skkn cấp tỉnh phát triển năng lực tư duy cho học sinh qua bài toán vẽ thêm đường phụ trong toán 7

Giải bài toán khác dạng cơ bản quen thuộc hoặc chưa thể áp dụng trực tiếp kiến thức ví dụ như bài toán cần vẽ thêm hình phụ thì học sinh sẽ bế tắc, không làm được bài dẫn đến chất lượng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD-ĐT HOẰNG HOÁ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN VẼ THÊM ĐUÒNG PHỤ TRONG TOÁN 7.

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Dương Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Nhữ Bá Sỹ SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2024

MỤC LỤC

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 2 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề: 3

2 4 Hiệu quả của việc áp dụng biện pháp trong thực tế giảng dạy: 11

Tài liệu tham khảo

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Cuộc cách mạng Công nghiệp 4.0 đang phát triển mạnh mẽ trên thế giới

và ảnh hưởng trực tiếp tới Việt Nam Bên cạnh cơ hội phát triển thì đây cũng là một thách thức lớn đối với nước ta khi thiếu hụt nguồn nhân lực chất lượng cao Bởi vậy, việc đổi mới nội dung và chương trình đào tạo trở thành xu hướng tất yếu của ngành giáo dục

Bộ giáo dục đào tạo đã ban hành chương trình giáo dục phổ thông mới theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực học sinh Bên cạnh việc thực hiện theo định hướng chung của ngành thì dạy học bộ môn Toán đặc biệt chú trọng phát triển năng lực toán học, trong đó năng lực tư duy là thành tố quan trọng nhất

Trong chương trình Hình học 7, học sinh bắt đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học Khi giải bài toán, học sinh còn gặp khó khăn trong việc vẽ hình, phân tích, kết nối từ giả thiết đến kết luận để lựa chọn đúng kiến thức áp dụng Giải bài toán khác dạng cơ bản quen thuộc hoặc chưa thể áp dụng trực tiếp kiến thức ví dụ như bài toán cần vẽ thêm hình phụ thì học sinh sẽ bế tắc, không làm được bài dẫn đến chất lượng dạy học phân môn Hình học chưa được cao

Đối với bài toán cần vẽ thêm hình phụ, để giải được thì học sinh phải đầu

tư suy nghĩ, tránh được lối mòn rập khuôn trong suy nghĩ, áp dụng một cách máy móc kiến thức vào giải toán, thông qua đó năng lực tư duy của học sinh được rèn luyện và phát triển

Vì vậy, tôi chọn biện pháp “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh qua bài toán vẽ thêm hình phụ trong Hình học 7” để giải quyết các vấn đề nêu trên

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Bằng việc gợi mở cho HS các nội dung kiến thức hình học về giải bài toán có

kẻ thêm đường phụ, GV phải phân dạng được các bài toán hình học lớp 7 mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số dạng bài toán cụ thể nhằm tạo điều kiện để HS bổ sung trình độ kiến thức, phát triển tư duy logic, khả năng khai thác bài toán và giải quyết các bài toán tương tự Đồng thời khơi dậy niềm đam mê, tính sáng tạo của học sinh trong học tập Từ đó học sinh hứng thú hơn trong học tập, phục vụ đắc lực cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

-Học sinh THCS nói chung và đối với học sinh lớp 7 nói riêng (với đối tượng học sinh khá - giỏi)

- Hoạt động học tập của học sinh trong các bài toán chứng minh hình học

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

-Thu thập, tham khảo và xử lí tài liệu sưu tầm được

- Điều tra khả năng học hình học của học sinh

-Phân tích, khái quát hóa và đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy -Trao đổi, thảo luận chuyên môn với đồng nghiệp

- Cập nhật thông tin từ mạng internet

Nhờ phối hợp các phương pháp trên, tôi đã dần định hình nội dung, quy mô và phạm vi của đề tài rồi từ đó thiết lập các giải pháp, tiến hành thử nghiệm, đánh giá và cuối cùng là hệ thống hóa bằng ngôn ngữ thành một sáng kiến kinh nghiệm trọn vẹn

