Dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

Dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

LÝDOCHỌNĐỀTÀI

1.1 MHH toán học có vị trí rất quan trọng trong giáo dục và thực tiễn, MHH toán học được giảng dạy từ cấp tiểu học đến trung học phổ thông và thậm chí cả đại học Trong thực tiễn, MHH toán học được sử dụng rộng rãi ở các lĩnh vực như khoa học kĩ thuật, kinh tế, y tế, xã hội học, … Nó có vai trò giúp học sinh có khả năng giải quyết vấn đề đơn giản hơn bằng cách sử dụng các mô hình toán học như hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, phương trình, … MHH toán học cho phép dự đoán được những vấn đề xảy ra trong tương lai như thời tiết và tài chính hay sự phát triển dân số nhờ vào những mô phỏng, mô hình được xác lập Với vị trí, vai trò trên của MHH toán học nó sẽ mang lại ý nghĩa thiết thực trong giáo dục, giúp HS phát triển được tư duy logic, tư duy phân tích, khả năng giải quyết vấn đề, … từ đó áp dụng vào thực tiễn nhằm cải thiện chất lượng trong sản xuất, tài chính và nghiên cứu khoahọc.

1.2 PhươngphápDHtoánởTHPTvẫn còn mang nặngtínhlýthuyết chưathậtsự đềcaotínhứngdụngtoán học vào cuộcsống Trongquá trìnhDHtoán,mặcdù đã cónhiềuthayđổivềphươngphápsongvẫn còntheokhuôn mẫuthườngthìdạylýthuyết xongrồigiảibàitập theotừngnhóm,dạng,chủđề,liênhệtoán học với thực tiễn chưaxuấthiện nhiều Trongkhiđó,ởnhiều nước khác,họ đềcao tínhứngdụngtrong dạy học toánnhấtlàliênhệtoánvới thựctiễn,vìthếphươngphápDHthể hiệnrõ sựcộng tác, làmviệc theonhóm,tươngtác giữaGV vàHS, giữaHSvớinhau,kết nốicuộc sốngvào từng chủđềtoánhọc,họtậptrungvào khảnăng sángtạovàgiải quyếtvấnđềthựctiễn của học sinhvàxem MHH nhưlàmộthoạtđộngDHtoánhọc.

Hiệnnay,thế giớiđangngày càng nhậnthứcđượcvai tròto lớncủa MHHtoánhọcvàtầm quantrọngcủanótrong cuộcsống,chínhvìthếhọđang tìmkiếmconđườngđể cóthểdạychoHS vềnó.

Nhưvậy,mộtphươngphápDHhướngđếnviệcrèn luyệnvàphát triểnNLMHHtoánhọc nói chungvàhình học nói riênglàcầnthiết.

1.3 Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 của nước ta chú trọng MHH toán học và xác định NL MHH toán học là một trong năm NL toán học cốt lõi của chương trình, ở các cấp học khác nhau thì biểu hiện NL MHH toán học có những đặc trưng riêng và được thể hiện qua các thành phần NL sau: Xác định mô hình toán học (gồm công thức, phương trình bảng biểu, đồ thị, …) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn; Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp [2] Nhiều nội dung toán học ở trường THPT có tiềm năng để rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS, trong đó nội dung hình học chưa được khai thác nhiều trong các nghiên cứu ở trên thế giới và ở ViệtNam.

1.4 Trong những năm qua, đã có nhiều nghiên cứu về vận dụng toán học vào thực tiễn, MHH toán học và phát triển NL MHH toán học trong DH ở các cấp học khác nhau Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu về việc DH hình học theo hướng phát NL MHH toán học cho HS ở cấpTHPT.

Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho Luận án là: “Dạy họcHình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh”.

MỤCĐÍCHNGHIÊNCỨU

Đề xuất các biện pháp DH hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NLMHH toán học cho học sinh.

NHIỆMVỤNGHIÊNCỨU

- Làm sángtỏ hệthống khái niệm,cácluậnđiểm về NL MHH toánhọc,DHtheohướngpháttriểnNLMHHtoánhọckhidạyhìnhhọclàmcơsởlýluậnchođềtài.

- Phân tích và tổng hợp một số quan điểm của các nhà khoa học về vấn đề MHH toán học trong DH ởTHPT.

- Phân tíchnhữngcơhộipháttriểnNLMHHtoán học choHStrongDHhình họcởTHPT.

- Phân tíchthựctrạngDH hình họcởTHPTtheo hướng phát triểnNLMHH toánhọcchoHS.

- Đề xuất các biện pháp DH hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học choHS.

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đềxuất.

KHÁCHTHỂVÀĐỐITƯỢNGNGHIÊNCỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp DH hình học theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HSTHPT.

GIẢTHUYẾTKHOAHỌC

Trên cơ sở xác định được một số thành tố chủ yếu của NL MHH toán học, quan niệm và việc vận dụng DH MHH toán học cho HS THPT, nếu xây dựng và thực hiện được một số biện pháp sư phạm thích hợp về DH hình học thì sẽ giúp HS rèn luyện và phát triển được NL MHH toán học, góp phần vào việc nâng cao chất lượng DH toán.

PHƯƠNG PHÁPNGHIÊNCỨU

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho NL MHH toán học của HS THPT và việc rèn luyện để phát triển NL này trong DH toán, đặc biệt là trong DH hìnhhọc.

- Phương pháp điều tra, khảo sát: Điều tra hoạt động dạy của GV, hoạt động học tập của HS bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn luyện NL MHH toán học cho ngườihọc.

- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về các vấn đề nghiên cứu của đềtài.

NHỮNGLUẬNĐIỂMĐƯARABẢOVỆ

- MHH trong hoạt động học hình học của HS có những đặc điểm chung với hoạt động MHH toán học và có những đặc điểmriêng.

- Có thể xác định được những cơ hội trong DH hình học nhằm rèn luyện và phát triển NL MHH toán học choHS.

- Hệ thống các biện pháp sư phạm khi DH hình học có cơ sở khoa học và có tính khả thi, góp phần rèn luyện và phát triển NL MHH toán học choHS.

NHỮNGĐÓNGGÓPCỦALUẬNÁN

Vềmặtlíluận

- Làm sáng tỏ thêm về NL MHH toán học của HS phổ thông, trong DH toán, các đặc điểm riêng của MHH toán học trong hoạt động hình học của HS THPT và các cấp độ của MHH toán thể hiện trong DH hìnhhọc.

- Xây dựng được khung tiêu chí đánh giá NL MHH toán học và các mức độ biểuhiệncủa mỗi tiêu chí trong DH hình học ởTHPT.

Vềmặtthựctiễn

- Xác định một số cơ hội DH hình học theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HSTHPT.

- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm để DH hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học choHS.

- Xây dựng các hướng dẫn DH một số nội dung cụ thể giúp GV THPT trong dạy học Toán theo hướng phát triển NL MHH toán học.

- Xây dựng các bài tập, tình huống theo chủ đề hình học nhằm hỗ trợ khả năng MHH toán học của HS THPT trong học tập và thựctiễn.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Tổngquannghiêncứuvấnđề

Toánhọc ứngdụngvà MHH toán họctrong giáodục toánchínhthứcxuất hiện tại hộinghị củaFreudenthalnăm1968,tạiđâycácnhà giáodụctoánđã đưa ranhiều vấnđềliên quanđếnMHH Theo Siller (2011)[91],dạytoánnhưthế nàođể cóích? Klamkin (1968) tríchdẫntầmquantrọngcủa toán học cho các ứngdụng:“cóíchcónghĩalàgiảngdạytoánhọcsaochonócóthểđượcápdụng”.Sựphụthuộclẫnn haucủatoánhọcvàcác ứng dụngkhông được thảo luậncho đến hộinghị

“Anwendungsorientierte Mathematik”cácnước nóitiếngĐức diễn ra Cáckhíacạnhcủatoán học ứng dụngtrong giáodục lầnđầu tiên đượcđưa vào vàthảo luận dướigócđộkhoahọc, MHH toánhọc trong giáodục đượcthiếtlậpbởithànhtựu củaPollak,đặc biệtlàđưaracácvấn đềtrongthếgiớithựcvàogiáo dụctoán, trong chươngXIIcủa mình,sựtương tác củatoán họcvàcácMHK, Pollakxácđịnh lĩnhvực toán học ứng dụngcầnđược tích hợp vào mộttình huống toán học tronglớp học: (1)Toánhọc ứng dụng cónghĩalàtoánhọc ứng dụngcổđiển; (2)Toánhọc ứng dụng cónghĩalàtấtcảcáctoánhọc cóýnghĩa thiếtthực ứngdụng;(3)Toánhọc ứngdụngcónghĩalàbắt đầu với một tìnhhuống trong cuộcsống thực, giảithíchtoán họchoặcmôhình,sửdụngtoán họclàmviệctrong mô hình đóvàáp dụng kếtquảvàotình huốngbanđầu;(4)Toán họcứngdụngcónghĩalàápdụngtoán học vàocuộcsống.

MHH toán học vàtoán họcứngdụngđược các nướctrênthếgiới quan tâm, chẳng hạn:tổchức hợp tác vàphát triển kinhtế(OECD)xâydựng Chươngtrình đánhgiáHSquốctế (TheProgrammeforInternational Student Assessment)-PISA vàocuốithậpniên

90.PISA đánh giá khảnăngHS vận dụng KT, KN đọcđểhiểunhiều tài liệu khác nhaumàhọcó thể sẽ gặpvàgiải quyết trong cuộcsốnghàng ngày;khả năng vận dụng KTtoánhọcvào cácTHTT PISA cũngđềcaoNLMHHtoánhọc của HS Hội nghịquốctếvề dạy MHHtoánhọcvàápdụngtoánICTMA (International Conferenceson theTeachingofMathematical ModellingandApplications)tổchức hainămmộtlần với mụcđíchthúcđẩyứng dụngtoánhọc và MHH toán họctrong tấtcảcác lĩnhvực củagiáodụctoán.Từhội nghịlầnthứ4(2005)đến hộinghịlần thứ8(2013)củahiệphộinghiêncứu giáo dụctoán châuÂuCERME (CongressofEuropean ResearchinMathematics

Education),MHHvàápdụngtoánlàmộttrongnhữngchủđềchínhcủathảoluận. Được xemlàmộtcáchnângcao khảnăng giải quyếtvấn đềtrongcuộcsốngthựccủaHS,MHHtoánhọcngàycàngđượcnhấnmạnhnhưlàmộtphươngphá pchogiáodụctoánhọc từcấptiểu học đến đạihọc.MHH trong DHtoánđãđược đề cập vànghiêncứu từ rấtlâu.Về cơ bản, nhữngnghiêncứu về MHHtrongDHtoánchủyếu đượcthựchiệntheo3hướng chính:(1)Nghiêncứu các vấnđề líluận liênquanđến MHHtrongDH toánhọc, (2)Nghiên cứu vận dụng MHHtrongDHtoán học, (3)Nghiêncứuvềphát triểnNLMHH cho HStrongDHtoánhọc.

1.1.1 Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến mô hình hóa trong dạyhọc toánhọc

Khi xem xét các tài liệu liênquanđến lí luậnvềMHHtrongDHtoán,có thểthấyrằngđã có nhiềunghiêncứuđượcthực hiện trên chủđề này ởtrongvàngoài nước.Mặcdù,ngàycàngcónhiềunghiêncứuquantâm đến MHHtrongdạyhọctoán nhưngđócúsựkhỏc biệtvềcỏch khỏiniệmhúacấutrỳc này.Chẳng hạn,M.Blomhứj (2009) [39]trong nghiêncứu“Different perspectivesonmathematical modellingineducationalresearch”đãnêurasáuquan điểm về MHHtronggiáo dục, bao gồm:Thựctế, ngữcảnh, giáodục, tri thức,nhậnthức, xã hội và phêphán.Ýtưởng chớnhcủaBlomhứj (2009)làtớchhợp mụhỡnhvà quỏtrỡnhMHHvàoviệcgiảngdạytoỏn học,khôngchỉnhưmộtphươngtiệnđểhọc toán học mà còn là mộtNLquan trọngmàHS cầnphát triển.Xem MHH nhưmột phươngtiệndạyhọctoán đồng thờinhưmộtmụcđích của việcdạytoán,

A.KürşatERBAŞvàcộngsự(2014)[55]đãdựatrêncácquanđiểmvềmôhình,môhình toánhọc, MHH toánhọccủa các nhà giáo dụcnhư quanđiểm môhìnhcủaLeshvàDoerr (2003a):“Một môhìnhbao gồm cả hệthống kháiniệmtrongtâm trí người học vàhệthốngkýhiệu bênngoàicủacáchệthống này”;môhìnhtoán học củaLehrer&Schauble (2003):“Môhình toánhọc bao gồmmộtloạt các biểu đồ,phép tínhvà mối quan hệ, chứkhôngchỉgiớihạn vào một mô hìnhduynhất, đểgiúphiểu rõ hơnvềcác tình huốngthựctế”;MHHtoánhọccủaVerschaffel, GreervàDeCorte (2002):“MHH toánhọc làmộtquá trình trongđócáctìnhhuống và mốiquanhệtrongđờithực đượcxác địnhđược thểhiện bằng cáchsửdụng toánhọc”đểphát triểnmộtquanđiểm thống nhất về mô hìnhtoán học, đồng thờiphântíchvàthảo luậnvềhai cách tiếp cận việc sửdụngMHHtronggiáo dục toánhọc và cho rằngdùcách tiếp cậnnàođượcưathíchvàsửdụngthì việctíchhợp MHH vàogiáodụctoánhọc đều rất quantrọngđể cải thiện khảnănggiảiquyếtvấn đềvàtưduyphântíchcủaHS MHHcũngđược xem nhưlàmộtcôngcụ DH,A.Bora,S.Ahmed(2019)

[47]quanniệm:“MHHtoánhọclàquátrìnhxâydựngmộtmôhìnhtoán học”, hoạtđộng MHH là hoạtđộnggiảiquyết cácvấn đề phức tạpxuất hiện trong tình huốngthực tế đòi hỏi tạoramột môhình toánhọc như một sảnphẩm Trong nghiêncứunày,đãtrìnhbày cấutrúclýthuyếtcủa các hoạt độngthúcđẩy đểtạoramôhìnhđược xem là một côngcụcầnthiết trongviệcDHtoán,nhằmtómtắtmột quá trình pháttriển mô hình đượcxây dựngbởi GV.TheoA.Perez (2014)

[87],MHHtoánhọclàquátrìnhl ấ y mộtvấnđềthựctếvàtìmkiếmgiảipháptốiưubằngcáchsửdụ ngtoánhọc,theoquanđiểmnàyông cũng xác định đượcvaitrò của MHHtoánhọctrongcáctiêuchuẩn cốt lõichungvàđánhgiávềkhảnăngMHH toán học của HS các cấp học, qua đóđãtrìnhbàycáclợi íchvànhữngrào cản khókhănkhi DHthôngqua MHH toán học.Trongtài liệu“Nghiêncứu vậndụng phươngpháp MHHtrongDHmôn toánởtrườngphổthông”củaNguyễn DanhNam(2016)[20] tác giả đãtrìnhbàymộtcáchtổng thểcácvấn đềlýluận về MHHtrongdạyhọctoán,cùng vớiphương phápDH MHH sẽgiúpHSlàm quenvớiviệcsử dụng các loại biểudiễndữliệukhácnhau;giảiquyếtcác bàitoánthựctiễnbằngcáchlựa chọn vàsửdụng cáccôngcụ,phương pháptoán học phù hợp.Qua đó, giúpHShiểu sâu,nắm chắc cácKTtoánhọc,vàcóthểrèn luyệnđược cácthaotác tưduytoánhọc như phântích vàtổnghợp, trừu tượng hóa và tổngquát hóa,sosánhvàtươngtự, hệthốnghóa và đặcbiệt hóa,suydiễn vàquynạp,…,đồng thờicònhỗtrợ

L.T.H Châu (2013)[15] cho rằngtrongDHtoánMHHlà mộtquátrìnhcấutrúclại vấn đề cần giải quyết nhờ nhữngkháiniệmtoánhọc được lựachọnmộtcáchphù hợp Quátrìnhnàythực hiệntheo4bước:Xâydựng môhình trung giancủavấnđề;xâydựng môhìnhtoánhọcchovấnđềđangxét;sửdụngcôngcụtoánhọcđểkhảosátvàgiảiquyếtbàitoánhìn hthànhởbướcthứhai;phântíchvàkiểmđịnhkếtquảthuđượctrongbướcba.

Bêncạnhsựkhác biệtvềcách kháiniệmhóa,sựkhácbiệttrongphânđịnhcác bước của chutrìnhMHHtoánhọccũng đã tồn tạitrongcácnghiêncứuvềMHHtrongDHtoán.Trong nghiờncứu củamỡnh,Blum vàLeiò (2005)[43]đó đề xuấtchutrỡnhMHHgồm7bước,tậptrungvàogiaiđoạn đầu của quátrìnhMHHtừtình huốngthựctếđếnmôhìnhthực tế.Chutrỡnhđượcđềxuấtcủa BlumvàLeiò(2005)đócung cấpmột cỏi nhỡnsõu hơnvềcỏch MHH thựchiệnviệcchuyểnđổi từtìnhhuống thực tếsangbiểudiễnmôhình Trongkhi đó,Kaiser(2005)[75]chỉ ra rằng chutrìnhcủaMHHtoánhọc mộtcáchcụthể,đólà,nắm bắt chitiếttừngbướccủaviệchiểutìnhhuống thực tế đến tạo mô hìnhtoánhọc, rồitừmôhìnhtoán học đếnviệc kiểmchứng kếtquả Borromeo Ferri(2006)[48]nhấn mạnh vàosựkhác biệtgiữa cáckhíacạnh củaMHH,từ việc phân biệt giữamôhình tìnhhuống và môhìnhthực tế đếnviệc không phânbiệt giữachúng.Stillmanvàcộngsự(2007)

[94]môtảquátrìnhMHHgồm7bước,cácbướccómốiquan hệ haichiềuvới nhauvàchú trọng đếntoànbộquátrìnhMHHđểxemxéttính phùhợpvới thực tế và nhận thức của HS.Việcáp dụngquytrìnhnàytrongdạy họctoánsẽ giúp HShiểukỹhơn từngbướcMHH củaquytrìnhvà từđó cácemcó khảnăngMHHtoán họcđược tốt hơn[95].

Liên quanđến đánh giá MHHtrongDHtoán,cóhaiquan điểm tươngphảnvớinhau mạnhmẽ(Hidayat,R.vàcộngsự,2022)[72] BlomhoejvàJensen (2003) [40],đãphânbiệt giữaphương pháptoàn diện(holistic)vànguyêntử(atomistic) Trong phươngpháptoàn diện,HStham gia vào quátrìnhMHH toánhọcmột cáchđầy đủ,bao gồm:đềxuấtvấnđề,phânloại,toánhọchóa, phântíchmôhình, giảithíchkếtquảvàđánhgiátínhhợp lý của môhình.Quađó,HScó thểkhám phá tất cả các khía cạnhcủavấnđề, nhưngnó lại tốnthờigianvàcôngsức vìphảitoán học hóavàphântíchvấnđề,trongkhi đó,thời gian dànhcho việcgiải quyếtvấn đề thực tếbằng cách chuyểnđổi sự phứctạpcủathếgiới thựcthành cácmô hìnhtoánhọcbịhạnchế,phương pháptoàn diệntrong nghiêncứuhiệnnaylàhiếm(Frejd,2012)

[57].Tuynhiên,gầnđâycácnghiêncứuđãcốgắngápdụngtiêuchítoàndiệnđểđánhgiákhảnăngM HHcủaHS(Changvàcộngsự,2020[49];Rellensmannvàcộng sự, 2020[88]);Tong và cộng sự, 2019[97]) Phương pháp nguyêntửđược Frejd (2013)[58]nghiêncứu qua việckiểmtrabằngbài viết, chútrọngtậptrung vàosản phẩmthay vìquá trình,còntheo Blomhoej&Jensen (2003)tậptrungvào các bướctoánhọc hóavàphântích môhình toánhọctrongchutrìnhMHH.Một lý dorấtquan trọngcủa các nhànghiêncứu khisửdụngphương pháp nguyêntửtrongdạyhọctoánhọc là vìnóthúcđẩyviệchọctoán (Frejd&Bergsten,2018)[59].Cho đếnnay,cácnghiêncứu gầnđây đã cốgắngsửdụngphương phápnguyêntửđểđolường khảnăngMHH toán học củaHS(Fu,J.,&Xie, J.,2013)[63]vàkết hợpgiữatiêu chínguyêntửvàtoàn diện (Durandt,R.,Blum, W.,&Lindl, A., 2021)[54].

1.1.2 Nghiên cứu về vận dụng mô hình hóa trong dạy học toánhọc

Dựa trên kết quả của nhữngnghiêncứu vềcácvấnđềlíluận liênquan đếnMHHtrongDHtoán học,nhiềutác giảđãtiến hànhcác nghiêncứuvềviệc vậndụngMHHtrongDHtoánchongườihọcvà đâymộttrong những hướng nghiêncứuđã vàđangnhậnđượcnhiềusự quan tâm.Việcvận dụngMHHtrongDHtoán hiệnnayđượccác nhànghiêncứutriển khaitheonhữngcon đường vàcách tiếpcận rấtphong phú,trảidàiởcácbậchọckhácnhau. Ởcấptiểu học,đãcómột sốnghiêncứu trong vàngoài nướcvềvận dụngMHHtrongDHtoán,có thể kể đếnmộtsốnghiêncứutiêu biểucủaLâm ThùyDương- TrầnViệt Cường (2018)[5],Lê Thị ThuHươngvàĐinhThị HồngLiên (2019) [14]hayJames

J.Watters, Lyn English,và Sue Mahoney(2004).Trongđó, hainghiêncứuởViệtNam(LâmThùyDương-TrầnViệtCường (2018),Lê Thị ThuHươngvàĐinhThịHồng Liên (2019))đều thựchiện việcđềxuấtquytrìnhMHH gồm bốnbước:Toán họchóa;giải bàitoán; thông hiểu/hiểu vàthông dịch;đốichiếu,kiểm định kết quả/ đốichiếuthực tế đểthiếtkếcácbài toánsốhọc,hìnhhọctheoquytrìnhnàyvàvậndụngvàotổchứccáchoạtđộngdạyhọc cho HS.NghiêncứucủaJamesJ.Watters, Lyn English,và Sue Mahoney(2004)[102]tập trung vào thiếtkếcáctrải nghiệm “trướcMHH” cho HS lớp3,các hoạtđộng trải nghiệmMHH được thựchiện trong quá trìnhDH, nhữnghoạtđộngnàylà cơhộiđểkhámphácáchsuynghĩtoánhọccủatrẻ,cùngvớisựtươngtáccủaGVđãđưacácemvào tình huốngcụthể,kết quả chothấyđãnângcaođượckhả năng tham gia vào cáchoạt độngMHHtoánhọc của các em,nhiềuýtưởngnổi bậtxuất hiện, chất lượnghọctậpđượccảithiệnnhấtlàkhảnăngsửdụngbảngcủacácem. Ở cấp THCS, vận dụng MHH vào DH toán được đề cập trong rất nhiều nghiên cứu, có thể kể đến một số nghiên cứu của Ok-Ki Kang, Jihwa Noh (2012), Emineệzdemir,Devrim ĩzel(2013),Gloria Stillman(2010), Trong nghiờn cứu của mình, Ok-Ki Kang, Jihwa Noh (2012) [74], thông qua những ví dụ được thiết kế để minh họa quátrìnhsửdụngcácvấnđềtrongSGKnhằmtạoramộttìnhhuốngchânthựchơn,nơi mà HS tham gia vào một quá trình lặp lại trong việc xác định biến, hình thành một mô hình,diễngiảikếtquảvàxácnhậnmôhình.Trongnghiêncứunày,Ok-KiKang,Jihwa Noh (2012) cho rằng vai trò của GV là rất quan trọng để giúp học sinh biểu đạt - kiểm tra - điều chỉnh suy nghĩ của họ theo hướng có hiệu quả Thực hiệnmộtnghiên cứu trường hợp trên 38 HS lớp 8 được chọn ngẫunhiờntại một trường thực hành, Emineệzdemir,Devrim ĩzel (2013) đã cho thấy hiệu quả của việc vận dụng MHH trong DHtoỏnởbậcTHCS.TrongnghiờncứucủaEmineệzdemir,Devrimĩzel(2013)[53],cỏcgiỏoỏn giảng dạy dựa trên MHH được thiết kế bởi GV dạy toán tiềm năng, những GV nàyđãđượcđàotạovềMHHtrongvòng3tháng.GVchuẩnbị“Kếhoạchdạyhọchàngngày”gồm ba phần: phần chính thức (ngày thực hành, trường thực hành, lớp, lĩnh vựchọc,lĩnhvựchọcphụ,mụctiêu,thờigian,chiếnlược- phươngpháphọcvàkỹthuật,vậtliệuđượcsửdụng);phầnhoạtđộngchuẩnbị(đólàmộthoạtđộngđ olườngsựsẵnsàng vàcótácdụngtrongviệcchuẩnbịHSđểchuyểnsangnhiệmvụMHH);phầnxửlý(yêu cầuxácđịnhmộtnhiệmvụMHHquantrọng,phùhợpvớilớphọccủaHS,lĩnhvựchọc,lĩnhvựchọcph ụ,mụctiêuhọctậpvàquátrìnhMHH).HSởcáclớphọcđượcchiatheo nhóm dựa vào kết quả học tập được GV đánhgiá,nhiệm vụmô hìnhđược GVgiaocho từng nhóm, GV đóng vai trò hỗ trợ và hướng dẫn cho từng nhóm khi cầnthiết,cuối tiết họccácnhómtómtắtlạivàgiảithíchkếtquảchonhau.Nghiêncứunày,bướcđầuđánh giá vận dụng MHH trong DH có hiệu quả, HS rất thú vị trong các nhiệm vụ MHH vàthoảimái vui vẻ khi học toán bằngcáchsử dụng MHH.Việcáp dụng phương pháp DHtheoc o n đ ư ờ n g t i ế p c ậ n M H H t r o n g D H t o á n l i ê n q u a n đ ế n t h ự c t ế đ ư ợ c G l o r i a

Stillman(2010) [92] đề cập trong nghiên cứu “Implementing Applications and Modelling in Secondary School: Issues for Teaching and Learning” nhằm tạo ra sự hấp dẫntrongquátrìnhhọctậpcủaHS,đặcbiệtlàcáchGVxâydựngcácbàihọcvàquảnlý chuỗi nhiệm vụ theo thời gian, để hỗ trợ sự tiến bộ của HS mà trọng tâm là đặt vào bảnchấtcủa việc MHH và các nhiệm vụ MHH.

Ngoàira, vậndụngMHHtrongDHtoánởbậc Đại học cũng đượcnhiềunhànghiêncứu quan tâm,cóthể nhắc đếnnghiên cứucủaĐồngThị HồngNgọc(2022),PhạmMỹHạnhvàTrầnThịNgọcGiàu(2021), Alsina,C.(2007),

….Vớinghiên cứu “Dạyhọcmôhìnhhóatrongmôn XácsuấtvàThốngkêchosinh viênngànhKinhtế vàQuảntrị kinhdoanh”,Đồng ThịHồngNgọc(2022) [24],đãđềxuấtcácbiện pháp đểDHMHH toánhọc trongmôn Xácsuất–Thốngkêdành chosinh viênngànhKinhtếvàQuản trịkinhdoanh, trong nghiêncứunày,tácgiảcũngxây dựng đượccácvídụ,bàitậpvàtình huống thựctiễn để làmtưliệu trongdạyhọccủaGV vàtàiliệuthamkhảocho sinh viên.Trong nghiên cứu“Vậndụng phương phápmôhìnhhóa tronggiảngdạy họcphầnđạisố sơcấp ngànhsưphạmtoán”,Phạm Mỹ HạnhvàTrần ThịNgọc Giàu (2021)[8]đãdựa vàosơ đồMHH củaBlumvàLeiB (2006)vàbốn bướcDHtheophươngphápDHbằng MHH củaLêThịHoàiChâu (2014)đềxuất quá trình MHH gồm bốnbước,từ đó tổchức hoạtđộngDHthông qua cácví dụtheo bốn bướcnày Theo Alsina,C.(2007)[36], nhấn mạnhviệcDHMHHởbậc Đại họctrongngữcảnh,việcDHtrong ngữcảnhcóthểcungcấp động lực làm chosinh viên thamgia vào các vấnđềthựctếchủ độnghơn vàkhảnăngMHH tốthơn.

Môhìnhhóatoánhọc

TheoSwetz&Hartzler(1991)[96],môhìnhlàmột mẫu,một đạidiện, một minhhọađượcthiếtkếđểmôtảcấutrúc,cáchvậnhànhcủamộtsựvật,hiệntượng,mộthệthốnghay mộtkháiniệm.Vềmặttrựcgiác,ngườitathườngnghĩđếnmôhìnhtheoýnghĩavậtlý.

Mô hình Mô tả Mô hình quy chuẩn

Mô tả Giải thích Xác định Xác suất

- Môhình vật lý:Làmột bảnsao, thườngkhác vềkíchcỡ,nhưngcócùng nhiều tính chấtvới đốitượng gốcmà mô hình đóbiểudiễn.

- Mô hìnhlýthuyết:Là tập hợp cácquy tắcbiểu diễnmột sự vậthiện tượng trongtưduycủa ngườiquansát.

Theo ĐặngThanhHưng(2017) [13],môhìnhlà đồvậtthaythế hayýniệm(tưduycóchủđịnh)phảnánhmộtsựvậthayquátrìnhcóthậtđangtồntại hoặccóthểsẽxuấthiệntrongthếgiới,chobiếtnhữngthuộctínhbảnchấtnhất,nhữngnguyênlícơbả nnhất,những đặcđiểmnổibậtnhấthiệncóhoặcsẽcócủanómộtcáchtinhgiản,kháiquátvàminhbạch.

- Khi mô hình là đồ vật thì gọi là mô hình vậtchất.

- Khi mô hình là tưduythì gọi là mô hình lí thuyết (hay mô hình quanniệm).

Trongnghiêncứunày,tácgiảdựavàomộtsốquanniệmvềmôhìnhtoánhọcdướiđây:Môhìn htoánhọcởđâycòncóthểhiểulàcáchìnhvẽ,bảngbiểu,hàmsố,đồthị,phương trình,sơđồ, biểu đồ,biểutượnghaythậm chícảcác môhìnhảotrênmáy vitính (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2003 [101]; Van de Walle, 2004 [99]).

Môhìnhtoán học làmộtcấu trúc toán học(đồthị, bảngbiểu,phươngtrình,hệphương trình, biểuthứcđạisố,hàm số, hình vẽ…) gồm cáckíhiệuvàcácquanhệ toánhọc biểu diễn,môtảcácđặcđiểm của mộttình huống,mộthiện tượnghaymột đốitượng thực được nghiêncứu(Swetz&Hartzler, 1991) [96].

Ngoài ra, ta có thể tìm hiểu thêm về mô hình toán học theo sơ đồ sau (Greefrath& Vorhửlter, 2016)[68]):

Sơ đồ 1.1 Mô hình mô tả và mô hình quy chuẩn 1.2.3 Khái niệm mô hình hóa toánhọc

Thuậtngữ MHHtoánhọc có thểhiểulà quátrìnhxâydựng môhình,từmột tìnhhuốngthựctếđếnmộtmôhìnhtoánhọc,hoặctoànbộquátrìnhgiảiquyếtvấnđềđượcápdụng,h oặcđểkếtnốithếgiớithựcvớitoánhọc(Blum,W.,1993)[44].

Edwards & Hamson (2001) định nghĩa như sau: MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận (Blum và cộng sự, 2007) [46].

Theo Trần Vui (2014) [35], MHH toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từng bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý.

Với các phân tíchtrên, chúngtôi quan niệmnhưsau:“MHHtoán họclàmột hoạt động chuyển tìnhhuống thựctiễn/bài toánthực tếsangmô hìnhtoánhọc bằngcáchsửdụngkíhiệu,sơđồ, hìnhvẽtoánhọc, giải quyết vấnđềtrên mô hìnhToánhọc, từ lời giảiToánhọcchuyển thành lờigiải cho tình huống thựctiễnbanđầu”

1.2.4 Mộtsố sơ đồ thể hiện quá trình mô hình hóa toánhọc

Sơ đồ chu trình MHH biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán và thực tế theo cả hai chiều phải kể đến đó là sơ đồ của Pollak (1979) (Xem Ferri, 2006, [56])

Sơ đồ 1.2 Chu trình mô hình hóa của Pollak (1979)

Trong sơ đồ này, Pollak đã chia thành hai phần, phần thứ nhất là toán học bao gồm những kiến thức về toán từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt nhấn mạnh tính ứng dụng của toán, nghĩa là sử dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế Phần thứ hai là từ vấn đề ngoài toán học chuyển thành vấn đề toán học cơ bản nhất, làm việc trong toán học và phản ánh lại thế giới ngoài toán học Pollak đã dùng kí hiệu chiều mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho thấy từ một vấn đề ngoài toán học chuyển qua vấn đề toán học, giải quyết trong toán học và phản ánh lại vấn đề ngoài toán học, chiều mũi tên thể hiện tính tuần hoàn, cho phép lặp lại một chu trình nếu chưa thỏa đáng Sơ đồ của Pollak đã cho thấy được mối quan hệ giữa toán học và vấn đề ngoài toán học, ta cũng hiểu vấn đề ngoài toán học là những vấn đề thực tế trong cuộc sống hằng ngày MHH ngày càng được quan tâm, họ chú trọng tìm ra được một thuật toán cho quá trình MHH, nghĩa làm tìm được một sơ đồ chung nhất về quá trìnhMHH.

1.2.4.2 Sơ đồ của Blum &Leiò

TheoBlum&Leiò (2005)[43] đó sửdụngmột sơđồgồm7bướcđểmụ tả quỏtrỡnh giải quyếtmột nhiệm vụ MHH.Trongsơ đồnày,môhình tình huống nghiêngvềcáchtiếpcậnReussers(1997)[89]vàtíchhợpnónhư giaiđoạnmớitrongchutrỡnhMHHcủahọ Blum vàLeiò nhấn mạnhmụhỡnhtỡnhhuốnglà mộtgiai đoạn quan trọng trong quá trìnhlập môhình,thậm chí làđiều quan trọngnhất.Như vậy,điểmkhác biệt củasơ đồnàylà sự tách biệt giữa mô hình tìnhhuốngvớitình huốngthực tếvàmô hìnhthực,vì họchorằngđâylàmộtgiaiđoạnquantrọngcủaquátrìnhMHH.

Sơ đồ 1.3 Chu trỡnh MHH của Blum và Leiò (2005)

Bước 1: Hiểu tình huống thực tế được cho, phác thảo mô hình cho tình huống đó; Bước 2: Đơn giản hóa, cấu trúc lại tình huống và đưa vào các biến phù hợp để được mô hình thực của tình huống;

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học;

Bước 5: Diễn đạt và giải thích kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

Bước6:Xác nhận tính phù hợp của kết quảhayphải thực hiện quá trình tiếp theo;Bước 7: Trình bày cách giải quyết vấn đề

1.2.4.3 Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown vàEdwards

Ngược lại với hai sơ đồ 1.2 và 1.3, sơ đồ 1.4 không tách biệt giữa thế giới thực và thế giới toán học Theo Stillman và cộng sự (2007) [94], cùng với việc mô tả quá trình MHH thì họ nhấn mạnh tính chất so sánh, phản ánh giữa mỗi giai đoạn hoặc toàn bộ quá trình, đồng thời xem xét lại toàn bộ quá trình có phù hợp với thực tế và nhận thức của HS hay không.

Sơ đồ 1.4 Quá trình MHH của Stillman và cộng sự (2007)

1 Hiểu, cấu trúc, đơn giản hóa, giải thích ngữcảnh

2 Giả định, xây dựng các quan hệ tương ứng của tình huống thực tế và toán học, lập mô hình toánhọc.

4 Giải thích kết quả toánhọc

5 So sánh, phê bình, xácnhận

6 Truyền đạt, giải thích (nếu mô hình được coi là đạt yêucầu)

7 Kiểm tra, xem xét lại quá trình MHH (nếu mô hình được coi là không đạtyêu cầu).

Từ sơ đồ trên ta nhận thấy, từ A đến G, giữa các mục biểu diễn mũi tên đậm được biểu thị là sự chuyển đổi giữa các bước của quá trình MHH Nếu kết quả chưa thỏa đáng thì có thể thực hiện tiếp tục một quá trình đến khi thỏa mãn yêu cầu thì kết thúc Đường đi của hướng mũi tên đậm là những hoạt động nhận thức của HS trong từng bước của quá trình MHH, đường mũi tên nhạt thể hiện sự phản ánh về tính phù hợp giữa các bước, nếu sự phản ánh, đối sánh không phù hợp thì thực hiện tiếp một quá trình, điều này không có nghĩa là quá trình ban đầu không có ý nghĩa mà nó làm sáng tỏ thêm quá trình tiếp theo và phản ánh được nhận thức của HS trong suốt quá trìnhMHH.

1.2.4.4 Sơ đồ quy trình mô hình hóa toán học của Swetz&Hartzler

Mô hình tình huống là điều cần thiết để giải quyết các vấn đề MHH, trực quan nhất của mô hình là hình ảnh của một thực thể vật chất Các hoạt động mô hình tập trung nhiều thời gian trên một phiên bản thu nhỏ của một đối tượng hoặc một tình huống Thuật ngữ mô hình toán học thường đề cập đến cấu trúc toán học tương tự như một vấn đề, hiện tượng trong thế giới thực Quá trình thực hiện hoạt động để tạo ra mô hình và giải quyết trên nó ta gọi là MHH toán học (Swetz & Hartzler, 1991) [96].

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa toán học

Sơ đồ 1.5 cho thấy một quy trình MHH toán học đơn giản, mô tả bốn giai đoạn MHH, đó là: Quan sát, Phân tích, Diễn giải và Ứng dụng Mặc dù, các thuật ngữ được sử dụng có thể khác nhau tùy theo các nhà nghiên cứu nhưng tất cả quá trình MHH đều bắt đầu từ vấn đề trong thế giới thực và có thể được xây dựng thành các vấn đề toán học Các giải pháp toán học thu được thường được giải thích trong bối cảnh thế giới thực trước khi nó có thể được chấpnhận.

- Quan sát: Quan sát hiện tượng trong thế giới thực, xây dựng giả thuyết và thiết lập mô hình toánhọc.

- Phân tích: Phân tích các quan hệ trong mô hình, giải toán trên môhình.

- Diễn giải: diễn đạt và giải thích các kết quả toán học, kết luận nếu mô hình phù hợp và dự đoán phương án tiếp theo cần điều chỉnh môhình.

- Ứng dụng: Dựa vào kết luận về kết quả toán học liên hệ với thựctiễn.

1.2.5 Đặc điểm của mô hình hóa toánhọc Để tìm hiểuđặcđiểm của MHHtoánhọcvànhững nétriêngbiệt của MHHhìnhhọc trongDHthì mộtsốđặc điểm phổbiếncủahọc toán và học hìnhhọccủaHSTHPTcũng đượccần xemxét:

- Đặc điểm học toán của HSTHPT:(1)Tư duylogic: Việchọc toánluônđòi hỏi HS phảicókhảnăngsuyluận,suydiễnvàphân tích vấn đề có tính hệ thống; (2)Tính trừutượng:ToánhọccấpTHPTthườngcóchứanhiềukháiniệmtrừutượnghơnởcấp học trước,đòi hỏiHSphảicó khảnăngápdụng cáckháiniệmvànguyênlý vàocác tình huốngkhácnhau;(3) Khảnănggiảiquyếtvấnđề:HSsử dụngcáckiến thứctoánhọc vàogiải quyếtcác bàitoán,chủđề,vấn đề phứctạp;(4) Tính ứngdụng:Đólàviệcáp dụngkiếnthức vàogiảiquyết các vấn đề thựctiễn; (5)Kỹnăngtính toán:HS cầnphải pháttriểnkỹnăngtínhtoáncơbảnvànângcao để giảiquyếtcác bàitoántoán học.

- Vì các đốitượng nghiêncứu của hình học làđiểm,đườngthẳng, đoạn thẳng,mặtphằng,đagiác,đadiện,…và cácquanhệhìnhhọcnhư vuônggóc, songsong,chéonhau, gócgiữađường thẳngvàmặtphẳng,…nênngoàicónhữngđặc điểm họctoáncủaHSTHPTthì đặc điểm họchìnhhọccủaHS THPT cónhữngnétriêngnhưsau: (1)Tínhtrựcquan:Ởcấp họcnày,nộidungvềhìnhhọc khônggian đượcđề cậptươngđốinhiều,đòihỏiHS phải có khảnăngnhìnnhậnvà hiểu các mốiquanhệ giữacác đối tượng hìnhhọctrong không gian;(2)Kỹnăng biểu diễn hìnhhọc:HS cần phải có khả năng vẽ và biểu diễn các hình học trên giấy, cũng như kỹ năng sử dụng các công cụ hình học như thước kẻ, compa; (3) Hoạt động MHH: Từ bối cảnh thực tế, bằng tư duy xem xét phân tích từ góc độ hình học để thay thế những đối tượng thực trong thực tế thành đối tượng và mối quan hệ hình học và được thể hiện bằng hình vẽ, sau đó xem xét hình vẽ ở góc nhìn dễ quan sát hoặc dễ nghiên cứu nhất Trên cơ sở ấy, có những thao tác xem xét mối quan hệ ẩn tàng hoặc chưa tường minh (giao điểm, giao tuyến,

Nănglựcmôhìnhhóatoánhọc

NL MHHtoánhọclàmột trong nhữngNLthành phầncủaNLtoán học, quan điểmvềNLtoánhọcđược PISA(2015)định nghĩa:NLtoán họclàkhảnăngcánhân biếtlập côngthức(formulate),vậndụng(employ)vàgiải thích(explain)toánhọctrong nhiềungữcảnh.Nóbaogồmsuyluận toán họcvàsửdụngcáckhái niệm, phươngpháp,côngcụtoán họcđể môtả, giải thíchvà dựđoáncáchiệntượng.Nógiúpcon ngườinhậnravai trò củatoán học trênthếgiớivàđưaraphánđoán, quyếtđịnh của côngdânbiết gópý,thamgiavàsuyngẫm”[6].

Mogens NissđãxácđịnhcótámNLToán học, trongđó cóNLMHH.NLMHH toánhọclàkhảnăngphântích,giảithíchcácyếutốvàkếtquảcủacủamôhìnhtừmộttìnhhuốngthựct iễn,nócũng liên quanđến khảnăngcấutrúcmộtlĩnhvực hay mộttìnhhuốngđược MHH,tứclàkhảnăng dịchchuyểncác đốitượng,quanhệ, xâydựngvấn đề, …, vàotoánhọc,sauđólàkhảnănglàmviệcvớimôhình,đánhgiávàđiềuchỉnhmôhình[85].

TheoBlomhoj&Jensen (2007):NLMHHtoánhọclàkhả năng thực hiệnđầy đủcácgiai đoạncủaquátrìnhMHH trong một tình huống cho trước[41] Maab (2006)chorằng:NL MHHtoánhọc bao gồm cácKT vàkhả năng thực hiện quátrìnhMHH nhằmđạtđược mục tiêuxácđịnh[84].QuanđiểmcủaKaiser (2014) khẳngđịnh:NL MHHtoán học đặctrưngchokhảnăngthựchiệntoànbộquátrìnhMHHtoánhọcvàphảnánhvềquátrìnhđó[77].

NLMHH toánhọc là tổ hợpnhững thuộc tính củacánhânngười học như KT,KN,tháiđộvàsựsẵnsàngthamgiavàohoạtđộngMHHtoánhọcnhằmđảmbảochohoạtđộngđ óđạthiệuquả(HenningvàKeune,2007)[71].

TheoNguyễn DanhNam(2016)[20],NLMHHlàkhả năng thực hiệnđầy đủcácgiai đoạncủa quátrìnhMHH nhằm giải quyếtvấn đềđượcđặt ra.

Dựatrên những quanđiểmtrênvàtrongthựctếnghiêncứu,chúngtôi quan niệm:

1.3.2 Cácthành tố của năng lực mô hình hóa toánhọc

TheoQiDan&JinxingXie(2011)[52],xác định đượccác KN của MHHtoán học là:(1) Đơn giản giảthuyết;(2) Làmrõmụctiêu;(3)Thiếtlập vấnđề;(4) Xácđịnh biến, tham số,hằng số;(5)Thiếtlậpmệnhđềtoánhọc;(6) Lựa chọnmôhình;(7)Biểu diễnmôhình bằng biểuđồ,đồthị;(8)Liênhệlại vấnđề trongthựctiễn.Nghiêncứu củaPeterGalbraith&DerekHolton (2018) [64],chỉrađược khungmôhìnhtoán học.Maaβ (2006) [84],chobiết cácNL phụ của quátrìnhMHH toán học,gồm: (1) NL hiểu vấn đề và thiết lập một mô hình dựa trên thực tế: (2) NL thiết lập mô hình toán học từ mô hình thực tế; (3) NL giải quyết các câu hỏi toán học trong mô hình toán học; (4) NL giải thích kết quả toán học trong một tình huống thựctế;(5) NL xác nhận các giải pháp.Mogens Niss&Tomas Hứjgaard (2011)[85] đó đưa raquanđiểm vềNLMHHtoỏnhọc một mặt liờn quan đến khả năng phân tích, khả năng giải mã, giải thích các yếu tố và kết quả của mô hình THTT Mặt khác, liên quan đến việc có thể thực hiện hoạt động mô hình trong các ngữ cảnh nhất định, tức là toán học hóa và áp dụng nó vào các tình huống ngoài toán học Hoạt động MHH chứa các yếu tố: Thứ nhất, khả năng cấu trúc tình huống thực tế sẽ được MHH; Sau đó, có thể thực hiện một phép toán của tình huống này, tức là chuyển đổi các đối tượng, quan hệ, công thức vấn đề, v.v thành các thuật ngữ bậc thang toán học dẫn đến một mô hình toán học; Tiếp đến, là làm việc với mô hình kết quả, bao gồm giải quyết các vấn đề toán học bằng cách đánh giá nó cả bên trong (liên quan đến các thuộc tính toán học của mô hình) và bên ngoài (liên quan đến tình huống được MHH) Hơn nữa, có khả năng phân tích phản ánh về mô hình đến các mối quan hệ liên quan đến mức độ và khả năng sử dụng mô hình, khả năng thay thế mô hình; Cuối cùng, là có thể giám sát và kiểm soát toàn bộ quá trình MHH.Mộtsốnghiêncứutrong nước liênquan đến NL MHH nhưPhanAnh(2012)[1], LêHồng Quang (2020)[29] cũngđãxácđịnh đượcmộtsốthànhtố của NL MHH toán,Chương trìnhGDPT năm 2018 đã xác định biểuhiệncụthể vàyêucầu cần đạt củaNLMHHtoán họcởcấp THPT nhưsau:

Biểu hiện của NL MHH Yêu cầu cần đạt được

Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu,đồthị,h ì n h v ẽ ) c h o t ì n h h u ố n g x u ấ t h i ệ n trong bài toán thực tiễn

Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn

Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Líg i ả i đ ư ợ c t í n h đ ú n g đ ắ n c ủ a l ờ i g i ả i(những kết luận thu được từ các tính toán làc ó ý n gh ĩa, p h ù hợ pv ớ i t hự c t i ễ n ha y

Những quanđiểmtrênlàđiểm tựa cho tác giả xác địnhcác thànhtốcủaNL MHHtoánhọc của HS THPT Tácgiả nhận thấy,cốt lõi củahoạt độngrènluyệnvàphát triểnNL MHH toán học cho HSchínhlà khả năngxâydựng môhìnhtoánhọc,tứclàchuyểnđổicácyếutốcủatình huốngthựctếsang cáckhái niệm, mệnhđề,côngthức, biểu đồ,đồthịtoánhọc.Tácgiảxácđịnhcácthànhtố củaNLMHHtoánhọcởbảng sauđây:

Năng lực thành phần Kỹ năng thành phần (biểu hiện cụ thể)

Năng lực hiểu vấn đề và mô tả vấn đề thực tế Đơn giản giả thiết (sàng lọc, nhận biết và hiểu đúng về thông tin, giữ lại những thông tin cần thiết) Làm rõ mục tiêu (Đối tượng đã cho, đối tượng cần tìm, đối tượng chưa biết có liên quan đến đối tượng cần tìm, phát biểu lại vấn đề)

Năng lực xây dựng mô hình toán học

Chuyển đổi các yếu tố thực tế sang đối tượng, đại lượng toán học

Sử dụng các kí hiệu toán học Thiết lập các mệnh đề toán học (Thiết lập được quan hệ giữa các biến, hàm, phương trình,côngthức và xác định được hàm mụctiêu) Lựa chọn mô hình và biểu diễn mô hình bằng hình vẽ, biểu đồ, đồ thị, …

Năng lực làm việc trên mô hình toán học

Tư duy và lập luận logic Lựa chọn và sử dụng phương pháp giải phù hợp với bài toán.

Tính toán chính xác và trình bày kết quả

Năng lực phân tích, kiểm định và điều chỉnh mô hình

Giải thích kết quả thu được, chuyển đổi lời giải toán học sang lời giải cho tình huống thực tiễn ban đầu. Kiểm tra, đánh giá kết quả thu được với thực tế Phản ánh, đối chiếu lời giải với thực tế để cải tiến mô hình không) Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến những bài toán giải được.

Với những thành tố của NL MHH nói trên và dựa vào kết quả nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2022) [21], chúng tôi xây dựng thang tiêu chí đánh giá NLMHH toán học nhưsau:

Bảng 1.1 Thang tiêu chí đánh giá NL MHH toán học và các mức độ biểuhiện của mỗi tiêu chí trong dạy học hình học ở THPT

Các mức biểu hiện của mỗi tiêu chí và mức điểm tương ứng

Mức 1 Mức 2 Mức 3 Mức 4 Mức 5

Năng lực hiểu vấn đề và mô tả vấn đề thực tế Đơngiản giảthiết

(sànglọc, nhận biếtvàhiể uđúngvề thông tin,giữ lạinhững thôngtin cầnthiết)

Khôngthấy được thôngtinđã chovàthông tinliên quan Đơngiảnhóa đượcmộtph ầncủa vấnđề

Thấy đượcmột vàithôngtin đãchonhưng không thấy được thôngtincóli ên quan Đãđơngiản hóađượcvấ nđềnhưngc hưacụthểX ác định đượcmộtsố thôngtinchí nhđãchovà thôngtinliê n quan Đãđơngiảnhó ađượcvấnđềc óthểtiến hành được các bước tiếp theo Xác địnhđượctoàn bộthôngtin cốtlõivàthôngt inliên quannhưngchỉ hiểu đúngmộtphần các thông tin đó Đãđơngiảnh óađượcvấnđ ềrõràngvàti nh gọn Hiểuđầyđủ vàđúngtấtcảt hôngtin cốt lõivàcầnthiết đãchovàthôn gtincóliên quan

Làmrõmụ c tiêu (Đốitượng đãcho, đối tượng cần tìm,đốitượ ng chưa biếtcóliên quanđến đối tượng

Không xác định được mục tiêu:

- Đốitượng cầntìm: không xác Đãxácđịnhđ ượcmộtphầ ncủa mụctiêu:

- Đốitượng cần tìm:xác định được Đãxácđịnhđ ượcquá bán mụctiêu:

- Đốitượng cần tìm:xác định được Đãxácđịnh được gầnhếtmụctiê u:

- Đốitượng cần tìm:xác định được Đãxácđịnh đượcchínhxá c mụctiêu: Đốitượngđã cho:xácđịnh được.

-Đốitượngcần tìm:xác định được cầntìm,p hát biểu lạivấnđề) địnhđược

- Phátbiểul ại vấn đề:khôngp hátbiểuđư ợc

- Phátbiểul ại vấn đề:phát biểu đúngquá bán củavấn đề

- Phátbiểulại vấn đề:Phát biểu đúngvấnđềnh ưngkhóhiểu

- Phátbiểulại vấn đề:chínhxác, dễhiểuvàtin h gọn

Không có giả định nào Đã hiểu một phần của tình huống:

Cógiả địnhnhưngs aihoặckhôn gliên quan Đãhiểuquá bán củatìnhhuố ng: Đã nêu được giả định liên quan đến mô hình nhưng giả định còn phức tạp Đãhiểu gầnhếttìnhhuố ng: Đãnêuđược giả định liên quanđếnmô hình Giảđịnh đúngnhưngch ưagiải thíchđượcrõrà ng. Đãhiểutoànb ộtìnhhuống: Đãđượcnêu giả định liên quanđếnmô hình Hiểuđầyđủc ác giả địnhvàgiải thíchcác giả địnhlàthuyết phụcdựa trên thực tế

Năng lựcxâyd ựngmô hìnhtoá n học

Chuyển đổi các yếutốthực tếsangđối tượng,đại

Khôngchuy ểnđổicácyế utốthựctếsa ngđối tượng, đại lượng

Chuyểnđổi đượcmột phầncácyếu tốthựctếsan gđối tượng,đại

Chuyểnđổi đượcquábá ncácyếutốt hựctếsangđ ối tượng,đại

Chuyểnđổiđượ c cácyếutốthựct ếsangđốitượng ,đạilượngtoán học nhưngchưa

Chuyểnđổiđ ược cácyếutốthự ctếsangđối tượng,đại lượngtoán lượng toán học toán học lượng toán học lượng toán học xácđịnhđượcc ácmốiquanhệg iữacácyếutốtro ngbàitoán học,xácđịnh đượccácmối quanhệgiữac ácyếutốtrong bài toán

Sử dụng được một phần kí hiệu toánhọc

Sử dụng được phần lớn kí hiệu toán học

Sửdụngthànht hạo cáckíhiệu toánhọc.Giảith íchđược việcsửdụng cáckíhiệu toánhọcnhưng chưađầyđủ

Giảithíchđượ c việcsửdụngk íhiệutoánhọc mộtcáchthuy ết phục Thiếtlậpcá c mệnhđềto án học

(Thiết lập được quanhệgiữ a các biến, hàm, phương trình,côngt hứcvàxác định đượchàm mụctiêu)

Khôngthiết lậpđượcmố iquanhệgiữ acácbiến,h àm,phương trình,công thức

Thiếtlậpđư ợcmộtphầ nmốiquan hệgiữacác biến,hàm,p hương trình,công thứcnhưng chưaxácđị nh được phầntrọngt âm

Thiết lập được quá bán mối quan hệ giữa các biến, hàm, phương trình, nhưng xác định phần trọng tâm chưa đúng

Thiếtlậpđượcđ ầyđủmốiquan hệgiữacácbiến ,hàm,phương trình, nhưngxácđịnh phầntrọngtâm chưađúng

Thiếtlậpđượ cđầyđủquan hệgiữacácbi ến,tìmđược phương trình, hàm,công thứcvàphầnt rọngtâm

Lựa chọnđược mô hình và

Lựa chọn được mô vàbiểu diễnmôhì nhbằnghì nhvẽ,biểu đồ, đồ thị môhìnhvàk hôngbiểudi ễnđượcmô hình hìnhvà biểudiễn đượcmột phầncủa môhình haybiểu diễnđượcm ôhìnhmàkh ônggiải thích được hìnhvà biểudiễn đượcmôhìn h,bướcđầug iảithíchđượ cmộtphần của mô hình. biểu diễnchínhxác môhình,cógiải thíchmôhìnhn hưngchưarõrà ng hìnhvàbiểudi ễnchínhxác môhình,rõrà ngvàphù hợp

Năng lực làm việctrên môhìnht oánhọc

Tư duy và lập luận logic

Tư duy và lập luận toán học không chặt chẽ

Tưduyvàlậ pluận toánhọc đượcmộtph ầnvấnđềtươ ngđối chặt chẽ

Tưduyvàlậ pluận toánhọcđượ cphầnlớn vấnđềtương đối chặt chẽ

Tư duy và lập luận toán học được toàn bộ vấn đề tương đối chặt chẽ

Tưduyvàlậpl uận toánhọcđược toànbộvấnđề mộtcáchchặt chẽ,tinh gọn Lựachọnv àsửdụngp hương pháp giảiphù hợp với bài toán.

Không lựa chọn được phương pháp giải

Lựa chọnđượcv àsửdụngph ươngpháp giảinhưngc hưa phù hợp

Lựa chọnvà sửdụngphư ơngpháp giảimộtphầ nlàphùhợp

Lựa chọnvàsửdụng phươngphápgi ảiphùhợpvớib àitoánnhưngcò nchưagọn

Lựa chọnvàsửdụ ngphươngph ápgiảiphùhợ pvới bàitoán,gọnv àrõ ràng

Tính toánchínhx ác vàtrìnhbày lờigiải

Tính toán chưa chính xác

Tính toán chínhxác mộtphầncủ a bàitoánTrìn hbàyđược phầnnhỏ củalời giải

Tínhtoán chínhxác phầnlớncủa bàitoánTrìn hbàyđược phầnlớnlời giải

Tínhtoánchính xáctoànbộbàit oán,trỉnhbày lờigiảicònchưa rõràng,mạchlạ c

Tính toán chính xác toàn bộ bài toán, trỉnh bày lời giải gọn, rõ ràng

Năng lực phân tích, kiểm địnhvàđ iều chỉnhm ôhình

Giải thích kếtquảthu được,chuy ển đổilờigiải toán họcsangl ờigiảicho tình huống thựctiễn banđầu.

Không giải thíchđượch oặcgiải thíchsai kết quảtoán học thu được

Giảithíchvà diễndãiđượ cmột phầnkết quảtoán họcthunhưn gcònnhiềus aisót

Giảithíchvà diễndãiđượ cphầnlớn kếtquảtoán họcthunhưn gcòn mộtsốsaisót

Giảithíchvàdiễ ndãiđượctoànb ộkếtquảtoánhọ cthuđượcnhưn gcònchưarõrà ng

Giảithíchvàd iễndãiđầyđủt ínhchínhxác kếtquảtoánh ọcthu được mộtcáchrõrà ng,dễhiểu

Kiểmtra,đ ánh giá kếtquảthu đượcvớith ựctế

Khôngkiểm travàkhông đánhgiá đượckết quảvớithực tế

Kiểmtravà đánh giá được một phần kết quả vớithựctế

Kiểmtravà đánhgiáđượ cphầnlớn kếtquảvớith ựctế

Kiểmtravàđán h giáđượckết quảvớithựctến hưngchưa kiểmtrađượcđ ầyđủtínhhợplí của nó Đánhgiá,kiể m trađượcđầyđ ủvấn đề vàtính hợplýcủa kết quả vớithựctế

Phản ánh, đối chiếu lời giải với thựctếđểcả i tiếnmôhìn h

Chưaphảnh ồi,đốichiếu đượclờigiải vớithựctế, chưa có hướng cải tiến môhình

Phản hồi, đối chiếu được một phần lời giải với thực tế, chưa có hướng cải tiến môhình

Phảnhồi, đốichiếuđư ợcphầnlớnl ờigiảivớith ựctế,chưac ó hướngcải tiếnmôhình

Phản hồi,đốichiếuđư ợcđầyđủlờigiải vớithựctế,đãcó một vàiýtưởng hướngcải tiếnmôhình

Phảnhồiđầy đủlờigiảivớit hựctế, đốichiếuvới thực tiễnvàcải tiếnmôhình

1.3.3 Các cấp độ mô hình hoá của họcsinh

Trong nghiên cứu củaLudwig&Xu(2010)[83] vềsosánhNL MHHtoán họcgiữa người Trung Quốcvà người Đức với đốitượnglà học sinhởđộtuổitừ 15 đến17tuổi,với

1108 họcsinh đếntừmiềnnamnước Đứcvàđến từ các trường THCSvàTHPTởThượngHải củaTrung Quốc, Ludwig& Xudựa trên mộtsốnghiêncứu về MHH đãchia NL MHH thành 6 mức độ liên tiếp sau:

0 HS chưa hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hoặc cụ thể hóa vấn đề

1 HShiểu được tình huống thựctếđãcho, nhưngkhôngthểcấutrúcvàđơn giản hóa tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối với bất kì ý tưởng toán học nào

2 Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học

3 HS cũng có thể phiên dịch tình huống thành một vấn đề toán học thích hợp, nhưng HS không thể làm việc chính xác với nó về mặt toán học.

4 HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả toán học cụ thể.

5 Có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho

DạyhọctheohướngpháttriểnnănglựcmôhìnhhóatoánhọcchohọcsinhởtrườngTrunghọc phổthông 34 1 Quanniệmvềdạyhọcmôhìnhhóavàdạyhọcbằngmôhìnhhóatoánhọc

Hiệnnay,phương phápMHHtrongdạytoánởtrườngphổthôngđược chútrọng,phươngphápnàygiúp HS giảiquyết cácbàitoánthựctiễnbằngtoán họcquađócũnggópphần giúpHS rènluyệnvà pháttriểnNL MHHtoánhọc.Theo Trần Trung (2011) [34], phương phápMHHđược vậndụngtừ cấptiểuhọc đến THPT theonhững cáchthứckhác nhautùyvào cấphọc. Để giúp GV thực hiện các hoạt động MHH trong DH hiệu quả, chúng tôi phân biệt sự khác nhau của hai khái niệm DH MHH và DH bằng MHH, Theo [31]: “DH MHH là DH cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm hướng tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn, DH bằng MHH thực hiện theoquytrình: Bài toán thực tiễnXây dựng mô hình toán họcCâu trả lời cho bài toán thực tiễnTri thức cần giảng dạyVận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn”

Quanđiểmchúngtôi chorằng:DH MHHlàcáchDHcủa GV tậptrungvàoviệcxâydựng và sử dụng mô hình toánhọc,GV làtrungtâm vàchịu trách nhiệm truyền đạtKT,KNcầnthiếtđể giúpHShiểuvàápdụng cáckháiniệmtoánhọcđể HScó thểtạoramôhìnhvàsửdụngmôhìnhvàotình huốngcụthể.

Dạy họcbằngMHHlàcáchDHcủaGVđểHSchủ động thamgiavàoviệcxâydựngvàsử dụng môhình toánhọc, môhìnhtoán học trởthànhcôngcụ đểHStìmhiểu,phântích từ đóHS nắmbắt được kiếnthức vàphát triển đượccácKN vềtoán học,HS tựtạora môhình,thửnghiệmtrênnó đểtìmracácgiải pháp Trêncơ sở đóphân tíchvà rút rađượckiếnthứchoặctínhchấtmới.SauđóHSđượcvậndụngkiếnthứcmớiđóvàogiải quyết vấnđề thựctiễn.RõràngvớicáchDHnày,sẽkhuyến khích đượcHStự học, tựnghiêncứu vàgiúpHSrèn luyệnvàpháttriểnđượcNLgiảiquyếtvấnđề.LúcnàyMHHtoánhọc làcôngcụgiúpHSchiếmlĩnhtrithứcmới,DHbằngMHHtoánhọctậptrungvào việchọctậpthôngquaxâydựngvàsửdụngmôhìnhtoánhọc.

1.4.2 Vận dụng dạy học mô hình hóa toán học ở trườngTHPT

DạyhọcbằngMHHngày càngđượcchútrọngtrongtrườnghọcbởiMHHtoán họccónhữnglợi íchthiết thựcvà sựcầnthiết củanó (xemBlum&Niss,1991) [42].Trong quátrình nghiêncứu, chúng tôi nhậnthấy rằng,DHbằngMHHtronghình họccónhững đặc điểmriêng biệtvànổibật.DHbằng MHHtrongđạisố vàgiải tíchcóthểđiđến mộtquytắc tương ứng nào đó, hay tìmrađược mộtquyluậtnào đó,biểudiễnmôhình dưới dạngcôngthức, biểuđồ,đồthị,cònDHbằng MHHtronghình họcnólại được pha trộn giữa cácmôhìnhđạisố và môhìnhhìnhhọc, tùy theotừngmức độcủa tìnhhuốngthực tế, chúng tôi chorằng điểmnổi bậtcủaDHbằng MHH tronghìnhhọclà môhìnhlàcácdạng hìnhvàcáckíhiệutrên nónhưnglại hàm chứa các vấnđềliên quanđến các đại lượngvề độdài, diệntích vàthể tích,do đóMHHtrong hìnhhọc không thểtáchrời với việcsửdụngcác kiếnthứctrongđạis ố v à giảitích.Điềun à y , làmchoD H bằngMHHtronghìnhhọc được phongphúvà đadạnghơnvì có sựkết hợp cáckiếnthức trong nộibộtoán học.Chínhvì vậy,trongquá trìnhdạy kháiniệm,địnhlý, giải toán,chúngtôi vậndụngsựchuyển hóagiữacác lớpmôhình tương đươngtrong đạisố vàgiải tíchđể mô tảcho mộtmôhìnhcủa hình họcvàngượclại, nhằm mụcđíchvừa rèn luyệnhoạtđộngmôhìnhđểphát triểnNLMHHvừahìnhthành kháiniệm,địnhlýhay giảibài toántườngminhvàngắn gọnhơn.

Dựa vào những đặc điểmcủaMHHtronghình học (mục1.2.5)vàquan niệm:“ M ô h ì n h h ì n h h ọ c t r o n g D H t h ư ờ n g b a o g ồ m v i ệ c s ử d ụ n g c á c đ ố i t ư ợ n g h ì n h h ọ c ( đ i ể m , đ ư ờ n g , đ a g i á c , h ì n h t r o n g k h ô n g g i a n , … ) , đ ồ t h ị , b i ể u đ ồ v à á p d ụ n g q u y t ắ c , q u a n h ệ , đ ạ i l ư ợ n g h ì n h h ọ c đ ể l à m r õ c á c k h á i n i ệ m t o á n h ọ c h o ặ c m ô t ả m ộ t p h ầ n c ủ a v ấ n đ ề t h ự c t ế ” Chúngtôithiếtlậpbảngmôtả mối liên hệ cácyếutố củanhững tình huốngthựctếvớicácđốitượnghìnhhọcnhưsau:

Bảng 1.2 Chuyển đổi một số yếu tố thực tế sang mô hình hình học

Yếu tố thực tế Thuật ngữ toán học

Mô hình hình học (bằng hình vẽ)

Cột đèn, cột điện,đ o ạ n đường trên bản đồ, … Đoạn thẳng

Kim Tự Tháp Hình chóp

Bể chứa nước, lon đựng nước ngọt, hộp sữa,…

Hình hộp chữ nhật,Hìnhtrụ Đỉnh núi, Pha đèn chiếu sáng, nón đội, ….

Cái đĩa, bánh Piza, quỹ đạo,…

Từ những phântích trên, chúngtôi cho rằngđặcthùcủa hoạt độngMHHtoánhọctrongdạyhọchìnhhọcởTHPT như sau:

- Tìnhhuốngthựctiễn:Các tìnhhuốngthường liên quan đếngiải pháp xácđịnhkhoảng cách(ví dụ: xácđịnh khoảng cáchgiữ hai con tàu, xácđịnh chiềucao củamộttòanhà, chiềurộng của một con sông,…),tính toán, thiếtkế sản phẩm,hoặcướclượng một vấnđềnàođódựavàothểtíchvàdiện tích(thiếtkếhộpđựngsữa,thiếtkếcầu,ướclượng lượngnước của hồ,ướclượngmậtđộdân số,sốgạchxâynhà, …),xác định phương,hướng chuyển động (hướng chuyểnđộngtàu, hướnggàunước,vịtrí tương đốitrongkhônggiannhư vuông góc,songsong,…).

+ Bước 1: Đơn giản vấn đề, mô tả tình huống thực

Khả nănghiểu vấnđềvà môtảđượcmô hình thựclàrất quantrọng,môtảmôhìnhthựcthườnglàcác hìnhbiểudiễn hìnhhọc và nhữngyếutốliên quan.Trongbướcnày,hiểu vấnđềlà then chốt, bởivìtừ tìnhhuốngthực tếkhôngcóyếutố vềmặttoánhọc,hoặc dữ liệu quá íthoặcquá phức tạp thìhiểuvấn đềđểgiảiquyếtlà sự kết nối củanhiềuNLtoán học đặcbiệtlà NLtưduyvàNLgiảiquyếtvấn đề.Việcmô tả môhình thựctùyvào tình huống banđầu,cókhi rấtđơngiảnnhưng có khi cũngđòihỏiđến liêntưởng,quan sát vàtíchlũytri thức củacácmôn khoahọckháchoặc nhữngkinhnghiệmtrongcuộcsống hằng ngày.

+ Bước 2: Lập mô hình toán học

Xem xét DH trên đốitượngHSTHPTvàtheo cáchtiếp cận MHHnhưlàphương tiện trongDH,quanđiểm củatácgiả chorằng, mô hình tronghìnhhọclà các hình biểudiễn hìnhhọckèmtheo cáckíhiệuvàcácđạilượngliênquan đến nó Khi đó, các đạilượnghình học liên quan đếnđộdài,diệntích, thể tíchthì nó trởthành trungtâmđểgiảiquyếtvấnđềcủatìnhhuống.LậpmôhìnhhìnhhọcthườngliênquanđếncácNLtoá nhọcnhưNLbiểudiễn,NLsửdụngkíhiệutoánhọc,NLMHHtoánhọc.

Với nhiều bài toánthựctiễn liên quanđếnhình học,HSkhôngchỉbiếtchuyểnđổicácyếutốthựctế,ngônngữđượcmô tảtrong tình huống sang hìnhhọc mà cònphải biếtchuyểnmôhìnhlàhìnhhọcsangmôhìnhđạisốhoặcgiảitíchđểgiải quyết Giải toán trênmôhình liên quanđến NLlập luậnvàNL tưduy,HScần có khảnăng phân tích, tổng hợptrongquátrìnhlậpluậnđểtrìnhbàylờigiải một cáchtốtnhất.

+ Bước 4: Kiểm tra và giải thích kết quả

Với kết quảtìmđược, kiểmtra tínhchínhxác,tínhphùhợpvới môhình Giảithíchkết quả vừatìmđược

+ Bước 5: Đánh giá, điều chỉnh và phản ánh lại thực tiễn Đánhgiá dựatrênkết quả vàmục đíchyêucầucủavấn đề, xem xét lạitoànbộquátrìnhMHHcóphù hợpkhông,nếu cần thì điềuchỉnhlại một vài bước hoặctoànbộquá trìnhMHH Với kết quả dựa trên môhìnhtìmđược có phù hợp với thực tiễnkhông.

- Trongnội dunghìnhhọcởTHPT, mốiquanhệgiữahìnhhọc và đạisốluôn hiệndiệnvà cókhikhôngtách rời,“hìnhhọc hóa đại số”nghĩalà nólàm cho nhữngquanhệ,cấu trúcđại số trở nên trực quan và trừutượng,“Đạisốhóa hình học” nólàmcho cácđốitượng, quanhệ, đạilượng hìnhhọc trở nêncụthể và phản ánh được mốiquanhệgiữachúng trongnộihàm củahìnhhọc.Cóthểthấyđược mối quanhệcủanótrongtấtcảcácnội dung hìnhhọc ởTHPT, chẳnghạnliên quanđếnsốphức ta nhậnthấy,vềmặtđạis ố : các phép tính số học sẽ được thực hiện tương tự như trong số thực (i 2 1) , nhưng về mặthìnhhọc: mỗisố phức được gắn với mộtvectơ, chínhvìvậycácphéptoán trên nótươngứngcácphéptoánvềvectơ trongmặtphẳngtọa độ.Tanhận thấy rằng,dùngsốphứccóthểdiễntảđượcmộtsốvấn đềtrong hìnhhọc,nghĩalàtatìmđượcmôhình hình x2  ( y  4)2 x2  ( y  4)2 họcqua việc họcsốphứcvàngược lại, “haisốphức đốinhau” được biểu diễn bằnghaivectơđối nhau qua gốctọađộ,nghĩalà có mộtphépbiến hình “phép đối xứngtrục”giữahaiđiểm biểu diễncác vectơ Hìnhhọc hóa đạisốcũng tạo nên nhữnghoạt độngmôhình tươngứnggiữahình họcvàđại số,chẳnghạn xét vídụsau:

Tìm tập hợp điểmbiểu diễnsố phứczthỏamãnGiải: z4i z4i 10

Dùng hình học giải như sau:

GọiMlà điểmbiểu diễnsốphứcz,Ilà điểmbiểu diễnsốphức4i,Klà điểmbiểu diễnsốphức4i.

Khi đó,IMbiểu diễn số phứcz4i,KMbiểu diễn số phứcz4i, theo đề bài ta có

DoI,Kcố định nên tập hợp điểm biểu diễn số phứczlà elip nhậnI,Klàm hai tiêu điểm Dễ thấy, x 2

IMKM102bb5,IK8c4 y 2 suy ra a3, elip cóphươngtrình:  1.

9 25 Chúng tôi trình bày hai lời giải mục đích để thấy được tính ưu việt của cách giải thứ hai khi sử dụng giải bài toán đại số bằng hình học.

- Hoạt độngMHH trongtoánhọc nóichungvà hình học nóiriêngluôn bắt đầu từ một vấn đềtrongthế giới thực rồichuyển sangvấnđềtrongthế giớitoán học bằng cáchsửdụngcácbiểu tượngcủatoánhọc để môtảvàthiếtlậpcácmối quanhệsauđóphảnánh ngượclại thế giới thực và tái tạo lạitrong thếgiớitoán học.Trong nhữngbướccủaquá trình MHH,nó lạicómốiliênhệchặt chẽgiữa những môhìnhtrong nội bộ toán học,chẳnghạn đầutiên xuất pháttừ một vấn đề hình học, HSphảixácđịnhcác kiến thức toánhọccóliênquan,sắp xếpvà tổchức lạithànhmột mô hình đạisố,môhìnhnàyđượcgiải

 quyếtbằng cáckiếnthức đạisốvà cuốicùng, giảiphápđược diễngiảilại trongbối cảnhbanđầu củahình học Theo nguyêntắcđanxen,các miềnnội dung toán học như số, đại sốvàhình họcđượccoilàtíchhợp chứkhông phảilàcácchươngcủagiáo trìnhbiệt lập(VandenHeuvel- Panhuizen,M &Drijvers,P.(2014) [100], Tresffers, A.,1987[98]).Từđiều này,trong bối cảnhgiải quyếtcác bài toánhình học,HS có thể sử dụng cáckhái niệmvàkiến thức không chỉtronghình học,mà còntrongcảđạisố vàgiải tích.Dođó, việcchuyểnđổicác môhìnhtrongnộibộtoánhọclàrấtcầnthiếtbởivìchínhđiềunàycóthểđược áp dụng để phântíchcác nhiệmvụhìnhhọc nhằmthúcđẩyviệc giải quyếtvấn đềvàkỹnănglậpluậncủaHS.Hoạtđộngmôhìnhtrongnộibộtoánhọcnóđượcthểhiện trongquátrình toánhọc hóa từhìnhhọc đến đại số vàngược lại,cụthể:từ tìnhhuốngvớibối cảnhlà hình học, đến các môhìnhtoánhọcvà đại số; từcácmôhìnhđại sốđếncácgiải pháp;và từ các giải pháp cho các bốicảnh ban đầu của các bàitoánhìnhhọc.Chẳng hạn,từ vấn đề hình họclàcácphép biến hình, biểuthức đạisố x'xa

y 'yb mô tả phép tịnh tiến theo vectơ v a;b

 biếnđiểm M(x;y) thànhđiểm M'(x';y') , hoặc một phương trình trongđạisố x 2 4y 2 1 nó lại biểu diễn một đường elip trong mặt phẳng tọađộOxy.Quanđiểm củachúngtôivềmôhìnhtrong nộibộtoánhọc làcáclớp tươngđương biểudiễnhay mô tảcùngmộttínhchấtcủađốitượng.

ChínhvìthếtrongquátrìnhMHHtoánhọcchúngtôicũng luôntạocơ hộichoHSchuyểnđổicácmôhình trongnộibộtoánhọc, một mặtđểgiúpHSphân tíchgiảiquyếtvấn đềtronglập môhìnhvà giải toán,một mặtđểrènluyện cáckĩ năng của MHH toán học từ các vấnđềthựctếcho cácem.

Việc chuyểntừ tìnhhuống hìnhhọc/ mô hình hình học sang mô hình đạisốlà bước rất quantrọng trongquátrìnhMHHtoánhọc bởivì nócó thểmanglại lợi íchvềtínhtoánvàphân tíchcho các vấn đềhìnhhọcphứctạp hơn.Nócungcấpmột cáchmạnhmẽ để MHH vàgiải quyếtcác vấnđềhình họcbằng cáchsử dụngcác phép toánđạisốvàcôngthức toán học, giúpchúngtahiểurõhơn về cấu trúcvàquan hệkhônggiancủacácđối tượng hình học.Trong mô hìnhhình học, chúngta sửdụnghìnhvẽ vàcáckháiniệmhìnhhọcnhư điểm, đường thẳng, đường cong, để mô tả tìnhhuốngvà giảiquyếtvấnđề Trongkhiđó,môhìnhđại số sử dụng biểuđạtvàquytắc đại số đểnghiêncứuvàgiải quyếtcácvấnđề.Chuyểnđổitừmôhìnhhìnhhọcsangmôhìnhđạisốthườngliênquan

  đến việc sử dụng các công cụ và phép toán đại số để biểu diễn các khái niệm hình học dưới dạng các biểu thức và phương trình. Để thựchiện chuyểnđổinày,ta có thể sử dụngcáckhái niệm và côngcụđạisốđể môphỏngvà biểudiễnmôhình hìnhhọc.Dướiđây làmộtsốcách chuyểntừ môhình hìnhhọcsangmôhình đạisố:

- Cóthể sửdụnghệtọa độ đểbiểu diễn hình học.Vídụ: một điểmcóthểđược biểu diễnbằngmộtcặpsố(x;y)trongmặtphẳnghoặcmộtbộbasố(x;y;z)trongkhônggian.

- Sửdụng các biểuthứcđạisố:Ta cóthể sử dụngbiểuthức đạisố đểbiểu diễncác mối quan hệ hìnhhọc.Vídụ:

+ Trong mặt phẳng, đường thẳng có thể được biểu diễn bằng một biểu thức đại số làaxbyc0, Đường tròn: x 2 y 2 2ax2byc ,Đườngelip: x 2  y 2 1, x 2  y 2 

2 Đường hypepol: a 2 b 2 1,Đường parapol:y 2px + Trong không gian, đường thẳng có thể được biểu diễn bằng một biểu thức đại số

yut,Mặtphẳng:AxByCzD0,Mặtcầu:x 2 y 2 z 2 2ax2by2czd0.

+Phép tịnh tiếntheo v(a;b),có thểđượcbiểu diễnbằngmộtbiểuthức đạis ố là

y 'y ,Phépquay tâmO, gócquay (theotheo chiềudương) x'xcos ysin ,

- Sử dụngvectơ:Mộtcáchphổ biến đểchuyểnđổi từ môhìnhhìnhhọcsangmôhìnhđạisốlà sửdụng vectơ.Vídụ, các điểmtrong mặt phẳngvàtrong không giancũng có thểđượcbiểudiễn bằng vectơ,ứng dụngtrongvậtlýđể biểu diễn đạilượnglựcvềphương, chiều,độlớn,…

+ Đại số hóa hình học phẳng

Ví dụ 1 Cho tam giácABCcóH, G, Otheo thứ tự là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác Chứng minh ba điểmH, G, Othẳng hàng.

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau đây:

GọiGlàgiaođiểm củaOHvàAI,vìOI nên tacó GI

GA 2 suy raGlà trọng tâm của tam giácABC Vậy,H, G, Othẳng hàng.

Tuynhiên,ta cóthểgiảibàitoánnàybằng cáchsửdụngcáckiến thứcvềvectơnhưsau:

Ta cóHBHCHDOBOHOCOHODOH

OHOBOCODOBOCOA(theovìODOA)(1)

Từ (1)và(2)suyra,OH3OG.Vậy,bađiểmH,G, Othẳng hàngHay tacó thể đại số hóabằngcách giảisau:

Chọnhệtrụctọa độOxyvới B 0;0làgốctọađộ,điểmC  a;0 thuộc trục hoành,

Phương trìnhAH:xb.Phương trìnhCH:bxcyab0

Ví dụ 2 Chứng minh rằng trong tam giácABCba đường cao đồng quy. Đạisốhóabàitoánnhư sau:Chọnhệtrụctoạđộ B(0;0),C(c;0),A(a 1 ;a 2 ) và

H(x 1 ;x 2 ) Giả sửBHvuông góc vớiCA, CHvuông góc vớiBA Ta chứng minh

Từ(1)và(2),suyra(a 1 c)x 1 (x 1 c)a 1 a 1 x 1 cx 1 x 1 a 1 ca 1

c(x 1 a 1 )0 đúng với (3) Vậy, ba đường cao của tam giác ABC đồng quy.

+ Giải bài toán hình học bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Ví dụ 3 Trong mặt phẳngOxy, cho đường tròn C :x2y22x4y50và điể m A  1;0  Một đường thẳngnằm trên trục hoành cắt C  tại haiđiểm M,Nsao chotamgiácAMNvuôngcân tạiA.Tìm toạđộcủa hai điểmM,N.

Tâm và bán kính của đường tròn C  là: I  1;2 , bán kính bằng 10

Vì tam giácAMNvuông cân tạiAnênAM=AN(1)

M, Nthuộc đường tròn (C) nênIM=IN(2)

Từ (1) và (2) suy raAIlà đường trung trực củaMNnênAIMN

DođóM N Ox, suy raphương trình đường thẳngcódạngym,m0.

M  x 1 ; m  ,N  x 2 ;m  (giảsử xx) và x;x là nghiệm của phương trình x 2 2xm 2 4m50  3 

Phương trình 3  có hainghiệm phânbiệt m 2 4m60. x 1 ;x 2 khi và chỉ khi

1 2 12 1 2 Áp dụng định lí Vi-Ét đối với phương trình 3  ta có:

Vớim = 1,tọa độ cần tìmlàM  0;1  ;N  2;1 

Ví dụ4.Cho mộtđườngtròn T  cóphươngtrình x1 2   y3 2 9 và hai điểmA  1;1  ;B  2;2 .Tìmcác cặp điểm

C,Dtrênđường tròn T  sao cho tứ giác

Tọa độ của các điểmC,Dlà nghiệm của hệ phương trình:

Khoảng cách từ tâmIcủa đường tròn đến đoạn thẳngCDlà: d  I,CD  

Từ đó ta tìm đượcm5hoặcm1.

Chương trìnhGiáodụcphổthôngnăm2018nhấnmạnh pháttriển NL MHH toánhọccho HS, NLMHHtoánhọctrởthànhNL cốt lõitronggiảngdạy Như vậy,vận dụngMHH vào DH toán nóichungvàhìnhhọcnóiriêng theohướngpháttriểnNLMHHtoán họcởtrườngTHPTkhôngchỉcóthểkhaithác được từ các tình huống thực tiễn mà còn ngay trong nộibộmôntoán.

Cáccơhộidạyhọchìnhhọccóthểpháttriểnnănglựcmôhìnhhóatoánhọcchohọcsinhtrungh ọcphổthông 45 1 Trườnghợpdạyhọckháiniệm

Từ chương trình, nội dung hình học ở cấp THPT, ta có thể nhận thấy mô hình hình học thường có các dạng biểu diễn sau:

- Hình vẽ biểu diễn hình hình học: Là một dạng biểu diễn mô hình hình học sử dụng các đối tượng hình học như điểm, đoạn thẳng, đường cong, nét vẽ liền hoặc đứt đoạn để biểu diễn các hình hình học như hình tròn, hình vuông, hình tam giác, hình trụ, hình cầu, hình nón, thiết diện,…

- Các biểu diễn đại số:Biểuthức tọa độcủaphéptịnh tiến,đối xứngtrục,đối xứngtâm, phépvị tự,phép quay; phương trình đường thẳng,đườngtròn,bađường cônic,mặtphẳng,mặtcầu;Côngthứctínhdiệntíchcáchình,thểtíchcáckhối,…

- Đồ thị: Là một dạng biểu diễn mô hình hình học sử dụng các đối tượng đồ thị để mô tả các mối quan hệ giữa chúng Mô hình đồ thị thường được sử dụng trong mạnglướixãhội,lýthuyếtđồthịvàcácứngdụngphứctạpkhác.Vídụ:Phươngtrình đường thẳng y5x1 có thể được biểu diễn bằng cách tìm một số điểm có tọa độ

 x ;y  trên đường thẳng và nối chúng thành một đường liền mạch trên đồ thị.

- Biểuđồvà sơđồ:Biểuđồ vàsơ đồ làcác dạng biểudiễn hìnhhọcđượcsửdụngđểhiểnthịmối quanhệgiữa cácyếutốhoặccácgiai đoạn trong mộtquytrình hoặcmột hệthống Chúngcó thể được sửdụngđểtrìnhbàythôngtin, dữliệu hoặcýtưởng theocáchtrựcquanvàdễhiểu.Vídụ:Sơđồnhịphân,Biểuđồhìnhtròn,biểuđồhìnhcột,…

- Mạng lưới: Mạng lưới là một biểu diễn hình học bằng cách chia không gian thành các đơn vị nhỏ hơn như ô vuông, ô tam giác, …Người ta, thường dùng mạng lưới để biểu thị các hình trong hình học phẳng hoặc trong không gian hoặc biểu thị một thành phố, một đất nước, một châu lục trên nó Mạng lưới còn được sử dụng trong đồ họa, thiết kế,…

- Vectơ: Là một biểu diễn hình học sử dụng các vectơ để biểu diễn các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng Các vectơ có thể biểu thị vị trí, hướng, tốc độ, cường độ, … Mô hình vectơ được sử dụng rộng rãi trong đại số tuyến tính, hình học không gian vectơ và các ứng dụng liên quan đến đại số và hình học Ví dụ: Điểm trong không gian hai chiều có thể được biểu diễn bằng một vectơ có hai phần tử Điểm trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn bằng một vectơ có ba phầntử.

- Điểm, đường, các hình trong mặt phẳng và trong không gian: thường được sử dụng để mô tả các yếu tố trong thực tiễn, như mô tả thành phố bởi điểm, khoảng cách giữa hai thành phố là đoạn thẳng, Kim Tự Tháp bằng khối chóp,…

Trong DH hình học THPT, các tình huống MHH thường gặp là:

- Tình huốngMHH đốitượnghìnhhọc: Trongtìnhhuống này,HSđượcyêucầu MHH một đối tượnghìnhhọc cụthể, chẳnghạn nhưhình tròn, hình hộp,hìnhcầu, hoặcmộtđadiện.HSphải biểu diễn hình dạng,kíchthước,và các đặc điểm quantrọngkháccủađốitượngđótrêngiấy,trênbảnghoặctrênmáytính.

- Tình huốngMHHquanhệhình học:HS đượcyêucầuMHHmột quanhệhình họcgiữa các đốitượng.Ví dụ,vẽmộtđường thẳng songsong với một đườngthẳngđãcho,hoặcvẽmộtgócbằng nhauvới một góc đã cho, hoặcvẽmặt phẳng vuônggóc vớimặt phẳngđãcho,…

- Tình huốngMHHtrựcquan:Đâylà các tìnhhuốngmà họcsinhsửdụngcácphầnmềmmôphỏngđểtạoramôhìnhhìnhhọctrựcquan.

- Tình huốngMHHtrongthực tế: Tìnhhuốngnàythườngphức tạp,HSphảivậndụng kiếnthứctoánhọc nóichungvàhìnhhọcnói riêngđể giảiquyết tình huống.Ví dụ,tính diện tíchmộtmiếng đất,tìmkhoảngcách giữa hai địađiểm, hoặcxácđịnhgócnghiêngcủamột đườngdốc.

- Tình huốngMHHtrong giải quyếtvấn đề:Trong tình huống này,HS phải sửdụngKN MHHđểgiảiquyếtcác vấn đềhình họcphức tạpnhư thiếtkếnhà,sảnphẩm, công trình,ướclượngdân số,tỉ lệvàphầntrămhoặc phân tíchcácphương pháp,kỹthuật trongcác môn thểthao như bóngđá,bóngrổ,quầnvợt,Vídụ:sửdụng hìnhhọcđểphântíchgócsút,quỹđạodichuyểnhaymôphỏngcáctìnhhuốngtrongcácmônthểthao

Trong hoạtđộng giải toánhình củaHS,việcMHH đốitượngvàquanhệhìnhhọc là rất quantrọng,nhưlấyđiểm đối xứng, kẻđường phụ,hay vẽnétkhuất,…nếu thựchiện một cách thíchhợp sẽtìm rađượccác mốiliênhệmớivàdễ điđếnlờigiảihơn, nóthường xuất hiện trong nhữngbàitoánchứngminhcác điểmthẳng hàng,cácđường thẳng đồng quy,tìm quỹtích điểm,tìmđiểmcốđịnh,tìm cực trị,khoảng cách,chứngminh đẳngthức hoặc bất đẳnghình học,…Sau khigiải xong,trởlạibàitoánban đầu và thửthực hiệnMHH đốitượng, quanhệhìnhhọc theohướng khác thíchhợpđể tìmcách giảitiếptheovàsosánhcáccáchgiảivớinhau.Chẳnghạn,taxétvídụsau:

Vídụ(Bài 3-Kỳthi IMOlần21-1979).Trong một mặt phẳngcho haiđườngtròn giao nhau.Alàmột trongcácgiao điểmđó ĐồngthờibắtđầutừAhaiđiểmdichuyểnvớitốcđộkhông đổi, mỗi mộtđiểmdichuyển theo một đường trònvàcùng hướng HaiđiểmtrởlạiAcùng mộtlúc (tứclàsaumộtvòng).Chứng minh rằng tồntạimột điểmcốđịnhPtrongmặt phẳng saocho haiđiểm chuyển độngđóluôn cáchđềuP.

HS MHHcácđối tượng vàquanhệhình học,bằngcáchvẽhình,kíhiệu cácđiểm, quanhệvuônggóc, Đặc biệt trongbài toánnày,HSphảisửdụngđến kiếnthức của môn Vật lý10 đólà tốc độ góctrongchuyển động tròn đều,theo[3] tốc độ góc củachuyểnđộngtrònlàđại lượngđobằnggóc màbánkínhOMquét đượctrong mộtđơn vịthời gian.Tốcđộgóc củachuyển động trònđều là đại lượngkhông đổi.

Ta có thể giải theo cách sau:

GọiO 1 ,O 2 lần lượt là tâm vàBlà giao điểm thứ hai của hai đường tròn;M 1 vàM 2 làhaiđiểmdichuyểntrênhaiđườngtròn,M1 O1  , M2 O2  Nối M 1 vàM 2 vớiB

AO 1 M 1 AO 2 M 2  (dohaiđiểm M 1 vàM 2 đồng thời cùng di chuyển từAvà trở vềAcùng một lúc với tốc độ không đổi)

2 Dođó, ABMABM1800M,B,Mthẳng hàng

Lấy B 1 đối xứng vớiBquaO 1 vàB 2 đối xứng vớiBquaO 2 th ì

GọiPlàtrungđiểmcủa B 1 B 2 ;do B 1 ,B 2 cố định suy raPcố định.

1 M2B2 VìPlàtrungđiểmcủa B 1 B 2 nênPnằm trên đường trung bình của hình thang, đường trung bình này cũng chính là đường trungtrựccủa M 1 M 2 , suy ra PM 1 PM 2

NếuthựchiệnMHH đốitượngvàquanhệhìnhhọc của bài toántrên theo hướngkhác thíchhợpthìtasẽ cócách giảikhácnhư sau:

GọiO 1 ,O 2 lần lượt là tâm của hai đường tròn vàdlà đường trung trực củaO 1 O 2

1 làhình thangcânnên AO 1 PPO 2 A (1) và

Dohaiđiểm M 1 và M 2 đồng thời cùng di chuyển từAvà trở vềAcùng một lúc với tốcđộkhôngđổinên AO

Suy ra,PO 1 M 1 M 2 O 2 PPM 1 PM 2

Tình huốngMHH hìnhhọc cũng xuấthiệntrongmộtsốtìnhhuốngđiểnhìnhcủaviệcDHtoán NguyễnBáKim(2011)[18] chỉramột sốtình huống điển hìnhnhưsau:DH kháiniệm,DHđịnh lí toánhọc,DH quytắc, phương pháp;DHgiảibàitoán.Theochúngtôi,trongtất cảcác tình huốngDHđiển hìnhởmônToán,cóthể tậndụngrèn luyện,pháttriểnNLMHHtoánhọcchoHS.Đồngthời,cácTHTTcũngchotacơhộilớn để pháttriểnNLnày.Sauđâylà mộtsốtrườnghợp có thể rèn luyện và phát triển NL MHH khi

1.5.1 Trường hợp dạy học kháiniệm

TheoNguyễnBáKim(2011)[18], con đường tiếpcậnmột khái niệm được hiểulàquátrìnhhoạt độngtư duydẫntới mộtsựhiểu biếtvềkhái niệmđó, nhờđịnhnghĩatườngminh,nhờ môtả, giải thíchhay chỉthôngquatrựcgiác,ởmứcđộnhận biết mộtđốitượng hoặc một tình huốngcóthuộcvềkhái niệmđó haykhông Tiếpcậnkhái niệmlàkhâu đầu tiêntrongquá trình hình thành kháiniệm;hình thành khái niệmbao gồmcảviệcvậndụng khái niệmđểgiảiquyết những vấnđềkhác nhau trong khoahọc đờisống. Trongdạyhọc ngườitaphânbiệtbaconđườngtiếpcậnkháiniệm:(1)Conđườngsuydiễn; (2)conđườngquynạp;(3)conđườngkiếnthiết(tr.343).

,đểrènluyệnvàphát triểnNLMHH toán học, chúng tôilựachọnconđườngkiếnthiết,nócóyếutốthực tiễnvàngaytrong nộibộtoán học,có thểthực hiệndạymột khái niệmhìnhhọc như sau:Từtìnhhuốngbanđầu (tình huống thựctiễn,tình huốngtrongnộibộtoánhaytìnhhuốngMHK),kháiquáthóa,trừutượnghóađểđiđếnkháiniệm,tro ng đóhoạt độngMHHlàđiểmtựa đểthực hiện Hoạt động MHHởđây cóthể thực hiện qua một vài bướcđơngiản nhưngnólàm nổibậtđối tượngchokhái niệm được hìnhthành.Kháiniệmđược hình thành bằng ngôn ngữ bình thườngtacũngchuyểnđổi sang phát biểu khái niệm dưới mộtmôhình toán học.

Chẳnghạn, khiDHkhái niệm “Haivectơbằngnhau” Vấnđềđặtrakhi họcvềvectơ là:Saukhicókháiniệmvectơ,ta cótập hợp cácvectơ,cầnxemxétquanhệgiữacácvectơ.Nảysinhcâuhỏi,cóquanhệbằngnhaukhông? Thếnàolàhaivectơbằngnhau?

Ngôn ngữ tự nhiên Hình vẽ

Khác hướng, độ dài khác nhau

Cùng hướng, độ dài khác nhau

Khác hướng, độ dài bằng nhau Độ dài bằng nhau và cùng hướng

Chúng tôi thực hiện tiếp cận khái niệm theo các bước của con đường kiến thiết. (i) Xâydựng mộthaynhiềuđốitượngđạidiện cho kháiniệm cần được hìnhthành hướngvàonhữngyêucầutổng quátnhất địnhxuất pháttừ nội bộtoánhọchaythực tiễn:Ởbướcnàychúngtôichuyểncác đối tượng ngữnghĩa sangmôhìnhlàhình biểudiễnvectơ(môhìnhởđâychỉđơngiảnlàhìnhvẽtươngứngvớicácyếutốcủangữnghĩa).

(ii) Kháiquáthóaquátrìnhxâydựngnhữngđốitượngđạidiện,đitớiđặcđiểmđặctrưngcho kháiniệmđượchìnhthành:Theobước(i)rõràng,đểcókháiniệmhaivectơ

C bằng nhautaphải quantâm đếnphương, hướngvàđộ dài củavectơ.Dựa vào mô hìnhtrựcquan,lúcnàyHScóthểkháiquáthóavấnđềvàphátbiểukháiniệm.

(iii) Phát biểu khái niệm: Định nghĩa:“Haivectơ bằng nhaunếuchúng cùng hướngvàcùngđộdài”.Từđây,kíhiệuvectơ(a,b,A B,…);kíhiệuđộdàicủavectơa;Kíhiệu hai vectơ bằng nhauab Ta được mô hình toán học của khái niệm hai vectơ bằng nhau:

Như vậy,các hoạt độngMHHđượclồng ghéptrongquátrình hình thành khái niệmlà những cơ hội choHSrènluyệnvà pháttriểnNLMHH,nócũng giúp choviệctiếpcậnvàhình thành kháiniệm mộtcáchtrựcquanvà cầnthiết trongdạyhọctoán.

Chúng ta xét một ví dụ khác: Dạy khái niệm “Hình chóp” Địnhnghĩa:Trongmặtphẳng   cho đa giác lồiA 1 A 2 A n Lấy điểmSnằm ngoài

SA 1 A 2 , SA 2 A 3 ,…, SA n A 1 Hình gồm đa giác

1 gọi làhình chóp, kí hiệulà S.A 1 A 2 A n TagọiSlàđỉnhvàđa giác A 1 A 2 A n làmặt đáy Cáctamgiác SA 1 A 2 ,

1 được gọi là cácmặt bên; các đoạn SA 1 , SA 2 ,…, SA n là cáccạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là cáccạnh đáycủa hình chóp.

Thư

c trangvâ n dung mô hinhhóatrongday ho c hình học ởtrường Trung học phổthông

1.6.1 Những bài toán, kênh hình liên quan đến thực tiễn trong sách giáo khoamôn toán Trung học phổthông

TrongSGK môn toán THPT từ năm 2002 đếnnay,những bàitoán, kênhhìnhliên quanđến thực tiễn đượcthốngkê chitiếtởmục3phần phụ lụcvàtrong bảng dưới đây:

Số lượng Hình ảnh/ hình vẽ liên quan đến thực tiễn

Bàiđọcthêm/Cóthểemchưa biết liên quan đến thực tiễn

Bài toán liên quan đến thựct i ễ n

Theo thống kê trên, nội dung SGK chưa chú trọng đến các bài toán có tính liên môn, nội môn và các tình huống thực tiễn Các bài học nhằm tổ chức hoạt động thực hành, trải nghiệm cho HS còn ít Vì thế cần phải bổ sung các bài toán có nội dung tích hợp liên môn hoặc trong nội bộ môn toán, xây dựng các tình huống thực tiễn trong cuộc sống hằng ngày, gần gũi với học sinh.

1.6.2 Thựctrạng việc dạy học theo hướng phát triển năng lực mô hình hóacho học sinh trong học hình học ở Trung học phổthông a) Mục đích khảo sát : Tìm hiểu thực trạng DH hình học theo hướng phát triển

NL MHH Toán học ở trường THPT, những thuận lợi và khó khăn của GV trong giảng dạy liên quan đếndạyhọc MHH toánhọc. b) Địa bàn khảo sát và đối tượng khảo sát : Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng tại 18 trường THPT trên các tỉnh Tây Nguyên và miền Đông Nam Bộ Với

200 phiếu khảo sát và thu được 100 phiếu, qua việc kiểm đếm, số phiếu phù hợp để phân tích và xử lý là 90phiếu. c) Phương pháp khảosát:

- Phương pháp điều tra thông qua các phiếu hỏi: Sử dụng phiếu hỏi ý kiến của

GV (Phụ lục đính kèm) của 18 trườngTHPT.

- Phương pháp tổng hợp, kinh nghiệm: Trao đổi với một số CBQL, Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán, GV dạy môn toán và tham khảo kết quả khảo sát của một số nhà nghiên cứu có liênquan.

- Phương pháp phỏng vấn: Phỏng vấn một số GV và HS thuộc một số trường trên bằng các câu hỏi được chuẩn bịtrước. d) Nội dung khảo sát : Các vấn đề liên quan đến việc dạy Hình học theo hướng phát triển NL MHH trong DH Hình học ởTHPT:

- Nhận thức của GV về tầm quan trọng và sự cần thiết của việc rèn luyện NL MHH toán học trong DH hìnhhọc.

- Mức độ thường xuyên của việc rèn luyện NL MHH toán học choHS.

- Các khó khăn, thách thức GV gặp phải khi DH hình học theo hướng phát triển

NL MHH toán học choHS.

- Đánh giá của GV về thực trạng NL MHH toán học của HS khi học HH ở THPT hiệnnay.

Qua việc sử dụng các phương pháp khảo sát cùng với việc phân tích xử lý kết quả bằng phần mềm thống kê chúng tôi thu được các kết quả trình bày dưới đây:

- Thống kê mức độ cần thiết của việc rèn luyện NL MHH cho HS khi dạy học Hình học ở trường THPT (xem Bảng 1.3 và Biểu đồ1.1).

Bảng 1.3 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện NL MHH cho HS

Giá trị Tần số Tỉ lệ %

Biểu đồ 1.1 Mức độ cần thiết của việc rèn luyện NL MHH cho HS

Dựa vàoBảng 1.2vàBiểu đồ 1.1chúng tôi nhận thấy rằng đa số GV thấy được sự cần thiết của việc rèn luyện hoạt động MHH cho HS khi dạy Hình học ở trường THPT. Tuy nhiên, ở mức độ rất cần thiết thì không nhiều GV quan tâm, thậm chí còn có những ý kiến là không cần thiết hoạt động này.

- Kếtquả cácmứcđộthường xuyênrènluyện hoạt động

Bảng 1.4 Mức độ thường xuyên của việc rèn luyện NL MHH cho HS

Giá trị Tần số Tỉ lệ %

Biểu đồ 1.2 Mức độ thường xuyên của việc rèn luyện NL MHH cho HS

ViệcthườngxuyênrènluyệnhoạtđộngMHHchoHSkhidạyhọcHìnhhọcởtrườngTHPTc ònhạnchế,đasốởmứcđộthỉnhthoảng.MộtsốGVchorằngkhôngcầntổchứccáchoạtđộngnàymà vẫnhoànthànhbàihọcmàkhôngảnhhưởnggìđếnkếtquảkiểmtra.Điều này,HSsẽgặprấtnhiềukhókhănđểpháttriểnNLMHHtoánhọcởtrườngTHPT.

CácGVcũngcho thấyđượctầmquantrongcủaviệcsửdụngcácKNthànhphầncủaNLMHHtoán học một cáchcụthể.Kếtquả nhưsau(xem Biểuđồ1.3):

Giá trị KN 1 KN 2 KN 3 KN 4 KN 5 KN 6 KN 7 KN 8

Tuynhiên, trongquátrìnhđiềutra,tácgiả nhận thấyGVthực hiệncác KN nàytrongquátrình giải toán,việc tạo tìnhhuốngban đầuđể sửdụngcácKNnày rấtítxuất hiện.

1.6.2.3 Việcthiết kế bài dạy theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa khidạy hình hoc ở trường Trung học phổthông

Thống kê kết quả về thiết kế các tình huống nhằm rèn luyện hoạt động MHH toán học cho HS khi dạy từng chủ đề Hình học của GV dựa trên SGK hiện hành, chúng tôi nhận xét một số vấn đề sau:

- Các chủ đề ở lớp 10 (xem Bảng1.5):

Bảng 1.5 Các chủ đề lớp 10

Chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Khi hình thành KT mới( T H T T ) 70,00 34,44 46,67

Khi cho HS luyện tập, giải toán( T H T T ) 22,22 42,22 26,67

Khi hình thành KT mới (MHK) 34,44 20,00 23,33

Khi cho HS luyện tập, giải toán (MHK) 15,56 28,89 13,33

Từkết quảtrênta thấyrằng việcthiếtkếcác tình huốngđểrèn luyệnhoạt độngMHH toán họctừcác MHK còn ít, mộtphầndobài tập,vídụvàcác tìnhhuốngtrong

SGK hiệnhànhxuất hiệnítnộidungmôn họcmàdùngtoán họcđểgiảiquyết,mộtphầnGVchưathiếtkếđượcnhiềutìnhhuốngtừcácMHK.

CácTHTTtrong luyện tập cònít cả ở bachủ đề, chínhvìvậy việcthiếtkếcácTHTTlàrấtcầnthiếtđểHSrènluyệnNLMHHtoánhọc.

- Các chủđềLớp 11: Kết quả đượcchúngtôibiểudiễntrênBảng1.5,quađógiúpchúng tôithấyđượctầmquantrọngđểthiếtkếcác tình huốngnhằmrènluyệnhoạtđộng MHHtoánhọc choHS.

Bảng 1.6 Các chủ đề lớp 11

Phép dời hình và phép đồng dạngtrong mặtphẳng Đường thẳng và mặtphẳngson gsong.

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Khi hình thành KT mới (THTT) 67,78 54,44 54,44

Khi cho HS luyện tập, giải toán (THTT) 26,67 31,11 20,00

- Các chủ đề Lớp 12, chúng tôi thống kê gộp số lượt các bài trong một chủ đề, mỗi một bài có mẫu là 90, chủ đề Khối đa diện về thể tích của chúng có 3 bài, chủ đề Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón có 2 bài và chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian có

3 bài qua việc thống kê trên Bảng 1.6, tất cả các kết quả đều chiếm tỉ lệ dưới50%.

