De thi HSG Toan 9 huyen Hau Loc

b Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD... Vậy để ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD thì điểm N l[r]

§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn M«n To¸n N¨m Häc 2011-2012 Thêi gian lµm bµi: 150 phót Phßng GD - §T HËu Léc Bµi (5 ®iÓm): 15 x  11 x  2 x    x  x   x x 3 Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc A 21 A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A x = c) Chøng minh r»ng: A ≤ Bµi (3 ®iÓm): 32 1   2 a  b  c  a) Cho ba sè a, b, c d¬ng tháa m·n Chøng minh r»ng : abc < b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: y x 1x y M xy Bµi (3 ®iÓm): x  yz y  xz  x   yz  y   xz  a) Chøng minh nÕu víi x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0,z 0 1 xyz   x y z th× 2 1   1     x     x     x    x    x   x x  x  x   b) Gi¶i ph¬ng tr×nh:  Bµi (3 ®iÓm): Đội A và đội B thi đấu cờ với Mỗi đấu thủ đội A phải đấu ván cờ với đấu thủ đội B Biết tổng số ván cờ đã đấu bình phơng số đấu thủ đội A cộng với hai lần số đấu thủ đội B Hỏi đội có bao nhiêu đấu thủ biết số đấu thủ đội A không ít ngời? Bµi (6 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a vµ ®iÓm N trªn c¹nh AB Gäi E lµ giao ®iÓm cña CN vµ DA KÎ tia Cx vu«ng gãc víi CE c¾t AB t¹i F, M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF Chøng minh r»ng: a) CE = CF   b) ACE BCM c) Khi ®iÓm N di chuyÓn trªn c¹nh AB ( N kh«ng trïng víi A vµ B) th× M chuyÓn động trên đờng thẳng cố định §Æt BN = x a) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ACFE theo a vµ x b) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp lần diÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD §¸p ¸n – BiÓu ®iÓm §Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn M«n To¸n N¨m Häc 2011-2012 Bµi (5 ®iÓm) a) §KX§: x ≥ ; x ≠ A (0,5 ®iÓm) 15 x  11  x 3    x1  x  2 x 3  x1 x 3  (0,5 ®iÓm)     15 x  11  x  x 3  x 3  x  x 3    x1 (0,5 ®iÓm) 15 x  11  3x  x  x   2x  x  x   x  x 3      x  x  1 2  x  x  3 x  1  x  3 x  1 x  21    1    1  x  32 2 1  x  5x  (0,5 ®iÓm)  (0,5 ®iÓm) 2 b) x = 21 21 (0,5 ®iÓm) =  x    24  17 A    x 3  13 2 A c) XÐt hiÖu: (0,75 ®iÓm) 2  x  15 x  x   17 x     x 3 3 x 3 x 3       x 3 Ta cã:  17 x ≤ vµ > 0, x ≥ 0; x ≠  17 x 2  0  A  0  A  3 x 3   (0,75 ®iÓm) Bµi 2: (3 ®iÓm) 1      (ab  ac  bc)  2abc a  b  c  a) Tõ Do a, b, c d¬ng, ¸p dông B§T C«-si ta cã: ab  ac  bc 3 a b 2c 2 2 2   a b c  2abc  2abc  a b c   §Æt (0,5 ®iÓm) a b 2c = t >  abc = (0,5 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (*) t t t (*)  2t t  3t    ( t  1) (2 t  1)   t   (do ( t  1) > 0, t > 0) 1  t   abc  b) Víi ®iÒu kiÖn x 1, y 4 ta cã: (0,75 ®iÓm) y x  y M= x (0,25 ®iÓm) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm và x - 1, ta có: 1 x  x x 1 x   1 x  1     2 x (v× x 1 ) (0,25 ®iÓm) Chøng minh t¬ng tù ta cã: 1  y  y  y  1 y   4 y  4    y (v× y 4 ) (0,25 ®iÓm) 2 y 1 x     x y 4 M= (0,25 ®iÓm) VËy Max M =  x = 2, y = Bµi (3 ®iÓm) a) Víi x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0 Tõ gt ta cã: (0,5 ®iÓm) x  yz y  xz  x   yz  y   xz    x  yz   y  xyz   y  xz   x  xyz   x y  x yz  y z  xy z  xy  xy3z  x z  x yz 0 (0,25 ®iÓm)   x y  xy2    x yz  xy3z    x z  y z    x yz  xy 2z  0  xy  x  y   xyz  x  y   z  x  y   xyz  x  y  0   x  y   xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz  0  xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz 0 (v× x y  x  y 0 )  xy  xz  yz xyz  x  y   xyz   xy  xz  yz xyz  x  y   xyz  xyz xyz (v× xyz 0 ) (0,25 ®iÓm) 1   x  y  z x y z 2 (0,25 ®iÓm) 1   1     x     x     x    x    x   x x  x  x   b)  (2) Điều kiện xác định: x 0 (2) (0,75 ®iÓm) 1       8 x    4 x     x2    x x    x    (0,25 ®iÓm) 1   x      x   x    (0,25 ®iÓm) 1  2     x     x    x     x   16 x x     x 0 (lo¹i) hoÆc x  (TM§K) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x  (0,75 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) Bµi (3 ®iÓm)  Gọi số đấu thủ đội A và đội B lần lợt là x và y (x, y  Z ; x ≥ 5) (0,5 ®iÓm) Tổng số ván cờ đã đấu là xy (ván cờ) Theo đề bài ta có phơng trình: xy = x2 + 2y (0,75 ®iÓm) 2 x x  44  x   x x  y(x-2) = x2  y = x  (0,75 ®iÓm) §Ó x, y nguyªn d¬ng th× (x  2) mµ x – > (do x > 5) nªn x – =  x = 4 6   9  x  Khi đó y (TM§K) Vậy đội A có ngời, đội B có ngời x   Bµi (6 ®iÓm) Vẽ hình đúng đến phần (0,75 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) 1.a) EDC FBC (g.c.g)  CE CF (1 ®iÓm)  b) ECF c©n t¹i C  CM lµ ph©n gi¸c C     ECM 45o  ECB  BCM 45o o o    Mµ ACB 45  ACE  ECB 45    ACE BCM (1 ®iÓm) EF c) AEF vu«ng t¹i A cã AM lµ trung tuyÕn EF  CM  CEF vu«ng t¹i C cã CM lµ trung tuyÕn  AM CM  M thuộc đờng trung trực đoạn thẳng AC hay M thuộc BD cố định 2.a) Cã BN = x  AN = a – x 1 CD AE  CE 2 SACFE = SACE + SCEF = XÐt ADC cã AE//BC AE AN BC.AN a(a  x)    AE   BC BN BN x (Hệ định lí Ta-lét)  AM  (1 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm)  90o  CE CD2  DE a   a  a(a  x)  a  a D   x x2   EDC cã a (a  x) a a a (x  a)   2 2x 2x 2x  SACFE = a (x  a)  3a  6x  ax  a 0 2x b) SACFE = 3.SABCD  (2x  a)(3x  a) 0 (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) a  x  Do x > 0; a >  3x + a >  2x  a 0 N lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB (0,5 ®iÓm) Vậy để ACFE có diện tích gấp lần diện tích hình vuông ABCD thì điểm N là trung ®iÓm c¹nh AB (0,25 ®iÓm)