Hình vẽ: aDựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a tại và đi qua A: -Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AT.. -Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a tại T.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP KỲ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN CẤP THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2013 - 2014 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) Chứng minh rằng: 77n +2 −77 n chia hết cho 76 và 78 (với số nguyên n) Bài 2: (2,5điểm) Tìm các giá trị nguyên x,để phân thức sau có giá trị là số nguyên: A ¿ 2 x − x + x −8 x −3 Bài 3: (3,5điểm) Cho biểu thức : x −3 √ x √ x −3 √ x −2 9−x + − P ¿ − x −9 : − √ x 3+ √ x x + √ x − a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị x để P = ][ [ ] Bài 4: (3điểm) Hãy xét tính biến thiên(đồng biến và nghịch biến) hàm số bậc nhất: m y ¿ m+1 x −2 ( m −1 ; m≠ ) Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC (góc B là góc tù),và ba đường trung tuyến AD =36 cm, BE=15cm, CF=39cm.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,và K là trung điểm GC a) Chứng minh: AD DK b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 6: (5điểm) Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b H Trên đường thẳng a lấy điểm T,trên đường thẳng b lấy điểm A a) Hãy dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a T và qua A b)Vẽ đường kính AC.Tia CT cắt đường thẳng b B.Chứng minh tam giác ABC cân c) Cho AH = h, HT = x Tính bán kính R đường tròn theo h và x HẾT (2) PHÒNG GD & ĐT TÂN HIỆP Đề chính thức KÌ THI CHỌN HS GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học: 2013-2014 Đáp án Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kề thời gian giao đề) Bài Thang điểm Nội dung Chứng minh: chia hết cho 76 và 78 (với số nguyên n) ¿ 77n 77 −77 n=77 n ( 77 −1 ) ¿ 77n ( 77 −1 ) (77 +1 ) ¿ 77n 76.78 chia hết cho 76 và 78 Vậy 77n +2 −77 n chia hết cho 76 và 78 (với số nguyên n) n +2 n 77 −77 77n +2 −77 n 2 x − x2 + x −8 x −3 A ¿ ¿ x +1 − x −3 Để A có giá trị là số nguyên thì x −3 phải có giá trị là số nguyên ⇒ x-3 là các ước hay: Vậy: x − 3=−1 ⇔ x =2 x − 3=1 ⇔ x=4 x − 3=5 ⇔ x=8 x − 3=−5 ⇔ x=−2 x=−2 ; ; ; thì A có giá trị là số nguyên a) Rút gọn biểu thức P: ĐK: x ≥ , x ≠ , x ≠ (*) x −3 √ x √ x −3 √ x −2 9−x + − P ¿ − x −9 : − √ x 3+ √ x x + √ x − √ x − ¿ − 9+ x ][ [ ¿ (3 − √ x)(3+ √ x )+ ¿ ¿ 3√ x−9 ¿ :¿ x−9 √ x −2 ¿2 ¿ ¿ ¿ 3( √ x − 3) ¿ :¿ (√ x − 3)( √ x +3) [ ] [ ¿ [ ] √ x +3 ][ √ x +3 = √ x − √ x −2 ] 1 0,5 0,5 ] 0,5 0,5 (3) b) Tìm các giá trị x để P = =1 ⇔ √ x −2=3 ⇔ √ x=5 ⇔ x=25 (Thỏa mãn đk (*)) P ¿ √x − Xét tính biến thiên(đồng biến và nghịch biến) hàm số bậc m nhất: y ¿ m+1 x −2 ( m Hàm số xác định với m −1 ; m≠ ) ¿ x∈ R ¿ Xét dấu m+1 : Có thể lập bảng: m -1 m+1 + m + | - 0,5 m+1 m y ¿ m+1 x −2 có dạng y ¿ ax − Ta có: y 1=ax − , y 2=ax − ¿ x2 x1 ⇒ x2 Cho ¿ x ¿ y − y 1=a( x2 − x 1) -Nếu a thì hàm số đồng biến ¿ -Nếu a < thì ¿ y − y =a(x − x ) hàm số nghịch biến 2 ¿ + + + Vậy hàm số đồng biến m < -1 và m > và hàm số nghịch biến -1< m < 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (4) Hình vẽ: a)Chứng minh AD 0,5 DK: 1 2 Ta có DG= AD= ×36=12(cm); BG= BE= ×15=10(cm) ; 2 GC= CF= ×39=26(cm) 3 0,5 DK là đường trung bình tam giác BGC nên: 1 1 DK= BG= ×10=5(cm) và GK= GC= × 26=13 (cm) 2 2 2 2 Tam giác DGK có DK + DG =5 + 12 =13 =GK ⇒ ΔDGK vuông D, hay AD DK b) Tính diện tích tam giác ABC: BG // DK, AD DK ⇒ AD BG 10 ×36 S ABC=S ABD + S ADC ; S ABD = BG × AD= =180(cm ) 2 S ABD =S ADC ⇒ S ABC=2 S ABD =2 ×180=360 (cm ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Hình vẽ: a)Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a và qua A: -Dựng đường trung trực đoạn thẳng AT -Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a T -Giao điểm O hai đường thẳng trên là tâm đường tròn 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) (O;OA) hay đường tròn (O;R) là đường tròn cần dựng b) Chứng minh tam giác ABC cân: Δ ATC có trung tuyến TO nửa AC nên Δ ATC vuông T hay AT BC OT a, AB a ⇒ OT// AB Mặt khác OA=OC ⇒ TB=TC Δ ABC có AT vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên Δ ABC cân A c) Tính bán kính R đường tròn theo h và x: Δ AHT vuông H nên: AT 2=HT 2+ AH 2=x 2+ h2 Δ ATB vuông T và TH AB nên AT 2=AB × AH Ta có AB=AC=2R ⇒ x 2+ h2 = R.h ⇒ R= x +h 2h 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 *Lưu ý: Học sinh có thể giải theo cách khác,thang điểm tính tương ứng theo phần (6)