PHÒNG GD-ĐT NINHHÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2009-2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5− − − = cotg45 0 Bài 2: (4đ) Cho biểu thức ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + − = × − ÷ − − − a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 4y x x y M xy − + − = Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) 2 2 1 1 x yz y xz x yz y xz − − = − − với , 1, 1, 0, 0, 0x y yz xz x y z ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ thì 1 1 1 x y z x y z + + = + + Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 45 0 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. Chứng minh rằng: EF 1 4 M ABC S S ∆ ∆ < Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Bài Nội dung – Yêu cầu Điểm 1 5 3 29 12 5− − − ( ) 2 5 3 2 5 3 = − − − 5 6 2 5= − − ( ) 2 5 5 1 = − − = 1 = cotg45 0 1đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,5đ 2a Q có nghĩa 1x ⇔ > và 2x ≠ 0,5đ 2b ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + − = × − ÷ − − − ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 x x x x x Q x x x − − − + + − + − + − = × − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x x x Q x x − − + − + − = × − − 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − * Nếu 1 < x < 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − * Nếu x > 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25 3 Với điều kiện 1, 4x y ≥ ≥ ta có: M = 4 1 y x x y − − + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 2 2 x x x x + − − = − ≤ = 1 1 2 x x − ⇒ ≤ (vì x dương) 0,25đ 0,75đ 0,5đ F A B C M P Q N K E Và: ( ) 1 1 4 4 4 4 4 2 2 2 4 y y y y + − − = − ≤ × = 4 1 4 y y − ⇒ ≤ (vì y dương) Suy ra: M = 4 1 1 1 3 2 4 4 y x x y − − + ≤ + = Vậy giá trị lớn nhất của M là 3 4 ⇔ x = 2, y = 8 0,75đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 4 ( ) ( ) 2 2 1 1 x yz y xz x yz y xz − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x yz y xyz y xz x xyz ⇔ − − = − − 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz ⇔ − − + − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 0x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z⇔ − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0xy x y xyz x y z x y xyz x y ⇔ − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) 2 0x y xy xyz x y z x y xyz ⇔ − − + + + − = ( ) ( ) 2 0xy xyz x y z x y xyz⇔ − + + + − = (vì 0x y x y ≠ ⇒ − ≠ ) ( ) 2 xy xz yz xyz x y xyz ⇔ + + = + + ( ) 2 xyz x y xyz xy xz yz xyz xyz + + + + ⇔ = (vì 0xyz ≠ ) 1 1 1 x y z x y z ⇔ + + = + + 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 Kẻ MP ⊥ AB tại P, MQ ⊥ AC tại Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N Do ∠ EMF = 45 0 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ 1 2 MEN MEK MPEK S S S ∆ ∆ ⇒ < = và 1 2 FEN QEK QAEK S S S ∆ ∆ < = ( FEN QEK S S ∆ ∆ < vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN bé hơn đáy EK) Suy ra: 1 1 2 2 MEN FEN APMQ MEF APMQ S S S S S ∆ ∆ ∆ + < ⇔ < (*) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ C K B A P I Q M Chứng minh được: 1 2 MAP MAB S S ∆ ∆ = 1 2 MAQ MAC S S ∆ ∆ = 1 2 APMQ ABC S S ∆ ⇒ = (**) Từ (*) và (**) ta có: EF 1 4 M ABC S S ∆ ∆ < 0,5đ 0,5đ 0,25đ 6 Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ là I. AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của ∠ BAC ⇒ ∆ PAQ cân ở A và AO ⊥ PQ Áp dụng Pitago ta có: MK 2 = MO 2 – R 2 ( ∆ MKO vuông tại K) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – R 2 ( ∆ MOI vuông tại I) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – (OP 2 – PB 2 ) ( ∆ BOP vuông tại B) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – [(OI 2 + PI 2 ) – PA 2 ] ( ∆ IOP vuông tại I và PA = PB) MK 2 = MI 2 + OI 2 – OI 2 + (PA 2 – PI 2 ) MK 2 = MI 2 + AI 2 ( ∆ IAP vuông tại I) MK 2 = MA 2 ( ∆ IAM vuông tại I) ⇒ MK = MA 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ O . PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 20 09- 2010 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời. CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 20 09- 2010 Bài Nội dung – Yêu cầu Điểm 1 5 3 29 12 5− − − ( ) 2 5 3 2 5 3 = −