giải quyết các câu hỏi toán học trong mô hình toán học; (4) NL giải thích kết quả toán học trong một tình huống thực tế; (5) NL xác nhận các giải pháp Mogens Niss & Tomas Højgaard (2011) [85] đã đưa ra quan điểm về NL MHH toán học một mặt liên quan đến khả năng phân tích, khả năng giải mã, giải thích các yếu tố và kết quả của mô hình THTT Mặt khác, liên quan đến việc có thể thực hiện hoạt động mô hình trong các ngữ cảnh nhất định, tức là toán học hóa và áp dụng nó vào các tình huống ngoài toán học Hoạt động MHH chứa các yếu tố: Thứ nhất, khả năng cấu trúc tình huống thực tế sẽ được MHH; Sau đó, có thể thực hiện một phép toán của tình huống này, tức là chuyển đổi các đối tượng, quan hệ, công thức vấn đề, v.v thành các thuật ngữ bậc thang toán học dẫn đến một mô hình toán học; Tiếp đến, là làm việc với mô hình kết quả, bao gồm giải quyết các vấn đề toán học bằng cách đánh giá nó cả bên trong (liên quan đến các thuộc tính toán học của mô hình) và bên ngoài (liên quan đến tình huống được MHH) Hơn nữa, có khả năng phân tích phản ánh về mô hình đến các mối quan hệ liên quan đến mức độ và khả năng sử dụng mô hình, khả năng thay thế mô hình; Cuối cùng, là có thể giám sát và kiểm soát toàn bộ quá trình MHH Một số nghiên cứu trong nước liên quan đến NL MHH như Phan Anh (2012) [1], Lê Hồng Quang (2020) [29] cũng đã xác định được một số thành tố của NL MHH toán, Chương trình GDPT năm 2018 đã xác định biểu hiện cụ thể và yêu cầu cần đạt của NL MHH toán học ở cấp THPT như sau:

Biểu hiện của NL MHH Yêu cầu cần đạt được

Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, hình vẽ ) cho tình huống xuất hiện trong bàitoán thực tiễn

Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ,bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong mộtsố bài toán thực tiễnGiải quyết được những vấn đề toán học

trong mô hìnhđược thiết lập

Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tếvà cải tiến được mô hình nếucách giải quyết không phùhợp

Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay

không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơngiản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết,tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được.

Những quan điểm trên là điểm tựa cho tác giả xác định các thành tố của NL MHH toán học của HS THPT Tác giả nhận thấy, cốt lõi của hoạt động rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS chính là khả năng xây dựng mô hình toán học, tức là chuyển đổi các yếu tố của tình huống thực tế sang các khái niệm, mệnh đề, công thức, biểu đồ, đồ thị toán học Tác giả xác định các thành tố của NL MHH toán học ở bảng sau đây:

Năng lực thành phần Kỹ năng thành phần (biểu hiện cụ thể)

Năng lực hiểu vấn đề và mô tả vấn đề thực tế

Đơn giản giả thiết (sàng lọc, nhận biết và hiểu đúng về thông tin, giữ lại những thông tin cần thiết) Làm rõ mục tiêu (Đối tượng đã cho, đối tượng cần tìm, đối tượng chưa biết có liên quan đến đối tượng cần tìm, phát biểu lại vấn đề)

Hiểu được tình huống

Năng lực

xây dựng mô hình toán học

Chuyển đổi các yếu tố thực tế sang đối tượng, đại lượng toán học

Sử dụng các kí hiệu toán học

Thiết lập các mệnh đề toán học (Thiết lập được quan hệ giữa các biến, hàm, phương trình, công thức và xác định được hàm mục tiêu)

Lựa chọn mô hình và biểu diễn mô hình bằng hình vẽ, biểu đồ, đồ thị, …

Năng lực làm việc trên mô hình toán học

Tư duy và lập luận logic

Lựa chọn và sử dụng phương pháp giải phù hợp với bài toán

Tính toán chính xác và trình bày kết quả

Năng lực phân tích, kiểm định và điều chỉnh mô hình

Giải thích kết quả thu được, chuyển đổi lời giải toán học sang lời giải cho tình huống thực tiễn ban đầu Kiểm tra, đánh giá kết quả thu được với thực tế Phản ánh, đối chiếu lời giải với thực tế để cải tiến mô hình

Với những thành tố của NL MHH nói trên và dựa vào kết quả nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2022) [21], chúng tôi xây dựng thang tiêu chí đánh giá NLMHH toán học như sau:

Bảng 1.1 Thang tiêu chí đánh giá NL MHH toán học và các mức độ biểu hiện của mỗi tiêu chí trong dạy học hình học ở THPT

NL thành

phần

KN và tiêu chí cho từng

KN

Các mức biểu hiện của mỗi tiêu chí và mức điểm tương ứng

Mức 1 Mức 2 Mức 3 Mức 4 Mức 5 [0-2] (2-4] (4-6] (6-8] (8-10]

Năng lực hiểu vấn đề và mô tả vấn đề thực tế

Đơn giản giả thiết (sàng lọc, nhận biết và hiểu đúng về thông tin,

giữ lại những thông tin cần thiết)

Không đơn giản hóa được vấn đề

Không thấy được thông tin đã cho và thông tin liên quan

Đơn giản hóa được một phần của vấn đề Thấy được một vài thông tin đã cho nhưng không thấy được thông tin có liên quan

Đã đơn giản hóa được vấn đề nhưng chưa cụ thể Xác định được một số thông tin chính đã cho và thông tin liên quan

Đã đơn giản hóa được vấn đề có thể tiến hành được các bước tiếp theo Xác định được toàn bộ thông tin cốt lõi và thông tin liên quan nhưng chỉ hiểu đúng một phần các thông tin đó

Đã đơn giản hóa được vấn đề rõ ràng và tinh gọn

Hiểu đầy đủ và đúng tất cả thông tin cốt lõi và cần thiết đã cho và thông tin có liên quan

Làm rõ mục tiêu (Đối tượng đã cho, đối tượng cần

tìm, đối tượng chưa biết

có liên quan đến đối tượng

Không xác định được mục tiêu:

- Đối tượng đã cho: không xác định được - Đối tượng cần tìm: không xác

Đã xác định được một phần của mục tiêu: - Đối tượng đã cho: xác định được

- Đối tượng cần tìm: xác định được

Đã xác định được quá bán mục tiêu: - Đối tượng đã cho: xác định được

- Đối tượng cần tìm: xác định được

Đã xác định được gần hết mục tiêu:

- Đối tượng đã cho: xác định được

- Đối tượng cần tìm: xác định được

Đã xác định được chính xác mục tiêu: Đối tượng đã cho: xác định được

- Đối tượng cần tìm: xác định được

cần tìm, phát biểu lại vấn đề)

định được - Đối tượng liên quan: không xác định được - Phát biểu lại vấn đề: không phát biểu được

- Đối tượng liên quan: không xác định được - Phát biểu lại vấn đề: Sai

- Đối tượng liên quan: xác định được - Phát biểu lại vấn đề: phát biểu đúng quá bán của vấn đề

- Đối tượng liên quan: xác định được - Phát biểu lại vấn đề: Phát biểu đúng vấn đề nhưng khó hiểu

- Đối tượng liên quan: xác định được

- Phát biểu lại vấn đề: chính xác, dễ hiểu và tinh gọn

Hiểu được tình huống

Không hiểu tình huống:

Không có giả định nào

Đã hiểu một phần của tình huống: Có giả định nhưng sai hoặc không liên quan

Đã hiểu quá bán của tình huống: Đã nêu được giả định liên quan đến mô hình nhưng giả định còn phức tạp

Đã hiểu gần hết tình huống:

Đã nêu được giả định liên quan đến mô hình

Giả định đúng nhưng chưa giải thích được rõ ràng

Đã hiểu toàn bộ tình huống: Đã được nêu giả định liên quan đến mô hình

Hiểu đầy đủ các giả định và giải thích các giả định là thuyết phục dựa trên thực tế Năng

lực xây dựng mô hình toán học

Chuyển đổi các yếu tố thực tế sang đối tượng, đại

Không chuyển đổi các yếu tố thực tế sang đối tượng, đại lượng

Chuyển đổi được một phần các yếu tố thực tế sang đối tượng, đại

Chuyển đổi được quá bán các yếu tố thực tế sang đối tượng, đại

Chuyển đổi được các yếu tố thực tế sang đối tượng, đại lượng toán học nhưng chưa

Chuyển đổi được các yếu tố thực tế sang đối tượng, đại lượng toán