skkn cấp tỉnh phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học khá giỏi thông qua bài toán xác định góc trong không gian

Chính vì thế mà chất lượngcác bài thi của các em hoàn toàn bị động, do đó là kéo theo tâm lý và ý thức họctập gần như không có.Đối với học sinh lớp 11 thì phần kiến thức về xác định góc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI THÔNG QUA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC TRONG

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1.3 Các bài toán xác định góc trong không gian 32.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng nghiên cứu 4

2.3.1 Bài toán: Xác định góc giữa hai đường thẳng 42.3.2 Bài toán: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 72.3.3 Bài toán: Xác định góc giữa hai mặt phẳng 11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong đề thi Đại học và cao đẳng các năm trước cũng như đề thi THPTcác năm gần đây và mới nhất đề tham khảo của Bộ giáo dục năm 2023 thì câuhỏi về tính xác định góc trong không gian luôn xuất hiện và ở các mức độ kiếnthức thông hiểu, vận dụng đặc biệt có cả các câu mức độ vận dụng cao Trong đềthi THPT lượng câu hỏi nhiều và rộng thì đối với đối tượng học sinh trung bình,khá đa phần các em lựa chọn theo hình thức may rủi Chính vì thế mà chất lượngcác bài thi của các em hoàn toàn bị động, do đó là kéo theo tâm lý và ý thức họctập gần như không có

Đối với học sinh lớp 11 thì phần kiến thức về xác định góc trong khônggian là phần đóng vai trò rất quan trọng, ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống

và luôn có mặt trong các đề thi trung học phổ thông Song đa số các em rất ngạihọc phần này nhất là khi gặp phải các câu ở mức vận dụng, vận dụng cao vì nóyêu cầu phải có tư duy mạch lạc và những lập luận chính xác rành mạch Vớihình thức thi trắc nghiệm thì các dạng toán không bó hẹp ở một số dạng theo lốimòn mà đã biến hoá rất đa dạng trong đó có bài toán liên quan đến xác định góctrong không gian dành cho học sinh khá giỏi mà sách giáo khoa chưa đáp ứngkịp, các sách tham khảo cũng chưa nhiều cho dạng toán này do đó cả giáo viên

và học sinh rất khó khăn để tìm nguồn tài liệu trong giảng dạy và học tập khikhai thác ở chủ đề này Qua thực tế giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT tôi đãnghiên cứu, sưu tầm, xây dựng các bài toán theo từng dạng điển hình, từ dễ đếnkhó để học sinh từng bước tiếp cận, làm quen và thành thạo các dạng toán này.Nhằm giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững về phần này, đồng thời luyện tậpcho các em học sinh lớp 12 ôn thi thật tốt và đạt kết quả trong kì thi Tốt nghiệp

THPT sắp tới, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học khá, giỏi thông qua bài toán xác định góc ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu nhằm phát triển tư duy và lập luận toán học cho họcsinh thông qua các bài toán xác định góc trong không gian giúp các em học sinhlớp 11 nắm vững, tự tin giải quyết các bài toán xác định góc trong không gian;đồng thời giúp các em học sinh lớp 12 ôn tập tốt kiến thức phần này để có khảnăng lấy được điểm cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT đồng thời giúp đồngnghiệp trong tổ chuyên môn có thêm nguồn tài liệu tham khảo trong giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh khá giỏi lớp 11, 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu và tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài.

- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức một số tiết dạy)

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra của họcsinh và đối chứng)

2 Nội dung sáng kiến

2.1 Cơ sở lí luận

2.1.1 Năng lực

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học Năng lực đượchiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứngnhững yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thànhcông hoạt động đó

Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một

cá thể, một thứ phi vật chất Song nó thể hiện được qua hành động và đánhgiá được nó qua kết quả của hoạt động

Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắmvững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kếtquả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng

2.1.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học

Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừutượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận, giải quyết vấn đề, xử lý vàlinh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vàothực tiễn

Năng lực tư duy và lập luận toán học được thể hiện qua việc thực hiện cáchành động:

+ So sánh phân tích, tổng hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quynạp, diễn dịch

+ Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lý trước khi kết luận.+ Giải thích hoặc đều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phươngdiện toán học

Năng lực tư duy và lập luận toán học ở cấp trung học phổ thông biểu hiệnnhư sau :

+ Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt pháthiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phứctạp và lý giải được kết quả của việc quan sát

+Sử dụng các phương pháp lập luận quy nạp và suy diễn để nhìn ra nhữngcách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

2.1.3 Các bài toán xác định góc trong hình học không gian.

2.1.3.1 Góc giữa hai đường thẳng.

- Định nghĩa: Cho hai đường thẳng cắt nhau 1∆1và 2 ∆2.Góc nhỏ nhất trongbốn góc do 1∆1và 2 cắt nhau tạo thành là góc giữa 1∆1và 2 Kíhiệu

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và

hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P)

Gọi  là góc giữa a và mặt phẳng (P) thì 0   90

Phương pháp:

- Trước tiên tìm giao điểm của a và (P) gọi là điểm A

- Trên d chọn điểm M khác A, dựng MH vuông góc với (P) tại H Suy ra

AH là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P)

- Kết luận góc giữa a và (P) là góc

MAH .

Đặc biệt: Nếu khi xác định góc giữa

a và (P) khó quá ( không chọn được điểm

M để dựng MH vuông góc với (P)), thì ta sử dụng công thức sau đây Gọi  làgóc giữa a và (P) suy ra:

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai đường thẳng

lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Phương pháp: Để tìm góc giữa hai mặt phẳng, đầu tiên tìm giao tuyến

của hai mặt phẳng Sau đó tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳngcùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vừa tìm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Đối với các em học sinh khối 11, 12 có học lực, khá, giỏi thì các bài xácđịnh góc ở mức độ thông hiểu, vận dụng là phần kiến thức mà các em cảm thấy

có thể tiếp thu được tuy nhiên tâm lí chung các em thường né trách khi gặp bàitoán hình, dẫn đến mắc một số sai lầm trong khi giải các bài toán Thực tế chothấy các em học sinh khối 11, 12 có học lực khá, giỏi thì các bài toán về xácđịnh góc ở mức độ vận dụng, vận dụng cao là phần kiến thức các em rất ngại,khó tiếp thu vì cần phải sử dụng rất nhiều kiến thức liên quan Với hình thức thitrắc nghiêm thì các dạng toán không bó hẹp ở một số dạng theo lối mòn mà đãbiến hoá rất đa dạng trong đó có bài toán liên quan đến xác địn góc luôn có mặttrong đề thi THPT những năm gần đây

Phương pháp : Tìm góc giữa hai đường thẳng d d1, 2 bằng cách chọn

một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường

góc giữa hai đường thẳng d d 1', 2'

Ví dụ 1 (Đề tham khảo BGD 2023-2024) Cho hình lập phương ABCD⋅ A ' B ' C ' D '

(tham khảo hình bên) Góc giữa hai đường thẳng CD và A B ' bằng

A 90 ∘ B 60 ∘ C 30 ∘ D 45 ∘

Phân tích hướng giải.

- Nhận thấy AB ' song song với DC '

- Góc giữa hai đường thẳng CD và AB ' là góc giữa CD và DC '

- Tính góc CDC ', từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng CD và A B '

Lời giảiXét mpADC D' '

cóAB //DC nên ' ' CD AB, '  CD DC, '

Do CDC' vuông cân tại C CD AB, '  CD DC, ' 45

Ví dụ 2 (Đề tham khảo- 2024) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

ABCD cạnh a và các cạnh bên đều bằng a Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của AD và SD Góc giữa hai đường thẳng MN và SB bằng.

A 60 B 0 0

30 45 D 0 0

90

Phân tích hướng giải.

- Nhận thấy MN song song với SA

- Góc giữa hai đường thẳng MN và SB là góc giữa SA và SB

-Tính góc SA SB , từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng MN và ,  SB

Lời giải

Ta có: Xét SAD có MN SA// Mà SA SB ,  600 (SABđều)

MN SB,  600

Ví dụ 3 (Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a Gọi M ,

N lần lượt là trung điểm AD và BC Biết MN a 3, góc giữa hai đường

thẳng AB và CD bằng

Phân tích hướng giải

- Trước hết chúng ta cần phải tìm hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song

song với các đường AB, CD Gọi P là trung điểm AC , ta có PM CD// và//

PN AB

- Khi đó Góc giữa hai đường thẳng AB và CD là góc giữa PN và PM

- Tính góc PM PN , từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng MN và ,  SB

Lời giải

Ví dụ 4 (Đề Tham khảo 2023) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.    , biết

giữa AC và BD

60 D 45

Phân tích hướng giải

- Ta cần chứng minh cho BD vuông góc với một mặt phẳng chứa AC

- Khi đó Góc giữa hai đường thẳng AB và CD là góc giữa PN và PM

- Từ đó suy ra góc giữa AC và BD bằng 90 0

Nhận xét: Trong 4 ví dụ trên, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết

cách xác góc giữa hai đường thẳng, biết phân tích lập luận để để lựa chọn cách

giải quyết phù hợp Đây là dạng bài toán mà giáo viên có thể giúp các em với

học sinh khá, giỏi luyện tập thành thạo cách xác định góc giữa hai đường thẳng Tạo được sự kích lệ, tự tin, hứng thú từ đó các em chủ động, tích cực không ngần ngại, lúng túng khi gặp bài toán về góc giữa hai đường thẳng

2.3.2 Bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:

Bước 1: Tìm giao điểm của a và (P) gọi là điểm A

Bước 2: Trên a chọn điểm M khác A, dựng MH

vuông góc với (P) tại H Suy ra AH là hình chiếu

vuông góc của a trên mặt phẳng (P)

Bước 3: Kết luận góc giữa a và (P) là góc MAH

Phân tích hướng giải

- Trước hết chúng ta cần phải tìm hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt

song song với các đường AB, CD Gọi P là trung điểm AC , ta có PM CD và//

//

- Khi đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD là góc giữa PN và PM

- Tính góc PM PN , từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng MN và ,  SB

Lời giải

Vì ABCD là hình chữ nhật, có AB a , AD a 2 nên

Phân tích hướng giải

- Trước hết chúng ta cần xác định hình chiếu của

Phân tích hướng giải

- Trước hết chúng ta cần xác định hình chiếu của A C' trên mặt phẳng

ABC 

- Khi đó góc của A C' trên mặt phẳng ABC nên  A C ABC' ,   A CA'

- Tính tan A CA , từ đó suy ra góc giữa đường thẳng  ' A C' và mặt đáy.

Vì SA vuông góc với ABC nên góc giữa SB và mặt phẳng  ABC bằng góc

SBA Do tam giác ABC vuông cân ở B nên AB CB a  2

Tam giác ABC vuông ở A nên

tan

2

SA a SBA

AB a

tanSBA 1

SBA

Nhận xét: Trong các ví dụ trên, giáo viên rèn luyện cho học sinh cách

xác định hình chiếu của đường thẳng a lên mặt phẳng (P), khắc sâu nắm vững cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Biết vận dụng tốt cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính góc Đây là dạng bài toán mà giáo viên có thể giúp các em với học sinh khá giỏi rèn luyện thành thạo tư duy, cách quan sát, lập luận để xác định đúng góc cần tìm.

Bước 3: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và

(Q) là góc của 2 đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặtphẳng (P) và (Q)

Ví dụ 9 (THPT Quảng Xương 2-2023) Cho hình chóp S ABCD. có đáy

ABCD là hình vuông tâm O Biết  SOABCD, SO a 3 và đường trònngoại tiếp ABCD có bán kính bằng  a Gọi  là góc hợp bởi mặt bên SCD

với đáy Tính tan

Phân tích hướng giải

- Trước hết chúng ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SCD và

O

S

M

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác tính tan SMO 

Ví dụ 10 (Sở Bắc Giang -2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là

hình chữ nhật, AB a , AD SA 2a, SAABCD Tính tan của góc giữahai mặt phẳng SBD và ( ABCD )

Phân tích hướng giải

- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SBD và  ABCD là BD.

- Kẻ AH BD tại H Khi đó chứng minh góc hai mặt phẳng cần tìm là

Ví dụ 11 (Sở Quảng Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là

hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBD và  ABCD Nếu

tan  2 thì góc giữa SAC và  SBC bằng.

Phân tích hướng giải

- Gọi O là tâm đáy, chúng ta cần xác định góc giữa hai mặt phẳng SBD

B A

SBD và   ABCD là góc SOA  Ta có  tan 2 2 .

SA

OA

Ví dụ 12 (Chuyên PBC-Nghệ An-2019) Cho hình hộp chữ nhật

' ' ' '

6'

2

AB

AA 

Xác định gócgiữa hai mặt phẳng A BD và '  C BD ' 

Phân tích hướng giải

- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng A BD và '  C BD là BD' 

- Gọi O là tâm đáy, chứng minh góc giữa hai mặt phẳng A BD và' 

A

+ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD

Nhận xét: Trong các ví dụ trên, giáo viên rèn luyện cho học sinh các

bước xác định góc giữa hai mặt phẳng, khắc sâu và nắm vững cách xác định góc giữa hai mặt phẳng Biết vận dụng tốt các giả thiết bài toán để tính các cạnh, các góc trong tam giác Đây là dạng bài toán thường xuất hiện ở mức độ vận dụng cao nên giáo viên có thể giúp các em với học sinh khá giỏi rèn luyện

tư duy sáng tạo, cách quan sát, lập luận để xác định đúng góc cần tìm

2.3.4 Một số bài tập đề nghị

Câu 1 ( Thi thử 2024) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh

bằng a Gọi M N lần lượt là trung điểm của BC và CD Tính góc giữa hai;

đường thẳng MN và SD

A 45 B 135 C 60 D 90 Câu 2 (Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.   

có AB a và AA  2a Góc giữa hai đường thẳng AB và BCbằng

A 60 B 45 C 90 D 30

Câu 3 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho tứ diện đều ABCD , M là

trung điểm của cạnh BC Khi đó cos AB DM bằng, 

Câu 4 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABCD. có đáy hình vuông

Cho tam giác SAB vuông tại S và góc SBA bằng 30 Mặt phẳng 0 SAB vuông

góc mặt phẳng đáy Gọi M N là trung điểm ,, AB BC Tìm cosin góc tạo bởi hai

S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 3, tứ giác ABCD là

hình vuông, BD a 2 Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAD bằng

Câu 8 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. cóđáy là hình vuông tâm O, cạnh a Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SA và

BC Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD bằng 60 Tính cos

của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD 

Biết rằng góc giữa MN và ABCD bằng 60 , côsin của góc giữa đường thẳng

Câu 10 (Kim Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABC. có đáy

ABC là tam giác vuông cân tại A, AB2a , SA vuông góc với mặt đáy và góc

giữa SB và mặt đáy bằng 60 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và

ABC Giá trị  cos bằng

ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a  và góc BAC 120o

và cạnh bên BB'a Gọi I là trung điểm của CC' Tính cosin góc giữa hai mặtphẳng  ABC và  AB I ' 

Câu 12 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC MNP có tất.

cả các cạnh bằng nhau Gọi I là trung điểm cạnh AC Côsin của góc giữa hai

Câu 13 (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy

là tam giác cân đỉnh A Biết BC a 3 và ABC 30o, cạnh bên AA a Gọi

M là điểm thỏa mãn 2CM  3CC

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC

và AB M , khi đó sin có giá trị bằng

Câu 14.(Chuyên Thái Bình 2021) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cócạnh bằng a Số đo của góc giữa BA C  và DA C :