Bộ 22 (De - dap an) môn Toán thi vào lớp 10

3 2 111 1 F H A Vận tốc ngời đi xe gắn máy là: x + 15km/h Thời gan ngời đi xe đạp đã đi là: 60  chúng có cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp  bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AQB bằng R b

ĐỀ SỐ 1.

SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT

QUẢNG TRỊ MễN: TOÁN

Thời gian làm bài 120 phỳt ( khụng kể giao đề )

Cho ∆MNK có các góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn (O, R) Các đờng cao

NE, KF cắt nhau tại H và lần lợt cắt đờng tròn (O, R) tại P, Q

3 2 11

Gäi sè d·y ghÕ cã lóc ®Çu lµ x (d·y) §K: x nguyªn d¬ng vµ x > 5

Th× mçi d·y ph¶i xÕp 90

x ngêi

Sau khi bít 5 d·y th× sè d·y ghÕ lµ x - 5 d·y

Mçi d·y ph¶i xÕp 90

a,Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

b, Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố định khi

m thay đổi Tìm điểm cố định đó?

c,Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua giao điểm của hai đờng thẳng3x - 2y = -9 và y = 1 - 2x

Câu 3 ( 1 điểm )

Hai tỉnh A, B cách nhau 60 km Có một xe đạp đi từ A đến B Khi xe đạp bắt đầu khởi hành thì có một xe máy cách A 40 km đi đến A rồi trở về B ngay Tìm vận tốc của mỗi xe biết xe gắn máy về B trớc xe đạp 40 phút

và vận tốc xe gắn máy hơn vận tốc xe đạp là 15km/h

Câu 4 ( 3 điểm )

Cho ∆ABC có các góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn (O, R) Các đờng cao

BE, CF cắt nhau tại H và lần lợt cắt đờng tròn (O, R) tại P, Q

3 2 11

1 1

F H

A

Vận tốc ngời đi xe gắn máy là: x + 15km/h

Thời gan ngời đi xe đạp đã đi là: 60

 chúng có cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp

 bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AQB bằng R

(bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC )

 bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆AHB bằng R

Chứng minh tơng tự có bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆BHC; ∆AHC bằng RVậy các tam giác AHB, BHC, AHC có bán kính đờng tròn ngoại tiếp bằng nhau

Chứng minh rằng n nguyên dương, đều có:

chia hết cho 91

Bài 3: ( 2 điểm )

a) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của:

b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số nguyên không âm:

Bài 4: ( 2 điểm )

a) Giải phương trình khi a=1

b) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm Khi đó tồn tại hay

không giá trị lớn nhất của:

Bài 5: ( 3 điểm )

Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường tròn đi qua B,C Kẻ

từ A các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm) Gọi I là trungđiểm của BC, N là trung điểm của EF

a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi

b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’ Chứng minh EE’ // AB

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đườngthẳng cố định khi (O) thay đổi

Phương trình đã cho có thể biến đổi thành:

a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành:

b) Mỗi phương trình , có nhiều nhất là 2

nghiệm Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải

có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0 Như vậy, để phương trình ban đầu

có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

*Với phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, )

b) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

Từ (1), (2), (3) suy ra được: Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu

góc đồng vị của hai đường thẳng song song)

c) Xét và ta có:

b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trícủa M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.

A=0, A không phụ thuộc vào x,y ĐPCM.

Như kết quả ở trường hợp ban đầu, ta được A=0, không phụ thuộc vào x, y ĐPCM

b) Ta có

Vì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên

chia hết cho 2 và chia hết cho 6 Hay nói cách khác chia hết

cho 6 Từ đó dễ dàng suy ra chia hết cho 6 ĐPCM

Như thế:

Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử:

Ta cố định giá trị hai biến a, c và tìm giá trị của b: sao cho A đạt giá trị lớn nhất

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:

Điều này hiển nhiên đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trở lại bài toán, ta có:

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi

b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trícủa M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Xét tam giác AMN có NB và AO là hai đường cao, giao nhau tại B Do đó

MB cũng là đường cao của tam giác Từ đó suy ra AN vuông góc với BM ĐPCM

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BN với AM, AM với BN

Dễ dàng nhận thấy:

(góc, góc)Suy ra:

(góc, góc)

Suy ra:

(góc, góc)Suy ra:

Từ đó, ta có:

Hay nói cách khác OM.ON không đổi

Gọi I, J là giao điểm của đường tròn đường kính MN với trục Ox

Xét đường tròn đường kính MN có MN là đường kính, IJ là dây cung, MN vuông góc với IJ nên MN đi qua trung điểm của IJ Hay nói cách khác OI=OJ