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở lớp 7, khi các em bắt đầu tiếp cận với lối suy luận logic, tư duy độc lập và có chiều sâu

- Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó

- Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở chương trình Toán 7 bậc THCS, phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau

- Giải quyết ngắn gọn, khoa học một bài toán mà nếu dùng cách khác dài hơn rất nhiều

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của của sáng kiến kinh nghiệm:

Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó đối với với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán, có sự sáng tạo nhất định Có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn, cũng có bài buộc phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra được lời giải Để tạo ra được một đường phụ với mục đích tạo nên một yếu tố trung gian liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, từ đó suy luận, lập luận để tìm tòi và phát hiện vấn đề Đây là một trong những dạng toán đòi hỏi mức độ cao của kỹ năng mà không phải học sinh nào cũng chủ động tiếp cận được và không phải giáo viên nào cũng làm tốt được vai trò hướng dẫn Bởi lẽ vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào

để có lợi cho việc giải bài toán là một điều hết sức khó khăn và vô cùng phức tạp

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Trong chương trình Hình học 6 học sinh được học và vận dụng những kiến thức đơn giản như: điểm, đoạn thẳng, góc, để giải các bài toán đã cho đầy

đủ giải thiết, việc lập luận, trình bày bài giải không quá phức tạp Sang chương trình Hình học 7, học sinh phải học nhiều kiến thức hình học phẳng ở mức độ cao hơn, làm quen với lập luận, chứng minh bài toán hình học Đối với bài toán

cơ bản ở mức độ vận dụng, giả thiết đã cho đầy đủ các yếu tố thì học sinh có thể giải được Nhưng với bài toán vận dụng cao hoặc giả thiết của bài toán bị ẩn đi, cần bổ sung thêm yếu tố bên ngoài (vẽ thêm hình phụ) thì số lượng học sinh giải được rất ít, kể cả đối tượng học sinh khá, giỏi

Thông qua thực tiễn giảng dạy và tiến hành thu thập dữ liệu qua chấm bài kiểm tra tôi nhận thấy:

- Bài toán vẽ thêm hình phụ là một bài toán khó, năng lực nhận biết bài toán nào thì cần vẽ hình phụ, vẽ hình phụ như thế nào của học sinh còn yếu

- Khi giải bài tập, học sinh thường kết thúc bài toán khi đã tìm ra lời giải mà không thử tìm tòi các cách giải khác hoặc mở rộng bài toán

Nguyên nhân: Giáo viên thường ra nhiều bài tập nhưng ít có sự chọn lọc,

ít khi giao dạng bài tập có vẽ thêm hình phụ cho học sinh

Giáo viên chưa thực sự đầu tư thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải vì làm mỗi bài này thường mất nhiều thời gian để hướng dẫn học sinh phân tích định hướng bài nào vẽ thêm hình phụ, áp dụng kĩ thuật vẽ hình phụ nào, do thời gian dạy học trên lớp có hạn

Việc khai thác sâu bài toán còn hạn chế ở nhiều giáo viên, chưa tìm thấy

được hướng đi mới cho bài toán Bên cạnh đó, trong mỗi tiết học, mỗi bài giảng của mình giáo viên chưa thực sự khơi dậy được niềm đam mê học toán, chưa gây được hứng thú học tập cho các em, dẫn đến các em học sinh chưa biết phân tích sâu vấn đề, nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ, nên không giải quyết được vấn đề, hoặc tìm được duy nhất một phương án và chấp nhận điều đó, không có

sự sáng tạo, tìm tòi để tìm phương án khác

2.3 Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:

Cách thức thực hiện chung: Đối mỗi bài toán, giáo viên đóng vai trò là

người điều khiển, hướng dẫn học sinh vẽ hình, kí hiệu trên hình, ghi giả thiết, kết luận và phân tích bài toán bằng cách đưa ra hệ thống các câu hỏi để học sinh định hướng được: Sử dụng kiến thức nào để giải bài toán? Căn cứ vào đâu để biết bài toán cần phải vẽ hình phụ? Vẽ hình phụ như thế nào? Việc vẽ hình phụ

đã bổ sung thêm yếu tố nào? Lập luận, trình bày bài giải ra sao? Đối với bài toán phù hợp, sau khi giải xong, giáo viên có thể linh hoạt hướng dẫn học sinh khai thác bài toán ban đầu để tìm thêm các cách giải khác hoặc phát triển thành bài toán ở mức ðộ týõng ðýõng hoặc khó hõn ðể nâng cao nãng lực tý duy cho học sinh

Nội dung biện pháp

Trong sáng kiến này, để minh họa cho

việc áp dụng thực hiện biện pháp trong giảng

dạy tôi lựa chọn một số bài toán: “Cho hình

vẽ, biết CAx 30 ;  0 CBy  70 ;0 ACB 1000

Chứng minh rằng: Ax // By ”

1 Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh các kĩ thuật vẽ thêm hình phụ qua một

số bài toán Hình học 7.

Cách thức thực hiện: Giáo viên lựa chọn các bài toán cần vẽ thêm hình

phụ đơn giản, phù hợp với nội dung chương trình đã và đang giảng dạy để học sinh tiếp thu và hình thành các kĩ năng nhận biết bài toán cần vẽ thêm hình phụ,

sử dụng kĩ thuật vẽ hình phụ hợp lý và vận dụng kiến thức để giải bài toán Bước đầu học sinh hình thành năng lực nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, khai thác triệt để giả thiết của bài toán, năng lực nhận thấy được yếu tố còn thiếu, bám vào giả thiết bổ sung yếu tố đó (vẽ thêm hình phụ) giải bài toán Tôi hướng dẫn cho học sinh 6 kĩ thuật vẽ thêm hình phụ thường vận dụng:

100°

x

y B

C

A 30°

70°

x

y B

C

A 30°

70°

1 Kĩ thuật vẽ thêm đường thẳng song song

2 Kĩ thuật vẽ giao điểm của hai đường thẳng

3 Kĩ thuật vẽ thêm đường thẳng vuông góc

4 Kĩ thuật vẽ đoạn thẳng đi qua hai điểm, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước

5 Kĩ thuật vẽ thêm tia phân giác của góc, vẽ góc bằng góc cho trước

6 Kĩ thuật vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều

Phân tích bài toán: Giáo viên yêu cầu học

sinh nhắc lại các cách chứng minh hai đường thẳng

song song Học sinh sẽ nhận thấy với giả thiết bài

cho thì chưa thể áp dụng trực tiếp các cách chứng

minh hai đường thẳng song song như các bài toán

quen thuộc

Gợi ý học sinh hướng tới cách chứng minh Ax và By cùng song song với một

đường thẳng thứ ba (đối tượng trung gian) theo tính chất “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” Vậy đường thẳng thứ ba đó là đường thẳng nào? Trong bài đã có chưa?

Nếu chưa có ta phải vẽ thêm

Phân tích hình vẽ, thấy rằng C không thuộc tia Ax, By, dựa theo tiên đề Ơ – clit qua điểm C ta vẽ thêm đường thẳng song song với Ax, ta có hai tia đối nhau gốc

C, trong đó có một tia nằm giữa hai tia CA và CB đặt tên là Cz, nên có thể thay

vì vẽ đường thẳng ta vẽ thêm tia Cz // Ax Ta không thể vẽ đường thẳng đi qua

A hoặc B vì Ax, By và đường thẳng thứ ba này phải là ba đường thẳng phân biệt Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song tính được số đo của

, từ đó tính được số đo BCz, học sinh phát hiện BCz CBy   , mà hai góc ở vị trí so le trong nên Cz song song với By Từ đó suy được Ax song song với By

Trình bày lời giải

Qua C kẻ Cz nằm giữa hai tia CA và CB sao cho Cz // Ax (1)

Vì Cz // Ax (cách vẽ) nên CAx ACz  (Hai góc so le trong)

Mà CAx  300 (đề cho)  ACz300

Ta có ACB AC zBC z BC z 100 30 0 0 700

Có BC z CBy ( 70 )  0 mà hai góc ở vị trí so le trong nên Cz // By (2)

Từ (1) và (2) suy ra Ax // By

Nhận xét: Bài toán này nếu không vẽ thêm hình phụ thì học sinh sẽ

không giải được Học sinh nhận thấy giả thiết ngầm cung cấp đó là qua một điểm nằm ngoài đường thẳng thì luôn vẽ đường một đường thẳng (tia) song song với đường thẳng cho trước Khi phân tích bài toán vẽ thêm hình phụ, giáo viên cần phân tích rõ cho học sinh ngoài các yếu tố đề bài cho sẵn thì học sinh cần chú ý tới những giả thiết ngầm của bài toán Việc phân tích kĩ mỗi giả thiết là việc làm hết sức quan trọng đóng vai trò giúp học sinh định hướng được khi nào bài toán cần vẽ hình phụ và vẽ hình phụ như thế nào

x

y B

C

A 30°

70°

Tóm lại: Vẽ thêm đường thẳng song song nhằm mục đích sử dụng các

tính chất của hai đường thẳng song song, làm xuất hiện hai góc bằng nhau, hai góc bù nhau hay dùng để chứng minh hai đường thẳng song song.

2 Biện pháp 2: Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh khả năng nhìn bài toán vẽ thêm hình phụ dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm được nhiều lời giải khác nhau

Trong quá trình dạy học việc rèn luyện cho học sinh nhìn nhận bài toán dưới nhiều hình thức khác nhau sẽ giúp học sinh sử dụng các kiến thức một cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo, linh hoạt Tìm ra nhiều cách giải khác nhau để chọn được phương án, đơn giản, tối ưu, rèn luyện tính độc đáo

Giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất, mà luôn suy nghĩ, tìm tòi và đề xuất nhiều cách giải khác nhau cho một bài tập

Cách thức thực hiện: Giáo viên đưa ra các bài toán cần vẽ thêm hình phụ

có thể giải bằng nhiều cách, nhiều phương pháp khác nhau Hướng dẫn học sinh các cách nhìn nhận khác nhau để đưa ra các cách giải khác nhau Sau đó thông qua thảo luận, phản biện nhận xét ưu điểm, nhược điểm của từng cách giải, đưa

ra cách giải tối ưu nhất

Phương án 1

Học sinh đã giải được bài toán bằng cách sử

dụng kĩ thuật vẽ thêm đường thẳng song song

và vận

dụng kiến thức tính chất, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Phương án 2

Phân tích: Quá trình phân tích giống với

phương án 1, nhận thấy ACB CAx+CBy , ta

nghĩ cách qua điểm C vẽ thêm tia Cz tạo thành

ACz thỏa mãn: 1) là góc so le trong với CAx

2) có số đo bằng số đo CAx

nên Ax // Cz, dễ tính được số đo BCz, nhận thấy BCz CBy   mà hai góc ở vị trí

so le trong nên Cz // By, từ đó chứng minh được Ax // By

Bài giải: Qua C kẻ Cz nằm giữa hai tia CA và CB sao cho ACz 300

Có ACz CAx 30 0 mà hai góc ở vị trí so le trong nên Ax // Cz (1)

Ta có ACB ACz BCz   BCz 100 300 0700

Có BC zCBy ( 70 ) 0 mà hai góc ở vị trí so le trong nên Cz // By (2)

Từ (1) và (2) suy ra Ax // By

30°

z

x

y B

C

A 30°

70°

Phương án 3

Phân tích: Giáo viên hướng dẫn học sinh phân

tích giả thiết nhận thấy: 1000 700300

hai góc có số đo 1000và 300 không phải là

hai góc trong của cùng một tam giác Định hướng cách vẽ thêm hình phụ là tia đối của tia CB cắt tia Ax tại một điểm để tạo thành tam giác có ACB là góc

ngoài

Kẻ tia đối của tia CB cắt tia Ax tại D, ta có ACB là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ACD, sử dụng kiến thức tính chất góc ngoài của tam giác “Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” tính được số đo

ADC Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song để hoàn thành lập

luận chứng minh bài toán

Bài giải: Kẻ tia Cz là tia đối của tia CB, cắt tia Ax tại D.

Xét tam giác ACD có ACB là góc ngoài tại đỉnh C nên ACB DAC A    DC

 DC   A 100 30 0 0 70 0

Có ADC C y  B ( 700) , mà hai góc ở vị trí so le trong nên Ax // By

Bài toán 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh

huyền bằng nửa cạnh huyền

Phân tích bài toán:

- Đề bài cho tam giác ABC vuông tại A; AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, yêu cầu chứng minh:

2

AM  BC M BC

- Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng

đoạn thẳng đó Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD

GT ABC vuông tại A

AM là trung tuyến

2

AM BC

* Học sinh luyện cách suy

luận theo sơ đồ sau:

1

2

AM BC



2

AM A BC A



ABC =  CDA ( c.g.c)

z D

100°

x

y B

C

A 30°

70°



0 )

/ D

AB CD BAC DCA

AB C MBA M C







MAB =  MDC ( c.g.c)



Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA=MD

Ta có lời giải:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA

Xét tam giác MAB và  MDC có

D

MA M (Cách vẽ)

AMB DMC (Hai góc đối đỉnh)

Dó đó MAB =  MDC (c.g.c)

Suy ra MBA MCD  (Hai góc tương ứng) và AB=CD (Hai cạnh tương ứng) Mặt khác 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB//CD Khi đó BAC ACD  ( 90 ) 0 Xét tam giác ABC và CDA có

D

BA C (chứng minh trên)

AC chung

ABC DCA (chứng minh trên)

Dó đó ABC = CDA (c.g.c)

D

  (Cạnh tương ứng)

1 D 1

2A 2BC

hay

1 2

AM BC

(ĐPCM)

Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC Vẽ AH vuông góc

với

BC tại H, D là điểm trên cạnh AC sao

cho AD = AB Vẽ DE vuông góc với

BC

tại E Chứng minh rằng HA = HE

GT

ABC vuông tại A (AB<AC);

KL HA=HE

Phân tích bài toán:

Trong qua trình giải quyết bài toán GV cần luyện cho học sinh phải phân tích

và tự đặt ra các câu hỏi như sau:

- Để chứng minh HA = HE ta chưa thể gắn trực tiếp vào hai tam giác bằng nhau để chứng minh được Vậy ta phải dùng cách nào để chứng minh?

- Ta có thể chứng minh bằng đoạn thẳng thứ ba nào?

- Đoạn này tạo ra bằng cách nào?

- Căn cứ vào giả thiết AD = AB

Kẻ DK vuông góc với AH tại K Như vậy ta sẽ có các cặp tam giác nào bằng nhau? Bằng nhau theo trường hợp nào?

Như vậy khi HS tự trả lời được các câu hỏi, giáo viên có thể hỗ trợ nếu cần thì bài toán sẽ được giải quyết; bên cạnh đó học sinh rèn được tư duy toán học,

kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải quyết

Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia

đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm của MN Chứng minh rằng: Ba điểm B, K, C thẳng hàng

GT

ABC cân tại A BM=CN

M AB N AC K MN   ;

MK=KN

KL B;K;C thẳng hàng

* Phân tích bài toán: Hướng chứng minh ba điểm thẳng hàng trong bài toán này

là chỉ ra được KM và KN là hai tia đối nhau Muốn vậy phải chỉ ra được

 , 

MKE NKFlà hai góc đối đỉnh Do đó đường phụ cần vẽ thêm chính là hai đoạn

thẳng cùng vuông góc với BC để tạo ra hai tam giác vuông bằng nhau

Từ đó cho HS phân tích theo sơ đồ sau:

B;K;C thẳng hàng



KM và KN là 2 tia đối nhau



MKE=NKF;MKEvà NKFlà 2 góc đối đỉnh



MKE NKF ME BC NF BC



ME=MF





(BM CN MBE NCF ACB MEB NFC ;  (  );   90 )

Từ đó học sinh có lời giải hoàn chỉnh

Nhận xét: Qua các bài toán trên, giáo viên đã tạo được tình huống mà học

sinh có thể nhìn nhận bài toán vẽ thêm hình phụ qua nhiều phương diện khác