Mặt khác, cũng theo trên ta có tam giác BEC vuông ở E và EI là đường cao nên áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:.. Từ GT và từ các CM trên ta dễ chứng minh[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨ QUANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP - NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 23 / 10 / 2012 Bài Rút gọn các biểu thức sau: −√5 1 1 1 1 A= √ B= 1+ + + 1+ + + 1+ + + + 1+ + 2 −√5 3 4 2011 2012 C= (x − 1) √ 4+ x + x |1 − x 2| √ √ √ √ Bài a) Cho x, y, z là ba số khác không thỏa mãn điều kiện: x + y − z y+ z − x z+ x − y = = Tính giá trị biểu thức z x y y z x A=(1+ )(1+ )(1+ ) x y z b) Chứng minh a, b, c là ba số thỏa mãn: a+b +c=2012 và 1 1 + + = thì ba số a, b, c phải có số 2012 a b c 2012 Bài Giải phương trình: √ x −3+ √ − x=x −8 x +18 Bài Cho tam giác ABC cân A có ∠ BAC=1200 Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE= AB Gọi K là trung điểm AC, gọi I là giao điểm BC với EK Chứng minh rằng: a) Tam giác BEC là tam giác vuông b) IC2=IE IK và 1 = 2+ EI EB EC Gọi T là điểm đối xứng với C qua E và F là giao điểm CA với TB Chứng minh rằng: EF // BC và bốn điểm B, C, E , F cách điểm Tìm vị trí điểm cách bốn điểm B, C, E, F nói trên Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= √ x − x +8+ √ x − x+ 18 Hết _ Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN (2) Câu Điểm HD giải Bài √5 −1 ¿ 6.0 2.0 ¿ ¿ √¿ − 2√ A √2= √ =¿ − √5 Trước hết ta chứng minh với a, b, c là các số nguyên khác thỏa mãn a+b +c=0 (*)thì ta có √ 1 1 1 + + = + + a b2 c a b c | | (**) 0.50 Quả vậy, bình phương hai vế thu gọn ta (**)⇔ 1 1 + + =0 ⇔ (a+b+ c)=0 ab bc ca abc đúng vì suy từ GT Viết lại biểu thức B ta có: −3 ¿2 ¿ − ¿2 ¿ −5 ¿2 ¿ −2012 ¿2 ¿ ¿ 1 + + 2 2011 ¿ Ta thấy B hoàn toàn thỏa mãn các điều kiện (*) nên áp dụng (**) vào ¿ 1 + + 12 ¿ ¿ 1 + + 12 32 ¿ ¿ 1 + + 12 22 ¿ B=√ ¿ 0.50 0.25 0.25 0.50 bài toán ta có: 1 1 1 1 1 B=1+ − + 1+ − +1+ − + .+ 1+ − +1+ − 3 4 2010 2011 2011 2012 1005 Thực tính hợp lý và đến kết chính xác B=2010 2012 ĐK: x ≠ ±1 x+ 1¿ ¿ ¿ Khi đó ( x − 1) √ ¿ C=¿ 2( x −1) =2 * Nếu x> thì |x − 1|=x −1 nên C= x −1 0.25 0.50 0.50 0.50 (3) 2( x −1) =−2 1− x x> thì C=2 * Nếu −1 ≠ x <1 thì |x − 1|=1 − x nên C= Vậy −1 ≠ x <1 thì C=−2 , với 0.25 4.0 Bài x+y −z y+ z − x z+ x − y x + y + z y+ z + x z+ x + y + 2= + 2= +2 ⇔ = = z x y z x y x+ y y + z z + x − z − x − y )( )( )= =−1 x+ y+ z=0 thì đó A=( x y z x y z x+ y+ z ≠ thì từ (*) suy x= y=z ⇒ A=23=8 Từ GT ta có: a * Nếu * Nếu Vậy A=− x+ y+ z=0 và A=8 x+ y+ z ≠ (*) 0.75 0.50 0.50 0.25 Từ các GT đã cho thay vào ta có: 1 1 + + = ⇒( a+b+c )(ab+ bc+ ca)=abc a b c a+b+ c Khai triển, chuyển vế và thực phân tích đa thức thành nhân tử ta có: b (a+ b)(b+c )(c +a)=0 Từ (**) suy ĐPCM ⇔ a+b=0 ⇒ c=2012 ¿ b+c=0 ⇒ a=2012 ¿ (**) c +a=0 ⇒ b=2012 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0.75 1.00 0.25 Bài Tìm đúng ĐK: ≤ x ≤5 Bình phương trái ta được: 2+2 √ (x −3)(5 − x)≤ 2+ x − 3+5 − x=4 ⇒ VT ≤ x − ¿ 2+2 ≥ Ta lại có VP=¿ Do đó, giá trị x là nghiệm PT đã cho và VT =VP=2 ⇔ x − 3=5 − x x − 4=0 ⇔ ¿ x=8 x=4 ⇔ x=4( tmđk) ¿{ 2.0 0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 0.25 Vậy PT đã cho có nghiệm là: x=4 Bài 6.0 T 0.75 (4) ¿ a) Từ GT ta có KA=KC=AE= AB ∠ EAK=60 ¿{ ¿ 0.25 nên Δ AEK đều, từ đó ta có ∠ EKC=120 suy ∠ KEC =∠KCE=300 Ta có 0.25 E F B ∠ BEC =∠AEC =∠AEK +∠ KEC ¿ 600 +30 0=900 A K M C 0.50 0.25 I Do tam giác BEC là tam giác vuông (ĐPCM) b) Từ CM trên ta có ∠ CEI=∠ ECA =∠ ACB=300 ⇒∠ EIC=90 1.00 Mặt khác, theo trên ta có tam giác BEC vuông E và EI là đường cao nên áp dụng hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông ta có: 1.00 Từ GT và từ các CM trên ta dễ chứng minh tam giác TBC và A vừa là trọng tâm, vừa là trực tâm Khi đó EF là đường trung bình nên EF//BC Các tam giác EBC và FBC vuông E và F Gọi M là giao điểm TA và BC thì M là trung điểm BC Khi đó ta có: MB=MC=ME=MF= BC Do điểm B, C, E, F cách trung điểm M 1.00 IK IC Do đó Δ IKC ~ Δ ICE⇒ IC =IE ⇒IC =IE IK 1 = 2+ 2 EI EB EC 1.00 cạnh BC tam giác ABC Bài 2.0 Trước hết với số thực a, b, c ta có: b +d ¿2 a+c ¿2 +¿ ¿ 2 √ a +b +√ c +d ≥ √ ¿ 0.25 (*) Thật vậy, bình phương hai vế (*) rút gọn ta được: (∗)⇔ √ ( a2+ b2 )( c 2+ d 2)≥2(ac+ bd) (**) * Nếu ac+ bd <0 (**) hiển nhiên đúng * Nếu ac+ bd ≥ , đó ad − bc ¿2 ≥ ⇔ a2 d +b c − adbc ≥ ⇔¿ ac+ bd ¿2 (**)⇔ (a 2+ b2)( c2 + d2 )≥ ¿ hiển nhiên đúng Dấu “=” xẩy và ad=bc Viết lại biểu thức A ta có: x − 2¿ 2+ 22 ¿ − x ¿ 2+ 32 ¿ ¿ A= √¿ 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (5) Ở đây a=x −2 ; b=2 ; c=3 − x ; d=3 , đó: ac+ bd ≥ ⇔(3 − x )( x −2)+6 ≥ ⇔ − x2 +5 x ≥ ⇔ x − x ≤ ⇔0 ≤ x ≤ (***) Áp dụng BĐT (*) ta có: 2+3 ¿ ¿ x − 2+ 3− x ¿ +¿ ¿ A ≥ √¿ A= √ 26 ⇔ 3( x − 2)=2(3 − x) ⇔5 x=12 ⇔ x= 12 tm(***) 12 Vậy GTNN A là √ 26 x= Lưu ý: HS giải cách khác mà đúng và không vi phạm mặt kiến thức thì cho điểm tối đa (6)