Hsg T7 - 003 - Đề_Đáp.án - Hà Đông.docx

PHÒNG GD&ĐT QUẬN HÀ ĐÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1 (6,0 điểm) Tìm x biết 1)     5 3 3 4 3x x   2) 16 2 16 17 16 3 2 3 2 1 5 3 2 3[.]

PHỊNG GD&ĐT QUẬN HÀ ĐƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (6,0 điểm) Tìm x biết: 1)  x  3 4  x  3 ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian làm bài: 90 phút 316  22.316  1  x   17 16  2 2)  2.3  3) x   x   x  4 x Bài 2: (4,5 điểm) 4 Cho đa thức P ( x ) 2 x  x  x  Q( x)  x  x  x  x 1) Tìm M ( x) biết M ( x) P ( x)  Q( x) 2) Tìm nghiệm đa thức M ( x) 3) Chứng minh đa thức M ( x ) không nhận giá trị 2019 với x số nguyên Bài 3: (2,5 điểm) x y z   Cho x, y, z ba số thỏa mãn x  y 0, y  z 0, z  x 0 y  z x  z x  y A Tính giá trị biểu thức yz xz xy   x y z Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Lấy M thuộc cạnh AB ( M không trùng với A, B ) N thuộc tia đối tia CA cho BM CN Gọi I giao điểm BC MN Kẻ MH NK vng góc với BC ( H , K thuộc BC ) 1) Chứng minh MH KN 2) Chứng minh MN  BC 3) Vẽ phía tam giác ABC tam giác ANP AMQ Gọi E , F trung điểm AQ, AP Chứng minh tam giác IEF y z Bài 5: (1,0 điểm) Tìm số x, y, z nguyên dương thỏa mãn x  3x  5 x  5 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm) Tìm x biết: 1)  x  3 4  x  3 316  22.315  1  x   17 16  2 2)  2.3  3) x   x   x  4 x Lời giải 1)  x  3 4  x  3 3   x  3   x  3   0   TH1: x  0  x 3 x  3 TH2:  4  x  2     x    x 5  x 1  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  3;5;1 316  22.316  1  x   17 16  2 2)  2.3   316     1  x    16   4  2  2 1  x    5 2  x  1 15  x 3) x   x   x  4 x (1) Vế trái luôn không âm với x nên x 0  x 0 Vì x 0 nên x  0, x  0, x  0  x   x  1, x   x  3, x   x  Do (1)  x   x   x  4 x Suy x 9 (thỏa mãn điều kiện x 0 ) Vậy x 9 Bài 2: (4,5 điểm) 4 Cho đa thức P ( x ) 2 x  x  x  Q( x)  x  x  x  x Trang 1) Tìm M ( x) biết M ( x) P ( x)  Q( x) 2) Tìm nghiệm đa thức M ( x) 3) Chứng minh đa thức M ( x ) không nhận giá trị 2019 với x số nguyên Lời giải 1) Ta có M ( x) P ( x)  Q( x )  x  x  2) Tìm nghiệm đa thức M ( x) Cho M ( x ) giá trị 0, ta có x  x  0  x  x  x  0  x  x  1   x  1 0   x  1  x  1 0  x  0  x 1 Vậy nghiệm đa thức M ( x ) x 1, x  3) Chứng minh đa thức M ( x ) không nhận giá trị 2019 với x số nguyên M ( x) 2019  x  x 1 2019  x  x   2018 Giả sử 2 Vì x   nên x  x  2 x  số chẵn  x , x  chẵn lẻ Mà x  x   2018 2 số chẵn  x , x  chẵn x2  x2  2 Suy chia hết cho Mà 2018 không chia hết cho Vậy điều giả sử xảy Do đa thức M ( x ) khơng nhận giá trị 2019 với x số nguyên Bài 3: (2,5 điểm) x y z   Cho x, y, z ba số thỏa mãn x  y 0, y  z 0, z  x 0 y  z x  z x  y yz xz xy   x y z Tính giá trị biểu thức Lời giải x y z xyz xyz x yz 1  1  1    y  z x  z x  y y  z x  z xy Ta có A Nếu x  y  z 0  x  y  z , y  z  x, x  z  y Ta tính A  Trang x  y  z 0  Nếu 1    x  y  y  z z  x  x  y z x y yz zx Tính A 6 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Lấy M thuộc cạnh AB ( M không trùng với A, B ) N thuộc tia đối tia CA cho BM CN Gọi I giao điểm BC MN Kẻ MH NK vng góc với BC ( H , K thuộc BC ) 1) Chứng minh MH KN 2) Chứng minh MN  BC 3) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ANP AMQ Gọi E , F trung điểm AQ, AP Chứng minh tam giác IEF Lời giải A Q E F O M B C H P K I N    a) Ta có MBH KCN (cùng ACB ) o o   Xét MHB ( H 90 ) NKC ( K 90 ) có BM CN (gt)   MBH KCN (cmt) Do MHB NKC (cạnh huyền-góc nhọn) (1)  MH  NK (hai cạnh tương ứng) b) Ta có: MI  HI , IN  IK (Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất) suy IM  IN  HI  IK BI  BH  IC  CK BC  ( BH  CK ) Từ (1) suy BH CK (hai cạnh tương ứng) Do IM  IN  BC hay MN  BC Trang c) Gọi O trung điểm AN Chứng minh AEF OIF (c-g-c)  EF IF (hai cạnh tương ứng)  IEF cân F o  Ta chứng minh IFE 60 Suy tam giác IEF y z Bài 5: (1,0 điểm) Tìm số x, y, z nguyên dương thỏa mãn x  3x  5 x  5 Lời giải x  , x   x  3x   x   y  z  y 5 z Ta có   x  3x    x     x  x      x    5 x    x  ¦ (5)  x     5;  1;1;5  x    8;  4;  2;2 Mà x  , x   x 2 y y Ta có x  x  5   3.2  5  y 2 x  5z  5 z  z 1 Vậy x 2, y 2, z 1 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang