Hsg T7 - 003 - Đề_Đáp.án - Hà Đông.docx

PHÒNG GD&ĐT QUẬN HÀ ĐÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1 (6,0 điểm) Tìm x biết 1)     5 3 3 4 3x x   2) 16 2 16 17 16 3 2 3 2 1 5 3 2 3[.]

PHÒNG GD&ĐT QUẬN HÀ ĐÔNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7

MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (6,0 điểm) Tìm x biết:

1) x 35 4x 33

2)

16 2 16

17 16

  

3) x 1 x 3 x5 4x

Bài 2: (4,5 điểm)

Cho đa thức P x( ) 2 x4 2x3 x và 1 Q x( )x4 2x32x2 x

1) Tìm M x( )biết M x( )P x( ) Q x( )

3) Chứng minh rằng đa thức M x( )không nhận giá trị bằng 2019 với mọi x là số nguyên

Bài 3: (2,5 điểm)

Cho x y z, , là ba số thỏa mãn x y 0,y z 0,z x 0 và

y z x z x y

Tính giá trị của biểu thức

A

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Lấy M bất kì thuộc cạnh AB (Mkhông trùng với A B, ) N thuộc tia đối của tia CA sao cho BM CN Gọi I là giao điểm của BC và MN Kẻ MH và

NK cùng vuông góc với BC ( H K, thuộc BC )

1) Chứng minh MH KN

2) Chứng minh MN BC

3) Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ANP và AMQ Gọi E F, lần lượt là trung điểm của AQ AP, Chứng minh tam giác IEF đều

Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các số x y z, , nguyên dương thỏa mãn x33x2 5 5y và x  3 5z

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7

MÔN TOÁN 7 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm) Tìm x biết:

1) x 354x 33

2)

16 2 15

17 16

  

3) x 1 x 3 x5 4x

Lời giải 1) x 354x 33

x 3 3 x 32 4 0

TH1: x 3 0  x3

TH2: x  32 4

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 3;5;1

2)

16 2 16

17 16

  

 

 

16 16

1

5x 2

15 4

x

3) x 1 x 3 x5 4x (1)

Vế trái luôn luôn không âm với mọi x nên 4 x 0 x0

Vì x  nên 0 x 1 0,x 3 0,x 5 0

Do đó (1)  x     1 x 3 x 5 4x

Suy ra x  (thỏa mãn điều kiện 9 x  )0

Vậy x  9

Bài 2: (4,5 điểm)

1) Tìm M x( )biết M x( )P x( ) Q x( )

3) Chứng minh rằng đa thức M x( )không nhận giá trị bằng 2019 với mọi x là số nguyên.

Lời giải 1) Ta có

M x P x  Q x x  x 

Cho M x( ) giá trị bằng 0, ta có x4 2x2 1 0

4 2 2 1 0

x2 1 x2 1 0

2 1 0

x

1

x

Vậy nghiệm của đa thức M x( ) là x1,x1

3) Chứng minh rằng đa thức M x( )không nhận giá trị bằng 2019 với mọi x là số nguyên

Vì x   nên x2x2 2 2 x2 2 là số chẵn

2, 2 2

x x

Mà x x 2 2 22018

Suy ra x x 2 2 2

là số nguyên

Bài 3: (2,5 điểm)

Cho x y z, , là ba số thỏa mãn x y 0,y z 0,z x 0 và

y z x z x y

Tính giá trị của biểu thức

A

Lời giải

Ta có

Nếu x y z   0 x y z y z,  x x z,   y

Nếu

0

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Lấy M bất kì thuộc cạnh AB (M không trùng với A B, ) N thuộc tia đối của tia CA sao cho BM CN Gọi I là giao điểm của BC và MN Kẻ MH và

NK cùng vuông góc với BC ( H K, thuộc BC )

1) Chứng minh MH KN

2) Chứng minh MN BC

3) Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ANP và AMQ Gọi E F, lần lượt là trung điểm của AQ AP, Chứng minh tam giác IEF đều

Lời giải

O

F E

Q

P

H

K I

M

A

N

a) Ta có MBH KCN (cùng bằng ACB )

Xét MHB H( 90 )o và NKC K( 90 )o có

BM CN (gt)

MBH KCN (cmt)

Do đó MHB NKC (cạnh huyền-góc nhọn) (1)

  (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: MI HI IN, IK(Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất)

suy ra IM INHI IK BI BH IC CK   BC (BH CK )



c) Gọi O là trung điểm của AN

Chứng minh được AEF OIF (c-g-c)

  (hai cạnh tương ứng)

IEF

  cân tại F

Ta chứng minh được IFE 60o

Suy ra tam giác IEF đều

Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các số x y z, , nguyên dương thỏa mãn x33x2 5 5y và x  3 5z

Lời giải

Ta có

xx  x  x    x   

x3 3x2 5 x 3 x x2 3 5 x 3 5 x 3

 x 3 ¦ (5)   x 3  5; 1;1;5  x 8; 4; 2;2 

Mà x,x 0 x2

Ta có x33x2 5 5y 233.22 5 5y  y2

Vậy x2,y2,z1

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =