Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ-ờng tròn O, gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.. Chứng minh các
Trang 1Phòng GD&ĐT Yên Định Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Tr
ờng THCS Định Tiến năm học 2006-2007
Môn: Toán - (Thời gian 120 phút)
Giáo viên ra đề : Lê Văn Yên
Bài 1(2 điểm) : Cho biểu thức:
xy x
y x
y y
y x
x P
1 1 1
) )
1 )(
(
a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P
b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2
Bài 2(2 điểm): Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung
Bài 3(2 điểm): Giải hệ phơng trình :
27 1
1 1
1
9
zx yz
xy
z y
x
z y
x
Bài 4(2điểm): Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng tròn
)
;
(C A C B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ-ờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N
a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân
b) Khi MB = MQ , tính BC theo R
Bài 5(2điểm): Cho x,y,z R thỏa mãn : x y z x y z
1 1 1 1
Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
4
3
+ (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10)
Đáp án môn toán 9
Bài 1: a) Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0
*) Rút gọn P:
Trang 2
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
)
(
1 1
) 1
( ) 1
(
y xy
x
y
y y
y y
x
y
x y y y x
y x
x x
y x
y x
x
y x
y x
xy y xy x
y x y x
y x
y x
y x xy y y x x y
x
y x
y x
y x xy y
y x x
P
Vậy P = x xy y.
b) P = 2 x xy y.= 2
11 1
1 1 1
y x
y y
x
Để phơng trình có nghiệm nguyên x 11 y phải là ớc của 1
nghiem Vo y
x
y y
x
1
1
1
1
0 1
1
1
1
Với (x = 4 ; y = 0) thõa mãn ĐKXĐ của phơng trình, nên (x = 4 ; y = 0) là nghiệm nguyên của phơng trình P = 2
Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đ-ờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
- x2 = mx + m – 2
x2 + mx + m – 2 = 0 (*)
Vì phơng trình (*) có m2 4m 8 m 22 4 0 m nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B
b) A và B nằm về hai phía của trục tung phơng trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu m – 2 < 0 m < 2
Bài 3 :
3 27
) 2 ( 1
1 1
1
1 9
xz yz
xy
z y
x
z y
x
ĐKXĐ : x 0 , y 0 , z 0
z y x x
z z y y x x
z
z y
y x
x z z
y y
x
zx yz
xy z
y x
zx yz
xy z
y x
z y
x
zx yz
xy z
y x
zx yz
xy z
y x
z y
x
0 )
(
0 )
(
0 )
(
0 )
( )
( )
(
0 2
) (
2
27
2 81
81 2
81
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
Thay vào (1) => x = y = z = 3
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
x = y = z = 3
Bài 4:
Trang 3a) Xét ABM và NBM Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
nên :AMB = NMB = 90o
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM => BAN
cân đỉnh B
Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB)
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M
b) Xét MCB và MNQ có :
MC = MN(theo cm trên MNC cân )
MB = MQ ( theo gt)
BMC = MNQ ( vì : MCB = MNC ; MBC = MQN )
=> MCB MNQ (c.g.c).
=> BC = NQ
Xét tam giác vuông ABQ có ACBQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)
=> AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5 1 )R
Bài 5:
1 1 1
1
z y x z y x
z y x z
z z y x xy
y
x
0 )
(
0 1
1
2
x z z y
y
x
z y x xyz
xy z
zy zx
y
x
z y x z xy
y
z
Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=
y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)
z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
Vậy M =
4
3
+ (x + y) (y + z) (z + x).A =
4 3