Bảng 1.7 Các chủ đề lớp12

Khối đa diện về thể tích của chúng

Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Phương pháp tọa độ trong không gian

Khi hình thành KT mới (THTT) 48,89 21,67 35,56

Khi cho HS luyện tập, giải toán (THTT) 22,22 21,67 24,44

1.6.2.4 Những khó khăn và thách thức trong quá trình rèn luyện năng lựcmô hình hóa toán học cho học sinh khi dạy nội dung Hình học ở trườngTHPT

Những khó khăn và thách thức trong quá trình rèn luyện NL MHH toán học cho

HS khi dạy học nội dung Hình học ở trường THPT như sau:

- Cách đánh giá, kiểm tra hiện nay làm cho GV không chú trọng đến việc rèn luyện các hoạt động MHH toán học (60/90 phiếu có ý kiến này, chiếm tỉ lệ66,7%).

- NộidungSGK hiệnhànhchưacónhiềutìnhhuốngđể GVcócơhội rènluyệnhoạtđộngMHHtrongdạyhọchìnhhọc(51/90phiếucóýkiếnnày,chiếmtỉlệ56,7%).

- Quá trình học ở trường Đại học chưa được chú trọng đến vấn đề MHH toán học (85/90 phiếu có ý kiến này, chiếm tỉ lệ94,44%).

1.6.2.5 Đề xuất của GV về rèn luyện và phát triển năng lưc mô hình hóatoán học cho học sinh khi dạy học hình học ở trường Trung học phổthông

Hầu hết các GV có rất ít ý kiến về giải pháp rèn luyện NL MHH cho HS khi DHHình học ở trường THPT có hiệu quả, chúng tôi chỉ nhận được một số ý kiến sau:

- ĐềxuấtcủaGVvềnộidungSGKphảicónhiềutìnhhuống,bàitoánliênquanđếnMHHtoá nhọc(có51/90phiếuđềxuất,chiếmtỉlệ56,7%).

- Phảixâydựngmộthệthốngcáctìnhhuống,bàitậptheotừngchủđềchútrọngđến hoạtđộngMHHtoánhọc(47/90phiếuđềxuất,chiếmtỉlệ52,2%).

Nhưvậy,từthựctrạngtrên,cầnphảicócácbiệnphápDHthíchhợpđểrènluyệnvàbồi dưỡngNL MHHtoánhọcchoHStrong trườngTHPT Các biệnpháp,cóthể xuất pháttừ cácTHTThay cóthểtừ cácMHK hoặc trong nộibộmôntoán.Trong quátrìnhDH, cáctìnhhuốngphải gần gũivớitrường lớp, gia đìnhvàcuộc sốngđể HS thấy MHHtoán họckhôngphảilàđiềuxalạ,khóhiểu,từnhữngvấnđềxungquanhcácem cóthểMHHtoán họcđểtìmrađápsốhoặcgiảiquyếtđượcmộtvấnđềnàođótrongthựctiễn.

Chúng tôi tổ chức phỏng vấn sâu GV theo các ý sau:

Câuhỏi 1:Thầy/côđãtìm hiểuvề DHMHH toán họcquanhững kênhthôngtinnào?

- GVmới chưacókinhnghiệm(GV mớiratrườngđãđược tiếpcậnDHMHH toán học trong trường Đạihọc):Trong trường đại họcítthực hành giảngdạycácchuyênđề dạyhọcMHHToánhọc (8 GVđượcphỏngvấn trả lời theoýnày).

- GVcònítkinhnghiệm: Thôngquacác đợt tậphuấn chuyên môn,tàiliệu trêncáctrang web,nhưng chưa thực hànhDHMHH toán họctrên lớp (15GVđượcphỏngvấn trả lời theoýnày).

- GVcónhiềukinhnghiệm:Thôngquacácđợttậphuấnchuyênmôn,sinhhoạtcụmchuyên môn,tàiliệutrêncáctrangweb,đãdạyhọcMHHtoánhọcnhưngcònrấtít(20GVđượcphỏngvấn trảlời theoýnày).

Câu hỏi2:Những khó khăngặpphải khi thực hiệndạyhọcMHHtoánhọc toántrongnhàtrường củaThầycô?

- GVmới chưacókinhnghiệm:Gặpkhó khăn trong việc phát hiệncơhộiDH MHHtoánhọc vàlựa chọncáctìnhhuốngthực tiễn(7GVđược phỏngvấn trảlời theoýnày.

- GVcònítkinhnghiệm:Gặpkhókhăn trong việc lựa chọncáchình thức thực tiễn (16GVđược phỏng vấn trảlờitheoýnày).

- GV cónhiều kinhnghiệm:Khó khăn trongquátrình nghiêncứulíluậndạyhọcMHH toán học, sửdụngcácphương phápDHhiện đại trongquátrình thực hiệncácchuyênđềdạyhọcMHHtoánhọc(19GVđượcphỏngvấntrảlờitheoýnày).

Câuhỏi 3:TheoThầy/cô,để DHMHH toánhọctrongtrườngTHPTthìngườiGVcầnphảilàmgì?

- GVchưacókinhnghiệm:Cần hiểurõcáckhái niệmcơbảnvàýnghĩa của việc MHH trong toán học trước khitruyềnđạt cho HS Đọc thêmcác tàiliệu nghiêncứuvềMHH trongdạyhọc(5GVđượcphỏngvấn trả lời theoýnày).

- GVítkinhnghiệm:Vận dụngMHHtrongDHtoánquanhữngbàidạy,choHSáp dụng kiến thức vàocácvấnđềtrongcuộc sống hàngngày.Trao đổi, thảo luậnvàhợp tác vớicácGVkhácvềcáchtiếpcậnvàkinhnghiệmtrongviệcDHMHH(10GVđượcphỏng vấn trả lời theoýnày).

- GVnhiều kinhnghiệm:Chiasẻnhững kinhnghiệmvềMHHtoánhọctrongDHmàđãápdụngthànhcôngvớicácGVkhác.Nghiêncứusâuh ơnvàocácứngdụngmớicủaMHHtrongtoánhọcvàtruyềnđạtkiếnthứcnàychoHS(12GVđượcphỏ ngvấntrảlờitheoýnày).

Câu hỏi 4:Thầy/cô mong muốn điều gì để DH MHH toán học trong nhà trường

- GVmới chưacókinhnghiệm:Tậphuấn theo hướng thực hànhchoGV, điều kiệncơsởvậtchấtcủanhàtrườngcảithiệnđápứngđượcnhucầuDHtrongthờiđạingàynay(8GVđ ượcphỏngvấn trả lời theoýnày).

- GVcòn ítkinhnghiệm:Tham giacáccuộc thi, hội thảocác vấnđềvềdạyhọcMHHtoánhọc(11GVđượcphỏngvấntrảlờitheoýnày).

- GV cónhiều kinhnghiệm:Tập huấnkĩvề líluậnDHMHH toán học,cácphươngphápdạyhọc hiệnđại,sửdụng thành thụccáccôngcụ hỗtrợdạyhọc(17GVđược phỏng vấn trả lời theoýnày).

Câu hỏi 5:Ý kiến khác về dạy học MHH toán học trong nhà trường THPT

- GVmới chưacókinhnghiệm: Thườngxuyên sinh hoạtchuyênmôn dưới dạngnghiêncứu bàihọcđểphát hiệncơhộiDHMHH toán học cho từng mục, bài, (8 GVđược phỏngvấntrả lời theoýnày).

- GVcònítkinhnghiệm:Tậptrungxâydựngcáctình huốngMHHtoánhọc,nhằmpháthuykhảnăngtưduytoánhọcchoHS(12GVđượcphỏngvấntrảlờit heoýnày).

- GVcónhiều kinhnghiệm:Thực hiệncácchuyênđềdạy họcMHH toán học theo hướngliênmôn,thựctiễnnhiềuhơn(20GVđượcphỏngvấntrảlờitheoýnày).

Câuhỏi6:QuýThầy/ côđánhgiáthựctrạngvềkhảnăngMHHtoánhọccủaHSkhihọcHHởTHPT hiện nay.

- GVmới chưacókinhnghiệm:Chưa đánh giá đượckhảnăng MHH củaHS dothiếukinhnghiệmtronglĩnhvựcnày(8GVđượcphỏngvấntrảlờitheoýnày).

- GVítkinhnghiệm:Khả năng MHHcủaHSchưarõràng, bướcđầu chỉlàkhả năngđơngiản vấn đề,chuyểnđổicácyếutốthựctếsangcácđối tượngvàđạilượngtoán học (12GVđượcphỏngvấn trảlời theoýnày).

- GVnhiều kinhnghiệm:MộtsốHS đãcókhả năng lậpmôhìnhvàgiảimôhìnhtừbàitoán/tìnhhuốngthựctiễn(18GVđượcphỏngvấntrảlờitheoýnày)

1.6.2.7 Phỏng vấn học sinh đang họcTHPT

Câu hỏi 1:Em biết gì về MHH toán học? Lúc học THPT Thầy/cô có giới thiệu về MHH toán học không?

- Trả lời của HS: Có biết về MHH toán học nhưng chưa nhiều và chưa hiểu được bản chất của MHH toán học, Thầy/cô có giới thiệu về MHH toán học nhưng chỉ sơ qua (20 HS được phỏng vấn trả lời theo ýnày).

Câu hỏi 2:Khi học toán ở THPT các em được GV dạy học MHH toán học ở

Hình học, Đại số hay Giải tích.

- Trả lời của HS: GV DH MHH toán học ở cả 03 vấn đề trên nhưng chưa nhiều, chỉ vận dụng MHH vào dạy học ở một vài bài toán áp dụng thực tế (15 HS được phỏng vấn trả lời theo ýnày).

Câu hỏi 3:Dưới sự hướng dẫn của GV các em đã có cơ hội dùng kiến thức toán học để MHH các tình huống thực tiễnchưa?

- Trả lời của HS: Chưa có cơ hội, chỉ làm theo những bài tập liên quan đến thực tế do GV quy định, chưa có các tình huống thực tiễn để giải quyết bằng vấn đề MHH toán học (25 HS được phỏng vấn trả lời theo ýnày).

Câu hỏi 4:Theo các em tính khó và dễ của MHH toán học là gì?

Kếtluânchương1

Trong chương 1 tác giả đã tổng quan nghiên cứu vấn đề theo 3 hướng chính: (1) Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến MHH trong DH toán học, (2) Nghiên cứu vận dụng MHH trong DH toán học, (3) Nghiên cứu về phát triển NL MHH cho học sinh trong DH toán học Đặc biệt, các cách tiếp cận MHH toán học vào DH toán ở THPT Tác giả đã làm sáng tỏ về một số vấn đề chung như là mô hình, MHH toán học,

NL MHH toán học Hệ thống được các quan điểm MHH toán học, các sơ đồ của quá trình MHH toán học Trong đó tác giả nhận thấy sơ đồ quá trình MHH của Stillman và cộng sự (2007) là phù hợp với nghiên cứu của luận án, hơn nữa nó có mối quan hệ với các thành tố của NL MHH và những KN của MHH, chính những yếu tố trên là cơ sở lý thuyết cho việc DH theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS ở THPT Nội dung chính ở chương 1 vẫn là các thành tố của NL MHH (mục 1.3.2), đặc điểm của mô hình hóa toán học (1.2.5), cách tiếp cận MHH toán học vào DH toán ở THPT (mục 1.2.6), DH hình học theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS (mục 1.4) và các cơ hội DH hình học có thể phát triển NL MHH toán học cho HS THPT (mục 1.5). Phân tích được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn thông qua quá trình MHH một tình huống thực bằng các ví dụ Thông qua phân tích nội dung DH hình học ở THPT, luận án đã chỉ ra các cơ hội tổ chức hoạt động học tập cho HS để phát triển NL MHH toánhọc.

Việc nghiêncứu thựctrạngDHhìnhhọctheo hướng phát triểnNLMHH củaGV ởTHPTvàthựctrạngcủa SGK hình họchiệnhành chothấy:Đasố GVcónhậnthức đúng về MHH toán học và tầm quan trọngcủaviệcphát triểnNLMHH toán học cho HStrongDHhìnhhọc Mộttỉ lệlớn GV vẫnlúngtúngtrongviệcxâydựng cáctìnhhuống thựctiễnđểtổchức hoạtđộngMHH choHSkhiDHhình học,sốlượngbài tậpliênmôn, bàitậpápdụng toán vànhững tìnhhuống thựctếthể hiệnởsáchgiáo khoa có rất ít, các bàihọc mang tínhtrảinghiệmthựchànhcòn ít HScònlúngtúngkhi thựchiệncác KNthành phầncủa

NL MHH toán học khi học hìnhhọc.

Những kết quả nghiên cứu trên là cơ sở để tác giả đề xuất các biện pháp sư phạm ở Chương II.

Chương 2 PHÁ P SƯ PHẠM VỀ DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG

THPT THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN

Nội dung chính của chương 2 là xây dựng các biện pháp sư phạm về dạy Hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS Để các biện pháp có tính khả thi, điều quan trọng trước tiên là phải xác định được định hướng thực hiện các biệnpháp.

2.1 Đinhhướng xây dưng và thực hiện các biệnpháp

2.1.1.Định hướng 1 Các biện pháp sư phạm phải giúp HS lĩnh hội tốt tri thức, kỹ năng toán học, sự hiểu biết về MHK và thựctiễn.

2.1.2 Định hướng 2 Các biện pháp sư phạm phải có tính khả thi, hiệu quả, dễ thực hiện, gần gũi với GV và HS, không quá phức tạp.

2.1.3 Định hướng 3 Các biện pháp phải thể hiện đúng trọng tâm về dạy Hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS, đồng thời chú trọng đến hoạt động mô hình trong dạy học Toán ở trườngTHPT.

Nhữngđịnhhướngtrênlànhững địnhhướngchung trongkhixây dựngcácbiệnphápsưphạmvề DHHìnhhọcởtrường THPTtheo hướngpháttriểnNLMHHtoánhọc cho HS.Tùy từngbốicảnh, tìnhhuốnghaymột mụcđíchnàođó sẽ cóthêmnhữngđịnhhướngđặc thù, MHH liên quan đếnnhiềuvấnđềtrongthựctế,vượtrangoài phạmvicủa toán học,vìvậyđểrèn luyệnvà pháttriểnNLMHHtoánhọc,ngoàinhữngđịnhhướngnêutrên,cầnquantâmđếnmộtsốvấnđề sau:

- Luậnántập trungnghiêncứuvề DHHình họcởtrườngTHPT theohướng pháttriểnNLMHH toán học cho HS,NLnày thì gắnvớicác vấnđềthựctế,vìvậyviệc hiểubiết các vấnđềcủa cuộcsốngxung quanhHS làrất cầnthiết, thậmchíngaycảmốiliêncủatoánhọc với các MHKtrênlớp học của cácemcũng rất quan trọng.Khảnănghiểubiếtcác vấnđềxung quanh,tứclà

HSphảicókhảnăngtìmtòi,nghiêncứu,môtả,cótưduyphântích,tổnghợp,đểnắmđượcmốiq uanhệcủa thực tế với toán học Điều này cho thấy nhiệm vụ rèn luyện và phát triển NL MHH cho

HS không chỉ của trường học mà còn ở gia đình, xã hội và ngay chính bản thân người học.

- Toán họcvàcuộc sốngluôncómốiquanhệhaichiều,ápdụngtoán học vàothực tiễncóthể trựctiếphoặc thông qua cácMHK,do đóphảităngcường trảinghiệmvàtíchhợpliênmôn Trong việc thiếtkếcác chủđềgiảngdạy,cần lưuýđến bốicảnh dạy trong hay ngoàilớphọc,từ đóxây dựngcác tìnhhuống hayvấnđềphù hợpcóthểlàmộtTHTT hoặcmột vấnđềliênquan đến cácMHK,hoặcngaycảtrongnộibộmôntoán.Nhưvậy,nhiệmvụphát triểnNLMHHtoánhọccũngcầncó sựgiúpđỡcủaGVcácbộmônkhác.

- Nghiêncứu Chương1,tác giả cũng xácđịnhđược các thànhtốcủaNLMHHtoán học Tuy nhiên,việcpháttriểnNLnày khôngchỉdựavào cácthànhtốđó,màcòn cácyếutố như:cácNLthànhphầncủaNLtoánhọc;cácKNthànhphầncủa MHHhoặccácyếu tốkhác.Vìvậy,việctổchức các hoạtđộngDH đểrèn luyệnvàphát triểnNLMHHphảicótínhhệthống,cóquy trìnhgắn kếtchặtchẽvớinhau.

- Hoạt độngMHH toán họcliênquanđếnTHTT,tác giả nhận thấyviệc thiếtkếcác THTT trong SGKvàSGVchươngtrình giáo dụchiệnhành cònthiếu, thậmchírấtít.Dođó,bổsungcácTHTTvàochươngtrìnhDHlàrấtcầnthiết.

- Tác giảthấy rằng hoạt động xây dựngmôhìnhlàhoạt độngcốt lõi tronghoạt độngMHHvìhoạtđộng nàyrènluyện đượcrất nhiềuKTMHH choHS vàđây cũnglàđiều kiện quan trọngtrongDHtheo hướngphát triểnNLMHHtoánhọc choHSTHPT.

- Hình học,Đạisố &Giảitíchcóquanhệvới nhau,cóthểsửdụngHìnhhọcđểgiảibàitoánđạisốhoặcngược lại,vìvậyDHHìnhhọcởTHPT theohướngpháttriểnNLMHHchoHS,cũngliênquanđếnviệcDHĐạisốvàGiảitích.

2.2 Mộtsố biện pháp sư phạm về dạy học hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho họcsinh

Trên cơ sở lý thuyết ở chương 1 và một số định hướng đã trình bày ở mục 2.1, chúng tôi đề ra một số các biện pháp sư phạm sau:

2.2.1 Biệnpháp 1 Rèn luyện và phát triển cho học sinh một số kỹ năngthành phần của mô hình hóa toánhọc

Rèn luyện cho HS thành thạo các KN thành phần (KN1, KN2, KN3, KN6, KN7, KN8) của MHH, từ đó HS có cơ hội phát triển NL MHH khi gặp những tình huống cụthể.

2.2.1.2 Cơ sở đề xuất biệnpháp

NL gắn với một hoạt động cụ thể Rèn luyện và phát triển NL MHH cho HS phải thông qua hoạt động học tập cụ thể, có thể hoạt động trên lớp hoặc một hoạt động ngoại khóa theo một chủ đề xác định NL MHH của HS được hình thành và phát triển thông qua hoạt động toán học, trọng điểm là hoạt động lập mô hình toán học, đối với hoạt động này thì thường bắt đầu từ một tình huống thực tế, sử dụng toán học để lập mô hình và giải quyết vấn đề sau đó trở lại tình huống ban đầu nhằm phân tích và điều chỉnh quá trình MHH cho phù hợp với mục đích giáodục. Để rèn luyện và phát triển NL MHH, thì việc rèn luyện cho HS một số KN thành phần của MHH toán học trong DH là rất quan trọng, các nghiên cứu đã chỉ ra các KN thành phần của MHH toán học đó là: (KN1) Đơn giản giả thuyết; (KN2) Làm rõ mục tiêu; (KN3) Thiết lập vấn đề; (KN4) Xác định biến, tham số, hằng số; (KN5) Thiết lập mệnh đề toán học; (KN6) Lựa chọn mô hình; (KN7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị; (KN8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn[52].

Theo [33], KN là NL sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, NL vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định Như vậy, việc hình thành

KN của MHH, trước tiên HS cần có KT cơ sở, sau đó HS luyện tập từng thao tác riêng cho đến khi thực hiện được hoạt động MHH theo đúng mục đích KN chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy, quá trình này diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa cho đến khi xây dựng được mô hình và giải quyết được vấn đề trên nó, do đó để rèn luyện và hình thành KN MHH cho HS có thể thông qua các con đường: (1) Dạy cho HS những KT toán học cần thiết, sau đó đưa ra tình huống/bài toán để vận dụng; (2) Dạy cho HS nhận biết các dấu hiệu để tìm ra hướng giải quyết vấn đề; (3) Dạy cho HS theo cách định hướng, xây dựng tình huống/bài toán để HS sử dụng các thao tác tư duy, NL của bản thân để giải quyết vấn đề. Đối với HS THPT, các em đã hình thành được một số KN toán học cơ bản, tuy nhiên KN MHH còn hạn chế, do có ít tình huống thực tế trong SGK, điều này cho thấy không những HS gặp khó khăn về rèn luyện các KN MHH mà ngay cả GV cũng bị động trong phương pháp giảng dạy Hơn nữa, phát triển NL MHH thì hình thành và rèn luyện KN MHH là cốt lõi, chính vì điều này Luận án đã đề ra biện pháp “Rèn luyện và phát triển cho HS một số KN thành phần của MHH toán học” thông qua DH Hình học ởTHPT.

2.2.1.3 Hướng dẫn thực hiện biệnpháp

MHH là hoạt động mô hình bắt đầu từ vấn đề thực tế chuyển sang vấn đề toán học và trở lại thực tế, do đó để rèn luyện các KN của MHH, chúng tôi thông qua các ví dụ, đặc biệt là xuất phát từ các THTT, còn các ví dụ bài toán áp dụng thực tế chỉ mang tính hỗ trợ phản ảnh ngược lại nhưng cũng góp phần giúp HS rèn luyện các KN MHH.

Ví dụ 1 Nếu đứng ở một vị trí có thể quan sát được toàn bộ chiều cao của

Tòanhà Landmart 81 Vinhomes Central Park , em hãy ước tính tòa nhà cao bao nhiêu so với mực nước biển.