Ta có:

(góc, góc)Suy ra:

Hay nói cách khác:

Suy ra: I( , J(

I, J là các điểm cố định mà đường tròn

đường kính MN đi qua ĐPCM

b) Gọi K là giao điểm còn lại của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN với trục Ox

Suy ra K(1;0) là điểm đối xứng của B qua O,là điểm cố định Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua A, K nên tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác

AMN nằm trên đường trung trực (d) ( ) của AK Ta chứng minh quỹ tích

của G chính là đường thẳng (d) Thật vậy:

Gọi G’ là một điểm trên (d) , kẻ đường tròn (G’, G’A).Đường tròn này cắt trục

tung tại hai điểm M’ và N’.Gọi P’, Q’ lần lượt là giao điểm của M’B với N’A, M’A với N’B Ta cần phải chứng minh M’A vuông góc với BN’, hay là M’Q’ vuông góc với BN’.Thật vậy:

Vì K là điểm đối xứng của B qua O nên

Suy ra: N’Q’ vuông góc AM’ Suy ra ĐPCM.

Vậy quỹ tích tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là đường thẳng

Bài 3: ( 1,5 điểm )

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố, a là số dương sao cho khôngphải là số nguyên tố thì phương trình: không có nghiệm hữutỉ

Bài 4: ( 3,5 điểm )

Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho , Đườngthẳng qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D.Dựng đường tròn tâm J bán kính tiếp xúc với CA, CD và tiếp xúc với nửađường tròn đường kính AB Dựng đường tròn tâm K bán kính tiếp xúc với

CB, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB, Gọi r là bán kínhđường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABD

a)Tính , theo a,b

Điều này hiển nhiên đúng Suy ra các căn thức đều có nghĩa.

Trở lại bài toán đã cho, ta có:

Lại có

ĐPCM

Bài 2: a) Giải phương trình:

b) Cho a, b thỏa mãn: và Tính giá trị lớn nhất

Ta chọn khi đó

Vì nên:

Từ đó suy ra (a;b) thỏa mãn các bất đẳng thức đã cho và A=M với M dương, lớntùy ý Suy ra A không có giá trị lớn nhất

Bài 3: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố, a là số dương sao cho

không phải là số nguyên tố thì phương trình: không cónghiệm hữu tỉ

Lời giải:

Giả sử ngược lại phương trình có nghiệm hữu tỉ

Ta có

Suy ra a là số chính phương và do đó là số nguyên

Từ đó suy ra phương trình là phương trình có các hệ sốnguyên và có nghiệm hữu tỉ, nên các nghiệm đó đều phải là nghiệm nguyên

Ta có:

Điều này vô lý vì theo đề bài không phải là số nguyên tố

Từ đó suy ra giả thiết phương trình có nghiệm hữu tỉ là sai.Suy ra ĐPCM

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho , .Đường thẳng qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại

D Dựng đường tròn tâm J bán kính tiếp xúc với CA, CD và tiếp xúc với nửađường tròn đường kính AB Dựng đường tròn tâm K bán kính tiếp xúc với

CB, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB, Gọi r là bán kínhđường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABD

a)Tính , theo a,b

b)Tìm đẳng thức liên hệ giữa

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử Gọi O là trung điểm của AB Khi đóđường tròn đường kính AB có tâm là O và

b) Xét tam giác vuông DAB, ta có:

Gọi X, Y, Z lần lượt là tiếp điểm của (I) với DA, DB, AB

Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y có ít nhất một số chia hết cho 3.b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12

Bài 5: ( 3 điểm )

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn M làmột điểm di động trên (d) Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn( P và Q là các tiếp điểm) N là giao điểm của PQ với OM

a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi

b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQthuộc một đường thẳng cố định.

Bài 2:

a) Giải phương trình theo tham số m: (1)

Lời giải:

Điều kiện:

Do đó, điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm là:

Với ta chứng minh phương trình đã cho có nghiệm, hơn nữa đó là

nghiệm duy nhất

Thật vậy, với , xét phương trình (2)

Ta có:

Ta chứng minh cũng là nghiệm của phương trình (1)

Thật vậy, vì là nghiệm của phương trình (2), cho nên

Suy ra:

Hay là là nghiệm của phương trình (1)

Bây giờ ta chứng minh là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Giả sử ngoài phương trình (1) còn có 1 nghiệm Xét các trường hợp:

Suy ra:

Điều này vô lý với (3)

Lý luận tương tự như trường hợp a), ta cũng suy ra điều vô lý

Kết luận:

-Với , phương trình đã cho vô nghiệm

-Với phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Đẳng thức (3) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu

Suy ra (2) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu

Trở lại bài toán ban đầu:

Với , thay vào (III) ta được

trình (1) ban đầu

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Bài 3:

Tìm số nguyên tố p để: và đều là các số nguyên tố.

Nếu có chữ số tận cùng là 9 thì sẽ tận cùng bằng 5 và như thế sẽ chia hết cho 5 cho nên không thể là số nguyên tố

Kết luận, chỉ có thỏa mãn yêu cầu bài toán!

Bài 4:

Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y có ít nhất một số chia hết cho 3.b)Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12

Lời giải:

a) Giả sử x và y đều không chia hết cho 3 Khi đó và chia 3 dư 1

Và như vậy, tổng chia 3 dư 2 Hay nói cách khác sẽ chia 3 dư 2.Điều này vô lý!

b) Trong x, y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 2 Thật vậy, giả sử x, y đều

là số lẻ, khi đó , sẽ có dạng 4k+1, suy ra tổng sẽ có dạng 4k+2.Hay nói cách khác chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 Điều này vôlý!

Vậy trong x, y có 1 số chia hết cho 2 Ta giả sử số đó là x

Nếu y cũng chia hết cho 2 Suy ra tích xy chia hết cho 4 Kết hợp với kếtquả câu a) ta suy ra xy chia hết cho 12 ĐPCM

Nếu y không chia hết cho 2, nghĩa là y lẻ Khi đó x phải chia hết cho 4.Thật vậy

Giả sử ngược lại x chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 Khi đó x códạng 4k+2 Suy ra sẽ có dạng 8t+4

Mặt khác y lẻ, y =2r+1 Khi đó Suy ra có dạng8t+1 Lý luận tương tự cũng có dạng 8t+1 Và như vậy vế phải của biểu thức

đã cho chia 8 dư 1 còn vế trái chia 8 dư 5 Điều này vô lý!

Vậy x chia hết cho 4, suy ra xy chia hết cho 4 Kết hợp với kết quả câu a)

ta cũng suy ra được xy chia hết cho 12 Và ta có ĐPCM

Bài 5:

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn M làmột điểm di động trên (d) Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn( P và Q là các tiếp điểm) N là giao điểm của PQ với OM.

a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi

b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQthuộc một đường thẳng cố định

c) Gọi L là giao điểm của PQ với OK

Ta có:

(góc, góc)Suy ra:

Suy ra L là điểm cố định và nên N nằm trên đường tròn đườngkính ON

Kẻ đường thẳng (d’) qua O song song với (d) Vì nên điểm n nằm

ở nửa mặt phẳng chứa K bờ là (d’).

Ta chứng minh quỹ tích của điểm N là nửa đường tròn đường kính OL có bờ là

(d’) (Không tính 2 giao điểm) Thật vậy:

Gọi N’ là điểm nằm trên nửa đường tròn đường kính OL đã cho, gọi M’ là giao

điểm của ON’ với (d) Kẻ các tiếp tuyến M’P’, M’Q’ Ta chứng minh 3 điểm P’,

N’, Q’ thẳng hàng Thật vậy, gọi N’’ là giao điểm của OM’ với P’Q’ Theo kếtquả đã biết, ta suy ra được N’’ nằm trên đường tròn đường kính OL Nghĩa là

N’’ là giao điểm của OM’ với đường tròn đường kính OL Suy ra N’’ trùng vớiN’ Suy ra P’,N’, Q’ thẳng hàng Suy ra ĐPCM.

Vậy quỹ tích điểm N là nửa đường tròn đường kính OL có bờ là (d’), nửa mặt phẳng này chứa (d)

a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,

Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và không chia hết cho 5

b)Tìm bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích củachúng bằng tổng của chúng.

Bài 5: ( 1,5 điểm )

Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với cáccạnh AC, AB Gọi H là giao điểm của BI với DE Chứng minh rằng tam giácBHC là tam giác vuông

ĐÁP ÁN

ĐỀ SỐ 7.

Bài 1: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m; n) sao cho 2m + 1 chia hết

cho n và 2n +1 chia hết cho m

b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chiahết cho 9

c) Có tồn tại hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trìnhsau:

Lời giải:

a)

–Xét trường hợp m n

Ta có 0< 2n + 1 2m +1 3m

Mặt khác 2n + 1 chia hết cho m nên xảy ra các trường hợp:

*) 2n + 1 = 3m Vì m n nên chỉ xảy ra trường hợp m = n = 1

Với (x; y; z) = (0; 6; 0) có 1 số A thỏa mãn bài toán

Với (x; y; z) = (2; 3; 1) có số A thỏa mãn bài toán

Với (x; y; z) = (4; 0; 2) có số A thỏa mãn bài toán

Với (x; y; z) = (1; 0; 5) có số A thỏa mãn bài toán

Vậy có tất cả 1 + 60 + 15 + 6 = 82 số thỏa mãn bài toán

c) Ta giả sử tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình

Vì p, q là số nguyên tố nên p>0, q>0

Suy ra và đều có chữ số tận cùng là 5.

Suy ra vế trái (1) chia hết cho 10 (2)

Mặt khác vì q2 là số chính phương nên q2 không thể tận cùng bằng 7, và do đó

vế phải của (1) không thể chia hết cho 10 (3)

(2) và (3) suy ra điều vô lý

Vậy không tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn bài toán

Bài 2:

Cho x, y, z là các số dương và Chứng minh rằng:

Điều này đúng theo áp dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay nói cách khác:

Trở về bài toán đã cho,áp dụng bổ đề, ta có:

ĐPCMDấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 3:

Lời giải:

Dễ thấy (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm của phương trình đã cho

Ta sẽ chứng minh (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm duy nhất của phương trình (*).Thật vậy:

Giả sử tồn tại nghiệm thỏa mãn phương trình (*), ta có:

(1)Gọi k lớn nhất, sao cho: và và (2)

a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,

Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và không chia hết cho 5

b)Tìm bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích củachúng bằng tổng của chúng

Vì nên: Suy ra Hay là Suy ra

Mặt khác nên Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó Vậy bộ 3 số nguyên dương thỏa mãn bài toán là (1; 2; 3)

Bài 5:

Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với cáccạnh AC, AB Gọi H là giao điểm của BI với DE Chứng minh rằng tam giácBHC là tam giác vuông

Lời giải:

Gọi H’ là hình chiếu của C trên đường thẳng BI Ta sẽ chứng minh H trùng vớiH’ Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh 3 điểm E, D, H’ thẳng hàng.Gọi lần lượt là số đo 3 góc của tam giác ABC

Suy ra E, D, H’ là 3 điểm thẳng hàng Vậy H’ trùng với H

Suy ra hay tam giác BHC là tam giác vuông ĐPCM

b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ Chứng minh rằngtrong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tíchkhông lớn hơn

b) Kéo dài AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (khác A).Chứng minh rằng 2r ( r là bán kính đường tròn (I) )

Và:

(2)

Ta giải phương trình:

Vậy miền xác định của P là:

Với x thuộc miền xác định, từ (1) và (2) ta rút gọn được:

b) Với x thuộc miền xác định, ta tìm x sao cho P = 1

Ta có: P = 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy Pmin=19 và giá trị nhỏ nhất đạt được tại x = 2, y = 4

b) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ Chứng minh rằngtrong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có diện tíchkhông lớn hơn

Lời giải:

a) Chia hình vuông đã thành 4 hình vuông con như hình vẽ:

Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vuông con là và đường chéo là

Gieo 5 điểm đã cho vào hình vuông ban đầu, 5 điểm đó sẽ nằm trong 4 hìnhvuông con Theo nguyên tắc Derichle, tồn tại 2 điểm nằm trong cùng một hìnhvuông Và do đó khoảng cách giữa 2 điểm đó sẽ không lớn hơn đường chéo củahình vuông chứa nó, tức là không lớn hơn .ĐPCM

b) Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông con như hình vẽ:

Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vuông con là và diện tích là

Gieo 33 điểm đã cho vào hình vuông ban đầu, 33 điểm đó sẽ nằm trong 16 hìnhvuông con Theo nguyên tắc Derichle, tồn tại 3 điềm nằm trong cùng 1 hình

vuông con Khi đó diện tích của tam giác lấy 3 điểm đã cho làm đỉnh sẽ khônglớn hơn diện tích hình vuông con, tức là không lớn hơn .ĐPCM.

a) Vì AB’ và AC’ là các tiếp tuyến của (I), M là giao

điểm của AI với (I) nên M là điểm chính giữa cung B’C’ của (I)

Tương tự như vậy, N là điểm chính giữa cung A’C’ và P là

điểm chính giữa cung A’B’ của (I)

Xét tam giác A’B’C’ có (I) là đường tròn ngoại tiếp Vì M, N, P là điểm chínhgiữa các cung B’C’, C’A’, A’B’ nên A’M, B’N, C’P là các đường phân giác củatam giác Từ đó suy ra A’M, B’N, C’P đồng quy ĐPCM

b) Xét tam giác BDI Ta có:

Tìm k, m, n đôi 1 khác nhau, khác 0 để đa thức:

phân tích thành tích 2 đa thức với hệ số

nguyên

Bài 3: ( 1,5 điểm )