PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 NĂM HỌC 2009-2010 Môn:Toán Thời gian:150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1:(2đ) a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số n+26 và n-11 đều là lập phương của một số tự nhiên. b) Cho các số x,y,z thay đổi thỏa mãn 1 222 =++ zyx .Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ][ 2 1 2 2 2 2 2 2 yxzxzyzyxzxyzxyP −+−+−+++= Câu 2: (1.5đ) Cho ba số nguyên x,y,z thỏa mãn điều kiện 6zyx ++ . Chứng minh rằng ( )( )( ) 62 xyzxzzyyxM −+++= Câu 3:(1.5đ) Please solve math and writing answers in English. Solution equation : ( ) 2 1311121 xxxxx −+−+−=+++ Câu 4:(1.5đ) Nếu một hình vuông và một tam giác có cùng diện tích thì hình nào có chu vi lớn hơn?Tại sao? Câu 5:(1.5đ) Cho tứ giác lồi ABCD.Trên hai cạnh AB,CD lần lượt lấy hai điểm E,F sao cho DF CF BE AE = .Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau. Câu 6:(2đ) Cho đường tròn (O;R) cố định.Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O;R) vè hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O;R).Đường trung trực của đường kính BC cắt đường thẳng AC tại K. a) CMR: MK=R b) M chạy trên đường nào nếu tam giác AMB luôn đều. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 NĂM HỌC 2009-2010 Môn:Toán Thời gian:150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu Nội dung trình bày Điểm Câu 1: a) ( ) ( ) 3737*),( 11 26 2233 3 3 =++−⇒=−⇒∈ =− =+ babababaNba bn an Do 2 2 2 2 0, 0;a b a ab b a ab b a b− > + + > + + > − và 37 là SNT nên 38 3 4 37 1 22 =⇒ = = ⇒ =++ =− n b a baba ba c) Từ 1;1;11 222222 ≤≤≤⇒=++ zyxzyx . Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −≤− −≤− −≤− 22 2 22 2 22 2 yxyxz xzxzy zyzyx Do vậy ( ) ( ) ( ) 1][ 2 1 222 222 =++=−+−+−+++≤ zyxxzzyyxzxyzxyP Dấu “=” xảy ra khi 3 3 ±=== zyx 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2: Ta có: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 333222 2 zyxzyxzyxxyzxzzyyxM ++−++++=−+++= Mặt khác Zn ∈∀ thì 6 3 nn − nên từ 66 333 zyxzyx ++⇒++ .Do đó 6M 0.75 0.75 Câu 3: Conditions determined: 11 ≤≤− x . Set −= += xv xu 1 1 . Equation becomes: uvvvuu 32 22 ++−=+ 0)12)(( =+−−⇔ vuvu +) With u v= Setting back, we are 0x = +) With 2 1v u = + Setting back, we are 24 25 x − = . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác,h a là chiều cao tương ứng với cạnh a,m là độ dài cạnh hình vuông. Ta có: aaa hcbhchb 2; ≥+⇒≥≥ .Do đó 0.25 0.5 mmhahacba a i a 44.2.2.2.2 2 cos ==≥+≥++ Vậy tam giác có chu vi lớn hơn. 0.5 0.25 Câu 5: Gọi D’,E’,B’,F’ lần lượt là hình chiếu của D,E,B,F lên AC ( ) '' '' FFEEgcgFIFIEE =⇒∆=∆ . EE’//BB’ AB AE BB EE =⇒ ' ' FF’//DD’ CD CF DD FF =⇒ ' ' Mặt khác: CD CF AB AE DF CF BE AE =⇒= .Do đó ta có BB’=DD’ => đpcm. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Câu 6: a) OCKOKA ˆ 90 ˆ 0 −= OCKMOAOMA ˆ 90 ˆ 90 ˆ 00 −=−= OMACKA ˆˆ =⇒ nên tứ giác AKMO nội tiếp được 0 90 ˆ ˆ ==⇒ OAMOKM ,do đó tứ giác KOBM là hình chữ nhật nên MK=OB=R. b) .30 ˆ 60 ˆ 00 =⇒= OMABMA nên tam giác AMO là nửa tam giác đều đường cao AM nên MO=2.AO=2R không đổi,Do đó M chạy trên đường tròn (O,2R). 1 1 . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 NĂM HỌC 20 09- 2010 Môn :Toán Thời gian:150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1:(2đ) a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số n+26 và n-11 đều. TAM ĐẢO TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 NĂM HỌC 20 09- 2010 Môn :Toán Thời gian:150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu Nội dung trình bày Điểm Câu 1: a) (. => đpcm. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Câu 6: a) OCKOKA ˆ 90 ˆ 0 −= OCKMOAOMA ˆ 90 ˆ 90 ˆ 00 −=−= OMACKA ˆˆ =⇒ nên tứ giác AKMO nội tiếp được 0 90 ˆ ˆ ==⇒ OAMOKM ,do đó tứ giác KOBM là hình chữ