GV tổ chức các hoạt động chuyển từ các yếu tố thực tiễn sang các vấn đề toán học để hình thành và rèn luyện một số KN thành phần của MHH toán học sau:

MộtsốbiệnphápsưphạmvềdạyhọchìnhhọcởtrườngTrunghọcphổthôngtheohướngphátt riểnnănglựcmôhìnhhóatoánhọcchohọcsinh 67 1 Biệnpháp1.Rènluyệnvàpháttriểnchohọcsinhmộtsốkỹnăngthànhphầncủamôhìnhhóat oánhọc

Trên cơ sở lý thuyết ở chương 1 và một số định hướng đã trình bày ở mục 2.1, chúng tôi đề ra một số các biện pháp sư phạm sau:

2.2.1 Biệnpháp 1 Rèn luyện và phát triển cho học sinh một số kỹ năngthành phần của mô hình hóa toánhọc

Rèn luyện cho HS thành thạo các KN thành phần (KN1, KN2, KN3, KN6, KN7, KN8) của MHH, từ đó HS có cơ hội phát triển NL MHH khi gặp những tình huống cụthể.

2.2.1.2 Cơ sở đề xuất biệnpháp

NL gắn với một hoạt động cụ thể Rèn luyện và phát triển NL MHH cho HS phải thông qua hoạt động học tập cụ thể, có thể hoạt động trên lớp hoặc một hoạt động ngoại khóa theo một chủ đề xác định NL MHH của HS được hình thành và phát triển thông qua hoạt động toán học, trọng điểm là hoạt động lập mô hình toán học, đối với hoạt động này thì thường bắt đầu từ một tình huống thực tế, sử dụng toán học để lập mô hình và giải quyết vấn đề sau đó trở lại tình huống ban đầu nhằm phân tích và điều chỉnh quá trình MHH cho phù hợp với mục đích giáodục. Để rèn luyện và phát triển NL MHH, thì việc rèn luyện cho HS một số KN thành phần của MHH toán học trong DH là rất quan trọng, các nghiên cứu đã chỉ ra các KN thành phần của MHH toán học đó là: (KN1) Đơn giản giả thuyết; (KN2) Làm rõ mục tiêu; (KN3) Thiết lập vấn đề; (KN4) Xác định biến, tham số, hằng số; (KN5) Thiết lập mệnh đề toán học; (KN6) Lựa chọn mô hình; (KN7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị; (KN8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn[52].

Theo [33], KN là NL sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, NL vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định Như vậy, việc hình thành

KN của MHH, trước tiên HS cần có KT cơ sở, sau đó HS luyện tập từng thao tác riêng cho đến khi thực hiện được hoạt động MHH theo đúng mục đích KN chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy, quá trình này diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa cho đến khi xây dựng được mô hình và giải quyết được vấn đề trên nó, do đó để rèn luyện và hình thành KN MHH cho HS có thể thông qua các con đường: (1) Dạy cho HS những KT toán học cần thiết, sau đó đưa ra tình huống/bài toán để vận dụng; (2) Dạy cho HS nhận biết các dấu hiệu để tìm ra hướng giải quyết vấn đề; (3) Dạy cho HS theo cách định hướng, xây dựng tình huống/bài toán để HS sử dụng các thao tác tư duy, NL của bản thân để giải quyết vấn đề. Đối với HS THPT, các em đã hình thành được một số KN toán học cơ bản, tuy nhiên KN MHH còn hạn chế, do có ít tình huống thực tế trong SGK, điều này cho thấy không những HS gặp khó khăn về rèn luyện các KN MHH mà ngay cả GV cũng bị động trong phương pháp giảng dạy Hơn nữa, phát triển NL MHH thì hình thành và rèn luyện KN MHH là cốt lõi, chính vì điều này Luận án đã đề ra biện pháp “Rèn luyện và phát triển cho HS một số KN thành phần của MHH toán học” thông qua DH Hình học ởTHPT.

2.2.1.3 Hướng dẫn thực hiện biệnpháp

MHH là hoạt động mô hình bắt đầu từ vấn đề thực tế chuyển sang vấn đề toán học và trở lại thực tế, do đó để rèn luyện các KN của MHH, chúng tôi thông qua các ví dụ, đặc biệt là xuất phát từ các THTT, còn các ví dụ bài toán áp dụng thực tế chỉ mang tính hỗ trợ phản ảnh ngược lại nhưng cũng góp phần giúp HS rèn luyện các KN MHH.

Ví dụ 1 Nếu đứng ở một vị trí có thể quan sát được toàn bộ chiều cao của

Tòanhà Landmart 81 Vinhomes Central Park , em hãy ước tính tòa nhà cao bao nhiêu so với mực nước biển.

GV tổ chức các hoạt động chuyển từ các yếu tố thực tiễn sang các vấn đề toán học để hình thành và rèn luyện một số KN thành phần của MHH toán học sau:

- Đơn giản vấn đề thực tế: bỏ qua những yếu tố không cần thiết như: mặt bằng xung quanh, mặt nước biển, khối nhà, đoạn từ mặt đất đến đỉnh tòa nhà như một đoạn thẳng.

- Mục tiêu: tính chiều cao của tòanhà.

- HS xác định các tham biến: khoảng cách từ vị trí HS đứng đến đỉnh tòa nhà, khoảng cách từ HS đến chân của tòa nhà, các yếu tố có thể tính toán: khoảng cách giữa hai HS, gócnhìn.

- Phác thảo trên giấy môhình

Việc phác thảo trên giấy để được một bản nháp là rất quan trọng, lúc này các em sẽ vận dụng các thao tác tư duy, khả năng sử dụng các công cụ toán học như thước thẳng để đạt được một bản vẽ có tính khảthi.

- Mô hình toán học: việc đặt tên gán biến các em cũng gặp rất nhiều khó khăn, nó khác với việc giải bài toán thực tế (mô hình, kí hiệu đã cósẵn).Không phải, HS nào cũng biết đặt điểm, đặt đoạn thẳng, khả năngnàyHS đòi hỏi HS phải kết nối được mạch KT toán học, sự quan sát, liên tưởng ngoài cuộc sống và cuối cùng là khả năng chuyển đổi, kết nối các yếu tố thực tiễn tương ứng với các đại lượng toán học và biểu thị mô hình toán học bằng hình vẽ, đồ thị GV phải định hướng, hướng dẫn các em thực hiện việc chuyển đổi từ các yếu tố thực tiễn sang các đại lượng, kí hiệu toán học Có thể, các em sẽ có mô hình toán học khác nhau, nhưng đó là sản phẩm rất cầnthiết.GV có thể lập mô hình dạng chung nhất, biểu diễn các kí hiệu điểm, đường trên hìnhvẽ:

Sau khi đã lựa chọn mô hình bằng hình vẽ, HS sẽ thực hiện giải toán để được kết quả.

- HS sẽ liên hệ lại thực tiễn: Kiểm tra độ tin cậy của kết quả, thực hiện các tình huống tươngtự.

Như vậy, trong hoạt động DH GV phải luôn chú trọng các tình huống thực tiễn, các tình huống có thể được GV xây dựng và thiết kế sẵn phù hợp với mục đích giảng dạy, hoặc các tình huống có thể nảy sinh từ những vấn đề tìm tòi kiến thức của HS,

GV phải luôn chủ động khéo léo cài đặt hàm lượng tri thức toán học thông qua việc phát triển các KN thành phần của MHH toánhọc.

Những bài toán áp dụng thực tế thì việc rèn luyện các KN thành phần của MHH toán học chủ yếu diễn ra trong nội bộ toán học Tuy nhiên, nó cũng góp phần vào việc rèn luyện KN thành phần của MHH toán học Chẳng hạn, sau khi các em học xong phần Giải tam giác bài của bài Hệ thức lượng trong tam giác ở Hình học 10 cơ bản, chúng tôi xét ví dụ sau:

Ví dụ 2 Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga A đến ga B trên đoạn đườngthẳng Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc Khi tàu đỗ ở ga B, người đó lại vẫn nhìn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga

B dài 8km Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?[27] Đây là bài toán có nội dung thực tiễn, gắn tên biến đã có sẵn, có thông số cũng có sẵn nên chúng ta chỉ cần đơn giản bài toán, lập mô hình bằng hình vẽ.

- Đơn giản bài toán: ta thay những yếu tố ga, tháp, đường ray thay vào đó là điểm,đường.

- Từ A đến B là đoạn đường thẳng, ta mô tả hình vẽ là một đoạn thẳng Các vấn đề của bài toán, ta sẽ mô tả bằng hình vẽ, dựa trên hình vẽ AB là một đoạnthẳng.

Kếtluânchương2

Chương 2 đã xác định được ba định hướng cho việc thông qua dạy Hình học để phát triển NL MHH toán học cho HS, hệ thống hóa và làm sáng tỏ cơ sở khoa học cho việc đề xuất các biện pháp DH hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS, đã đề xuất được bốn biện pháp nhằm rèn luyện và phát triển

NL MHH toán học cho HS, cụ thể:

Biện pháp 1 Rèn luyện và phát triển cho HS một số KN thành phần của MHH toán học.

Biện pháp 2 Xây dựng các tình huống, bài toán thực tiễn giúp HS rèn luyện và phát triển NL MHH toán học.

Biện pháp 3 Tổ chức các hoạt động trải nghiệm trong lớp học và khuôn viên nhàtrường.

Biện pháp 4 Đánh giá NL MHH toán học của HS THPT thông qua dạy hình học.

Dạy học theo hướng phát triển NL MHH toán học còn phát huy được tính tích cực của HS khi tham gia vào các hoạt động học tập, tăng cường việc sử dụng MHH của HS trong học tập và của GV trong DH, tạo ra môi trường học tập tích cực và khuyến khích được HS tham gia vào các hoạt động MHH các bài toán hình học, GV có thể tạo ra các hoạt động tương tác cho HS, như làm việc nhóm và thảo luận trong lớp học hoặc trong các hoạt động trải nghiệm để mô tả các hiện tượng, tình huống trong thực tiễn hoặc giải quyết các vấn đề trong nội bộ toán học và MHK bằng áp dụng MHH toán học DH theo hướng này còn khuyến khích được HS tư duy sáng tạo,tìm tòi những mối liên hệ trong nội bộ toán học, toán học với MHK và toán học với thực tiễn, GV có thể truyền cảm hứng cho HS bởi những tình huống gần gũi xung quanh các em dùng MHH toán học để mô tả và giải quyết, đặc biệt giúp HS kết nối được toán học với thực tiễn Vì vậy, cùng với việc đề xuất các biện pháp, chúng tôi tiến hành thực nghiệm tính khả thi của các biện pháp ở Chương tiếptheo.

Mụcđíchthựcnghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm định giả thuyết khoa học, tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất, cụ thể là từ kết quả của thực nghiệm phải đưa ra được các luận cứ để trả lời các câu hỏi sau:

- Hệ thống các biện pháp đề xuất tại chương 2 có giúp HS được rèn luyện và phát triển được NL MHH toán học haykhông?

- Khi áp dụng đồng bộ các biện pháp đã đề xuất có tăng được kết quả học tập môn toán của HS THPT haykhông?

Thờigian,địađiểmvàđốitượngthựcnghiệmsưphạm

- TNSP vòng 1 (Thực hiện nhiệm vụ thăm dò): Được tiến hành trong học kì 1 năm học 2019-2020 đối với một số HS lớp 12 của Phổ thông Thực hành sư phạm- Đại học Đồng Nai và trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh nhằm mụcđích:

(1) Bước đầu kiểm chứng việc lập kế hoạch DH hình học theo hướng rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS ở hai trường thựcnghiệm.

(2) Thử triển khai việc thiết kế kế hoạch DH theo hướng phát triển NL MHH, sau đó điều chỉnh để phù hợp với mức độ nhận thức củaHS.

(3) Kiểm chứng các hoạt động DH có tác động đến HS để rèn luyện và phát triển

NL MHH toán học hay không, điều chỉnh các hoạt động tương tác nhằm phát triển NL MHH khi dạy các nội dung hìnhhọc.

- TNSP vòng 2: Được tổ chức trong học kì 2 năm học 2019-2020 đối với HS lớp

12 của Phổ thông Thực hành sư phạm- Đại học Đồng Nai và trường THPT NguyễnHữu Cảnh nhằm mục đích thu thập và xử lý kết quả đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp tác động đã đề xuất.

Phương phápthựcnghiệm

Phát phiếu điều tra cho GV dạy môn toán và HS của các trường TNSP để thu thập các thông tin hiểu biết về MHH toán học và tính khả thi của việc áp dụng các biện pháp sư phạm để rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS ởTHPT.

Trong các giờ DH môn toán chính khóa trên lớp đối với những lớp TNSP để quan sát tác động của các biện pháp đến HS Sau đó, thu thập dữ liệu về thái độ, hoạt động của HS trong quá trình tiếp thu KT trên lớp.

3.3.3 Phương pháp thống kê toánhọc

Sau khi TNSP, thiết kế và chấm điểm bài kiểm tra, dùng PP thống kê toán học để xử lý số liệu So sánh kết quả giữa nhóm ĐC và nhóm TN, từ đó ra kết luận về kết quả học tập của HS nhóm TN và nhóm ĐC.

3.3.4 Xâydựng phương thức và tiêu chí đánhgiá

3.3.4.1 Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt địnhlượng

Căn cứ vào kết quả các bài kiểm tra của HS theo thang điểm 10, tính các thông số thống kê sau:

- Điểm trung bình các bài kiểm tra:

N , trong đóNlà số bài kiểm tra, xilàloạiđiểm, fi làtầnsốđiểm ximà HS đạtđược.

- Hệ số biến thiên (còn gọi là hệ số phântán): vs

S 2 S 2 tra bảng phân phối t - student, nếutt 

- Kiểm định phương sai và giảthiết chứng tỏ thực nghiệm có hiệu quả rõ rệt.

Kiểm định phương sai bằng giả thiếtE 0 :"Sự khác nhau giữa các phương sai ở

S 2 nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC là không có ý nghĩa"với đại lượng F  T N

“Sự khác nhau giữa các điểm trung bình ở hai mẫu là không có ý nghĩa với phương sai như nhau”bằng công thức:t x TN x DC

- NếuFF  , khẳng định phương sai khác nhau, tiếp tục kiểm định giả thiết H 0 :

"Sự khác nhau giữa các điểm trung bình ở hai mẫu là không có ý nghĩa với phương sai như nhau"theo công thức:t x TN x DC

3.3.4.2 Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt địnhtính

Xử lí các phiếu điều tra thu được của GV và HS và kết quả quan sát được từ các tiết học TNSP để đánh giá tính khả thi của các biện pháp tác động đến HS trong việc rèn luyện và phát triển NL MHH toán học.

Nộidungthựcnghiệmvàtổchứcthựcnghiệm

Dạy học các nội dung hình học 12 như sau (tổng thời lượng thực nghiệm 06 tiết):

Chủ đề Khối đa diện và thể tích của chúng (Khái niệm về khối đa diện; Khối đa diện lồi và khối đa diện đều; Khái niệm thể tích của khối đa diện) Chủ đề Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón (Khái niệm về mặt tròn xoay; Mặt cầu và các vấn đề liênquan). b) Hướng dẫn giáo viên dạy thựcnghiệm

Chúng tôi tiến hành trao đổi, thảoluậnvới các GV giảng dạy thực nghiệm một số điểm chính về MHH toán học, DH theo địnhhướngvà phát triển phẩm chất, NL củangườihọc,đặcbiệtlàviệcrènluyệnvàpháttriểnNLMHHtoánhọcthôngquaviệcdạyHìnhhọc ở cấp THPT Họ, đã nêu ra những khó khăn trước mắt nếu phải dạy thực nghiệm như sau: SGKhìnhhọc có rất ít THTT; thời gian giảng dạy cho một nội dung thực nghiệm làdài;thiết kế giáo án cũng gặp những khó khăn; Khả năng tiếp thu của HS không đồng đều có sự chênh lệch lớn; số lượng HS trong lớp quá đông, Đểkhắc phụcnhững khó khănnày,chúng tôi cùng với GV thực nghiệm, thống nhất một số vấn đềliênquanđếnnộidungvàthiếtkếtiếtdạytheochủđềphùhợp,nhưngphảiđảmbảo nguyên tắc:

“Rèn luyện và phát triển NL MHH toán họcphảigóp phần cải thiện đượcchấtlượngdạyhọctrênlớp”.Đ ể giảngdạynhữngtrithứctoánhọcchocácem,GVcầnphảitạo tình huống có vấn đề, tùy từng hàmlượngtri thức trong mỗi tiết học, chủ đềhọc, màtình huống đưa vào có thể là vấn đề bao trùm xuyên suốt một chủ đề dạy học, hay có thể chỉ đơn giản để giảng dạy một khái niệm, định lý, công thức toán học Theo Nguyễn

Bá Kim (2011) [18], để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo không thể trao ngay cho HS điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất là thường cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để HS chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo của bản thân” (tr.117) Thông qua các tình huống, GV khéo léo gắn kết các

KT toán học tương ứng với các yếu tố của các tình huống, giúp HS chiếm lĩnh tri thức toán học một cách chủ động và hiệu quả nhất Theo Phan Anh (2012)[1],việc thiếtkếcác tìnhh u ố n g códụngýsưp h ạ m đưavàotrong dạyhọc,đ ư ợ c thể h i ệ n ở

……… những khía cạnh sau đây: 1)Tình huốngđưa vào làTHTT,HS đãđược trảinghiệm,tốnítthời gian dẫn dắt;2)Tình huống phải là cái giá mang tri thức cần truyền thụ hay kỹ năng cần được rèn luyện.Giải quyết đượctìnhhuốnglà đạt đượcmục đích kép:vừahoànthànhđượcnhiệmvụdạyhọc(truyềnthụđượctrithức,rènluyệnđượckỹnăngtoánh ọc)vừa thựchiệnđược mục đích gópphần phát triểnNL toán học hóa THTT cho họcsinh.

Nhưvậy,thiếtkếcácTHTTcódụngýsưphạmliênquanđếnMHHtoánhọclàvấn đềthen chốtcủa nội dung thựcnghiệmsưphạm,bêncạnhđó,ngoàiTHTThoặctình huốngtoánhọchóa,chúngtôiđưathêmcácbàitoánápdụngthựctế.

Sau đây, chúng tôi thiết kế một vài ví dụ dạy học có tính chất định hướng, tham khảo cho GV thực nghiệm sư phạm.

Ví dụ 1 Bài “Thể tích hình chóp”

GV tạo tình huống có vấn đề sau: “Em hãy ước lượng thể tích của khối chóp sovới khối lăng trụ có cùng đáy và chiều cao”

Thực hiện các hoạt động theo hướng dẫn sau:

1 Vẽ hình lăng trụ và hìnhchóp

Hình lăng trụ Hình chóp

2 Thể tích khối lăng trụ/ước lượng thể tích khốichóp

Khối lăng trụ Khối chóp

3 Phát biểu công thức tính thể tích của khốichóp

4 Thực hiện hoạt động 4(SGK)

HS xây dựng phương án tính thể tích tháp Louvre nằm bên sông Seine ở thủ đô Pari nước Pháp

Trong quá trình giảng dạy, GV tùy từng đối tượng HS có thể thực hiện theo thứ tự các bước hoặc rút gọn các bước sao cho phù hợp, GV có thể thực hiện theo một số gợi ýsau:

- Việc ước lượng thể tích khối chóp, GV nên chuẩn bị sẵn các đồ dùng dạy học, chẳng hạn như: Hình lăng trụ và hình chóp được làm bằng tấm mica trong có thể chứa nước đầy, một dụng cụ đo lượng nước cũng làm bằng mica có chia vạch Để HS có được tính liên hệ với thực tiễn trong dạy học, GV nên đặt câu hỏi:Em hãy nêu một vàiphương pháp ước lượng thể tích của khối chóp so với thể tích của khối lăng trụ có cùng đáy và chiều cao? Tùy từng tình huống DH cụ thể mà GV có thể thực hiện phương pháp giảng dạy cho phù hợp, tuy nhiên phải đảm bảo tính tự nhiên, không áp đặt, HS chiếm lĩnh tri thức một cách chủ động, từ những quan sát thực suy ra được kết quả toán học Để HS thấy được rằng, toán học và thực tiễn có mối liên hệ chặtchẽvới nhau, nếu toán học không có thực tiễn nó sẽ không có ý nghĩa, thực tiễn cần toán học để tạo nên tính hoàn mỹ của cuộcsống.

- Bước vẽ hình, tùy từng nhóm vẽ hình lăng trụ/ hình chóp cóđáylà tam giác, tứ giác, không bắt HS phải theo quy định của GV, để HS được làm trên sản phẩm của mình một cách thoải mái nhất.

-Sau khi các em quan sát ở bước giải quyết tình huống, HS các nhóm sẽ dự đoán côngthứctínhthểtíchcủakhốichópvàGVchoHSphátbiểuđịnhlý:Thểtíchcủa một khối chóp có diện tích đáy là B và chiều cao h là V1

- Thực hiện hoạt động 4 (SGK), thực ra chỉ vận dụng công thức, tuy nhiên GV nhấn mạnh quá trình MHH toán học trong đó, vẽ Kim Tự Tháp bằng mô hình toán học là hình vẽ và các kí hiệu trên nó và giải toán trên môhình.

- Hoạt động áp dụng có thể cho các em nêu phương án giải quyết trên lớp hoặc

GV hướng dẫn cách thực hiện để HS về nhà tự giảiquyết.

