Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.10

đề thi học sinh giỏi Toán 8 .10 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : (1đ) Phân tích thành nhân tử: a) 16a 4 b 6 - 24a 5 b 5 - 9a 6 b 4 b) 8m 3 + 36m 2 n + 54mn 2 + 27n 3 Bài 2: (3đ) a) Chứng minh đẳng thức: (x + y) 5 x 5 y 5 = 5xy(x + y)(x 2 + xy + y 2 ) b) Giả sử x, y, z là các số nguyên dơng, đôi một khác nhau, chứng minh rằng: Biểu thức A = (x y) 5 + (y z) 5 + (z x) 5 Chia hết cho B = 5(x - y)(y - z)(z - x) Bài 3: (3đ) Chứng minh rằng với m l số nguyên lẻ thì: a) (m 3 + 3m 2 - 3m -3) 48 b) (7.5 2n +12.6 n ) 19; Với n l số nguyên d ơng. Bài 4: (3đ) Cho tứ giác lồi ABCD. Kéo dài hai cạnh AD và BC về cùng một phía gặp nhau tại E. Kéo dài hai cạnh AB và DC về cùng một phía gặp nhau tại M. Kẻ hai đ- ờng phân giác của hai góc CED và góc BMC gặp nhau tại K. Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác lồi ABCD. ----------------------------Hết đề thi------------------------------- Đáp án đề Toán 8 . 10 Bài 1 : (1,5đ) a) 16a 4 b 6 - 24a 5 b 5 - 9a 6 b 4 = a 4 b 4 (16b 2 + 24ab + 9a 2 ) 0,5đ = a 4 b 4 [(4b) 2 + 2(4b)(3a) + (3a) 2 ] = a 4 b 4 (4b+3a) 2 0,5đ b) 8m 3 + 36m 2 n + 54mn 2 + 27n 3 = (2m) 3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m(3n) 2 + (3n) 3 0,25đ = (2m + 3n) 3 0,25đ Bài 2: (3đ) a) (1,5đ)Ta thực hiện vế trái (x + y) 5 x 5 y 5 = x 5 +5x 4 y+10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +5xy 4 +y 5 - x 5 -y 5 0,5đ =5x 4 y+10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +5xy 4 =5xy(x 3 +2x 2 y+2xy 2 +y 3 ) =5xy[(x 3 +y 3 )+(2x 2 y+2xy 2 )] =5xy[(x+y)(x 2 -xy+y 2 )+2xy(x+x)] 0,5đ =5xy(x+y)(x 2 +xy+y 2 ) 0,5đ Vậy vế trái bằng vế phải (đpcm) b) (1,5đ) Đặt x y=a ; y z=b ; z x=c Ta nhận thấy: (x - y)+(y - z)+(z - x)=0 hay a+b+c=0 -(a-b)=c 0,5đ Ta có: A = (x y) 5 + (y z) 5 + (z x) 5 = a 5 +b 5 +c 5 B = 5abc A = a 5 +b 5 +c 5 = a 5 +b 5 - (a-b) 5 =-[(a-b) 5 - a 5 -b 5 ] 0,5đ Theo kết quả của phần a (ở trên) thì: A =-5ab(a+b)(a 2 +ab+b 2 ) mà -(a-b)=c nên A =5abc(a 2 +ab+b 2 ) Vậy A B 0,5đ Bài 3: (2,5đ) a)(1,25đ) (1,5đ) (m 3 + 3m 2 - 3m -3) 48 Ta có: m 3 +3m 2 - 3m -3 = m 2 (m+3) -(m+3) = (m+3)(m-1)( m+1) 0,5đ Do m lẻ nên (m+3);(m-1) và ( m+1) l các số chẵn 0,5đ Vậy (m 3 +3m 2 - 3m -3) 48 0,25đ b) (1,25đ) Chứng minh ( 7.5 2n +12.6 n ) 19 . Với n l số nguyên d ơng 7.5 2n +12.6 n = 7.5 2n +12.6 n +7.6 n - 7.6 n =( 7.25 n - 7.6 n ) + 19.6 n = 7(25 n - 6 n ) +19.6 n 0,5đ Do 7(25 n - 6 n ) 19 v 19.6 n 19 0,5đ Nên ( 7.5 2n +12.6 n ) 19 0,25đ Bài 4: (3đ) Vẽ hình 0.5 đ Trong tam giác KGE có 1 K = 1 G + 1 E (góc ngoài của tam giác) (1) 0,5đ Tơng tự ta lại: có 1 G = A + 1 M (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1 K = A + 1 M + 1 E 0,5đ Do 1 C = 4 C nên 1 C = 1 D + 2 1 E (Vì 1 E = 2 E ) (3) B C 4 A M 1 G D E K 1 1 2 2 1 1 1 Tơng tự: 1 D = A + 2 1 M (4) 0,5đ Từ (3) và (4) suy ra: 1 C = A + 2 1 M + 2 1 E Suy ra: 1 M + 1 E = 2 1 ( 1 C - A ) 0,5đ Vậy 1 K = A + 2 1 ( 1 C - A ) = 2 1 ( A + 1 C ) (đpcm) 0,5đ -------------------------Hết đáp án------------------------------- Không phải là đáp án: Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn Cám ơn thầy (cô)! Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh . 5 y 5 = x 5 +5x 4 y+ 10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +5xy 4 +y 5 - x 5 -y 5 0,5đ =5x 4 y+ 10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +5xy 4 =5xy(x 3 +2x 2 y+ 2xy 2 +y 3 ) =5xy[(x 3 +y 3. )+(2x 2 y+ 2xy 2 )] =5xy[(x +y) (x 2 -xy +y 2 )+2xy(x+x)] 0,5đ =5xy(x +y) (x 2 +xy +y 2 ) 0,5đ V y vế trái bằng vế phải (đpcm) b) (1,5đ) Đặt x y= a ; y z=b ;