skkn cấp tỉnh phát triển năng lực tư duy cho học sinh qua bài toán vẽ thêm đường phụ trong toán 7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD-ĐT HOẰNG HOÁ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH QUABÀI TOÁN VẼ THÊM ĐUÒNG PHỤ TRONG TOÁN 7.

Người thực hiện: Nguyễn Hữu DươngChức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Nhữ Bá SỹSKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2024

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 22.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề: 32 4 Hiệu quả của việc áp dụng biện pháp trong thực tế giảng dạy: 11

Tài liệu tham khảo

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Cuộc cách mạng Công nghiệp 4.0 đang phát triển mạnh mẽ trên thế giớivà ảnh hưởng trực tiếp tới Việt Nam Bên cạnh cơ hội phát triển thì đây cũng làmột thách thức lớn đối với nước ta khi thiếu hụt nguồn nhân lực chất lượng cao.Bởi vậy, việc đổi mới nội dung và chương trình đào tạo trở thành xu hướng tấtyếu của ngành giáo dục.

Bộ giáo dục đào tạo đã ban hành chương trình giáo dục phổ thông mớitheo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực học sinh Bên cạnh việc thựchiện theo định hướng chung của ngành thì dạy học bộ môn Toán đặc biệt chútrọng phát triển năng lực toán học, trong đó năng lực tư duy là thành tố quantrọng nhất.

Trong chương trình Hình học 7, học sinh bắt đầu làm quen với bài toánchứng minh hình học Khi giải bài toán, học sinh còn gặp khó khăn trong việc vẽhình, phân tích, kết nối từ giả thiết đến kết luận để lựa chọn đúng kiến thức ápdụng Giải bài toán khác dạng cơ bản quen thuộc hoặc chưa thể áp dụng trựctiếp kiến thức ví dụ như bài toán cần vẽ thêm hình phụ thì học sinh sẽ bế tắc,không làm được bài dẫn đến chất lượng dạy học phân môn Hình học chưa đượccao

Đối với bài toán cần vẽ thêm hình phụ, để giải được thì học sinh phải đầutư suy nghĩ, tránh được lối mòn rập khuôn trong suy nghĩ, áp dụng một cáchmáy móc kiến thức vào giải toán, thông qua đó năng lực tư duy của học sinhđược rèn luyện và phát triển.

Vì vậy, tôi chọn biện pháp “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh quabài toán vẽ thêm hình phụ trong Hình học 7” để giải quyết các vấn đề nêu trên.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

-Học sinh THCS nói chung và đối với học sinh lớp 7 nói riêng (với đốitượng học sinh khá - giỏi).

- Hoạt động học tập của học sinh trong các bài toán chứng minh hình học.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

-Thu thập, tham khảo và xử lí tài liệu sưu tầm được.- Điều tra khả năng học hình học của học sinh.

-Phân tích, khái quát hóa và đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy -Trao đổi, thảo luận chuyên môn với đồng nghiệp.

- Cập nhật thông tin từ mạng internet.

Nhờ phối hợp các phương pháp trên, tôi đã dần định hình nội dung, quy mô vàphạm vi của đề tài rồi từ đó thiết lập các giải pháp, tiến hành thử nghiệm, đánhgiá và cuối cùng là hệ thống hóa bằng ngôn ngữ thành một sáng kiến kinhnghiệm trọn vẹn.

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ yếu tố phụ trong giảitoán hình học ở lớp 7, khi các em bắt đầu tiếp cận với lối suy luận logic, tư duyđộc lập và có chiều sâu.

- Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy nănglực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.

- Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toánhình học ở chương trình Toán 7 bậc THCS, phát hiện và vận dụng các phươngpháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau.

- Giải quyết ngắn gọn, khoa học một bài toán mà nếu dùng cách khác dàihơn rất nhiều.

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của của sáng kiến kinh nghiệm:

Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toánkhó đối với với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉyêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản mà nó còn đòi hỏi học sinh cần cómột kỹ năng giải toán, có sự sáng tạo nhất định Có lúc việc vẽ thêm các yếu tốphụ làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn, cũng có bài buộcphải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra được lời giải Để tạo ra được một đường phụvới mục đích tạo nên một yếu tố trung gian liên kết tường minh các mối quan hệtoán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kếtluận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh,tương tự hoá, đặc biệt hoá, từ đó suy luận, lập luận để tìm tòi và phát hiện vấnđề Đây là một trong những dạng toán đòi hỏi mức độ cao của kỹ năng màkhông phải học sinh nào cũng chủ động tiếp cận được và không phải giáo viênnào cũng làm tốt được vai trò hướng dẫn Bởi lẽ vẽ thêm yếu tố phụ như thế nàođể có lợi cho việc giải bài toán là một điều hết sức khó khăn và vô cùng phứctạp.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Trong chương trình Hình học 6 học sinh được học và vận dụng nhữngkiến thức đơn giản như: điểm, đoạn thẳng, góc, để giải các bài toán đã cho đầyđủ giải thiết, việc lập luận, trình bày bài giải không quá phức tạp Sang chươngtrình Hình học 7, học sinh phải học nhiều kiến thức hình học phẳng ở mức độcao hơn, làm quen với lập luận, chứng minh bài toán hình học Đối với bài toáncơ bản ở mức độ vận dụng, giả thiết đã cho đầy đủ các yếu tố thì học sinh có thểgiải được Nhưng với bài toán vận dụng cao hoặc giả thiết của bài toán bị ẩn đi,cần bổ sung thêm yếu tố bên ngoài (vẽ thêm hình phụ) thì số lượng học sinhgiải được rất ít, kể cả đối tượng học sinh khá, giỏi.

Thông qua thực tiễn giảng dạy và tiến hành thu thập dữ liệu qua chấm bàikiểm tra tôi nhận thấy:

- Bài toán vẽ thêm hình phụ là một bài toán khó, năng lực nhận biết bài toán nàothì cần vẽ hình phụ, vẽ hình phụ như thế nào của học sinh còn yếu.

- Khi giải bài tập, học sinh thường kết thúc bài toán khi đã tìm ra lời giải màkhông thử tìm tòi các cách giải khác hoặc mở rộng bài toán.

Nguyên nhân: Giáo viên thường ra nhiều bài tập nhưng ít có sự chọn lọc,ít khi giao dạng bài tập có vẽ thêm hình phụ cho học sinh.

Giáo viên chưa thực sự đầu tư thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải vìlàm mỗi bài này thường mất nhiều thời gian để hướng dẫn học sinh phân tíchđịnh hướng bài nào vẽ thêm hình phụ, áp dụng kĩ thuật vẽ hình phụ nào, dothời gian dạy học trên lớp có hạn.

Việc khai thác sâu bài toán còn hạn chế ở nhiều giáo viên, chưa tìm thấy

được hướng đi mới cho bài toán Bên cạnh đó, trong mỗi tiết học, mỗi bài giảngcủa mình giáo viên chưa thực sự khơi dậy được niềm đam mê học toán, chưagây được hứng thú học tập cho các em, dẫn đến các em học sinh chưa biết phân tích sâu vấn đề, nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ, nên không giải quyết được vấn đề, hoặc tìm được duy nhất một phương án và chấp nhận điều đó, không có sự sáng tạo, tìm tòi để tìm phương án khác.

2.3 Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:

Cách thức thực hiện chung: Đối mỗi bài toán, giáo viên đóng vai trò là

người điều khiển, hướng dẫn học sinh vẽ hình, kí hiệu trên hình, ghi giả thiết,kết luận và phân tích bài toán bằng cách đưa ra hệ thống các câu hỏi để học sinhđịnh hướng được: Sử dụng kiến thức nào để giải bài toán? Căn cứ vào đâu đểbiết bài toán cần phải vẽ hình phụ? Vẽ hình phụ như thế nào? Việc vẽ hình phụđã bổ sung thêm yếu tố nào? Lập luận, trình bày bài giải ra sao? Đối với bài toánphù hợp, sau khi giải xong, giáo viên có thể linh hoạt hướng dẫn học sinh khaithác bài toán ban đầu để tìm thêm các cách giải khác hoặc phát triển thành bàitoán ở mức ðộ týõng ðýõng hoặc khó hõn ðể nâng cao nãng lực tý duy cho họcsinh.

Nội dung biện pháp

Trong sáng kiến này, để minh họa cho việc áp dụng thực hiện biện pháp trong giảng dạy tôi lựa chọn một số bài toán: “Cho hình vẽ, biết CAx 30 ;  0 CBy 70 ;0 ACB1000 Chứng minh rằng: Ax // By ”

1 Biện pháp 1: Hướng dẫn học sinh các kĩ thuật vẽ thêm hình phụ qua một số bài toán Hình học 7.

Cách thức thực hiện: Giáo viên lựa chọn các bài toán cần vẽ thêm hình

phụ đơn giản, phù hợp với nội dung chương trình đã và đang giảng dạy để họcsinh tiếp thu và hình thành các kĩ năng nhận biết bài toán cần vẽ thêm hình phụ,sử dụng kĩ thuật vẽ hình phụ hợp lý và vận dụng kiến thức để giải bài toán.Bước đầu học sinh hình thành năng lực nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quenthuộc, khai thác triệt để giả thiết của bài toán, năng lực nhận thấy được yếu tốcòn thiếu, bám vào giả thiết bổ sung yếu tố đó (vẽ thêm hình phụ) giải bài toán.Tôi hướng dẫn cho học sinh 6 kĩ thuật vẽ thêm hình phụ thường vận dụng:

70°

1 Kĩ thuật vẽ thêm đường thẳng song song2 Kĩ thuật vẽ giao điểm của hai đường thẳng3 Kĩ thuật vẽ thêm đường thẳng vuông góc

4 Kĩ thuật vẽ đoạn thẳng đi qua hai điểm, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng chotrước.

5 Kĩ thuật vẽ thêm tia phân giác của góc, vẽ góc bằng góc cho trước.6 Kĩ thuật vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều.

Phân tích bài toán: Giáo viên yêu cầu học

sinh nhắc lại các cách chứng minh hai đường thẳngsong song Học sinh sẽ nhận thấy với giả thiết bàicho thì chưa thể áp dụng trực tiếp các cách chứngminh hai đường thẳng song song như các bài toánquen thuộc

Gợi ý học sinh hướng tới cách chứng minh Ax và By cùng song song với một

đường thẳng thứ ba (đối tượng trung gian) theo tính chất “Hai đường thẳngphân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song vớinhau” Vậy đường thẳng thứ ba đó là đường thẳng nào? Trong bài đã có chưa?

Nếu chưa có ta phải vẽ thêm

Phân tích hình vẽ, thấy rằng C không thuộc tia Ax, By, dựa theo tiên đề Ơ – clitqua điểm C ta vẽ thêm đường thẳng song song với Ax, ta có hai tia đối nhau gốcC, trong đó có một tia nằm giữa hai tia CA và CB đặt tên là Cz, nên có thể thayvì vẽ đường thẳng ta vẽ thêm tia Cz // Ax Ta không thể vẽ đường thẳng đi quaA hoặc B vì Ax, By và đường thẳng thứ ba này phải là ba đường thẳng phânbiệt Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song tính được số đo của

, từ đó tính được số đo BCz, học sinh phát hiện BCz CBy , mà hai góc ở vịtrí so le trong nên Cz song song với By Từ đó suy được Ax song song với By

Trình bày lời giải

Qua C kẻ Cz nằm giữa hai tia CA và CB sao cho Cz // Ax (1)Vì Cz // Ax (cách vẽ) nên CAx ACz  (Hai góc so le trong)Mà CAx  300 (đề cho)  ACz300

Ta có ACB AC zBC z BC z 100 30 0 0 700

Có BC zCBy ( 70 ) 0 mà hai góc ở vị trí so le trong nên Cz // By (2)Từ (1) và (2) suy ra Ax // By.

Nhận xét: Bài toán này nếu không vẽ thêm hình phụ thì học sinh sẽ

không giải được Học sinh nhận thấy giả thiết ngầm cung cấp đó là qua mộtđiểm nằm ngoài đường thẳng thì luôn vẽ đường một đường thẳng (tia) song songvới đường thẳng cho trước Khi phân tích bài toán vẽ thêm hình phụ, giáo viêncần phân tích rõ cho học sinh ngoài các yếu tố đề bài cho sẵn thì học sinh cầnchú ý tới những giả thiết ngầm của bài toán Việc phân tích kĩ mỗi giả thiết làviệc làm hết sức quan trọng đóng vai trò giúp học sinh định hướng được khi nàobài toán cần vẽ hình phụ và vẽ hình phụ như thế nào.

Tóm lại: Vẽ thêm đường thẳng song song nhằm mục đích sử dụng các

tính chất của hai đường thẳng song song, làm xuất hiện hai góc bằng nhau, haigóc bù nhau hay dùng để chứng minh hai đường thẳng song song.

2 Biện pháp 2: Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh khả năng nhìn bài toán vẽ thêm hình phụ dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm được nhiều lời giải khác nhau

Trong quá trình dạy học việc rèn luyện cho học sinh nhìn nhận bài toándưới nhiều hình thức khác nhau sẽ giúp học sinh sử dụng các kiến thức một cáchnhuần nhuyễn, mềm dẻo, linh hoạt Tìm ra nhiều cách giải khác nhau để chọnđược phương án, đơn giản, tối ưu, rèn luyện tính độc đáo.

Giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen không chấp nhận một cách giảiquen thuộc hoặc duy nhất, mà luôn suy nghĩ, tìm tòi và đề xuất nhiều cách giảikhác nhau cho một bài tập

Cách thức thực hiện: Giáo viên đưa ra các bài toán cần vẽ thêm hình phụ

có thể giải bằng nhiều cách, nhiều phương pháp khác nhau Hướng dẫn học sinhcác cách nhìn nhận khác nhau để đưa ra các cách giải khác nhau Sau đó thôngqua thảo luận, phản biện nhận xét ưu điểm, nhược điểm của từng cách giải, đưara cách giải tối ưu nhất.

Phương án 1

Học sinh đã giải được bài toán bằng cách sửdụng kĩ thuật vẽ thêm đường thẳng song songvà vận

dụng kiến thức tính chất, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Phương án 2

Phân tích: Quá trình phân tích giống với

phương án 1, nhận thấy ACB CAx+CBy , tanghĩ cách qua điểm C vẽ thêm tia Cz tạo thành

ACz thỏa mãn: 1) là góc so le trong với CAx

2) có số đo bằng số đo CAx

nên Ax // Cz, dễ tính được số đo BCz, nhận thấy BCz CBy mà hai góc ở vị tríso le trong nên Cz // By, từ đó chứng minh được Ax // By.

Bài giải: Qua C kẻ Cz nằm giữa hai tia CA và CB sao cho ACz 300 Có ACz CAx 30 0 mà hai góc ở vị trí so le trong nên Ax // Cz (1)Ta có ACB ACz BCz   BCz 100 300 0700

Có BC zCBy ( 70 ) 0 mà hai góc ở vị trí so le trong nên Cz // By (2)Từ (1) và (2) suy ra Ax // By.

70°

Phương án 3

Phân tích: Giáo viên hướng dẫn học sinh phân

tích giả thiết nhận thấy: 1000 700300

hai góc có số đo 1000và 300 không phải là

hai góc trong của cùng một tam giác Định hướng cách vẽ thêm hình phụ là tiađối của tia CB cắt tia Ax tại một điểm để tạo thành tam giác có ACB là góc

Kẻ tia đối của tia CB cắt tia Ax tại D, ta có ACB là góc ngoài tại đỉnh C của tamgiác ACD, sử dụng kiến thức tính chất góc ngoài của tam giác “Mỗi góc ngoàicủa tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” tính được số đoADC Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song để hoàn thành lập

luận chứng minh bài toán.

Bài giải: Kẻ tia Cz là tia đối của tia CB, cắt tia Ax tại D.

Xét tam giác ACD có ACB là góc ngoài tại đỉnh C nên ACB DAC A DC

DC  A 100 3000700

Có ADC C y  B ( 700) , mà hai góc ở vị trí so le trong nên Ax // By.

Bài toán 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh

huyền bằng nửa cạnh huyền.Phân tích bài toán:

- Đề bài cho tam giác ABC vuông tại A; AM là đường trung tuyến ứng vớicạnh huyền, yêu cầu chứng minh:

AM  BC M BC

- Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng

đoạn thẳng đó Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D saocho M là trung điểm của AD

ABC =  CDA ( c.g.c)

70°

/ D

AB CD BACDCAABCMBAMC

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA=MD

BA C (chứng minh trên)AC chung

2A 2BC

hay

tại E Chứng minh rằng HA = HE.GT

ABC vuông tại A (AB<AC);

Trong qua trình giải quyết bài toán GV cần luyện cho học sinh phải phân tíchvà tự đặt ra các câu hỏi như sau:

- Để chứng minh HA = HE ta chưa thể gắn trực tiếp vào hai tam giác bằngnhau để chứng minh được Vậy ta phải dùng cách nào để chứng minh?- Ta có thể chứng minh bằng đoạn thẳng thứ ba nào?

- Đoạn này tạo ra bằng cách nào?- Căn cứ vào giả thiết AD = AB

Kẻ DK vuông góc với AH tại K Như vậy ta sẽ có các cặp tam giác nào bằngnhau? Bằng nhau theo trường hợp nào?

Như vậy khi HS tự trả lời được các câu hỏi, giáo viên có thể hỗ trợ nếu cầnthì bài toán sẽ được giải quyết; bên cạnh đó học sinh rèn được tư duy toán học,kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải quyết.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia

đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm của MN.Chứng minh rằng: Ba điểm B, K, C thẳng hàng.

ABC cân tại A BM=CN

M AB N AC K MN ; MK=KN

KL B;K;C thẳng hàng

* Phân tích bài toán: Hướng chứng minh ba điểm thẳng hàng trong bài toán này là chỉ ra được KM và KN là hai tia đối nhau Muốn vậy phải chỉ ra được

MKE NKFlà hai góc đối đỉnh Do đó đường phụ cần vẽ thêm chính là hai đoạn

thẳng cùng vuông góc với BC để tạo ra hai tam giác vuông bằng nhau.Từ đó cho HS phân tích theo sơ đồ sau:

B;K;C thẳng hàng 

KM và KN là 2 tia đối nhau 

MKE=NKF;MKEvà NKFlà 2 góc đối đỉnh

Nhận xét: Qua các bài toán trên, giáo viên đã tạo được tình huống mà học

sinh có thể nhìn nhận bài toán vẽ thêm hình phụ qua nhiều phương diện khác