Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2005-2006 Trờng THPT Cầm Bá Thớc Môn: Toán (Đề dự bị) Thời gian: 150 phút . . câu 1:(4 điểm) Cho: A = 43x22x2 +++ + 43x22x2 ++ a) Tính A với x = 5 . b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất câu 2:(2 điểm) phân tích đa thức sau thành nhân tử : P(x) = -6x 4 + 11x 3 + 3x 2 - 11x + 3 câu 3:(2 điểm) Giải hệ : =++ =++ =++ 2czcyxc 2bzbyxb 2azayxa 2 2 2 với a,b,c đôi một khác nhau câu 4:(2 điểm) Giải phơng trình : 4x 2 + 28x + 23 + 3 7x7x 2 ++ = 2 câu 5:(2 điểm) Trong hệ trục toạ độ Đê-các vuông góc xoy cho A(o;a) , oa . Gọi d là đờng thẳng có phơng trình: y = -a . Hãy tìm quỹ tích các điểm M(x,y) sao cho khoảng cách từ M tới d bằng MA câu 6:(2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F = x(2004 + 2 x2006 ) , với - 2006 x 2006 câu 7:(4 điểm) Cho tam giác ABC có đờng cao AH . Gọi I,K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : a) MI = MK b) Bốn điểm I,H,M,K thuộc cùng đờng tròn. câu 8:(2 điểm) Tìm điểm M trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 + MA' 2 + MB' 2 + MC' 2 + MD' 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hết . Câu đáp án điểm từng ý điểm toàn câu Câu1: a) A = 43222 +++ xx + 43222 ++ xx = 2 )132( ++ x + 2 )132( + x = 132 ++ x + 132 + x với x = 5 suy ra : A = 1352 ++ + 1352 + = 2 352 + b)A= 132 ++ x + 132 + x 3x21132x ++++ = 2 dấu "="xảy ra 3x2 + 1 - 2 3 x -1 0,5 0,5 1 1,0 1,0 4 Câu2: P(x) =- 6x 4 + 11x 3 + 3x 2 11x + 3 = (x - 1)(-6x 3 + 5x 2 + 8x - 3) = (x - 1)(x + 1)(-6x 2 + 11x - 3) = (x 1)(x + 1)(2x - 3)(1-3x) 0,75 0,75 0,5 2 Câu 3 =++ =++ =++ )3(2 )2(2 )1(2 2 2 2 zcyxc zbyxb zayxa Lấy (1) trừ (2) ta đợc (a 2 b 2 )x + (a - b)y = 0 (a + b)x + y = 0 (4) (vì a b) Tơng tự lấy (2) trừ (3) ta đợc : (b+ c)x + y = 0 (5) (vì c b) Từ (4) và (5) với a c ta đựơc x = y = 0 , suy ra : z = 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0,0,2) 0,5 0,25 0,5 0,75 2 câu 4 Đặt u = 77 2 ++ xx (u 0) ta đợc pt: 4u 2 + 3u - 7 = 0 u=1 hoặc u=- 4 7 (loại) suy ra : x 2 + 7x + 7 = 1 x=-1 hoặc x= -6 0,25 o,25 0,5 1 2 câu 5 Ta có : MA 2 = x 2 + (y - a) 2 Khoảng cách từ M tới d bằng ay + Khoảng cách từ M tới d bằng MA x 2 + (y - a) 2 = (y + a) 2 y = a4 1 x 2 (vì a 0) vậy tập hợp các điểm M là parabol y = a4 1 x 2 0,25 0,25 0,25 0.5 0,25 2 câu6 Ta có: F = x (2004 + 2 2006 x ) = x ( ) 2 2006120042004 x + x )20062004)(12004( 2 x ++ (BĐT Bunhiacopxki) = 2 40102005 xx 2005 + 2 4010 22 xx = 2005 2005 (BDT Cauchy) Suy ra: GTNN bằng - 2005 2005 đạt đợc khi x= - 2005 0,75 0,75 2 GTLN bằng 2005 2005 đạt đợc khi x= 2005 0,5 câu7 Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AB,AC . ta có: IE = 2 1 AB = MF EM = 2 1 AC = FK nên IAM = MHK (c.g.c) suy ra MI = MK b) Ta sẽ chứng minh . Đặt = Ta có : = , = nên = 180 0 - 2 (1) Xét tam giác IEM có = 2 nên 180 0 - 2 = ta lại có (so le trong,AB song song với MF) (do IAM = MHK ) nên 180 0 - 2 = (2) Từ (1),(2)suy ra . do đó I,H,M,K thuộc cùng đờng tròn 0,25 0,5 0,5 0.5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 4 câu8 Ta có : MA + MC AC 0,5 2 MB + MD– ≥ BD– MC + MA– ≥ CA– MD + MB– ≥ DB– Suy ra : MA + MB+ MC + MD+ MA– + MB–+ MC– +MD– ≥ 4a (víi a lµ ®é dµi ®êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt) Ta cã: MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 + MA' 2 + MB' 2 + MC' 2 + MD' 2 ≥ 3 1 (MA + MB+ MC + MD+ MA– + MB–+ MC– +MD–) 2 ≥ 3 16 a 2 nh vËy GTNN cña MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 + MA' 2 + MB' 2 + MC' 2 + MD' 2 lµ 3 16 a 2 ®¹t ®îc khi M lµ t©m cña h×nh hép 0,5 0,5 0,5 . MA + MC AC 0,5 2 MB + MD– ≥ BD– MC + MA– ≥ CA– MD + MB– ≥ DB– Suy ra : MA + MB+ MC + MD+ MA– + MB–+ MC– +MD– ≥ 4a (víi a lµ ®é d i ®êng chÐo cña h×nh ch÷. Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2005-2006 Trờng THPT Cầm Bá Thớc Môn: Toán (Đề d bị) Thời gian: 150 phút .