Ví dụ 2 Bài toán có nội dung thực tiễn

Trên một nóc tòa nhà có một cột ăng-ten cao 7m Từ vị trí quan sát A cao 8m sovới mặt đất của tòa nhà đối điện, người ta dùng dụng cụ đo góc để ngắm đỉnh B và chân C của cột ăng-ten so với phương nằm ngang lần lượt được góc50 0 vàchiều cao của tòa nhà.

Bài toán này có nội dung thực tiễn, các yếu tố của vấn đề thực tiễn đã được biểu diễn bằng kí hiệu và thuật ngữ toán học, do đó quan trọng nhất là khả năng vẽ hình gắn với những kí hiệu đặt trên nó của các em, các hoạt động có thể thực hiện theo hướng dẫn:

GV chia lớp thành nhiều nhóm để thực hiện các hoạt động này, chúng tôi có mội vài gợi ýsau:

- Vẽ hình: hoạt động này dẫn đến các em có thể phác thảo một mô hình thô, sau đó mới chính xác hóa bằng các công cụ thước thẳng, thước đo góc Có thể các em giải toán trên mô hình phác thảo, tuy nhiên GV nên định hướng cho các em giải trên mô hình khi đã được vẽ bằng công cụ thước thẳng và thước đo góc, có thể minh họa bằng hình sau:

- Giải toán: hoạt động này sau khi các em học xong bài Hệ thức lượng trong tam giác, GV nên phân tích bằng sơ đồ tư duy cho HS thực hiện cáchgiải.

Tìmhiểu,đánhgiácácbiệnphápsưphạmđãđềxuấtthôngquaxinýkiếnGV,HS

3.5.1 Ýkiến giáo viên về giáoán Để đánh giá về mặt địnhtínhtác dụng của các biệnphápDH hìnhhọctheo hướng phát triểnNLMHH toán học choHSTHPT Chúngtôitổchứcphát phiếu điềutra cho 20 GVtoánvà82HSnhómlớpTN của haitrườngtổchứcTNSP.Kết quả nhưsau:

Bảng 3.11 Điều tra GV về nội dung DH TNSP

TT Nội dung Đánh giá Đồng ý Không đồng ý

1 Nội dung giáo án chính xác về kiến thức 20 0

Giáo án áp dụng các biện pháp dạy học hình học theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS giúp HS tích cực và chủ động trong suốt quá trình học tập

3 Giáo án được thiết kế với nội dung và tiến trình phù hợp với đối tượng HS 19 01

4 DH với giáo án đã soạn giúp HS rèn luyện và phát triển được NL MHH toán học 18 02

5 Giáo án được thiết kế dễ dạy với GV 19 01

Qua kết quả khảo sát cho thấy phần nào các biện pháp dạy học hình học theo hướng phát triển NL MHH cho HS ở THPT có thể đáp ứng được đổi mới về phương pháp giáo dục, hầu hết GV đánh giá được tầm quan trọng của giáo án và chấp nhận áp dụng trong DH toán.

3.5.2 Điều tra về kết quả các của các giờ họcTNSP a) Đối với giáoviên

Chúng tôi tiến hành xin ý kiến GV về hiệu quả tiết dạy TNSP sau khi GV dạy học theo giáo án đã soạn theo hướng rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho học sinh, kết quả nhưsau:

Bảng 3.12 Điều tra GV về hiệu quả của tiết dạy trong quá trình TNSP

TT Nội dung thăm dò

Kết quả trả lời của 20 GV Trả lời của

GVthông qua sốHS trả lời có

1 HS có hứng thú, tích cực tham gia học tập trong các tiết TNSP không? 81 98,78

HS có hình thành và chiếm lĩnh được kiến thức thông qua các tiết dạy TNSP theo hướng phát triển NL MHH Toán học không?

HS có được rèn luyện các kĩ năng thành phần của NL MHH không thông qua các hoạt động dạy học ở các tiết TNSP không?

4 HS có thể kết nối được toán học với thực tiễn trong các tiết TNSP không? 79 96,34

HS có mong muốn được dạy các tiết toán theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HS không?

Dựa vào kết quả trả lời của GV ở trên, cho thấy việc tổ chức thực hiện các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS trong DH hình học ở THPT đã tạo được hứng thú học tập và tính cích cực của HS Các biện pháp sư phạm bước đầu có hiệu quả, HS hình thành và lĩnh hội được các kiến thức, kỹ năng cần đạt, HS đã hiểu về MHH toán học và được rèn luyện về NL MHH trong suốt quá trình giảng dạy Đặc biệt, các em mong muốn được dạy học ở các tiết toán tiếp theo theo hướngnày. b) Xin ý kiến họcsinh Để biết được thái độ học tập của HS thông qua các tiết TNSP, chúng tôi tiến hành điều tra 82 HS về tiết TNSP bằng phiếu học tập và kết quả như sau:

Bảng 3.13 Điều tra về thái độ của HS về các tiết học trong quá trình TNSP

TT Nội dung thăm dò Kết quả trả lời của 82 HS

Số HS trả lời có Tỉ lệ %

1 Em có thích học tiết học TNSP không? 80 97,56

2 Em có hứng thú với các tiết học TNSP không? 81 98,78

3 Em có chủ động trong học tậpkhôngtrong các tiết TNSPkhông? 79 96,34

4 Em có chú ý thầy/cô dạy ở các tiết TNSP không? 80 97,56

5 Em có hợp tác với bạn bè và thầy/cô trong tiết học TNSP không? 79 96,34

6 Em có vui vẻ khi học các tiết TNSP không? 80 97,56

Về thái độ học tập của HS trong các tiết TNSP, hầu hết HS rất thích học tiết TNSP, các em rất thoải mái và tự tin tham gia vào các hoạt động học tập, tinh thần hợp tác được phát huy tốt, các em chủ động để chiếm lĩnh tri thức và điều quan trọng là các em không có áp lực khi học các tiết TNSP.

3.5.3 Điều tra đánh giá mức độ MHH của HS qua biểu hiện một số tiêu chícủa NL MHH toánhọc Để đánh giá mứcđộMHH toán họccủaHSquabiểuhiệnmộtsốtiêu chícủaNLMHHtoánhọc,chúngtôitiếnhànhtổ chứcchoHSlàmbàikiểmtratựluậnởcáclớpTN vàĐCmàđềsửdụngvídụ ởmục 2.2.4.3với5câu hỏitươngứng với các tiêu chí cầnđánhgiá(Phụ lục3)vàcôngcụđánhgiálàbảngđánhgiá 2.2, dựavàokếtđánhgiá củaGVtrênbàilàmcủaHSởcảlớpĐCvàTN,chúngtôithuđượckếtquảsau:

Bảng 3.14 Điều tra đánh giá về NL MHH toán học của HS ở các lớp ĐC

Các mức độ biểu hiện và mức điểm tương ứng của 81 HS

Mức 1 Mức 2 Mức 3 Mức 4 Mức 5 [0-2] (2-4] (4-6] (6-8] (8-10] Đơn giản giả thiết (KN (1)) 7 21 32 14 7

Lựa chọn mô hình và biểu diễn mô hình bằng hình vẽ, biểu đồ, đồ thị (KN (3)) 6 19 29 15 12

Lựa chọn và sử dụng phương pháp giải phù hợp với bài toán (KN (4)) 11 15 36 12 7

Phản ánh, đối chiếu lời giải với thực tế để cải tiến mô hình (KN (5)) 17 31 22 8 3

Từ kết quả trên, ta có biểu đồ hình cột sau:

Biểu đồ 3.4 Biểu hiện các mức độ MHH của HS qua các KN thành phần

Dựa vào biểu đồ trên, chúng tôi nhận thấy mức độ MHH toán học của HS qua các KN thành phần ở lớp ĐC tập trung nhiều ở mức 2 và mức3.

Bảng 3.15 Điều tra đánh giá về NL MHH toán học của HS ở các lớp TN

Các mức độ biểu hiện và mức điểm tương ứng của 82 HS

Mức 1 Mức 2 Mức 3 Mức 4 Mức 5 [0-2] (2-4] (4-6] (6-8] (8-10] Đơn giản giả thiết (KN (1)) 5 8 41 21 7

Làm rõ mục tiêu (KN (2)) 4 7 46 20 5

Lựa chọn mô hình và biểu diễn mô hình bằng hình vẽ, biểu đồ, đồ thị (KN (3)) 3 6 29 30 14

Lựa chọn và sử dụng phương pháp giải phù hợp với bài toán (KN (4)) 8 10 27 25 12

Phản ánh, đối chiếu lời giải với thực tế để cải tiến mô hình (KN (5)) 17 32 22 8 3

Từ kết quả trên, ta có biểu đồ hình cột sau:

Biểu đồ 3.5 Biểu hiện các mức độ MHH của HS qua các KN thành phần

Dựa vào biểuđồ3.5, chúngtôi nhậnthấy mức độ MHHtoán học củaHSqua các KNthànhphầnởlớpTNtậptrungnhiềuởmức3và mức4.Nhưvậy,cóthểnóirằngkhảnăngMHHcủaHSởcáclớpTNđãđượccảithiệnvàtiếnbộsovớ iHSởcáclớpĐC.

Qua kết quả điều tra về GV và HS, chúng tôi có niềm tin vào kết quả nghiên cứu các biện pháp sư phạm mà chúng tôi đã đề xuất, đây cũng là công cụ hữu ích đóng góp giúp HS rèn luyện và phát triển NL MHH toán học nói riêng và nâng cao chất lượng DH môn toán nói chung ở trườngTHPT.

Kếtluậnchương3

Sau khi xác định được mục đích, đối tượng và phương pháp TN sư phạm, chúng tôi tiến hành TN sư phạm, xuyên suốt quá trình TN, các kết quả thu được về mặt nhận thức, kinh nghiệm, các sản phẩm cùng với kết quả xử lý các số liệu được từ PP thống kê, PP quan sát, PP điều tra, đã có cơ sở để khẳng định:

- Việc giúp cho HS THPT rèn luyện và phát triển NL MHH toán học thông qua dạy Hình học có ý nghĩa lí luận và ý nghĩa thực tiễncao.

- Các biện pháp sư phạm đã đề xuất ở chương 2 có tính khả thi cao, phù hợp với lý luận về đổi mới PPDH, nhất là trong Chương trình giáo dục phổ thông mới (Chương trình GDPT năm 2018) nhấn mạnh kết nối toán học với thực tiễn, toán học không chỉ là toán học mà toán học còn là thựctiễn.

- Kết quả TNSP cho thấy các biện pháp sư phạm đã giúp HS nắm vững kiến thức hình học, có khả năng ứng dụng linh hoạt kiến thức trong nội bộ môn Toán, MHK và trong thực tiễn vào việc giải quyết bài toán thực tế Đồng thời, giúp HS có tưduyphản biện và tư duy logic qua việc phân tích, cải tiến mô hình, điều này giúp HS tự tin và chủ động hơn trong họctập.

- Kết quả TNSP cho thấy các biện pháp sư phạm đã đóng góp tích cực vào phát triển khả năng sáng tạo và giao tiếp của HS HS được khuyến khích đưa ra ý tưởng mới, được đề xuất mô hình theo ý riêng mình và được trình bày kết quả trước tập thể lớp, nhờ đó các em tự tin trong giao tiếp và thuyết trình trước mọingười.

- Kết quả TNSP cho thấy các biện pháp sư phạm không chỉ giúp HS rèn luyện và phát triển NL MHH toán học mà còn giúp HS phát triển khả năng suy luận và giải quyết vấn đề, bằng cách mô phỏng, biểu diễn và giải thích các tình huống hình học,

HS chủ động tự tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề một cách phùhợp.

- Kết quả TNSP cho thấy mục đích nghiên cứu đề ra là đúng đắn, giả thuyết khoa học được chấp nhận và nhiệm vụ nghiên cứu được hoàn thành, đề tài hoàn toàn khả thi trong việc triển khai DH Hình học ở trườngTHPT.

1 Luận án đã tổng quan được các nghiên cứu về MHH trong DH toán theo 3 hướng chính: (1) Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến MHH trong DH toán học, (2) Nghiên cứu vận dụng MHH trong DH toán học, (3) Nghiên cứu về phát triển

NL MHH cho học sinh trong DH toán học, trên cơ sở đó phân tích được các vấn đề lý luận về MHH, DH MHH toán học, quá trình MHH toán học và đánh giá khả năng MHH trong DH toán của HS đồng thời xem xét được việc vận dụng MHH vào DH toán như phát triển và thử nghiệm các phương pháp giảng dạy dựa trên MHH và đánh giá tác động của chúng với sự hiểu biết và KN của HS, hơn nữa phát triển NL toán học nói chung và NL MHH toán học nói riêng qua quá trình DH toán học cũng được chú trọng ở các cấp học Luận án tiếp cận MHH theo vấn đề thực tế và tích hợp vào nội dung giảng dạy, nhấn mạnh việc áp dụng toán học để MHH và giải quyết các vấn đề thực tế, điều này sẽ giúp HS thấy được ứng dụng của toán học trong cuộc hàng này và tăng cường được khả năng kết nối toán học với thực tế của cácem.

2 Luận án đã xác định được một số thành tố của NL MHH toán học cho đối tượng là HS THPT, mỗi thành tố có vai trò và lợi ích riêng, các thành tố tương tác với nhau để tạo ra một quá trình MHH mạnh mẽ, điều này rất cần thiết trong DH toán theo hướng phát triển NL MHH của HS Để đo lường được NL MHH, Luận án đã xây dựng được mẫu thang tổng quát tiêu chí đánh giá NL MHH toán học và các mức độ biểu hiện của mỗi tiêu chí trong DH hình học ở THPT, với mục đích trợ giúp GV đánh giá được sự phát triển NL MHH của HS qua việc thiết kế chương trình, nội dung DH toán theo thang này, hơn nữa GV có thể dựa vào thang tổng quát để thiết kế thang đo phù hợp với từng chủ đề, bài tập, vấn đề thực tế và đối tượngHS.

3 Luận án đã góp phần làm sáng tỏ thực trạng và việc vận dụng MHH toán học trong DH toán tại trường THPT, các quan niệm về DH MHH, DH bằng MHH, cơ hội để HS được rèn luyện và phát triển NL MHH toán học thông qua dạy hình học ở THPT Ngoài việc trình bày những đặc điểm chung của mô hình, MHH toán học, Luận án còn trình bày những nét riêng về mô hình, MHH hình học trong DH, mối quan hệ giữamôhìnhhìnhhọcvàmôhìnhđạisốvàviệcvậndụngnhữngmôhìnhnàytrong dạy khái niệm, định lý, giải toán hay giải quyết một vấn đề thực tế của cuộc sống một cách chi tiết và cụ thể thông qua các ví dụ về hình học ở THPT, nhằm mục đích giúp

GV thiết kế nội dung DH phù hợp theo hướng phát triển NL MHH cho các em, từ đó giúp các em hiểu rõ hơn về MHH toán học nói chung và MHH hình học nói riêng.

4 Luận án đã đề ra được 4 biện pháp DH chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu để GV có thể vận dụng vào DH toán nhằm góp phần rèn luyện và phát triển không những về NL MHH toán học mà còn kiến thức và các NL khác của toán học cho HS THPT Các biện pháp dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn đã được trình bày trong nghiên cứu, thông qua các ví dụ cụ thể, giải quyết tình huống theo các bước của quy trình MHH toán học và được tích hợp MHH vào các hoạt động khác trong DH, làm cho MHH toán học trở nên nổi bật, kích thích sự tìm tòi, phát triển tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề và tính sáng tạo của HS, đồng thời rèn luyện KN thành phần, phát triển

NL MHH toán học cho các em Ngoài ra, các biện pháp cũng hỗ trợ GV trong DH toán, giúp họ căn cứ và tham khảo để soạn giảng, thiết kế nội dung DH theo hướng phát triển NL MHH toán học cho HSTHPT.

5.Đã tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm định giả thuyết khoa học của đề tài luận án, qua việc xử lý kết quả có thể thấy được tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp đã được đề xuất, HS hứng thú và chủ động tham gia học tập, tương tác, hợp tác, làm việc nhóm và hỗ trợ nhau tích cực hơn, tiết học sôi nổi hơn, khả năng giải quyết vấn đề của HS được cải thiện, đặc biệt đã tăng được khả năng MHH toán học cho các em Đồng thời, GV rất nhiệt tình và hăng say khi DH theo hướng phát triển

TIẾNGVIỆT

1 Phan Anh(2012).Gópphần phát triển nănglực toán học hóa tìnhhuốngthực tiễnchohọcsinhTHPTquadạyhọcĐạisốvàGiảitích.LuậnántiếnsĩGiáodụchọc.

2 Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018).Chương trình giáo dục phổ thông năm2018.

3 LươngDuyênBình(chủbiên,2010).Vậtlý10,NXBGiáodụcViệtNam,tr.30-31.

4 LêThị Hoài Châu (2014).Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm Tạp chí khoa học trường ĐHSP TPHCM số 65(99),12-2004.

5 Lâm Thùy Dương - Trần Việt Cường (2018) Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học môn toán ở tiểu học Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 9/2018, tr 127-129;176

6 LêThị Mỹ Hà (chủ biên, 2014).Tài liệu tập huấn PISA 2015 và các dạng câuhỏi do OECD phát hành lĩnh vực toán học Bộ Giáo dục và Đào tạo,tr.14-

7 CaoThị Hà, Nguyễn Xuân Dung (2023) Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh trong dạy học Hàm số ở lớp 10 trung học phổ thông Tạp chí Khoa học giáo dục việt nam, Tập 19, Số 03, Năm2023

8 Phạm Mỹ Hạnh và Trần Thị Ngọc Giàu (2021) Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong giảng dạy học phần đại số sơ cấp ngành sư phạm toán Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 1, 2021,26-32

11 TrầnVăn Hạo (Chủ biên, 2006).Hình học 10 NXB Giáo dục ViệtNam.

12 TrầnVăn Hạo (Chủ biên, 2006).Hình học 11 NXB Giáo dục ViệtNam.

13 ĐặngThanh Hưng (2017).Mô hình hóa trong nghiên cứu giáo dục Tạp chí

Khoa học Giáo dục, số 137(2/2017).

14 Lê Thị Thu Hương và Đinh Thị Hồng Liên (2019).Vận dụng quy trình mô hình hóa trong dạy học môn toán ở tiểu học Tạp chí Giáo dục, Số 453 (Kì 1 - 5/2019), tr 28-32; 49.

15 Vũ Như Thư Hương, Lê Thị Hoài Châu (2013) MHH với phương pháp tích cực trong dạy học Toán Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang7/2013

16 HàHuy Khoái (Chủ biên, 2021).Toán 10 NXB Giáo dục ViệtNam.

17 HàHuy Khoái (Chủ biên, 2021).Toán 11 NXB Giáo dục ViệtNam.

19 Nguyễn Danh Nam (2015) Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh phổ thông Tạp chí khoa học ĐHSP Hà Nội, Tập 60, số 8, Tr44-52

20 Nguyễn Danh Nam (2016).Nghiên cứu vận dụng phương pháp mô hình hóatrong dạy học môn toán ở trường phổ thông Báo cáo đề tài cấpbộ.

21 Nguyễn Thị Nga (2022).Đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của họcsinh: trường hợp chủ đề hệ thức lượng trong tam giác ở lớp 10 Tạp chí

Khoa học trường ĐH TPHCM, Tập 19, số 5 (2022): 817 –831.

Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

23 BùiHuyNgọc (2003).Tăngcường khai thácnội dung thựctếtrong dạyhọcsốhọcvà đạisốnhằm nâng caonănglực vận dụngToánhọc vàothựctiễn cho họcsinhTrunghọccơsở.LuậnánTiếnsĩGiáodụchọc,TrườngĐạihọcVinh.

24 ĐồngThị HồngNgọc (2022).Dạyhọc môhìnhhóatrong mônXácsuất vàThốngkê cho sinh viênngành Kinhtế và Quản trị kinhdoanh.Luận án TiếnsĩGiáodụchọc.

27 ĐoànQuỳnh (Chủ biên, 2006).Hình học 10 NXB Giáo dục ViệtNam.

28 ĐoànQuỳnh (Chủ biên, 2006).Hình học 11 NXB Giáo dục ViệtNam.

29 LêHồng Quang (2020).Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho họcsinh

THPT trong dạy Đại số Luận án Tiến sĩ Giáo dụchọc.

30 Phạm Thanh Tâm, Phan Anh Tuyến (2018).Năng lực mô hình hóa và cơ hộiphát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học hình học ở Trung học phổ thông.Tạp chí Khoa học Giáo dục Việt Nam, Số 6, HàNội.

31 LêVăn Tiến (2019).Phương pháp dạy học môn Toán Nhà xuất bản Đại học

32 Phạm Thị Thanh Tú, Trần Thị Hồng Nhung (2020) Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung hình học 10 Tạp chí Khoa học Đại học Sài Gòn, số 71(05/2020)

33 Nguyễn Quang Uẩn, Trần Hữu Luyến, Trần Quốc Thành (2013),Tâm lí họcđại cương, NXB ĐHQG HàNội.

34 TrầnTrung (2011).Vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn toán ở trườngphổ thông Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, số06.

TIẾNGNƯỚCNGOÀI

Định dạng
Số trang	196
Dung lượng	2,28 MB