Hsg T7 - 19 - Đề_Đáp.án - Trieu Son.docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRIỆU SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIẺM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Môn Toán 7 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) 1 Thực hiện phép tính 2 5 7 5 7 7 7 12 12 7 12 12 [.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN TRIỆU SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIẺM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 7 Thời gian làm bài:150 phút Bài 1: (4,0 điểm)

1 Thực hiện phép tính:

7 12 12 7 12 12



2 Tính giá trị biểu thức:

P             

Bài 2: (4,0 điểm)

a Tìm x biết:

1

4

b Tìm x y z, , biết:

x

c Tìm các số nguyên dương a b c, , biết rằng:a3 b3 c33abcvà a22(b c )

Bài 3: (4,0 điểm)

1.Chox y, là các số nguyên thoả mãn 3x2 2y2  Chứng minh rằng 1 x2 y2 chia hết cho40

2 Cho đa thức f x( )ax5bx3bx2 Biết a f(2021) 2021; hãy tính

1 ( )

2021

f

Bài 4: (6,0 điểm)

1.Cho tam giác ABC vuông tại A , ( ABAC ), đường cao AH , trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD Trên tia đối của tia CD lấy điểm I sao cho

CI CA , qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH và tại E

a Chứng minh: ABC CDA

b Tính số đo góc IDE

2.Cho tam giác đều , đường cao AH Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho AH DH

Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BD vẽ tia Dx sao cho BDx 15o , Dx cắt tia AB tại E Chứng minh: EH DH

Bài 5: (2,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2019 2017 2015 1 1 3 2019 2021

A x  x  x   x  x  x   x  x

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

(Đề thi có 01 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO

Môn: Toán 7 Bài 1: (4,0 điểm)

1 Thực hiện phép tính:

7 12 12 7 12 12



2 Tính giá trị biểu thức:

P             

Lời giải

1.

7 12 12 7 12 12



-2 5 5 7 7

7 12 7 12 12

7 7 12 12 12

   



2 : 2



2.

P              

2.2 3.3 4.4 2021.2021

1.3 2.4 3.5 2020.2022

P 

2021.2 2021 1.2022 1011

Bài 2: (4,0 điểm)

a Tìm x biết:

1

4

b Tìm x y z, , biết:

x

c Tìm các số nguyên dương a b c, , biết rằng: a3 b3 c33abc và a2 2(b c )

Lời giải

a.

1

4

1

3 1 1,5

2

x

   

3x 1 1

2

3 1 1

3

3 1 1

0

x

x



  

 Vậy

2 0;

3

x  

 

b Tìm x y z, , biết:

x

điều kiện x 0

Từ

(1)

x

Trường hợp 1: nếu 2x3y 3 0

Nên 4x 8 x2( thoả mãn )

Mà

y

Vậy

7 2;

3

x y

( thoả mãn ) Trường hợp 2: nếu 2x3y 3 0

Nên

;

x y

( thoả mãn ) Vậy

7 2;

3

x y

hoặc

;

x y

c Tìm các số nguyên dươnga b c, , biết rằng: a3 b3 c33abc và a2 2(b c )

Vì a2 2(b c )nên a là số chẵn

Mà a3 b3 c33abc a b a c ; 

Nên 2a b c   4a2(b c )

2

4a a a 4

    mà alà số chẵn

Do a nguyên dương nên a 2

Nên b c 2do b c, nguyên dương

Vậy a2;b c 1

Bài 3: (4,0 điểm)

1.Cho x y, là các số nguyên thoả mãn 3x2 2y2 Chứng minh rằng 1 x2 y2 chia hết cho40

2 Cho đa thức f x( )ax5bx3bx2 Biết a f(2021) 2021; hãy tính

1 ( )

2021

f

Lời giải

1 Có 3x2 2y2 mà 1 2y là số chẵn ; 2 1 là số lẻ Nên 3x2phải là số lẻ

Mà 3 là số lẻ Nên x2phải là số lẻ xphải là số lẻ

2 1;( ) 2 1 2 1 2 1 4 4 1 (1)

x k k Z  x  k  k k  k  k

Có 3x2 2y2 1 3x2 1 2y2

Vì 3x2chia hết cho 3

Nên 1 2 y 2 chia hết cho 3hay y chia2 2cho dư 1 yphải là số lẻ

Đặt y2m1;(m Z ) y22m122m1 2  m1 4m24m1 (2)

Từ (1; 2) x2 y24k2 k n2 n4 (k k1) n n( 1)

chia hết cho 8

Do k k( 1); (n n1) chia hết cho 2

Do x y; là số lẻx y2; 2chia 5dư 0hoặc 1 hoặc 4 (3)

Mà 3x2 2y2  hay 1 5x2 2x2y2 1

Do 5x2chia hết cho5

Nên x2y2

chia 5dư 2 (4)

Từ (3;4) x y2; 2chia 5 dư 1

   mà x2 y28và 5;8là hai số nguyên tố cùng nhau

Vậy x2 y2 chia hết cho 40

1

2021 2021 2021 2021

2021 2021 2021 2015 (1)

2021

f   a b b a

Mà f(2021) 2021 a.20155b.20213b.20212a(2)

Từ (1; 2)

5

4

Bài 4: (6,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC vuông tại A , ( AB AC ), đường cao AH , trung tuyến

AM Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD Trên tia đối của

tia CD lấy điểm I sao cho CI CA , qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH và tại E

a Chứng minh: ABC CDA

b Tính số đo góc IDE

2 Cho tam giác ABC đều , đường cao AH Trên tia đối của tia HC lấy điểm

D sao cho AH DH Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BD vẽ tia

Dx sao cho  BDx 15o , Dx cắt tia AB tại E Chứng minh: EH DH

Lời giải

E K

I

H

D

M

B

a)Chứng minh: AMB DMC ( c- g-c)

AB CD

  và BAM DCM

Nên AB CD mà AB AC/ /   DCAC

Chứng minh: ABC CDA( c-g-c)

b)Chứng minh:ACI IKA g c g(   )

;

AC KI CI AK

   ( c-g-c)

Mà AC CI gt ( )

Có ABC CDA (cmt)  BC DA

Mà

1 2

AM MD DA

AMC

  cân tại M  CAM ACM(1)

Mà CAH ACM 90 (2)0

  90 (3)0

CAH EAK 

Từ (1;2;3) EAK MAC

Chứng minh:AEK ADC g c g(   )

  Mà IK CI  IE ID

Mà EID  900

  vuông cân tại I IDE450

2 Cho tam giác ABC đều , đường cao AH Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho

AH DH Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BD vẽ tia Dx sao cho BDx  15o , Dx cắt tia AB tại E Chứng minh: EH DH

Lời giải

Do ABC đều có đường cao AH  AHlà đường phân giác  BAH CAH 300

+Giả sử DH EH  DEH HDE  DEH 15 (1)0

Mà AH DH và DH EH  DH EH  HEA 30 (2)0

Từ (1; 2) DEB 45 (3)0

Mà ABC BDE BED   600150BED  BED 45 (4)0

Điều (3) và (4)mâu thuẫn với nhau Nên giả sử trên sai

+Tương tự giả sử DH EH cũng sai

Vậy EH DH

Bài 5: (2,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2019 2017 2015 1 1 3 2019 2021

A x  x  x   x  x  x   x  x

Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối:a  b  a b , dấu bằng xảy ra khi a b 0

2019 2017 2015 1 1 3 2019 2021

A x  x  x   x  x  x   x  x

2021 2019 2019 2017 3 1 1

A x   x  x   x   x   x  x

4040 4036 4032 8 4 0

(4040 4).1010 : 2 2042220

Dấu bằng xảy ra khi

2021 (2019 ) 0 2021 2019

2019 (2017 ) 0 2019 2017

3 (1 ) 0

1

1 0

x x

x x

 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2042220 tại x 1