Hsg T7 - 23 - Đề_Đáp.án -Triệu Hóa.docx

PHÒNG GD ĐT THIỆU HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi này gồm 01 trang) ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Môn Toán 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3,0 điểm) Tính a 213 8 19 23 1 (0 5) 3 1 1 15 15 60 24 A  [.]

PHỊNG GD - ĐT THIỆU HĨA ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3,0 điểm) Tính A 1 a 13 19  23  (0.5)2     :1 15  15 60  24 1  1  1      B 2021  1   1   1   1   1        2020   2021  b Bài 2: (4,5 điểm) x    x 2 x  a Tìm x biết: 2x  3y  4z x y y z M   3x  y  5z b Cho : Tính 100  y 8  x  2021 c Tìm x, y nguyên biết Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ với 1: : 99 98 97 96 b Cho P( x) x  100 x  100 x  100 x  100 x  Tính P(99) ? Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC , AB  AC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD  AB Gọi P, Q trung điểm AD, BC I giao điểm đường vng góc với AD, BC P, Q a Chứng minh: AIB DIC  b Chứng minh: AI tia phân giác BAC AE  AD c Kẻ IE vng góc với AB Chứng minh d Tìm điểm F đường thẳng IP cho AF  BF ngắn Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số dương a b c 1 Chứng minh a b c   2 bc  ac  ab  = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Trang HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP Bài 1: (3,0 điểm) Tính A 1 a 13 19  23  (0.5)2     :1 15  15 60  24 1  1  1      B 2021  1   1   1   1   1        2020   2021  b Lời giải A 1 a A 13 19  23  (0.5)2     :1 15  15 60  24 28  79  47    : 15  15 60  24  32  79  24 A     60  47 47 24 A  60 47 A   1 5 1  1  1      B 2021  1   1   1   1   1        2020   2021  b 2021     2020 2021 1 2021 2021 Có 2020 số hạng nên tích số dương Bài 2: (4,5 điểm) x    x 2 x 1 a Tìm x biết: 2x  3y  4z x y y z M   3x  y  5z b Cho : Tính 100  y 8  x  2021 x , y c Tìm nguyên biết Lời giải a Điều kiện x 1 Bảng xét dấu x x    x2 x Trang  x2   2x  2x  2x  2x x    x 2 x   x    x 2 x 1 Xét x 2 , ta có Hay x 0  x 0 (loại)  x 2 x    x 2 x    x    x 2 x  Xét ta có Hay Xét  x   x  x (loại) , ta có x    x 2 x    x    x 2 x  Hay  x 2  x  (nhận) x    x 2 x       2.( 2) 2.( 2) 1 Với x  ta có    12     12   16  (vô lý) Vậy phương trình vơ nghiệm Khơng có giá trị x thỏa yêu cầu toán x y x y    15 20 b Ta có y z y z    20 24 x y z   Suy 15 20 24 (1) 2x y 4z 2x  y  4z 3x y 5z 3x  y  z       (1) 30 60 96 186 245 Từ 45 80 120  x  y  z 3x  y  z x 3x x 45 :  :  1 186 245 30 45 30 x  2x  y  4z 245 x  y  z 245  1 186 x  y  z x  y  z 186  M 245 1 186 186  M 245 c Ta có 100  y 8  x  2021 Do  x  2021 0 với x 2 suy 100  y 0  100  y Trang  y   0;1; 4;9;16; 25;36; 47;64;81;100 Với y 0  100  y 100 8  x  2021  Với y 1  100  y 99 8  x  2021  Với 64 8  x  2021 (loại x  Z ) y 49  100  y 51 8  x  2021  Với 75  x  2021 (loại x  Z ) y 36  100  y 64 8  x  2021  Với 84  x  2021 (loại x  Z ) y 25  100  y 75 8  x  2021  Với 91  x  2021 (loại x  Z ) y 16  100  y 84 8  x  2021  Với 96 12  x  2021 (loại x  Z ) y 9  100  y 91 8  x  2021  Với 99  x  2021 (loại x  Z ) y 4  100  y 96 8  x  2021  Với 100  x  2021 (loại x  Z ) 51  x  2021 (loại x  Z ) y 64  100  y 36 8  x  2021  36  x  2021 (loại x  Z ) Trang Với y 81  100  y 19 8  x  2021  Với 19  x  2021 (loại x  Z ) y 100  100  y 0 8  x  2021   x  2021  x 2021 Vậy y 10; y  10 Do  x; y   2021;10   x; y   2021;  10  Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ với 1: : 99 98 97 96 b Cho P( x) x  100 x  100 x  100 x  100 x  Tính P(99) ? Lời giải a) Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm Khơng tính tổng quát, giả sử a b c 9 Ta có a  b  c 27 Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội Do a  b  c 18 a  b  c 9 a  b  c 27 a b c a b c    Theo đề ta có : Như a  b  c chia hết cho 6, nên a  b  c 18 Từ suy a 3; b 6; c 9 Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hang đơn vị chẳn, hai số cần tìm là: 396;936 b) Vì x 99 nên x  99 0 99 98 97 96 Ta có P( x) x  100 x  100 x  100 x  100 x  P( x) x99  99 x98  x98  99 x97  x 97  99 x96  x 96   99 x  x  P ( x) x98 ( x  99)  x97 ( x  99)  x96 ( x  99)   x( x  99)  ( x  1) P( x) x98.0  x97  x96   x.0  ( x  1)  P (99) 99  98 Bài 4: (7,0 điểm) Trang Cho tam giác ABC , AB  AC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD  AB Gọi P, Q trung điểm AD, BC I giao điểm đường vng góc với AD, BC P, Q a Chứng minh: AIB DIC  b Chứng minh: AI tia phân giác BAC AE  AD c Kẻ IE vng góc với AB Chứng minh d Tìm điểm F đường thẳng IP cho AF  BF ngắn Lời giải a) Chứng minh: AIB DIC Xét AIB DIC có: IA ID ( I thuộc đường trung trực AD ) AB CD (gt) IB IC ( I thuộc đường trung trực BC ) Suy AIB DIC (c-c-c)  b) Chứng minh: AI tia phân giác BAC   Ta có AIB DIC (cmt) suy BAI CDI (góc tương ứng) (1)   Mà AIP DIP (c-g-c) có IPA IPD 90 IP cạnh chung AP PD ( P trung điểm AD )   Nên IAP IDP (góc tương ứng)   Hay IAC CDI (2)    Từ (1);(2) suy BAI IAC hay AI tia phân giác BAC AE  AD c) Kẻ IE vng góc với AB Chứng minh Xét AIE AIP có:  P  900 E   BAI IAC (cmt) AI cạnh chung Suy AIE AIP (ch-gn) Trang Suy AE  AP (cạnh tương ứng) Mà AP  AD ( P trung điểm AD ) AE  AD Do d) Tìm điểm F đường thẳng IP cho AF  BF ngắn Xét FPA FPD có:   FPA FPD 900 AP PD ( P trung điểm AD ) FP cạnh chung Suy FPA FPD (c-g-c) Suy AF DF (cạnh tương ứng) Ta có AF  BF DF  BF Nếu F khơng thuộc BD BPD tam giác, suy DF  BF  BD Hay AF  BF  BD Nếu F thuộc BD B, P, D thẳng hàng, suy DF  BF BD Hay AF  BF BD Vậy để AF  BF nhỏ F thuộc giao điểm BD; IP Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số dương a b c 1 Chứng minh a b c   2 bc  ac  ab  Lời giải (1  a) 0  (1  b) 0 (1  c) 0 Vì a b c 1 nên  Suy   a    b  0   a  b  ab 0   ab a  b  Tương tự: (1)   b    c  0   c  b  cb 0   bc c  b  Tương tự : 1 c c    ab  a  b ab  a  b 1 a a    bc  c  b bc  c  b (2)   a    c  0   a  c  ac 0   ac a  c Trang  1 b b    ac  a  c ac  a  c a b c a b c     + Do bc  ac  ab  b  c a  c a  b (3) (4) a b c 2a 2b 2c 2(a  b  c )  +   +  2 a b c Mà b  c a  c a  b a  b  c a  b  c a  b  c (5) a b c   2 (4);(5) Từ suy bc  ac  ab  (đpcm) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang