Dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

Dạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhDạy học Hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

PHAN ANH TUYẾN

HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI, 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

PHAN ANH TUYẾN

HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ mônMã số: 9.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS.TS Đào Thái Lai2 TS Phạm ThanhTâm

HÀ NỘI, 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôixincamđoanđây làcôngtrình nghiêncứu củariêngtôidướisựhướngdẫncủa

quảtrìnhbàytrongluậnánlàtrungthựcvàchưaaicôngbốtrongbấtkìmột côngtrìnhnàokhác.

Tác giả

Phan Anh Tuyến

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Đào Thái Lai và TS.Phạm Thanh Tâm đã tận tình giúp đỡ tôi trong học tập và nghiên cứu để hoàn thànhluận ánnày.

Trong suốt quá trình thực hiện luận án, tôi đã được động viên giúp đỡ củaPGS.TS Trần Kiều, PGS.TS Phạm Đức Quang, PGS TS Trịnh Phương Thảo cùngcác chuyên gia trong chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán.Tôi thực sự biết ơn những lời động viên, sự chỉ bảo và giúp đỡ quý báu đó.

Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo, các thầy cô Viện Khoa học Giáo dụcViệt Nam.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô của trường THPT Nguyễn HữuCảnh (Đồng Nai) và trường Phổ thông Thực hành sư phạm-Đại học Đồng Nai đãtạo điều kiện giúp đỡ tôi xuyên suốt và hoàn thành thực nghiệm sưphạm.

Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn tới các anh chị em Nghiên cứu sinhtại Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam, bạn bè, người thân, gia đình đã luôn đồnghành, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu.

Tác giả

Phan Anh Tuyến

1.2.Môhìnhhóatoánhọc 14

1.4.2 VậndụngdạyhọcmôhìnhhóatoánhọcởtrườngTHPT 35

1.5.Cáccơhộidạyhọchìnhhọccóthểpháttriểnnănglựcmôhìnhhóatoánhọcchohọcsinhtrunghọcphổthông451.5.1 Trườnghợpdạyhọckháiniệm 49

1.5.2 Trườnghợpdạy họcđịnhlí 52

1.5.3 Trườnghợpdạy họcgiảitoán 53

1.5.4 Trườnghợp môhìnhhóa tình huốngthựctiễn 54

1.6.Thưc traṇgvân duṇgmôhìnhhóatrongday hoc hìnhhọcởtrườngTrunghọcphổthông 55

1.6.1 Nhữngbàitoán, kênh hình liên quanđếnthực tiễn trong sách

giáokhoamôntoánTrunghọcphổthông 55

1.6.2 Thực trạng việc dạyhọctheo hướng phát triển nănglực môhìnhhóa cho

1.6.2.1 Nhậnthức củagiáo viênvềtầmquantrọngvàsự cầnthiếtcủaviệcrènluyệnnănglựcmôhìnhhóatrongdạyhọcHìnhhọcởtrườngTrunghọcphổthông 571.6.2.2 SựquantâmcủaGVvềcáckỹnăngthànhphầncủaNLMHHtoánhọc 58

1.6.2.3 Việc thiếtkế bàidạytheohướng phát triển nănglực mô hìnhhóakhidạyhìnhhocởtrường Trunghọcphổthông 59

1.6.2.4 Nhữngkhó khănvàtháchthứctrongquátrìnhrènluyện nănglực môhìnhhóatoánhọcchohọcsinhkhidạynộidungHìnhhọcởtrườngTHPT 60

1.6.2.5 ĐềxuấtcủaGVvề rènluyệnvà pháttriển nănglưc mô hìnhhóatoán học chohọcsinh khidạyhọc hình họcởtrường Trunghọcphổthông 60

2.2.MộtsốbiệnphápsưphạmvềdạyhọchìnhhọcởtrườngTrunghọcphổthôngtheohướngpháttriểnnănglựcmôhìnhhóatoánhọcchohọcsinh672.2.1 Biệnpháp1.Rènluyệnvàpháttriểnchohọcsinhmộtsốkỹnăngthànhphầncủamôhìnhhóatoánhọc 67

2.2.2.3 Hướngdẫn thựchiệnbiệnpháp 75

2.2.3 Biện pháp3 Tổchứccáchoạt động trảinghiệmtronglớp họcvàkhuônviênnhàtrường.962.2.3.1 Mụcđíchcủabiệnpháp 96

2.2.3.2 Cơsởđề xuất củabiệnpháp 96

DANH MỤC CÁC BẢNG

27Bảng1.2.Chuyểnđổimộtsốyếutốthựctếsangmôhìnhhìnhhọc 36

3 BiểuđồBiểuđồ1.1.MứcđộcầnthiếtcủaviệcrènluyệnNLMHHchoHS 57

Biểuđồ3.3.ĐườngbiểudiễntầnsuấtluỹtíchhộitụlùicủanhómlớpTNvàĐCtrongđợtTNSP vòng2

Biểuđồ3.5.BiểuhiệncácmứcđộMHHcủaHSquacácKNthànhphần 138

MỞ ĐẦU1 LÝDO CHỌN ĐỀTÀI

1.1 MHH toán học có vị trí rất quan trọng trong giáo dục và thực tiễn, MHH

toán học được giảng dạy từ cấp tiểu học đến trung học phổ thông và thậm chí cả đạihọc Trong thực tiễn, MHH toán học được sử dụng rộng rãi ở các lĩnh vực như khoahọc kĩ thuật, kinh tế, y tế, xã hội học, … Nó có vai trò giúp học sinh có khả năng giảiquyết vấn đề đơn giản hơn bằng cách sử dụng các mô hình toán học như hình vẽ, bảngbiểu, đồ thị, phương trình, … MHH toán học cho phép dự đoán được những vấn đềxảy ra trong tương lai như thời tiết và tài chính hay sự phát triển dân số nhờ vào nhữngmô phỏng, mô hình được xác lập Với vị trí, vai trò trên của MHH toán học nó sẽmang lại ý nghĩa thiết thực trong giáo dục, giúp HS phát triển được tư duy logic, tưduy phân tích, khả năng giải quyết vấn đề, … từ đó áp dụng vào thực tiễn nhằm cảithiện chất lượng trong sản xuất, tài chính và nghiên cứu khoahọc.

1.2 PhươngphápDHtoánởTHPTvẫn còn mang nặngtínhlýthuyết chưathậtsự

đềcaotínhứngdụngtoán học vào cuộcsống Trongquá trìnhDHtoán,mặcdù đãcónhiềuthayđổivềphươngphápsongvẫn còntheokhuôn mẫuthườngthìdạylýthuyếtxongrồigiảibàitập theotừngnhóm,dạng,chủđề,liênhệtoán học với thực tiễnchưaxuấthiện nhiều Trongkhiđó,ởnhiều nước khác,họ đềcao tínhứngdụngtrong dạyhọc toánnhấtlàliênhệtoánvới thựctiễn,vìthếphươngphápDHthể hiệnrõ sựcộng tác,làmviệc theonhóm,tươngtác giữaGV vàHS, giữaHSvớinhau,kết nốicuộc sốngvàotừng chủđềtoánhọc,họtậptrungvào khảnăng sángtạovàgiải quyếtvấnđềthựctiễn củahọc sinhvàxem MHH nhưlàmộthoạtđộngDHtoánhọc.

Hiệnnay,thế giớiđangngày càng nhậnthứcđượcvai tròto lớncủaMHHtoánhọcvàtầm quantrọngcủanótrong cuộcsống,chínhvìthếhọđang

Nhưvậy,mộtphươngphápDHhướngđếnviệcrèn luyệnvàphát triểnNLMHHtoánhọc nóichungvàhình học nói riênglàcầnthiết.

1.3 Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 của nước ta chú trọng MHH toán

học và xác định NL MHH toán học là một trong năm NL toán học cốt lõi của chươngtrình, ở các cấp học khác nhau thì biểu hiện NL MHH toán học có những đặc trưngriêng và được thể hiện qua các thành phần NL sau: Xác định mô hình toán học (gồmcông thức, phương trình bảng biểu, đồ thị, …) cho tình huống xuất hiện trong bài toánthực tiễn; Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; thểhiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếucách giải quyết không phù hợp [2] Nhiều nội dung toán học ở trường THPT có tiềmnăng để rèn luyện và phát triển NL MHH toán học cho HS, trong đó nội dung hình họcchưa được khai thác nhiều trong các nghiên cứu ở trên thế giới và ở ViệtNam.

1.4 Trong những năm qua, đã có nhiều nghiên cứu về vận dụng toán học vào

thực tiễn, MHH toán học và phát triển NL MHH toán học trong DH ở các cấp họckhác nhau Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu về việc DH hình học theohướng phát NL MHH toán học cho HS ở cấpTHPT.

Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho Luận án là: “DạyhọcHình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực mô hìnhhóa toán học cho học sinh”.

- Phân tíchnhữngcơhộipháttriểnNLMHHtoán học choHStrongDHhình họcởTHPT.- Phân tíchthựctrạngDH hình họcởTHPTtheo hướng phát triểnNLMHHtoánhọcchoHS.

- Đề xuất các biện pháp DH hình học ở trường THPT theo hướng phát triển NL MHH toán học choHS.

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả củacác biện pháp đềxuất.

4 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊNCỨU

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊNCỨU

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các côngtrình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đềtài; xây dựng cơ sở lí luận cho NL MHH toán học của HS THPT và việc rèn luyện đểphát triển NL này trong DH toán, đặc biệt là trong DH hìnhhọc.

- Phương pháp điều tra, khảo sát: Điều tra hoạt động dạy của GV, hoạt động họctập của HS bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn luyện NLMHH toán học cho ngườihọc.

- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về các vấn đề nghiêncứu của đềtài.

- Thựcnghiệmsưphạm:Tổchức thựcnghiệmsưphạmđểđánhgiátínhhiệuquảvàkhảthicủacácbiệnphápsưphạmđãđềxuất.

7 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢOVỆ

- MHH trong hoạt động học hình học của HS có những đặc điểm chung với hoạtđộng MHH toán học và có những đặc điểmriêng.

- Có thể xác định được những cơ hội trong DH hình học nhằm rèn luyện và pháttriển NL MHH toán học choHS.

- Hệ thống các biện pháp sư phạm khi DH hình học có cơ sở khoa học và có tínhkhả thi, góp phần rèn luyện và phát triển NL MHH toán học choHS.

8 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN

8.1 Về mặt líluận

- Làm sáng tỏ thêm về NL MHH toán học của HS phổ thông, trong DH toán, cácđặc điểm riêng của MHH toán học trong hoạt động hình học của HS THPT và các cấpđộ của MHH toán thể hiện trong DH hìnhhọc.

- Xây dựng được khung tiêu chí đánh giá NL MHH toán học và các mức độbiểuhiệncủa mỗi tiêu chí trong DH hình học ởTHPT.

ứngdụng:“cóíchcónghĩalàgiảngdạytoánhọcsaochonócóthểđượcápdụng”.Sựphụthuộclẫnnhaucủatoánhọcvàcác ứng dụngkhông được thảo luậncho đến hộinghị“Anwendungsorientierte Mathematik”cácnước nóitiếngĐức diễn ra Cáckhíacạnhcủatoánhọc ứng dụngtrong giáodục lầnđầu tiên đượcđưa vào vàthảo luận dướigócđộkhoahọc,MHH toánhọc trong giáodục đượcthiếtlậpbởithànhtựu củaPollak,đặc biệtlàđưaracácvấnđềtrongthếgiớithựcvàogiáo dụctoán, trong chươngXIIcủa mình,sựtương tác củatoánhọcvàcácMHK, Pollakxácđịnh lĩnhvực toán học ứng dụngcầnđược tích hợp vào mộttìnhhuống toán học tronglớp học: (1)Toánhọc ứng dụng cónghĩalàtoánhọc ứng dụngcổđiển;(2)Toánhọc ứng dụng cónghĩalàtấtcảcáctoánhọc cóýnghĩa thiếtthực ứngdụng;(3)Toánhọcứngdụngcónghĩalàbắt đầu với một tìnhhuống trong cuộcsống thực, giảithíchtoánhọchoặcmôhình,sửdụngtoán họclàmviệctrong mô hình đóvàáp dụng kếtquảvàotìnhhuốngbanđầu;(4)Toán họcứngdụngcónghĩalàápdụngtoán học vàocuộcsống.

MHH toán học vàtoán họcứngdụngđược các nướctrênthếgiới quan tâm, chẳnghạn:tổchức hợp tác vàphát triển kinhtế(OECD)xâydựng Chươngtrình đánhgiáHSquốctế(TheProgrammeforInternational Student Assessment)-PISA vàocuốithậpniên

90.PISA đánh giá khảnăngHS vận dụng KT, KN đọcđểhiểunhiều tài liệu khácnhaumàhọcó thể sẽ gặpvàgiải quyết trong cuộcsốnghàng ngày;khả năng vận dụngKTtoánhọcvào cácTHTT PISA cũngđềcaoNLMHHtoánhọc của HS Hội nghịquốctếvềdạy MHHtoánhọcvàápdụngtoánICTMA (International ConferencesontheTeachingofMathematical ModellingandApplications)tổchức hainămmộtlần vớimụcđíchthúcđẩyứng dụngtoánhọc và MHH toán họctrong tấtcảcác lĩnhvực

thứ8(2013)củahiệphộinghiêncứu giáo dụctoán châuÂuCERME (CongressofEuropeanResearchinMathematics

Education),MHHvàápdụngtoánlàmộttrongnhữngchủđềchínhcủathảoluận.

Được xemlàmộtcáchnângcao khảnăng giải quyếtvấnđềtrongcuộcsốngthựccủaHS,MHHtoánhọcngàycàngđượcnhấnmạnhnhưlàmộtphươngphápchogiáodụctoánhọc từcấptiểu học đến đạihọc.MHH trong DHtoánđãđược đề cậpvànghiêncứu từ rấtlâu.Về cơ bản, nhữngnghiêncứu về MHHtrongDHtoánchủyếuđượcthựchiệntheo3hướng chính:(1)Nghiêncứu các vấnđề líluận liênquanđếnMHHtrongDH toánhọc, (2)Nghiên cứu vận dụng MHHtrongDHtoán học,(3)Nghiêncứuvềphát triểnNLMHH cho HStrongDHtoánhọc.

1.1.1.Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến mô hình hóa trong dạyhọctoánhọc

Khi xem xét các tài liệu liênquanđến lí luậnvềMHHtrongDHtoán,cóthểthấyrằngđã có nhiềunghiêncứuđượcthực hiện trên chủđề này ởtrongvàngoàinước.Mặcdù,ngàycàngcónhiềunghiêncứuquantâm đến MHHtrongdạyhọctoánnhưngđãcósựkhác biệtvềcách kháiniệmhóacấutrúc này.Chẳng hạn,M.Blomhøj (2009)[39]trong nghiêncứu“Differentperspectivesonmathematicalmodellingineducationalresearch”đãnêurasáuquan điểm về MHHtronggiáo dục, bao

gồm:Thựctế, ngữcảnh, giáodục, tri thức,nhậnthức, xã hội và phêphán.ÝtưởngchínhcủaBlomhøj (2009)làtíchhợp môhìnhvà quátrìnhMHHvàoviệcgiảngdạytoánhọc,khôngchỉnhưmộtphươngtiệnđểhọc toán học mà còn là mộtNLquan trọngmàHScầnphát triển.Xem MHH nhưmột phươngtiệndạyhọctoán đồng thờinhưmộtmụcđích củaviệcdạytoán,

A.KürşatERBAŞvàcộngsự(2014)[55]đãdựatrêncácquanđiểmvềmôhình,môhình toánhọc,MHH toánhọccủa các nhà giáo dụcnhư quanđiểm môhìnhcủaLeshvàDoerr (2003a):“Mộtmôhìnhbao gồm cả hệthống kháiniệmtrongtâm trí người học vàhệthốngkýhiệubênngoàicủacáchệthống này”;môhìnhtoán học củaLehrer&Schauble (2003):“Môhìnhtoánhọc bao gồmmộtloạt các biểu đồ,phép tínhvà mối quan hệ, chứkhôngchỉgiớihạn vào

huốngthựctế”;MHHtoánhọccủaVerschaffel, GreervàDeCorte (2002):“MHH toánhọclàmộtquá trình trongđócáctìnhhuống và mốiquanhệtrongđờithực đượcxác địnhđượcthểhiện bằng cáchsửdụng toánhọc”đểphát triểnmộtquanđiểm thống nhất về mô hìnhtoánhọc, đồng thờiphântíchvàthảo luậnvềhai cách tiếp cận việc sửdụngMHHtronggiáo dụctoánhọc và cho rằngdùcách tiếp cậnnàođượcưathíchvàsửdụngthì việctíchhợp MHHvàogiáodụctoánhọc đều rất quantrọngđể cải thiện khảnănggiảiquyếtvấnđềvàtưduyphântíchcủaHS MHHcũngđược xem nhưlàmộtcôngcụDH,A.Bora,S.Ahmed(2019)

[47]quanniệm:“MHHtoánhọclàquátrìnhxâydựngmộtmôhìnhtoán

học”, hoạtđộng MHH là hoạtđộnggiảiquyết cácvấn đề phức tạpxuất hiện trong tìnhhuốngthực tế đòi hỏi tạoramột môhình toánhọc như một sảnphẩm Trongnghiêncứunày,đãtrìnhbày cấutrúclýthuyếtcủa các hoạt độngthúcđẩy đểtạoramôhìnhđượcxem là một côngcụcầnthiết trongviệcDHtoán,nhằmtómtắtmột quá trình pháttriển mô hình

[87],MHHtoánhọclàquátrìnhl ấ y mộtvấnđềthựctếvàtìmkiếmgiảipháptốiưubằngcáchsửdụngtoánhọc,theoquanđiểmnàyông cũng xác định đượcvaitrò củaMHHtoánhọctrongcáctiêuchuẩn cốt lõichungvàđánhgiávềkhảnăngMHH toán học của HScác cấp học, qua đóđãtrìnhbàycáclợi íchvànhữngrào cản khókhănkhi DHthôngqua MHHtoán học.Trongtài liệu“Nghiêncứu vậndụng phươngpháp MHHtrongDHmôntoánởtrườngphổthông”củaNguyễn DanhNam(2016)[20] tác giả đãtrìnhbàymộtcáchtổngthểcácvấn đềlýluận về MHHtrongdạyhọctoán,cùng vớiphương phápDH MHHsẽgiúpHSlàm quenvớiviệcsử dụng các loại biểudiễndữliệukhácnhau;giảiquyếtcácbàitoánthựctiễnbằngcáchlựa chọn vàsửdụng cáccôngcụ,phương pháptoán học phùhợp.Qua đó, giúpHShiểu sâu,nắm chắc cácKTtoánhọc,vàcóthểrèn luyệnđược cácthaotáctưduytoánhọc như phântích vàtổnghợp, trừu tượng hóa và tổngquáthóa,sosánhvàtươngtự, hệthốnghóa và đặcbiệt hóa,suydiễn vàquynạp,…,đồngthờicònhỗtrợ

L.T.H Châu (2013)[15] cho rằngtrongDHtoánMHHlà mộtquátrìnhcấutrúclại vấn đề cầngiải quyết nhờ nhữngkháiniệmtoánhọc được lựachọnmộtcáchphù hợp Quátrìnhnàythựchiệntheo4bước:Xâydựng môhình trung giancủavấnđề;xâydựngmôhìnhtoánhọcchovấnđềđangxét;sửdụngcôngcụtoánhọcđểkhảosátvàgiảiquyếtbàitoánhìnhthànhởbướcthứhai;phântíchvàkiểmđịnhkếtquảthuđượctrongbướcba.

Bêncạnhsựkhác biệtvềcách kháiniệmhóa,sựkhácbiệttrongphânđịnhcác bước củachutrìnhMHHtoánhọccũng đã tồn tạitrongcácnghiêncứuvềMHHtrongDHtoán.Trongnghiêncứu củamình,Blum vàLeiß (2005)[43]đã đề xuấtchutrìnhMHHgồm7bước,tậptrungvàogiaiđoạn đầu của quátrìnhMHHtừtình huốngthựctếđếnmôhìnhthực tế.Chutrìnhđượcđềxuấtcủa BlumvàLeiß(2005)đãcung cấpmột cái nhìnsâu hơnvềcách MHHthựchiệnviệcchuyểnđổi từtìnhhuống thực tếsangbiểudiễnmôhình Trongkhi đó,Kaiser(2005)[75]chỉ ra rằng chutrìnhcủaMHHtoánhọc mộtcáchcụthể,đólà,nắm bắtchitiếttừngbướccủaviệchiểutìnhhuống thực tế đến tạo mô hìnhtoánhọc, rồitừmôhìnhtoánhọc đếnviệc kiểmchứng kếtquả Borromeo Ferri(2006)[48]nhấn mạnh vàosựkhácbiệtgiữa cáckhíacạnh củaMHH,từ việc phân biệt

giữamôhình tìnhhuống và môhìnhthực tế đếnviệc không phânbiệtgiữachúng.Stillmanvàcộngsự(2007)

[94]môtảquátrìnhMHHgồm7bước,cácbướccómốiquan hệ haichiềuvới nhauvàchú trọngđếntoànbộquátrìnhMHHđểxemxéttính phùhợpvới thực tế và nhận thức của HS.Việcápdụngquytrìnhnàytrongdạy họctoánsẽ giúp HShiểukỹhơn từngbướcMHH củaquytrìnhvàtừđó cácemcó khảnăngMHHtoán họcđược tốt hơn[95].

Liên quanđến đánh giá MHHtrongDHtoán,cóhaiquan điểm tươngphảnvớinhaumạnhmẽ(Hidayat,R.vàcộngsự,2022)[72] BlomhoejvàJensen (2003) [40],đãphânbiệtgiữaphương pháptoàn diện(holistic)vànguyêntử(atomistic) Trong phươngpháptoàndiện,HStham gia vào quátrìnhMHH toánhọcmột cáchđầy đủ,bao

giảithíchkếtquảvàđánhgiátínhhợp lý của môhình.Quađó,HScó thểkhám phá tất cả cáckhía cạnhcủavấnđề, nhưngnó lại tốnthờigianvàcôngsức vìphảitoán họchóavàphântíchvấnđề,trongkhi đó,thời gian dànhcho việcgiải quyếtvấn đề thực tếbằngcách chuyểnđổi sự phứctạpcủathếgiới thựcthành cácmô hìnhtoánhọcbịhạnchế,phương

[57].Tuynhiên,gầnđâycácnghiêncứuđãcốgắngápdụngtiêuchítoàndiệnđểđánhgiákhảnăngMHHcủaHS(Changvàcộngsự,2020[49];Rellensmannvàcộng sự, 2020[88]);Tong và cộngsự, 2019[97]) Phương pháp nguyêntửđược Frejd (2013)[58]nghiêncứu quaviệckiểmtrabằngbài viết, chútrọngtậptrung vàosản phẩmthay vìquá trình,còntheoBlomhoej&Jensen (2003)tậptrungvào các bướctoánhọc hóavàphântích môhìnhtoánhọctrongchutrìnhMHH.Một lý dorấtquan trọngcủa các nhànghiêncứukhisửdụngphương pháp nguyêntửtrongdạyhọctoánhọc là vìnóthúcđẩyviệchọctoán(Frejd&Bergsten,2018)[59].Cho đếnnay,cácnghiêncứu gầnđây đã cốgắngsửdụngphươngphápnguyêntửđểđolường khảnăngMHH toán học củaHS(Fu,J.,&Xie, J.,2013)[63]vàkếthợpgiữatiêu chínguyêntửvàtoàn diện (Durandt,R.,Blum, W.,&Lindl, A., 2021)[54].

1.1.2 Nghiên cứu về vận dụng mô hình hóa trong dạy học toánhọc

Dựa trên kết quả của nhữngnghiêncứu vềcácvấnđềlíluận liênquan đếnMHHtrongDHtoán học,nhiềutác giảđãtiến hànhcác nghiêncứuvềviệcvậndụngMHHtrongDHtoánchongườihọcvà đâymộttrong những hướng nghiêncứuđãvàđangnhậnđượcnhiềusự quan tâm.Việcvận dụngMHHtrongDHtoán hiệnnayđượccácnhànghiêncứutriển khaitheonhữngcon đường vàcách tiếpcận rấtphongphú,trảidàiởcácbậchọckhácnhau.

Ởcấptiểu học,đãcómột sốnghiêncứu trong vàngoài nướcvềvậndụngMHHtrongDHtoán,có thể kể đếnmộtsốnghiêncứutiêu biểucủaLâm ThùyDương-TrầnViệt Cường (2018)[5],Lê Thị ThuHươngvàĐinhThị HồngLiên (2019) [14]hayJames

hainghiêncứuởViệtNam(LâmThùyDương-TrầnViệtCường (2018),Lê ThịThuHươngvàĐinhThịHồng Liên (2019))đều thựchiện việcđềxuấtquytrìnhMHH gồmbốnbước:Toán họchóa;giải bàitoán; thông hiểu/hiểu vàthông dịch;đốichiếu,kiểm định kết

toánsốhọc,hìnhhọctheoquytrìnhnàyvàvậndụngvàotổchứccáchoạtđộngdạyhọc choHS.NghiêncứucủaJamesJ.Watters, Lyn English,và Sue Mahoney(2004)[102]tập trungvào thiếtkếcáctrải nghiệm “trướcMHH” cho HS lớp3,các hoạtđộng trải nghiệmMHH

cơhộiđểkhámphácáchsuynghĩtoánhọccủatrẻ,cùngvớisựtươngtáccủaGVđãđưacácemvàotình huốngcụthể,kết quả chothấyđãnângcaođượckhả năng tham gia vào cáchoạtđộngMHHtoánhọc của các em,nhiềuýtưởngnổi bậtxuất hiện, chấtlượnghọctậpđượccảithiệnnhấtlàkhảnăngsửdụngbảngcủacácem.

Ở cấp THCS, vận dụng MHH vào DH toán được đề cập trong rất nhiều nghiêncứu, có thể kể đến một số nghiên cứu của Ok-Ki Kang, Jihwa Noh (2012),EmineÖzdemir,Devrim Üzel(2013),Gloria Stillman(2010), Trong nghiên cứu củamình, Ok-Ki Kang, Jihwa Noh (2012) [74], thông qua những ví dụ được thiết kế đểminh họa quátrìnhsửdụngcácvấnđềtrongSGKnhằmtạoramộttìnhhuốngchânthựchơn,nơimà HS tham gia vào một quá trình lặp lại trong việc xác định biến, hình thành một môhình,diễngiảikếtquảvàxácnhậnmôhình.Trongnghiêncứunày,Ok-KiKang,Jihwa Noh (2012)cho rằng vai trò của GV là rất quan trọng để giúp học sinh biểu đạt - kiểm tra - điều chỉnhsuy nghĩ của họ theo hướng có hiệu quả Thực hiệnmộtnghiên cứu trường hợp trên 38 HSlớp 8 được chọn ngẫunhiêntại một trường thực hành, EmineÖzdemir,Devrim Üzel(2013) đã cho thấy hiệu quả của việc vận dụng MHH trongDHtoánởbậcTHCS.TrongnghiêncứucủaEmineÖzdemir,DevrimÜzel(2013)[53],cácgiáoángiảng dạy dựa trên MHH được thiết kế bởi GV dạy toán tiềm năng, những GVnàyđãđượcđàotạovềMHHtrongvòng3tháng.GVchuẩnbị“Kếhoạchdạyhọchàngngày”gồm baphần: phần chính thức (ngày thực hành, trường thực hành, lớp, lĩnhvựchọc,lĩnhvựchọcphụ,mụctiêu,thờigian,chiếnlược-

vàcótácdụngtrongviệcchuẩnbịHSđểchuyểnsangnhiệmvụMHH);phầnxửlý(yêu

cầuxácđịnhmộtnhiệmvụMHHquantrọng,phùhợpvớilớphọccủaHS,lĩnhvựchọc,lĩnhvựchọcphụ,mụctiêuhọctậpvàquátrìnhMHH).HSởcáclớphọcđượcchiatheo nhóm dựa vào kết quả họctập được GV đánhgiá,nhiệm vụmô hìnhđược GVgiaocho từng nhóm, GV đóng vai tròhỗ trợ và hướng dẫn cho từng nhóm khi cầnthiết,cuối tiếthọccácnhómtómtắtlạivàgiảithíchkếtquảchonhau.Nghiêncứunày,bướcđầuđánh giá vận dụngMHH trong DH có hiệu quả, HS rất thú vị trong các nhiệm vụ MHH vàthoảimái vui vẻ khihọc toán bằngcáchsử dụng MHH.Việcáp dụng phương phápDHtheoc o n đ ư ờ n g t i ế p c ậ n M H H t r o n g D H t o á n l i ê n q u a n đ ế n t h ự c t ế đư ợ c G l o r i a

Stillman(2010) [92] đề cập trong nghiên cứu “Implementing Applications andModelling in Secondary School: Issues for Teaching and Learning” nhằm tạo ra sự hấpdẫntrongquátrìnhhọctậpcủaHS,đặcbiệtlàcáchGVxâydựngcácbàihọcvàquảnlý chuỗi nhiệm vụtheo thời gian, để hỗ trợ sự tiến bộ của HS mà trọng tâm là đặt vào bảnchấtcủa việc MHHvà các nhiệm vụ MHH.

đượcnhiềunhànghiêncứu quan tâm,cóthể nhắc đếnnghiên cứucủaĐồngThịHồngNgọc(2022),PhạmMỹHạnhvàTrầnThịNgọcGiàu(2021), Alsina,C.(2007),….Vớinghiên cứu “Dạyhọcmôhìnhhóatrongmôn XácsuấtvàThốngkêchosinhviênngànhKinhtế vàQuảntrị kinhdoanh”,Đồng ThịHồngNgọc(2022)[24],đãđềxuấtcácbiện pháp đểDHMHH toánhọc trongmôn Xácsuất–Thốngkêdànhchosinh viênngànhKinhtếvàQuản trịkinhdoanh, trong nghiêncứunày,tácgiảcũngxâydựng đượccácvídụ,bàitậpvàtình huống thựctiễn để làmtưliệu trongdạyhọccủaGVvàtàiliệuthamkhảocho sinh viên.Trong nghiên cứu“Vậndụng phươngphápmôhìnhhóa tronggiảngdạy họcphầnđạisố sơcấp ngànhsưphạmtoán”,Phạm MỹHạnhvàTrần ThịNgọc Giàu (2021)[8]đãdựa vàosơ đồMHH củaBlumvàLeiB(2006)vàbốn bướcDHtheophươngphápDHbằng MHH củaLêThịHoàiChâu(2014)đềxuất quá trình MHH gồm bốnbước,từ đó tổchức hoạtđộngDHthông quacácví dụtheo bốn bướcnày Theo Alsina,C.(2007)[36], nhấn mạnhviệcDHMHHởbậcĐại họctrongngữcảnh,việcDHtrong ngữcảnhcóthểcungcấp động lực làm chosinh viênthamgia vào các vấnđềthựctếchủ độnghơn vàkhảnăngMHH tốthơn.

Xem xét riêngởbậcTHPT,BambangRiyantovàcộngsự(2019)[90]đãxâydựngcác bàitập,ví dụ vềMHH toánhọc, giáoán vàphiếubài tậpdànhchoHS ởcấpTHPT,đồngthờiđưaracácnhiệmvụtoánhọc nói chungvàMHH toánhọc

riêng, tập trungvào việcthiếtkếgiáoán, bàitậphợplý vàthiếtthực trongDHtoán nhằmnângcaochất lượnghọc tậpvàthànhtíchtoánhọcchoHS.Trongnghiêncứunày,thôngquacácvídụ,bàitậpvềchủđề ápdụng toán trongthực tế,HSgiải quyếtvấnđề bằng cách MHHtoánhọc,cụ thể là:HSphảiđưaracácgiảđịnh, lựachọn,xácđịnh cácbiến,toán họchóa,làmviệc toán họcvàxácnhậnkếtquảthuđược kết quảcảvềmặt toán họcvàthực tế.Trongkhi đó,TrầnTrung(2011) [34] nhấnmạnhviệcsử dụngCNTTvà ápdụng quytrìnhMHHtrongDHtoángồm4bước (Toán họchóa,giảibài toán, thônghiểu,đốichiếu)vào mộtvídụcụthểnhằmmụcđíchchoHSthamgia cáchoạtđộngMHHkể cảtrênmáy tínhbằngphầnmềmGeoGebrađểdựđoán, tìmlờigiải cho bài toán.Từđó,cóthểgiúpHSđượcrèn luyệnvàpháttriểntư duy,khảnănggiảiquyếtvấnđề vàcácNLtoánhọccầnthiếtchocuộcsống Mộtnghiên cứu khácởbậcTHPTđượcthực hiện bởiKaiser,G.(2020)[76]cũngđãnêu lêntầm quan trọng củaMHHtoán họcvàứngdụngMHH tronggiáodục,trong quá trìnhhọctập,ởmỗi bước của hoạtđộngMHHHSluôn đượcsự hỗtrợcủa GV, quađó HS đãtừng bướcpháttriển khảnăngMHHvànhữngKTtoánhọckhác.Vận dụng MHH vàoDHtoánởmỗi cấphọckhác nhauthìcónhữngnhiệmvụvàcáchtiếpcậnkhác nhau,tuy nhiênnóđềudựatrênquytrình MHH,nghiêncứu“Mathematical Modelling”củaKatrin Vorhölterđãtrình bàyviệcvận

ởcáccấphọc,trongđóchútrọngviệc lựa chọnvàsửdụngcác chutrìnhMHH cho cáctìnhhuốngkhácnhau(H.N.Jahnke,L.Hefendehl-Hebeker, 2016)[73].Nhìnchungcácnghiên cứuvềvậndụngMHH trongdạyhọctoánởTHPThiệnnayđãgiúpHSpháttriển được khảnăngtưduy logic,tăngcườngđượckỹ năng giảiquyếtvấn đề, khuyếnkhíchvàthúc đẩyđượcsự tựhọcvà tựtìmhiểucủaHS.Tuynhiêncácnghiêncứuhiệnvẫncònmộtsốhạnchếcầnđượcquantâmgiảiquyết,cụthể:

(i) Cácđềxuất vận dụng MHH vào dạytoáncủa cácnghiêncứu hiện vẫn chưathựcsựquan tâm đếnquỹ thờigian của các hoạtđộngDHtại lớp (dosẽmất khánhiềuthờigianđểtriển khai theođềxuấtcủa cácnghiêncứu); (ii) Khả năngvậndụngcácbiệnpháp MHH trong cácnghiên cứuchỉ mangtínhđơn lẻ, chỉ phù hợp vớimộtsốvấnđềhoặcmạch nộidungcụthể, khócóthểápdụngđược chotất cảcácloạihoặcmạch nội dung ToánởbậcTHPT;(iii)Cácnghiêncứu vận dụng MHHtrongDHhìnhhọc hiện còn rất hạnchế.

1.1.3 Nghiên về phát triển năng lực mô hình hóa toán cho học sinhtrongdạy học toánhọc

Bên cạnhcácnghiêncứu về vậndụng MHHtrongDHtoánởcác bậchọckhácnhau,cácnghiênvềphát triểnNLMHHchoHStrongDHtoán cũngđãxuấthiệnvớimộtsốlượngtươngđối lớn.

Khi nghiêncứuvềphát triểnNL MHHtoánhọcchoHStrongcácNLthànhphầncủatoánhọc,Niss&Højgaard(2011)

[85]đãxácđịnhNLMHHtoánhọclàmộttrongtám NLtoán học (NLtư duytoánhọc,

biểudiễn,NLkíhiệuvàhìnhthức,NLgiaotiếp,NLsửsụngcôngcụvàphươngtiện),NLMHHbaogồmkhảnăngthựchiệnhoạtđộngMHHtrongcácngữcảnhcụthể,tứclàviệcbiểuđạt bằngtoánhọcvàápdụngnó vào cáctìnhhuốngngoài lĩnhvựctoán học Niss&Højgaard(2011) chorằngcácNLtoánhọcmặcdùcósựkhác biệt nhưngnóliênkếtchặtchẽ vàliên quan vớinhau,dođóđểphát triểnNLMHHchoHS,thứnhấtGVphảicónhữngNLtoán học nhất định,cókhảnăngphântích,đánh giá tínhhợplýcủaviệcsửdụngcác môhìnhtoán học trong những tình

Liên quanđếnphát triểnNL MHHtoánhọcchoHStrongDHthôngquaviệc đánh giáhoạt độngcủa cácnhóm bằng cáchxâydựngtiêuchíđánh giá,P.Biccard (2010)[38]đãthiếtkếthangđánhgiáNLMHHtheosáunguyêntắccủaLeshvàđượcđiềuchỉnhlạiđểđánhgiá dựa trên cách tiếp cận toàndiệncủa môhình,HShọctheo nhómvàđượcgiaocácnhiệmvụvềMHHmộtcáchcụthể,MHHđượcđặttronglĩnhvựcdạyvàhọctoánnhưmộtcôngcụvàphươngtiệnquan trọng.Kếtquả phân tíchchothấy, việc pháttriểnNLMHHtrongDHtoánlàphức tạp, nhiềumặtvàliên quanđếncácNLtoánhọckhác,mặcdùmột

canthiệpcủaGVđã có hiệu quảtíchcựcđối vớicácnhómHS, đặcbiệtlànhómcókhảnăngMHHcònyếu.NghiêncứunàyđãphântíchvàtrìnhbàyđượcsựpháttriểnNLMHH toánhọc choHSthôngquacácnhómhọctập bằngthangtiêu chí.Tuynhiêncóthểthấyrằng,vớimẫunghiêncứunhỏ(12 họcsinh,chiathànhhainhóm)vàđốitượngchỉlàHSlớp7nênvẫnbịhạnchếđểápdụngcholớpđốitượngvàbậchọckhác.

Trongquátrìnhdạyhọctheohướngpháttriển NL MHHtoánhọc cho HS, thìviệcthiếtkếnội dungdạy họclà rấtquan trọng,vớimongmuốncómột mẫuchungchoGV,nghiêncứu“Developingataskdesignandimplementation frameworkforfosteringmathematical modelling competencies”củaVince Geigervà cộng sự(2021)[66]đã xây

dựngvàphát triểnKhung thiếtkếvàtriển khaicho nhiệmvụMHHtoánhọc(DIFMT)gồmhaithànhphầnchính:Cácnguyêntắcthiếtkếnhiệm vụ MHH (Bản chấtcủavấnđề;độngcơthực hiện;khảnăngtiếp cận;khảnăngthựchiệnkết quả;phương pháp DH); Kiếntrúc giáodục(chuẩnbị; đánh giá lạiquytrình MHH; trìnhbày vấnđềbanđầu;nộidungbàihọc;kếtluận; báocáo (nếucần)), mỗi thànhphần môtảyêucầu,kiếnthứcvàcác hoạtđộng cầnthiếtcủaGVvàHSliên quan đến nhiệmvụMHH.Trongquátrìnhthực hiện DIFMT,GVđã chấp nhậntráchnhiệm gia tăngtrongviệcphát triểncácnhiệmvụ,tích hợp kiến thức chi tiết của họvềcácđặcđiểmngữcảnhquantrọng,nhưyêucầuchươngtrìnhhọctậpcụthểvàkinhnghiệmhọctoántrướcđócủaHS,cóthểnóirằngGVđã đóng góp vàoviệclàmrõ và mở rộng cầnthiếtđểtăngcườngDIMFT.Điểmmạnhthứ nhấtcủanghiêncứunàylà tính dài hạn,nghĩalà nókhôngdựatrênsựtươngtácngắngọn vớinhững ngườithamgia,mà dựatrênsựtham giatrongmột khoảngthờigiankéodài; điểm mạnhthứ hai làcungcấp sựliênkếtmạnhmẽ giữa cácGVthamgiapháttriểnDIFMT.Tuynhiên,vìnghiêncứuđược tiếnhànhvới một sốlượng ngườithamgiatương đốinhỏ,lấytừmộtlựachọnhạn chế của ngữcảnhvàtìnhhuốngtrườnghọc nên hiệu

Xem xéttrongbốicảnh giáodụcViệt Nam, các nghiênvềphát triểnNL

MHHtoánchoHStrongDHtoánhọcchủyếuđượcthựchiệntheohướngđềxuấtcácbiệnphápcụthểcho cácnhánh/mạchnội dungToánhọc khácnhauởcáccấp học.Chẳng hạn, trongnghiêncứu“Bồi dưỡngnăng lực môhìnhhóatoánhọc cho họcsinh trunghọc phổthôngtrongdạyhọc đạisố”,LêHồngQuang (2020)[29]trêncơsở (i)tổngquanvềtìnhhìnhbồi dưỡngNL MHHtoánhọccho HStrongDHtrongvàngoài nước, (ii) đánhgiá được thựctrạngvềNL

khungNLMHHtoánhọc,đãxâydựngbabiệnphápbồidưỡngNLMHHtoánhọctrongDHđạisốvàđãchứngminhđượchiệuquảcủacác biện pháptrong việc nângcaoNLMHH toán học choHS THPT.Trong nghiêncứu“Nănglực mô hìnhhóa toánhọc của học sinh phổthông”,Nguyễn DanhNam(2015)

[19]đã dựatrêncácKN vàcấpđộMHHtiến hành nghiêncứutrên68HSlớp10bằng cáchthiếtkếcáctình huốngMHHtrongDHnhằmđánh giávề NLvàcấpđộ MHHcủa HS, kếtquảnghiêncứuchothấyNL MHH của HS còn hạn chế, đặc biệt là khả năngứngdụngtoánhọcđểgiảiquyếtcácvấnđềnảysinhtrongthựctiễn.Nghiêncứunàythựchiệntrênmẫunhỏởkhối10vàcáctìnhhuốngthiếtkếDHởphânnhánhđạisốnênápdụng

trên diện rộngvà phânnhánh kháccủatoánhọccóthểsẽ gặpnhữngkhó khăn.ĐểpháttriểnđượcNLMHHtrongDHtoánởTHPT,Cao Thị Hà,NguyễnXuân Dung (2023)[7]đã dựavào quátrìnhMHHgồm 4giai đoạncủaSwetzvàHartzler (1991)và môtảvềNLMHHcùngcácyêucầuHS cần đạt khi họcnội dung“Hàm số”đượcquyđịnhtrong Chươngtrình GDPT2018(lớp10)để đềxuất nămbiểu hiệncủa NL MHH của HS khihọcHàm số,từđó xâydựnghai biệnpháp nhằm pháttriểnNL MHH choHSlớp10 ởtrường THPT.NghiêncứucủaPhạm ThịThanhTúvàTrần Thị Hồng Nhung (2020) [32] trên44 HScủatrường THPTvàđãđềxuất đượcbabiệnpháp đểphát triểnNLMHHtoánhọc cho HSthôngquadạyhọc nội dunghìnhhọc10:(1) hìnhthànhtri thứcmớicho

HSthôngqua hoạtđôṇgkhảosátmôṭhaynhiềutrườnghợpriênglấy từthưc tiễn; (2) tăngcườngxâydưn gcác tìnhhuốnggắn với đờisốngthưc tiễn để HS giải quyết; (3) tổ chứcchoHSkhai thác,vận dụngkiếnthức đãhọc dưa trêncácđồdùngđược làm từ vậtliệucó

thôngquaviệc pháthuyđượckhảnăngsángtạovàvận dụng đượcvàothưc tiễn Tuynhiênđiểm hạn chế củanghiêncứunày làphầnphântích ví dụ chưađượcthựchiệntheomộtquytrìnhnhấtđịnh khiếnviệcápdụngtrởnên khókhăn,hơn nữa với mẫunghiêncứunhỏvàphạm vinghiêncứu hẹp nên cácbiện phápđềxuấtchỉcóthể vận dụng vào một vài nộidungởhìnhhọc 10.

trọngcủaviệcpháttriểnNLMHHtoánchoHStrong DHtoánhọc Cáckết quảtừnhữngnghiêncứukểtrênđã mở ra cơ hộiđểphát triểnNLMHH choHSnóichung,HSTHPTnóiriêng.Tuynhiên,cóthểnhậnthấyrằng,hầuhết các nghiêncứu đềuđangtậptrung khai thácnhiềuởnội dung đại sốvàgiảitích,sốlượng các nghiêncứu về DHtheohướngpháttriểnNLMHHtoánhọcthôngquadạy nộidunghình họcởTHPT cònrấthạn chế Hơn nữa cácđặc điểmriêng củaMHHtoánhọc tronghoạtđộng DH hình học và các cấpđộcủa MHH toánthểhiện trong quá trìnhDH hình học cho HSTHPTViệt Namlàhoàntoàn chưa được làm rõvà đề cậpđầy đủtrong các nghiêncứu hiện tại.

1.2 Môhình hóa toánhọc

1.2.1 Quan niệm về môhình

TheoSwetz&Hartzler(1991)[96],môhìnhlàmột mẫu,một đạidiện, mộtminhhọađượcthiếtkếđểmôtảcấutrúc,cáchvậnhànhcủamộtsựvật,hiệntượng,mộthệthốnghaymộtkháiniệm.Vềmặttrựcgiác,ngườitathườngnghĩđếnmôhìnhtheoýnghĩavậtlý.

Mô hình Toán học

Mô hình Mô tảMô hình quy chuẩn

Mô tảGiải thíchXác địnhXác suất

- Môhình vật lý:Làmột bảnsao, thườngkhác vềkíchcỡ,nhưngcócùng nhiều tínhchấtvới đốitượng gốcmà mô hình đóbiểudiễn.

- Mô hìnhlýthuyết:Là tập hợp cácquy tắcbiểu diễnmột sự vậthiện tượngtrongtưduycủa ngườiquansát.

Theo ĐặngThanhHưng(2017) [13],môhìnhlà đồvậtthaythếhayýniệm(tưduycóchủđịnh)phảnánhmộtsựvậthayquátrìnhcóthậtđangtồntại

đặcđiểmnổibậtnhấthiệncóhoặcsẽcócủanómộtcáchtinhgiản,kháiquátvàminhbạch.- Khi mô hình là đồ vật thì gọi là mô hình vậtchất.

- Khi mô hình là tưduythì gọi là mô hình lí thuyết (hay mô hình quanniệm).

1.2.2 Môhình toán học

Trongnghiêncứunày,tácgiảdựavàomộtsốquanniệmvềmôhìnhtoánhọcdướiđây:Môhìnhtoánhọcởđâycòncóthểhiểulàcáchìnhvẽ,bảngbiểu,hàmsố,đồthị,phương trình,sơđồ, biểuđồ,biểutượnghaythậm chícảcác môhìnhảotrênmáy vitính(Van Den Heuvel-Panhuizen, 2003 [101]; Van de Walle, 2004 [99]).

Môhìnhtoán học làmộtcấu trúc toán học(đồthị, bảngbiểu,phươngtrình,hệphươngtrình, biểuthứcđạisố,hàm số, hình vẽ…) gồm cáckíhiệuvàcácquanhệ toánhọc biểudiễn,môtảcácđặcđiểm của mộttình huống,mộthiện tượnghaymột đốitượng thực đượcnghiêncứu(Swetz&Hartzler, 1991) [96].

Ngoài ra, ta có thể tìm hiểu thêm về mô hình toán học theo sơ đồ sau(Greefrath& Vorhölter, 2016)[68]):

Sơ đồ 1.1 Mô hình mô tả và mô hình quy chuẩn1.2.3 Khái niệm mô hình hóa toánhọc

Thuậtngữ MHHtoánhọc có thểhiểulà quátrìnhxâydựng môhình,từmộttìnhhuốngthựctếđếnmộtmôhìnhtoánhọc,hoặctoànbộquátrìnhgiảiquyếtvấnđềđượcápdụng,hoặcđểkếtnốithếgiớithựcvớitoánhọc(Blum,W.,1993)[44].

Edwards & Hamson (2001) định nghĩa như sau: MHH toán học là quá trìnhchuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giảiquyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cảitiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận (Blum và cộng sự, 2007) [46].

Theo Trần Vui (2014) [35], MHH toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từvấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trìnhđó, từng bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp,làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huốngthực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đếnkhi có được một kết quả hợp lý.

Với các phân tíchtrên, chúngtôi quan niệmnhưsau:“MHHtoán họclàmột hoạt độngchuyển tìnhhuống thựctiễn/bài toánthực tếsangmô hìnhtoánhọcbằngcáchsửdụngkíhiệu,sơđồ, hìnhvẽtoánhọc, giải quyết vấnđềtrên mô hìnhToánhọc, từlời giảiToánhọcchuyển thành lờigiải cho tình huống thựctiễnbanđầu”

1.2.4 Mộtsố sơ đồ thể hiện quá trình mô hình hóa toánhọc1.2.4.1 Sơ đồ củaPollak

Sơ đồ chu trình MHH biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán và thực tếtheo cả hai chiều phải kể đến đó là sơ đồ của Pollak (1979) (Xem Ferri, 2006, [56])

Sơ đồ 1.2 Chu trình mô hình hóa của Pollak (1979)

Trong sơ đồ này, Pollak đã chia thành hai phần, phần thứ nhất là toán học baogồm những kiến thức về toán từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt nhấn mạnh tính ứngdụng của toán, nghĩa là sử dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế Phần thứ hailà từ vấn đề ngoài toán học chuyển thành vấn đề toán học cơ bản nhất, làm việc trongtoán học và phản ánh lại thế giới ngoài toán học Pollak đã dùng kí hiệu chiều mũi tênbiểu diễn một vòng lặp, cho thấy từ một vấn đề ngoài toán học chuyển qua vấn đề toánhọc, giải quyết trong toán học và phản ánh lại vấn đề ngoài toán học, chiều mũi tên thể

hiện tính tuần hoàn, cho phép lặp lại một chu trình nếu chưa thỏa đáng Sơ đồ củaPollak đã cho thấy được mối quan hệ giữa toán học và vấn đề ngoài toán học, ta cũnghiểu vấn đề ngoài toán học là những vấn đề thực tế trong cuộc sống hằng ngày MHHngày càng được quan tâm, họ chú trọng tìm ra được một thuật toán cho quá trìnhMHH, nghĩa làm tìm được một sơ đồ chung nhất về quá trìnhMHH.

