PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NHƯ XUÂN KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – LỚP 8 Câu Ý Nội dung Điểm Câu 1 (4đ) 1 a) 2đ ĐKXĐ Ta có 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NHƯ XUÂN KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN – LỚP Câu Ý Nội dung Điểm ĐKXĐ : x ≠ 2; x ≠ x − 2x 0,5đ 1− − ÷ Ta có A = − ÷ 2x + 8 − 4x + 2x − x x x 1.a) 2đ Câu (4đ) 2x x2 − 2x x − x − 2x2 = − ÷ ÷ 2 x2 2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x) ( x − x)(2 − x) − x x + x − x − = 2( x + 4)(2 − x ) x2 x − x − x + x − x x( x +1) − 2( x −1) = 2( x + 4)(2 − x) x2 0,5đ = − x( x + 4) ( x + 1)( x − 2) x + = 2( x + 4)(2 − x) x2 2x 0,5đ * x +1 ∈ Z ⇔ x +1 M2x ⇒ 2x + M2x Mà 2x M2x 2x 0,5đ 1.b) ⇒ M2x ⇒ Mx ⇒ x = x = -1 2đ * Ta thấy x = x = -1 (TM ĐKXĐ) Vậy A= Câu (4đ) 0,5đ x +1 ∈ Z ⇔ x = x = -1 2x 0,5đ 0,5đ 0,5đ Ta có: 2 3 1.a) x (x - ) – 36x = x(x – 7x – 6)(x – 7x + 6) 1đ = x(x + 1)(x - 3)(x + )(x – 1)( x - 2)( x + ) 0,5đ 0,5đ Ta có: 1.b) x4 + 2021x2 + 2020x + 2021= 1đ 2 = x + x + x + 2020x + 2020x + 2020 – x3 + = x2(x2 + x + 1) + 2020(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 + 2020 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x2– x + 2021) 0,5đ 0,5đ Giả sử f(x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + ax+b Theo đề bài, ta có: 2) 2đ f (2) = 24 2a + b = 24 a = ⇔ ⇔ f (−2) = 10 −2a + b = 10 b = 17 Do đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm là: f ( x) = −5 x + 0,5đ 0,5đ 47 x + 17 0,5đ 0,5đ Ta có: A = n3 + 6n + 8n = n(n + 6n + 8) = n(n + 2)(n + 4) Vì n sớ chẵn nên đặt n = 2k ( k ∈ ¢ ) , đó: A = 2k ( 2k + ) ( 2k + ) = 8k (k + 1)(k + 2) = 23 k (k + 1)(k + 2) 0,5đ 3.a) 2đ Vì k ( k + 1) ( k + ) tích của số tự nhiên liên tiếp nên: 0,5đ - Tồn tại một số bội của nên k ( k + 1) ( k + ) M3 0,5đ 0,5đ Ta có: 7x - xy - 3y = ⇔ ( x + 3)(7 − y) = 21 (*) Vì x ∈ Ζ + nên x + ≥ 0,5đ 16 - Tồn tại một số bội của nên k ( k + 1) ( k + ) M2 nên AM Câu (4 điểm) Vậy A chia hết cho 3, 16 mà ( 3,16 ) = nên AM3.16 = 48 x + = x = ⇔ 7 − y = y = 3.b) 2đ x + = 21 ⇔ x = 18 7 − y = y = Từ (*) suy Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên dương là: ( x; y ) = (4;4) ; ( x; y ) = (18;6) 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu (6 điểm) MF BF BF Chứng minh được: ME = DE = FC (hệ định lý Ta - lét) 0,5đ Chứng minh được: BK BK MB MF = = (Định lý Ta lét) AK MD ME BF Suy AK = FC KF // AC (Định lý Ta - lét đảo) 2,0đ Chứng minh tương tự ta có EH // AC Kết luận KF // EH Gọi giao điểm của BD với KF HE O Q N giao điểm của AC BD 4.a) OK QE Chứng minh OF = QH = 4.b) 2,0đ Gọi giao điểm của đường thẳng EK HF P, giao điểm của đường ’ thẳng EK DB P ’ Chứng minh P P trùng Kết luận đường thẳng EK, HF, BD đồng quy tại P Kẻ EG FI vng góc với HK, I G thuộc HK Chỉ : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI MK KB Chứng minh được: MH = HD 4.c) 2,0đ Suy MK MF = MH ME 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,75đ 1,0đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ MF FI Chứng minh được: ME = EG Suy 0,5đ MK FI = , suy MK.EG = MH.FI MH EG Suy ra: SMKAE = SMHCF (đpcm) 0,25đ 0,5đ 0,25đ Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ∀ a, b, c ∈ R x, y, z > ta có a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z ∈ Thật vậy, với a, b R x, y > ta có: a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y ⇔ (a 2 (*) (**) y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) 0.75đ ⇔ ( bx − ay ) ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c2 ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z 1 2 1 Ta có: a b c2 + + = + + a (b + c) b3 (c + a ) c (a + b) ab + ac bc + ab ac + bc Câu (2 điểm) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 1 1 1 1 1 + + ÷ + + ÷ 2 a b c a b c a b c + + ≥ = (Vì abc = ) ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ac ) 1 1 2 + + ÷ a b c 1 2 11 1 Hay a + b + c ≥ + + ÷ ab + ac bc + ab ac + bc a b c 1 Mà + + ≥ (vì a, b, c > 0) nên a b c Vậy 1 2 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) (đpcm) Chú ý: - Nếu HS làm theo cách khác mà cho điểm tối đa Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ ... nhiên liên tiếp nên: 0,5đ - Tồn tại một số bội của nên k ( k + 1) ( k + ) M3 0,5đ 0,5đ Ta có: 7x - xy - 3y = ⇔ ( x + 3)(7 − y) = 21 (*) Vì x ∈ Ζ + nên x + ≥ 0,5đ 16 - Tồn tại một số bội...Giả sử f(x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + ax+b Theo đề bài, ta có: 2) 2đ f (2) = 24 2a + b = 24 a = ⇔ ⇔ f (−2) = 10 −2a + b = 10 b = 17... Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên dương là: ( x; y ) = (4;4) ; ( x; y ) = (18;6) 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu (6 điểm) MF BF BF Chứng minh được: ME = DE = FC (hệ định lý Ta - lét) 0,5đ Chứng minh