Tính giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 4: 4điểm Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn 0;R lấy điểm M.. Chứng minh tam giác AMB đều.[r]
(1)PHÒNG GD - ĐT CHÂU THÀNH Trường THCS Long Hòa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG - NĂM HỌC: 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN - KHỐI Thời gian: 120 phút (không kể thời gian chép đề) Bài 1: (5 điểm) x x 3x + x +3 x -3 x Cho biểu thức : P = a Tìm điều kiện xác định P b Rút gọn P c Tính giá trị x để P = Bài 2: ( điểm) Giải các phương trình sau: a x + + x -1 = 2 b x + x - 3x + = 3x + Bài 3: ( điểm) A= x - 6x + 17 Tính giá trị lớn biểu thức Bài 4: (4điểm) Trên tiếp tuyến điểm A đường tròn (0;R) lấy điểm M Gọi điểm B đường tròn (O;R) cho MB = MA Chứng minh : MB là tiếp tuyến đường tròn (O;R) Cho OM = 2R Chứng minh tam giác AMB Tính độ dài các cạnh và diện tích tam giác AMB theo R Vẽ đường kính BE (O), chứng minh :AE//OM Bài 5: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH 1 = + 2 Chứng minh hệ thức AH AB AC HẾT (2) PHÒNG GD - ĐT CHÂU THÀNH Trường THCS Long Hòa ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC: 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN - KHỐI Bài ĐÁP ÁN a x 0 Điều kiện : x 9 x b P= x x 1đ 2 x x 3 x 3x x x x 3 = x 1 c P = THANG ĐIỂM 1 x 3 x 9 x 36 1+1 a x + + x -1 = x 0 x x 1 x 1 Đk: x 0 Ta thấy hai vế phương trình không âm nên bình phương vế pt ta : x + + x -1 = 22 0,5 0,5 0,5 ( x 3)( x 1) 1 x 2 Điều Kiện : x 1 ta có : x x 1 x 1x x 0 x = (Nhận ) 0,5 0,5 Vậy pt có nghiệm là x =1 2 b x + x - 3x + = 3x + (1) x 3x 12 x 3x 0 (2) Đặt = t (t 0) 0,5 0,5 (2) t + t - 12 = = 49 > = Vậy phương trình có hai nghiệm: t1 = 3; t2 = - Vì t = 3x + = 0,5 0.25 0,25 (3) x2 - 3x - = 0,5 Vậy nghiệm phương trình là x = -1; + a Tính giá trị lớn biểu thức A= x - 6x + 17 2 Để A lớn x - 6x + 17 nhỏ 2 x 3 Ta có : x - 6x + 17 = x - 6x + + = x 3 8 Mà Nên : Max A = x = 1 0,5 0,5 0,5 a CM: MB là tt (0) Xét AOM và BOM Có : MA=MB OA=OB OM: Cạnh chung AOM BOM (Cạnh – cạnh – cạnh ) 0,25 MAO MBO (1) Mặt khác: MA là tiếp tuyến (O) Suy ra: MAO 90 (2) Từ (1) và (2) suy : MBO 90 B AB B O Ta có MBO 90 MB là tiếp tuyến (O) 0,25 0,5 b Chứng minh tam giác ABM Gọi H là giao điểm AB và MO Xét tam giác AOM vuông A ta có : 0,25 (4) OA R OM R OMA 300 Sin OMA = 0 Suy : AMB 2.BMO 2.30 60 (3) Xét tam giác ABM có MA =MB (gt) nên ABM là tam giác cân (4) Từ (3) và (4) ABM Tính dt tam giác ABM Áp dụng pytago vào OAM ta có MA MO OA2 R = MB = AB R AH Suy : 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,25 Áp dụng pytago vào tam giác MHA ta R MH = 3.R S ABM MH AB Chứng minh :AE//OM: Tam giác ABE nội tiếp có BE là đường kính nên BA AE (5) Mặt khác MH AB (6) Từ (5) và (6) suy AE//MH hay AE//OM 0,25 0,25 0,25 0,5 Tam giác ABC vuông A, AH là đường cao : AB AC AB AC AH BC (1) AH = BC 2 Mặt khác : BC AB AC (2) Từ (1) và (2) ta : AB AC AB AC BC AB AC AB AC AB AC Suy : AH AH 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) 1 2 AH AB AC 0,5 (6)