1.2.4.2 Sơ đồ của Blum &Leiß

TheoBlum&Leiß (2005)[43] đã sửdụngmột sơđồgồm7bướcđểmô tả quátrình giảiquyếtmột nhiệm vụ MHH.Trongsơ đồnày,môhình tình huốngnghiêngvềcáchtiếpcậnReussers(1997)[89]vàtíchhợpnónhư

giaiđoạnmớitrongchutrìnhMHHcủahọ Blum vàLeiß nhấn mạnhmôhìnhtìnhhuốnglàmộtgiai đoạn quan trọng trong quá trìnhlập môhình,thậm chí làđiều quan trọngnhất.Nhưvậy,điểmkhác biệt củasơ đồnàylà sự tách biệt giữa mô hình tìnhhuốngvớitình huốngthựctếvàmô hìnhthực,vì họchorằngđâylàmộtgiaiđoạnquantrọngcủaquátrìnhMHH.

Sơ đồ 1.3 Chu trình MHH của Blum và Leiß (2005)

Bước 1: Hiểu tình huống thực tế được cho, phác thảo mô hình cho tình huống đó;Bước 2: Đơn giản hóa, cấu trúc lại tình huống và đưa vào các biến phù hợp đểđược mô hình thực của tình huống;

Bước 3: Toán học hóa;

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học;

Bước 5: Diễn đạt và giải thích kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

Bước6:Xác nhận tính phù hợp của kết quảhayphải thực hiện quá trình tiếp theo;Bước 7: Trình bày cách giải quyết vấn đề

1.2.4.3 Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown vàEdwards

Ngược lại với hai sơ đồ 1.2 và 1.3, sơ đồ 1.4 không tách biệt giữa thế giới thựcvà thế giới toán học Theo Stillman và cộng sự (2007) [94], cùng với việc mô tả quátrình MHH thì họ nhấn mạnh tính chất so sánh, phản ánh giữa mỗi giai đoạn hoặc toànbộ quá trình, đồng thời xem xét lại toàn bộ quá trình có phù hợp với thực tế và nhậnthức của HS hay không.

Sơ đồ 1.4 Quá trình MHH của Stillman và cộng sự (2007)

1 Hiểu, cấu trúc, đơn giản hóa, giải thích ngữcảnh

2 Giả định, xây dựng các quan hệ tương ứng của tình huống thực tế và toán học, lập mô hình toánhọc.

3 Giảitoán

4 Giải thích kết quả toánhọc5 So sánh, phê bình, xácnhận

6 Truyền đạt, giải thích (nếu mô hình được coi là đạt yêucầu)

7 Kiểm tra, xem xét lại quá trình MHH (nếu mô hình được coi là không đạtyêucầu).

Từ sơ đồ trên ta nhận thấy, từ A đến G, giữa các mục biểu diễn mũi tên đậmđược biểu thị là sự chuyển đổi giữa các bước của quá trình MHH Nếu kết quả chưathỏa đáng thì có thể thực hiện tiếp tục một quá trình đến khi thỏa mãn yêu cầu thì kếtthúc Đường đi của hướng mũi tên đậm là những hoạt động nhận thức của HS trongtừng bước của quá trình MHH, đường mũi tên nhạt thể hiện sự phản ánh về tính phùhợp giữa các bước, nếu sự phản ánh, đối sánh không phù hợp thì thực hiện tiếp mộtquá trình, điều này không có nghĩa là quá trình ban đầu không có ý nghĩa mà nó làmsáng tỏ thêm quá trình tiếp theo và phản ánh được nhận thức của HS trong suốt quátrìnhMHH.

1.2.4.4 Sơ đồ quy trình mô hình hóa toán học củaSwetz&Hartzler

Mô hình tình huống là điều cần thiết để giải quyết các vấn đề MHH, trực quannhất của mô hình là hình ảnh của một thực thể vật chất Các hoạt động mô hình tậptrung nhiều thời gian trên một phiên bản thu nhỏ của một đối tượng hoặc một tìnhhuống Thuật ngữ mô hình toán học thường đề cập đến cấu trúc toán học tương tự nhưmột vấn đề, hiện tượng trong thế giới thực Quá trình thực hiện hoạt động để tạo ra môhình và giải quyết trên nó ta gọi là MHH toán học (Swetz & Hartzler, 1991) [96].

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa toán học

Sơ đồ 1.5 cho thấy một quy trình MHH toán học đơn giản, mô tả bốn giai đoạnMHH, đó là: Quan sát, Phân tích, Diễn giải và Ứng dụng Mặc dù, các thuật ngữ đượcsử dụng có thể khác nhau tùy theo các nhà nghiên cứu nhưng tất cả quá trình MHHđều bắt đầu từ vấn đề trong thế giới thực và có thể được xây dựng thành các vấn đềtoán học Các giải pháp toán học thu được thường được giải thích trong bối cảnh thếgiới thực trước khi nó có thể được chấpnhận.

- Quan sát: Quan sát hiện tượng trong thế giới thực, xây dựng giả thuyết và thiếtlập mô hình toánhọc.

- Phân tích: Phân tích các quan hệ trong mô hình, giải toán trên môhình.

- Diễn giải: diễn đạt và giải thích các kết quả toán học, kết luận nếu mô hìnhphù hợp và dự đoán phương án tiếp theo cần điều chỉnh môhình.

- Ứng dụng: Dựa vào kết luận về kết quả toán học liên hệ với thựctiễn.

1.2.5 Đặc điểm của mô hình hóa toánhọc

Để tìm hiểuđặcđiểm của MHHtoánhọcvànhững nétriêngbiệt của MHHhìnhhọctrongDHthì mộtsốđặc điểm phổbiếncủahọc toán và học hìnhhọccủaHSTHPTcũngđượccần xemxét:

- Đặc điểm học toán của HSTHPT:(1)Tư duylogic: Việchọc toánluônđòi hỏi HSphảicókhảnăngsuyluận,suydiễnvàphân tích vấn đề có tính hệ thống; (2)Tínhtrừutượng:ToánhọccấpTHPTthườngcóchứanhiềukháiniệmtrừutượnghơnởcấp

học trước,đòi hỏiHSphảicó khảnăngápdụng cáckháiniệmvànguyênlý vàocác tìnhhuốngkhácnhau;(3) Khảnănggiảiquyếtvấnđề:HSsử dụngcáckiến thứctoánhọc vàogiảiquyếtcác bàitoán,chủđề,vấn đề phứctạp;(4) Tính ứngdụng:Đólàviệcáp dụngkiếnthứcvàogiảiquyết các vấn đề thựctiễn; (5)Kỹnăngtính toán:HS cầnphảipháttriểnkỹnăngtínhtoáncơbảnvànângcao để giảiquyếtcác bàitoántoán học.

- Vì các đốitượng nghiêncứu của hình học làđiểm,đườngthẳng, đoạnthẳng,mặtphằng,đagiác,đadiện,…và cácquanhệhìnhhọcnhư vuônggóc,songsong,chéonhau, gócgiữađường thẳngvàmặtphẳng,…nênngoàicónhữngđặc điểmhọctoáncủaHSTHPTthì đặc điểm họchìnhhọccủaHS THPT cónhữngnétriêngnhưsau:(1)Tínhtrựcquan:Ởcấp họcnày,nộidungvềhìnhhọc khônggian đượcđềcậptươngđốinhiều,đòihỏiHS phải có khảnăngnhìnnhậnvà hiểu các mốiquanhệ giữacácđối tượng hìnhhọctrong không gian;(2)Kỹnăng biểu diễn hìnhhọc:HS cần phải có khảnăng vẽ và biểu diễn các hình học trên giấy, cũng như kỹ năng sử dụng các công cụhình học như thước kẻ, compa; (3) Hoạt động MHH: Từ bối cảnh thực tế, bằng tư duyxem xét phân tích từ góc độ hình học để thay thế những đối tượng thực trong thực tếthành đối tượng và mối quan hệ hình học và được thể hiện bằng hình vẽ, sau đó xemxét hình vẽ ở góc nhìn dễ quan sát hoặc dễ nghiên cứu nhất Trên cơ sở ấy, có nhữngthao tác xem xét mối quan hệ ẩn tàng hoặc chưa tường minh (giao điểm, giao tuyến,…) những đối tượng hình học bị khuất để tìm ra được những kết luận trung gian, dầnđi đến giải quyết được vấn đề đặt ra của bài toán hìnhhọc.

Vì MHH toán học là quá trình sử dụng toán học để biểu diễn, giải quyết và phảnánh các vấn đề thực tế nên MHH toán học có một số đặc điểm chính sau:

Tínhtrừu tượng: MHHliênquan đếnviệcđơngiảnhóa các vấn đềthựctiễnbằngcáchbỏ qua những phầnkhôngcầnthiết.Dođặc điểm nổi bậtnàymà môhìnhtoánhọc đượcxáclập đúng mụcđích,khi cầnthiếtcóthểđiều chỉnhlại môhình.

Tính đa lĩnh vực: MHH toán học sử dụng ngay trong nội bộ môn toán, liên mônhọc và sử dụng trên nhiều ngành khác nhau như: vật lý, sinh học, kinh tế, khoa học-kỹthuật, y tế, môi trường, xã hội học, …

Tínhdựđoán:MHHtoánhọc đưaradựđoánvềhànhvihoặckết quảtrongtươnglaidựatrênmộtmôhìnhtoánhọccụthể,vídụnhưsựpháttriểndânsố,sựtăngtrưởngvềkinhtế.

Tínhtốiưuhóa:MHHtoánhọc cótínhtốiưuhóa,nhờ vàonhữngmô hìnhtoánhọcđượctìmranhư:môhìnhgiảmthiểuchiphí,tốiđahóalợinhuậnhoặctốiưuphânbổvốn,

nhânlực,…

Hình họclà một phânnhánhcủatoán họcliênquanđếnhình dạng,kíchthước,vịtrítươngđối của cáchìnhkhốivàcác tính chất củakhônggian, do đóngoài nhữngđặcđiểmchungcủa MHHtoánhọc thì MHH hìnhhọccónhữngnétriêng như sau:

Tínhmô tảtrực quan:Sử dụng cáchình dạng hình học, thướcđo và đặc tính

củachúngđể môtảcác đốitượng(ví dụ: môhìnhKim Tự Thápbằng hình chóp,bểnướcnhưmột hìnhtrụ,…).

Tính thiết kế:Ápdụng các phươngpháp hình họcđểgiải quyếtcác

vấnđềthiếtkếtrongthực tiễn (ví dụ:thiếtkếmộtđối tượng, mộtcấutrúc để thỏa mãncácđiềukiện vật lýhoặckinhtế(giảm thiểuchiphí);làmviệcvới hệthống lướitọa độ, …).

Vaitrò của hìnhvẽtrongMHHhình học:Khi thựchiệnMHHtrong

nghiêncứu,họctậphìnhhọc,hìnhvẽthường đượcsử dụngnhưmộtcôngcụhữuhiệuđểthểhiệncácđối tượng hìnhhọc, thểhiệncácthànhphần và mối quan hệ giữachúng.

Vaitrò của tưởngtượng không gian: Trong hoạtđộng MHH toán học khi học

hìnhhọc, ngoàiviệchuyđộng cácthaotác tưduy nhưphân tích,tổnghợp,kháiquáhoá,trừutượnghoá,…thì HS cầnhuyđộng tới trí tưởngtượngkhônggian(hình dungđược cácyếutốkhuất trongmôtảhìnhvẽ, tưởng tượng việckéodàiđoạn thẳng, tưởng tượng được giao điểm, giao tuyến…).

1.2.6 Cáctiếp cận mô hình hóa trong giáo dụctoán

MHH toán học ngày càng được đưa nhiều vào chương trình, sách giáo cácnước, NL MHH toán học là một trong những NL bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc giavề môn toán ở các nước Đức, Pháp, Hà Lan, Úc, Mỹ (Blum, 2007 [46]; Stillman, 2010[93]) Ở Singapore, MHH được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích đềcao tầm quan trọng của MHH trong việc học toán và áp dụng toán để giải quyết cácvẫn đề thực tiễn, đáp ứng các yêu cầu và thách thức của thế kỉ 21 (Balakrishnan, 2010)[37] Tiếp cận MHH trong giáo dục toán có nhiều quan điểm khác nhau, tuy nhiênchưa có quan điểm duy nhất nào được thống nhất giữa các nhà giáo dục (Kaiser vàcộng sự, 2011; Kaiser & Sriraman, 2006) [79], [78] Để làm rõ sự khác biệt về vấn đềnày và có được sự đồng thuận, Kaiser & Sriraman (2006) đã hệ thống và trình bày cácphương pháp tiếp cận MHH có thể được coi là quan điểm hàng đầu Theo đó, đối với

cách tiếp cận này, các quan điểm được phân loại là: (i) mô hình thực tế hoặc ứngdụng,(ii) môhìnhngữcảnh,(iii)môhìnhgiáodục,(iv)môhìnhphảnánh,(v)MHHnhận

thức luận hoặc lý thuyết, (vi) MHH nhận thức MHH cũng được phân loại theo mụcđích của nó trong giáo dục toán, chẳng hạn như: (i) MHH như mục đích của việc giảng

dạy toán học: theo quan điểm này, MHH toán học được xem như một NL cơ bản vàmục đích của việc giảng dạy toán học là trang bị cho HS NL này để giải quyết các vấnđề thực tế trong toán học và các ngành khác (Blum, 2002; Blomhøj & Jensen, 2007;Haines & Crouch, 2001; Crouch & Haines, 2004) [45], [41], [69], [51] Trong cáchtiếp cận này, ban đầu, các khái niệm toán học và mô hình toán học được cung cấp vàsau đó những khái niệm hoặc mô hình làm sẵn này được áp dụng cho tình huống thựctế (Lingefjard, 2006; Niss và cộng sự, 2007) [82], [86] các mô hình và khái niệm toánhọc được xem xét như các đối tượng đã tồn tại (Gravemeijer & Stephan, 2002) [67].Các nhà nghiên cứu áp dụng quan điểm này tập trung vào vấn đề hình thành kháiniệm, phát triển và đo lường NL MHH (Haines & Crouch, 2001; Haines & Crouch,2007) [69], [70] hoặc (ii) MHH như một phương tiện (Galbraith, 2012; Niss và cộngsự, 2007) [65], [86]: Theo cách tiếp cận này, MHH được coi là một phương tiện để hỗtrợ những nỗ lực của người học trong việc tạo ra và phát triển kiến thức toán học sơkhai của họ và các mô hình (Lesh & Doerr, 2003a; Gravemeijer & Stephan, 2002)[81], [67] Quan điểm tiếp cận MHH toán học trong giáo dục theo hướng thực tế thìxem xét mô hình không chỉ mô tả các biểu diễn vật lý hoặc toán học của các hiệntượng, mà còn cả các thành phần hệ thống khái niệm của HS, chẳng hạn như mục đíchvà cách suy nghĩ về tình huống (Cobb, 2002) [50], MHH không chỉ là chuyển các tìnhhuống có vấn đề trong thực tế thành toán học, mà còn liên quan đến việc phát hiện cácmối quan hệ mới trong các hiện tượng được nhúng vào các tình huống ban đầu(Gravemeijer & Stephan, 2002) [67] Các nghiên cứu trên cho thấy dù tiếp cận MHHtheo quan điểm nào cũng rất cần thiết và quan trọng trong DH toán Cho đến nay, cóthể thấy 5 cách tiếp cậnMHH:

- Freudenthal có thể xem là người đi đầu theo quan điểm nhận thức luận, ôngthừa nhận vai trò quan trọng của mô hình trong toán học, nhấn mạnh mô hình tìnhhuống trong hoạt động DH toán [60], [61], [62] Hoạt động mô hình tình huống trongDH dẫn đến sự phát triển lý thuyết toán học là quá trình MHH, thể hiện ở bộ ba: “Tìnhhuống - Mô hình - Lý thuyết”, nghĩa là mô hình được xây dựng từ tình huống thựctiễn

và đi đến sự phát triển về toán Như vậy, theo quan điểm này thì có thể vận dụng MHHvào DH các khái niệm toán học.

- Mogens Niss [85] tiếp cận MHH theo quan điểm giáo dục đề cao vai trò củaNL Toán học trong dạy học đặc biệt là NL MHH toán học, chú trọng mối quan hệ giữacác NL toán học, gắn kết mối quan hệ dạy học toán với thựctế.Với quan điểm này, thìviệc phát triển NL toán học của HS đòi hỏi GV phải có những NL sư phạm và nhữngbiện pháp dạy học cụ thể, trong đó rèn luyện và phát triển NL MHH nói riêng khôngtách rời với các NL khác của toánhọc.

- Lê Thị Hoài Châu [4], [15] và Lê Văn Tiến [31]: Xem MHH là hoạt độngtrong DH toán có thể tạo ra hứng thú học tập, rèn luyện NL tư duy cho HS và giảiquyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra Theo cách tiếp cậnnàyMHH là một quátrình trong DH, từ thực tiễn đến toán học và ngược lại, với mục đích dùng dùng kiếnthức toán học, xây dựng mô hình để giải quyết một vấn đề thực tiễn khác với quanđiểm của Freudenthal là để phát triển một lí thuyết mới Đặc biệt, quan điểm này vừacó tính thực tế và vừa có tính giáodục.

ConferencesontheTeachingofMathematical ModellingandApplications)vớimụcđíchthúcđẩyứng dụngtoánhọc vàMHHtoánhọctrongtất cả cáclĩnhvực của giáo dụctoán,phương phápMHHtrongDHtoán đượcchútrọng,NLMHHtoánhọc khôngchỉcầnthiếtchoHSmàcòncho GV từ cấptiểuhọc đến bậc đạihọc,MHHđượcđưa vàoChươngtrìnhdạyhọc và đào tạo, quantâm đếnứngdụng CNTTtrong quátrìnhMHH toánhọc.Theocách tiếpcận này,MHHtoán họcđượcvậndụng trong tấtcả cáchoạt độnggiáo dụccủacácbậchọc,nócótínhgiáodục,tínhthựctế,tínhngữcảnhvàtínhphảnánh[20].

- Chương trình GDPT 2018: xem MHH toán học như một mục đích cần đạt sauDH, NL MHH toán học thể hiện: (1) Thiết lập mô hình toán học; (2) Giải quyết vấn đềở mô hình; (3) Đánh giá và điềuchỉnh.

Theo phân tích trên, chúng tôi tiếp cận MHH trong DH toán theo quan điểm củaFreudenthal, đồng thời chú trọng đến thiết kế các tình huống thực tiễn trong dạy họchình học theo quan điểm của Lê Thị Hoài Châu.

1.3 Năng lực mô hình hóatoánhọc

NL MHHtoánhọclàmột trong nhữngNLthành phầncủaNLtoán học, quanđiểmvềNLtoánhọcđược PISA(2015)định nghĩa:NLtoán họclàkhảnăngcánhân biếtlập

côngthức(formulate),vậndụng(employ)vàgiải thích(explain)toánhọctrongnhiềungữcảnh.Nóbaogồmsuyluận toán họcvàsửdụngcáckhái niệm,phươngpháp,côngcụtoán họcđể môtả, giải thíchvà dựđoáncáchiệntượng.Nógiúpconngườinhậnravai trò củatoán học trênthếgiớivàđưaraphánđoán, quyếtđịnh của côngdânbiếtgópý,thamgiavàsuyngẫm”[6].

Mogens NissđãxácđịnhcótámNLToán học, trongđó cóNLMHH.NLMHHtoánhọclàkhảnăngphântích,giảithíchcácyếutốvàkếtquảcủacủamôhìnhtừmộttìnhhuốngthựctiễn,nócũng liên quanđến khảnăngcấutrúcmộtlĩnhvực hay mộttìnhhuốngđượcMHH,tứclàkhảnăng dịchchuyểncác đốitượng,quanhệ, xâydựngvấn đề, …,vàotoánhọc,sauđólàkhảnănglàmviệcvớimôhình,đánhgiávàđiềuchỉnhmôhình[85].

TheoBlomhoj&Jensen (2007):NLMHHtoánhọclàkhả năng thực hiệnđầy đủcácgiaiđoạncủaquátrìnhMHH trong một tình huống cho trước[41] Maab (2006)chorằng:NLMHHtoánhọc bao gồm cácKT vàkhả năng thực hiện quátrìnhMHH nhằmđạtđược mụctiêuxácđịnh[84].QuanđiểmcủaKaiser (2014) khẳngđịnh:NL MHHtoán họcđặctrưngchokhảnăngthựchiệntoànbộquátrìnhMHHtoánhọcvàphảnánhvềquátrìnhđó[77].

NLMHH toánhọc là tổ hợpnhững thuộc tính củacánhânngười học nhưKT,KN,tháiđộvàsựsẵnsàngthamgiavàohoạtđộngMHHtoánhọcnhằmđảmbảochohoạtđộngđóđạthiệuquả(HenningvàKeune,2007)[71].

TheoNguyễn DanhNam(2016)[20],NLMHHlàkhả năng thực hiệnđầy đủcácgiaiđoạncủa quátrìnhMHH nhằm giải quyếtvấn đềđượcđặt ra.

Dựatrên những quanđiểmtrênvàtrongthựctếnghiêncứu,chúngtôi quan niệm:“NLMHHtoánhọclàkhảnăngthựchiệnđầyđủcácgiaiđoạncủaquátrìnhMHHvàphảnánhvềtoànbộquátrìnhđónhằmgiảiquyếtcácvấnđềđặtra”.

1.3.2 Cácthành tố của năng lực mô hình hóa toánhọc

TheoQiDan&JinxingXie(2011)[52],xác định đượccác KN của MHHtoán học là:(1) Đơn giản giảthuyết;(2) Làmrõmụctiêu;(3)Thiếtlập vấnđề;(4) Xácđịnh biến, tham số,hằng số;(5)Thiếtlậpmệnhđềtoánhọc;(6) Lựa chọnmôhình;(7)Biểu diễnmôhình bằngbiểuđồ,đồthị;(8)Liênhệlại vấnđề trongthựctiễn.Nghiêncứu củaPeterGalbraith&DerekHolton (2018) [64],chỉrađược khungmôhìnhtoán học.Maaβ (2006) [84],chobiết cácNLphụ của quátrìnhMHH toán học,gồm: (1) NL hiểu vấn đề và thiết lập một mô hình dựatrên thực tế: (2) NL thiết lập mô hình toán học từ mô hình thực

tế; (3) NL giải quyết các câu hỏi toán học trong mô hình toán học; (4) NL giải thíchkết quả toán học trong một tình huống thựctế;(5) NL xác nhận các giải pháp.MogensNiss&Tomas Højgaard (2011)[85] đã đưa raquanđiểm vềNLMHHtoánhọc một mặt liênquan đến khả năng phân tích, khả năng giải mã, giải thích các yếu tố và kết quả của môhình THTT Mặt khác, liên quan đến việc có thể thực hiện hoạt động mô hình trongcác ngữ cảnh nhất định, tức là toán học hóa và áp dụng nó vào các tình huống ngoàitoán học Hoạt động MHH chứa các yếu tố: Thứ nhất, khả năng cấu trúc tình huốngthực tế sẽ được MHH; Sau đó, có thể thực hiện một phép toán của tình huống này, tứclà chuyển đổi các đối tượng, quan hệ, công thức vấn đề, v.v thành các thuật ngữ bậcthang toán học dẫn đến một mô hình toán học; Tiếp đến, là làm việc với mô hình kếtquả, bao gồm giải quyết các vấn đề toán học bằng cách đánh giá nó cả bên trong (liênquan đến các thuộc tính toán học của mô hình) và bên ngoài (liên quan đến tình huốngđược MHH) Hơn nữa, có khả năng phân tích phản ánh về mô hình đến các mối quanhệ liên quan đến mức độ và khả năng sử dụng mô hình, khả năng thay thế mô hình;Cuối cùng, là có thể giám sát và kiểm soát toàn bộ quá trìnhMHH.Mộtsốnghiêncứutrong nước liênquan đến NL MHH nhưPhanAnh(2012)[1],LêHồng Quang (2020)[29] cũngđãxácđịnh đượcmộtsốthànhtố của NL MHHtoán,Chương trìnhGDPT năm 2018 đã xác định biểuhiệncụthể vàyêucầu cần đạtcủaNLMHHtoán họcởcấp THPT nhưsau:

Biểu hiện của NL MHHYêu cầu cần đạt được

Xác định được mô hình toán học (gồmcông thức, phương trình, bảngbiểu,đồthị,h ì n h v ẽ ) c h o t ì n h h u ố ng x u ấ t h i ệ n

trong bài toán thực tiễn

Thiết lập được mô hình toán học (gồmcông thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ,bảng biểu, đồ thị, ) để mô tả tình huốngđặt ra trong một số bài toán thực tiễnGiải quyết được những vấn đề toán học

trong mô hình được thiết lập

Giải quyết được những vấn đề toán họctrong mô hình được thiết lập

Thể hiện và đánh giá được lời giải trongngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Líg i ả i đ ư ợ c t í n h đ ú n g đ ắ n c ủ a l ờ i gi ả i

(những kết luận thu được từ các tính toán làc ó ý n gh ĩa, p h ù hợ pv ớ i t hự c t i ễ n ha y

Những quanđiểmtrênlàđiểm tựa cho tác giả xác địnhcác thànhtốcủaNLMHHtoánhọc của HS THPT Tácgiả nhận thấy,cốt lõi củahoạt độngrènluyệnvàpháttriểnNL MHH toán học cho HSchínhlà khả năngxâydựngmôhìnhtoánhọc,tứclàchuyểnđổicácyếutốcủatình huốngthựctếsang cáckhái niệm,mệnhđề,côngthức, biểu đồ,đồthịtoánhọc.TácgiảxácđịnhcácthànhtốcủaNLMHHtoánhọcởbảng sauđây:

Năng lực thành phầnKỹ năng thành phần (biểu hiện cụ thể)

Năng lực hiểu vấn đề và mô tả vấn đề thực tế

Đơn giản giả thiết (sàng lọc, nhận biết và hiểu đúngvề thông tin, giữ lại những thông tin cần thiết)Làm rõ mục tiêu (Đối tượng đã cho, đối tượng cầntìm, đối tượng chưa biết có liên quan đến đối tượng cần tìm, phát biểu lại vấn đề)

Hiểu được tình huống

Năng lực

xây dựng mô hình toán học

Chuyển đổi các yếu tố thực tế sang đối tượng, đạilượng toán học

Sử dụng các kí hiệu toán học

Thiết lập các mệnh đề toán học (Thiết lập đượcquan hệ giữa các biến, hàm, phương trình,côngthức và xác định được hàm mụctiêu)

Lựa chọn mô hình và biểu diễn mô hình bằng hìnhvẽ, biểu đồ, đồ thị, …

Năng lực làm việc trên mô hình toán học

Tư duy và lập luận logic

Lựa chọn và sử dụng phương pháp giải phù hợp vớibài toán.

Tính toán chính xác và trình bày kết quả

Năng lực phân tích, kiểm định và điều chỉnh mô hình

Giải thích kết quả thu được, chuyển đổi lời giải toánhọc sang lời giải cho tình huống thực tiễn ban đầu.Kiểm tra, đánh giá kết quả thu được với thực tếPhản ánh, đối chiếu lời giải với thực tế để cải tiếnmô hình

không) Đặc biệt, nhận biết được cáchđơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêucầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giảthiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến nhữngbài toán giải được.

Với những thành tố của NL MHH nói trên và dựa vào kết quả nghiên cứu củaNguyễn Thị Nga (2022) [21], chúng tôi xây dựng thang tiêu chí đánh giá NLMHHtoán học nhưsau:

Bảng 1.1 Thang tiêu chí đánh giá NL MHH toán học và các mức độbiểuhiện của mỗi tiêu chí trong dạy học hình học ở THPT

NLthành

KhôngđơngiảnhóađượcvấnđềKhôngthấyđược thôngtinđãchovàthôngtinliên quan

Đơngiảnhóađượcmộtphầncủa vấnđềThấy đượcmột vàithôngtinđãchonhưngkhông thấy được thôngtincóliên

ĐãđơngiảnhóađượcvấnđềnhưngchưacụthểXác định đượcmộtsốthôngtinchínhđãchovàthôngtinliên quan

Đãđơngiảnhóađượcvấnđềcóthểtiến hành được các bướctiếp theo Xác địnhđượctoànbộthôngtin cốtlõivàthôngtinliên

quannhưngchỉhiểu

đúngmộtphần các

thông tin đó

Đãđơngiảnhóađượcvấnđềrõràngvàtinh gọnHiểuđầyđủ vàđúngtấtcảthôngtin cốt lõivàcầnthiếtđãchovàthôngtincóliên quan

Làmrõmục tiêu(Đốitượngđãcho, đốitượng cầntìm,đốitượ

ng chưabiếtcóliên

quanđếnđối tượng

Không xácđịnh được mục tiêu:- Đốitượngđãcho: khôngxácđịnhđược.- Đốitượngcầntìm:không xác

Đãxácđịnhđượcmộtphầncủa mụctiêu:- Đốitượngđãcho:xácđịnhđược.- Đốitượngcần tìm:xácđịnh được

Đãxácđịnhđượcquá bán mụctiêu:- Đốitượngđãcho:xácđịnhđược.- Đốitượngcần tìm:xácđịnh được

Đãxácđịnh được

- Đốitượngđãcho:xácđịnhđược.

- Đốitượngcần tìm:xácđịnh được

Đãxácđịnh đượcchínhxác mụctiêu:Đốitượngđãcho:xácđịnhđược.

-Đốitượngcầntìm:xácđịnh được