Hsg T7 - 002 - Đề_Đáp Án - Xuân Trường.docx

PHÒNG GD ĐÀO TẠO HUYỆN XUÂN TRƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi này gồm 01 trang) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán 7 Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài[.]

PHỊNG GD -ĐÀO TẠO HUYỆN XN TRƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2022-2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) Tìm x biết x  2019  2020  x  2021  x 13x a 1   b x  N   Bài 2: (5,0 điểm) x 1 1    2 x 2  64 P 4xy  5x  15    2x  2xy  Cho hai đa thức Q 2xy  3x a)Tính M = P - Q b) Tính giá trị đa thức M x = 3; y = 2021 c) Tìm x để M= 2 Tìm số nguyên dương x, y biết: 22  6( x  2021)  y Bài 3: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB  AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D , tia đối tia CB lấy điểm E cho BD CE Gọi M trung điểm cạnh BC  a Chứng minh AM tia phân giác DAE b Từ B C vẽ BH , CK theo thứ tự vng góc với AD, AE Chứng minh BH CK c Chứng minh ba đường thẳng AM , BH , CK cắt điểm Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc B 45 góc C 120 Trên tia đối tia CB lấy  điểm D cho CD 2CB Tính số đo góc ADB Bài 5: (4,0 điểm) n2 n 2 n 1 n a) Chứng minh M 5    có chữ số tận với n  N , n 1 B) Cho n số nguyên tố lớn Chứng minh n  2041 chia hết cho 24 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO Bài 1: (4,0 điểm) Tìm x biết x  2019  2020  x  2021  x 13x a 1   b x  N   x 1 1    2 x 2  64 Lời giải x  2019  2020  x  2021  x 13x a x  2019  2020  x  2021  x 0 với x x  2019  2020  x  2021  x 13x x 0 với x 0 ta có: x  2019  2020  x  2021  x 13x  ( x  2019)  (2020  x)  (2021  x) 13x  x  2019  2020  x  2021  x 13x  3x  6060 13x  13x  3x 6060  10x 6060  x 10  (thỏa mãn điều kiện x) Vậy x 10 b Ta có: 1    2 x 1 1    2 1    2 x1  1    2 x1 1    2 x1 1    2 x1 x1 x 2  64  1       64 3  64  3 : 64  32  1 1       2  2  x  5  x 4  N Vậy x 4 Bài 2: (5,0 điểm) Cho hai đa thức a)Tính M = P - Q P 4xy  5x  15    2x  2xy  Q 2xy  3x b) Tính giá trị đa thức M x = 3; y = 2021 c) Tìm x để M= 2 Tìm sơ ngun dương x, y biết: 22  6( x  2021)  y Lời giải a M P  Q  4xy  5x  15    2x  2xy     2xy  3x  M 4xy  5x  15    2x  2xy   2xy  3x M = 4xy  5x  15   2x  2xy  2xy  3x M = 5x   5x  15 5x  15 5x  15 Trường hợp 1: 5x  15 0  x 3 M = 5x   5x  15 Ta có: M 5x   (5x-15) M 5x   5x  15 M 10x  24 5x  15  5x+15 Trường hợp 2: 5x  15   x  M = 5x   5x  15 Ta có M 5x   ( 5x  15) M 5x   5x 15 M 6 Vậy M 10x  24 x 3 M 6 x  b x = 3; y = 2021 M 10x  24 Thay x = 3; y = 2021 vào M 10x  24 ta M 10.3  24 6 Vậy x = 3; y = 2021 M 6 c Khi x 3 M 6 0 M 0 x  M 10 x  24 0 12  x  3 (thỏa mãn điều kiện x) 12 x M 0 Vậy 2 Tìm số nguyên dương x, y biết: 22  6( x  2021)  y Vì y nguyên dương nên y nguyên dương 2 y 22  6( x  2021)   11  ( x  2021) 0 (1) x nguyên dương nên ( x  2021) nguyên dương 2 kết hợp (1) (2) suy ( x  2021) 0 ( x  2021) 1 (2) *Nếu ( x  2021) 0  x 2021 (thoả mãn điều kiện x nguyên dương) 2 Thay vào y 22  6( x  2021) 2 ta y 22  6.0  y 22  y  22 (không thỏa mãn điều kiện y nguyên dương) * Nếu ( x  2021) 1  x  2021 1 x  2021  +) x  2021 1  x 2022 (Thỏa mãn điều kiện x nguyên dương) +) x  2021   x 2020 (Thỏa mãn điều kiện x nguyên dương) 2 -Thay ( x  2021) 1 vào y 22  6( x  2021) 2 Ta y 22  6.1  y 16  y 4 (Thỏa mãn điều kiện y nguyên dương) cặp số (x;y) thoả mãn yêu cầu (2022;4); (2020;4) Bài 3: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB  AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D , tia đối tia CB lấy điểm E cho BD CE Gọi M trung điểm cạnh BC  a Chứng minh AM tia phân giác DAE b Từ B C vẽ BH , CK theo thứ tự vng góc với AD, AE Chứng minh BH CK c Chứng minh ba đường thẳng AM , BH , CK cắt điểm Lời giải a.Xét ABC có AB  AC nên ABC cân A   nên  AB  AC ABC ACB   mà ABD  ABC 180 (hai góc kề bù)  CE  A  CB 1800 A (hai góc kề bù)  CE  ABD A Xét ABD ACE có AB  AC (cmt) ABD A  CE (cmt) BD CE (gt)  ABD=ACE(c-g-c) nên AD  AE AED cân A Ta có BD CE ; BM=MC(gt)  DB+BM=EC+CM hay DM=EM M trung điểm DE Xét AED cân A có AM trung tuyến ứng với cạnh đáy ED nên AM đồng thời tia phân  giác DAE (Đpcm)     b AED cân A  ADE AED hay HDB KEC Xét DHB vng A EKC vng H có:   HDB KEC (cmt) BD CE (gt)  DHB EKC (cạnh huyền – góc nhọn)  BH CK (Đpcm) c Gọi G giao điểm HB KC Vì AED cân A  AD  AE (cmt) Vì DHB EKC  HD EK (cmt)  AD  HD  AE  KE hay AH  AK Xét AHG vng H AKG vng K có: AH  AK (cmt) AG cạnh chung  AHG AKG (cạnh huyền – cạnh góc vng )  HG KG Ta có HG KG BH CK  HG  BH KG  CK hay BG CG Vì BG CG nên G thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC ABC cân A có M trung điểm cạnh đáy BC nên đồng thời đường trung trực đoạn thẳng BC Suy ba điểm A, M , G thẳng hàng Vậy ba đường thẳng AM , BH , CK cắt điểm (Đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc B 45 góc C 120 Trên tia đối tia CB lấy  điểm D cho CD 2CB Tính số đo góc ADB Lời giải Từ D kẻ DE  AC ( E  AC ) gọi F trung điểm DC Xét DEC vng E có EF đường trung tuyến ứng với canh huyền DC  DF FC EF  CD 2CB  CB  DC DC Ta có  DF FC EF CB   Ta có ECF  ACB 180 (hai góc kề bù) 0   Thay số ta ECF  120 180  ECF 60 Xét CEF có FC EF (cmt)  CF 600 E (cmt)  FC 600  CEF nên EC EF E   Ta có EFD  EFC 180 (Hai góc kề bù) 0   Thay số ta EFD  60 180  EFD 120 Xét DFE BCE có: DF BE (cmt)   CB 1200 EFD E FE EC (cmt)  DFE BCE (c-g-c)  DE BE 0    Xét DFE cân F có EFD 120  EDB EBD 30 Xét DEB có DE BE (cmt)  DEB cân E  B 300  EBD  300 DEB cân E có ED    Ta có EBD  EBA CBA 0   Thay số ta được: 30  EBA 45  EBA 15   Xét AEB có EAB EBA 30  AEB cân E  EA EB 0    Xét AED có AED 90 ED EA(EB)  AED vuông cân E  EAD EDA 45    Ta có ADE  EDB  ADB 0   Thay số ta 45  30  ADB  ADB 75  Vậy ADB 75 Bài 5: (4,0 điểm) n2 n2 n 1 n a) Chứng minh M 5    có chữ số tận với n  N , n 1 B) Cho n số nguyên tố lớn Chứng minh n  2041 chia hết cho 24 Lời giải n2 n2 n 1 n a M 5    M (5n 2  5n 1 )  (2n 2  2n ) M 5n 1.(5  1)  2n.(22  1) M 5n 1.6  n.5 n1 n Với n  N , n 1 ta có có chữ số tận có chữ số tận n 1 n Do n  N , n 1 M 5  có chữ số tận hay M 5n 2  2n  5n1  2n có chữ số tận (Đpcm) b Đặt A n  2041 A n  16  2025 A (n  4)(n  4)  2025 *Vì n số nguyên tố lớn nên n 3k  n 3k  +) n 3k   n  3k  3.(k  1) 3  (n  4)( n  4)3  A3 +) n 3k   n  3k  3.(k  2) 3  (n  4)( n  4)3  A3 Suy với n số nguyên tố lớn A n  2041 ln chia hết cho *Ta có A n  2041 A n  2025  16 A (n  45)(n  45)  16 Vì Vì n số nguyên tố lớn nên n 2k  1(k  1; k  N )  (n  45)( n  45) (2k  44)(2k  46) 4.( k  22)( k  23) +) Nếu k lẻ k  23 chẵn  4.(k  22)(k  23) 8  A8 +)Nếu k chẵn k  22 chẵn  4.(k  22)(k  23) 8  A8 (1) Suy với n số nguyên tố lớn A n  2041 ln chia hết cho (2) Mà hai số nguyên tố (3) Từ (1); (2) (3) suy n số nguyên tố lớn n  2041 chia hết cho 24 (Đpcm) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =