PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRIỆU SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIẺM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Môn Toán 7 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) 1 Thực hiện phép tính 2 5 7 5 7 7 7 12 12 7 12 12 [.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRIỆU SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIẺM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Thời gian làm bài:150 phút Bài 1: (4,0 điểm) 2 5 : : 12 12 12 12 Thực phép tính: P 1 1 1.3 2.4 3.5 2020.2022 Tính giá trị biểu thức: Bài 2: (4,0 điểm) a Tìm x biết: 3x 1,5 2x 3y 2x y 4x b Tìm x, y , z biết: 3 3 c Tìm số nguyên dương a, b, c biết rằng: a b c 3abc a 2(b c) Bài 3:(4,0 điểm) 2 2 1.Cho x, y số nguyên thoả mãn 3x y 1 Chứng minh x y chia hết cho 40 f( ) 2021 Cho đa thức f ( x) ax bx bx a Biết f (2021) 2021; tính Bài 4:(6,0 điểm) 1.Cho tam giác ABC vuông A , ( AB AC ), đường cao AH , trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA MD Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI CA , qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E a Chứng minh: ABC CDA b Tính số đo góc IDE 2.Cho tam giác , đường cao AH Trên tia đối tia HC lấy điểm D cho AH DH o Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ BD vẽ tia Dx cho BDx 15 , Dx cắt tia AB E Chứng minh: EH DH Bài 5:(2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x 2019 x 2017 x 2015 x x x x 2019 x 2021 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Trang HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO Mơn: Tốn Bài 1:(4,0 điểm) 2 5 : : Thực phép tính: 12 12 12 12 P 1.3 2.4 3.5 2020.2022 Tính giá trị biểu thức: Lời giải 2 5 : : 12 12 12 12 -2 5 = - - - : 12 12 12 -2 = - - - : 7 12 12 12 12 24 : 12 7 P 1 1 1.3 2.4 3.5 2020.2022 2.2 3.3 4.4 2021.2021 1.3 2.4 3.5 2020.2022 2021.2 2021 P 1.2022 1011 Bài 2: (4,0 điểm) P a Tìm x biết: 3x 1,5 2x 3y 2x y 4x b Tìm x, y , z biết: 3 3 c Tìm số nguyên dương a, b, c biết rằng: a b c 3abc a 2(b c) Lời giải 3x 1,5 3x 1,5 a 3x 1 3x 1 3x x 3 x 0 2 x 0; 3 Vậy Trang b Tìm x, y , z biết: 2x 3y 2x y 4x điều kiện x 0 2x 3y 2x y 2x y (1) 4x Từ Trường hợp 1: x y 0 Nên x 8 x 2 ( thoả mãn ) 2x 3y 2.2 y y 5 Mà Vậy x 2; y ( thoả mãn ) Trường hợp 2: x y 0 x ;y ( thoả mãn ) Nên Vậy x 2; y x ;y 3 3 c Tìm số nguyên dương a, b, c biết rằng: a b c 3abc a 2(b c) Vì a 2(b c) nên a số chẵn 3 Mà a b c 3abc a b; a c Nên 2a b c 4a 2(b c ) 4a a a mà a số chẵn Do a nguyên dương nên a 2 Nên b c 2 b, c nguyên dương Vậy a 2; b c 1 Bài 3:(4,0 điểm) 2 2 1.Cho x, y số nguyên thoả mãn 3x y 1 Chứng minh x y chia hết cho 40 f( ) f ( x ) ax bx bx a f (2021) 2021; 2021 Cho đa thức Biết tính Lời giải 2 2 Có 3x y 1 mà y số chẵn ; số lẻ Nên 3x phải số lẻ Mà số lẻ Nên x phải số lẻ x phải số lẻ Đặt x 2k 1; (k Z ) x 2k 1 2k 1 2k 1 4k 4k (1) Trang 2 2 Có x y 1 x 1 y Vì 3x chia hết cho 2 Nên y chia hết cho hay y chia cho dư y phải số lẻ Đặt Từ y 2m 1;(m Z ) y 2m 1 2m 1 2m 1 4m 4m (2) (1; 2) x y 4 k k n n 4 k ( k 1) n(n 1) chia hết cho Do k (k 1); n(n 1) chia hết cho 2 Do x; y số lẻ x ; y chia dư hoặc (3) x x y 1 2 x y Mà hay Do 5x chia hết cho x2 y Nên chia dư (4) 2 Từ (3; 4) x ; y chia dư x y 5 mà x y 8 5;8 hai số nguyên tố 2 Vậy x y chia hết cho 40 a b b f a 2 Có 2021 2021 2021 2021 20215 f a b.2021 b.2021 a.2015 (1) 2021 Mà f (2021) 2021 a.2015 b.2021 b.2021 a (2) 20215 f 2021 f 2021 2021 20214 Từ (1; 2) Bài 4:(6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , ( AB AC ), đường cao AH , trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA MD Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI CA , qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E a Chứng minh: ABC CDA b Tính số đo góc IDE Cho tam giác ABC , đường cao AH Trên tia đối tia HC lấy điểm D cho AH DH Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ BD vẽ tia Dx cho BDx 15o , Dx cắt tia AB E Chứng minh: EH DH Lời giải Trang B D H M A C I E K a)Chứng minh: AMB DMC ( c- g-c) AB CD BAM DCM Nên AB / / CD mà AB AC DC AC Chứng minh: ABC CDA ( c-g-c) b)Chứng minh: ACI IKA ( g c g ) AC KI ; CI AK ( c-g-c) Mà AC CI ( gt ) AC KI CI AK Có ABC CDA (cmt) BC DA AM MD DA Mà BC BC AM hay AM MB MC 2 AMC cân M CAM ACM (1) Mà CAH ACM 90 (2) CAH EAK 900 (3) Từ (1; 2;3) EAK MAC Chứng minh: AEK ADC ( g c g ) EK DC Mà IK CI IE ID Mà EID 90 Trang IED vuông cân I IDE 450 Cho tam giác ABC , đường cao AH Trên tia đối tia HC lấy điểm D cho 15o , Dx AH DH Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ BD vẽ tia Dx cho BDx cắt tia AB E Chứng minh: EH DH Lời giải Do ABC có đường cao AH AH đường phân giác BAH CAH 30 +Giả sử DH EH DEH HDE DEH 15 (1) Mà AH DH DH EH DH EH HEA 30 (2) Từ (1; 2) DEB 45 (3) 0 Mà ABC BDE BED 60 15 BED BED 45 (4) Điều (3) (4) mâu thuẫn với Nên giả sử sai +Tương tự giả sử DH EH sai Vậy EH DH Bài 5: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x 2019 x 2017 x 2015 x x x x 2019 x 2021 a b a b Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối: , dấu xảy a.b 0 ta A x 2019 x 2017 x 2015 x x x x 2019 x 2021 có A x 2021 2019 x x 2019 2017 x x x x A 4040 4036 4032 Trang A (4040 4).1010 : 2042220 Dấu xảy x 2021 (2019 x) 0 2021 x 2019 x 2019 (2017 x) 0 2019 x 2017 x x 3 (1 x) 0 x 1 x 0 x Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2042220 x Trang