Đề thi và đáp án CLB Toán tuổi thơ

ĐỀ RA THÁNG 9 (Hạn nộp chậm nhất: 15 tháng 10 năm 2010) LỚP 6 1) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với: A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 20 2) So sánh các cặp số sau: A = 2 300 và B = 3 200 LỚP 7 Có 80 viên bi, trong đó có một viên bi không đạt tiêu chuẩn nên nhẹ hơn các viên bi còn lại. Chỉ cần cân 4 lần là lấy đợc viên bi không đạt tiêu chuẩn. Cân bằng cách nào? LỚP 8 Chứng minh rằng: (n 3 + 2n 2 ) + (n 2 + 2n) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n LỚP 9 Giải phơng trình: x 2 + x + 12 1x + = 36 Đáp án tháng 9 Lớp 6 1) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với: A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 20 2) So sánh các cặp số sau: A = 2 300 và B = 3 200 Giải 1) A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 20 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + … + 2 20 + 2 21 2A – A = A = 2 21 2) A = ( ) 100 3 100 2 8= B = ( ) 100 2 100 3 9= 8 100 < 9 100 Vậy A < B Nhận xét: Trong bài toán này các bạn tham gia giải đã có cách làm đúng song lập luận và biến đổi cha tốt. Sau đây là danh sách các bạn dã có lời giải đúng nhất: 1 Nguyễn Thị Dung 6A 2 Phan Thị Dung 6A Danh sách các bạn dã có lời giải đúng, tuy nhiên lời giải cha hoàn chỉnh: 1 Nguyễn Trọng Hùng 6A 2 Phạm Đình Hải 6A 3 Lê Thị Thu Uyên 6A 4 Nguyễn Thị Khánh Thi 6A Lớp 7 Có 80 viên bi, trong đó có một viên bi không đạt tiêu chuẩn nên nhẹ hơn các viên bi còn lại. Chỉ cần cân 4 lần là lấy đợc viên bi không đạt tiêu chuẩn. Cân bằng cách nào? Giải Lu ý : Dùng cân Rôbecvan (cân thăng bằng) Chia 80 viên bi ra 3 nhóm, nhóm 1 và nhóm 2 mỗi nhóm 27 viên, nhóm 3 có 26 viên. Cân lần 1: nhóm 1 và 2 nếu nhóm nào nhẹ hơn thì viên bi không đạt tiêu chuẩn sẽ nằm ở nhóm đó. Lấy 27 viên bi ở nhóm này chia thành 3 nhóm mỗi nhóm 9 viên. Cân lần 2: Cân 2 nhóm mỗi nhóm 9 viên thì sẽ biết viên bi không đạt tiêu chuẩn nằm ở một trong ba nhóm này. Lấy nhóm 9 viên có viên không đạt tiêu chuẩn chia làm 3 nhóm mỗi nhóm 3 viên. Cân lần 3: làm tơng tự cân lần 2 với nhóm 3 viên ta biết viên bi không đạt tiêu chuẩn nằm ở nhóm 3 viên trong 3 nhóm này. Lấy nhóm 3 viên có viên không đạt tiêu chuẩn chia làm 3 nhóm mỗi nhóm 1 viên. Cân lần 4: Lấy 2 trong 3 viên đó đặt lên bàn cân thì sẽ biết viên không đạt tiêu chuẩn là viên nào trong 3 viên của nhóm đợc chọn. Trờng hợp viên bi không đạt tiêu chuẩn nằm ở nhóm 26 viên thì thêm 1 viên vào để đợc 27 viên và làm tơng tự nh cân lần 2 trở đi. Rất tiếc trong bài bài toán này cha có bạn nào có cách giải đúng Lớp 8 Chứng minh rằng: (n 3 + 2n 2 ) + (n 2 + 2n) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n Giải (n 3 + 2n 2 ) + (n 2 + 2n) = n(n + 1)(n + 2) Là tích 3 số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3, mà (2;3) = 1 Nên n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2.3 hay (n 3 + 2n 2 ) + (n 2 + 2n) M 6 với mọi số tự nhiên n. Nhận xét: Hầu hết cấc bạn tham gia giải đều đã có lời giải đúng,. Tuy nhiên lời giải cha thật sự cụ thể chi tiết. Sau đây là danh sách các bạn đã có lời giải tốt nhất: 1 Nguyễn Đình Chiểu 8A 2 Phan Quốc Khánh 8A Sau đây là danh sách các bạn đã tham gia giải và có hớng giải đúng: 1 Nguyễn Anh Tuấn Lớp 8A 2 Phan Văn Thịnh Lớp 8A 3 Cao Tiến Dũng Lớp 8A 4 Nguyễn Thị Trinh Lớp 8A 5 Nguyễn Quang Giáp Lớp 8A 6 Nguyễn Xuân Sáng Lớp 8A 7 Lê Thị Ngọc Ánh Lớp 8A Lớp 9 Giải phương trình: x 2 + x + 12 1x + = 36 Giải Điều kiện: x ≥ -1 Biến đổi: x 2 + x + 12 1x + = 36 x 2 + x + 1 – x – 1 + 12 1x + = 36 (x + 1) 2 = ( 1x + - 6) 2 TH1: x + 1 = 1x + - 6 nếu 1x + ≥ 6 hay x ≥ 35 x + 7 = 1x + x 2 + 13x + 48 = 0 mà x 2 + 13x + 48 = (x + 6,5) 2 + 5,75 > 0 với mọi x, nên không tồn tại x. TH2: x + 1 = 6 - 1x + nếu -1 < x < 35 Đặt 1x + = t (0 ≤ t < 6 ) => x + 1 = t 2 và x = t 2 -1 Ta đợc: t 2 + t – 6 = 0 (t + 3)(t - 2) = 0 t = 2 (nhận); t = -3 (loại) => x = 3. Nhận xét: Xin biểu dơng các bạn đã tham gia giải kịp thời và tích cực. Các bạn tham gia giải đã có hớng giải đúng, tuy nhiên một số bớc lập luận và biến đổi cha tốt. Nhiều bạn đã giải bằng cách trực tiếp đặt 1x + = y và đa pt về dạng y 4 – y 2 +12y – 36 = 0 Và đa pt về pt tích kèm theo đk hợp lí cũng suy ra nghiệm cuối cùng hợp lí x = 3, Đó cũng là cách giải tốt cần phát huy. Danh sách các bạn đã có lời giải tốt nhất: 1 Phan Thị Trang 9A 2 Phạm Thị Hằng 9A Danh sách các bạn đã có cách giải đúng tuy nhiên cha hoàn chỉnh lời giải: 1 Hà Quốc Nhật 9A 2 Nguyễn Văn Thái 9A 3 Nguyễn Tiến Đức 9A 4 Lê Chí Lu 9A DANH SÁCH CÁC BẠN HS ĐƯỢC GIẢI THỞNG THÁNG 9: TT Họ Và Tên Lớp 1 Nguyễn Thị Dung 6A 2 Phan Thị Dung 6A 3 Nguyễn Đình Chiểu 8A 4 Phan Quốc Khánh 8A 5 Phan Thị Trang 9A 6 Phạm Thị Hằng 9A ĐỀ RA THÁNG 10 (Hạn nộp bài chậm nhất 7/11/2010) KHỐI 6 Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3; 7 và 15 KHỐI 7 1) Cho a 1 + a 2 + … + a n ≠ 0 và 3 1 1 2 2 3 4 1 n n n a a a a a a a a a a − = = = = = Chứng minh: a 1 = a 2 = … = a n . 2) Cho a + b + c ≠ 0 và a b c b c a = = Tính giá trị biểu thức: 3 2 1930 1935 a b c M c = KHỐI 8 Cho x + y = 3; x 2 + y 2 = 5. Hãy tính giá trị biểu thức P = x 3 + y 3 KHỐI 9 1) Tam giác ABC vuông tại A, có AH là đờng cao thì: Sin C = BH AB Đúng hay sai? Giải thích? 2) Giải phơng trình: 2 6 2 5 4 2 6 2 5 4 4x x x x − − + + + − + = ĐÁP ÁN THÁNG 10 KHỐI 6 Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3; 7 và 15 Giải Ta có: A = (2 + 2 2 ) + (2 3 + 2 4 ) + … + (2 59 + 2 60 ) = 2(1 + 2) + 2 3 (1 + 2) + … + 2 59 (1 + 2) = 3(2 + 2 3 + … + 2 59 ) Vậy A M 3 A = (2 + 2 2 + 2 3 ) + … + (2 58 + 2 59 + 2 60 ) = 2(1 + 2 + 2 2 ) + … + 2 58 (1 + 2 + 2 2 ) = 7(2 + … + 2 58 ) Vậy A M 7 A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 57 + 2 58 + 2 59 + 2 60 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + … + 2 57 (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) = 15(2 + … + 2 57 ) Vậy A M 15. KHỐI 7 1) Cho a 1 + a 2 + … + a n ≠ 0 và 3 1 1 2 2 3 4 1 n n n a a a a a a a a a a − = = = = = Chứng minh: a 1 = a 2 = … = a n . 2) Cho a + b + c ≠ 0 và a b c b c a = = Tính giá trị biểu thức: 3 2 1930 1935 a b c M c = Giải 1) Từ giả thiết bài toán ta có 3 1 1 2 2 3 4 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 1 . n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = = = = = + + + + = = + + + + ⇒ = = = = 2) từ 1 a b c a b c a b c b c a b c a b c a + + = = ⇒ = = = = + + ⇒ a b c = = Vậy 3 2 1930 3 2 1930 1935 1935 1935 1935 1 a b c c c c c M c c c = = = = KHỐI 8 1) Cho x + y = 3; x 2 + y 2 = 5. Hãy tính giá trị biểu thức P = x 3 + y 3 Giải Từ gt ta có: (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy = 9  2xy = 9 - x 2 + y 2 = 9 – 5 = 4  xy = 2 Từ đó: P = x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y) = 3 3 – 3.2.3 P = 9. KHỐI 9 1) Tam giác ABC vuông tại A, có AH là đờng cao thì: SinC = BH AB Đúng hay sai? Giải thích? 2) Giải phơng trình: 2 6 2 5 4 2 6 2 5 4 4x x x x − − + + + − + = Giải 1) Ta có: µ C và · BAH cùng phụ với µ B => µ · C BAH= => SinC = SinBAH. Trong tam giác vuông BAH ta có: BH BH SinBAH SinC AB AB = ⇒ = . 2) Nhận xét: A B C H 2 2 2 6 2 5 4 2 5 2.3 2 5 9 ( 2 5 3) 0. 2 6 2 5 4 2 5 2.3 2 5 9 ( 2 5 3) 0. x x x x x x x x x x − − + = − − − + = − − ≥ + − + = − + − + = − + ≥ Vậy nên ĐKXĐ của pt là: 2x – 5 ≥ 0  x ≥ 5/2 Biến đổi pt: 2 2 2 6 2 5 4 2 6 2 5 4 4 2 5 2.3 2 5 9 2 5 6 2 5 9 4 ( 2 5 3) ( 2 5 3) 4 x x x x x x x x x x − − + + + − + = ⇔ − − − + + − + − + = ⇔ − − + − + = (2 5) 3 (2 5) 3 4 (2 5) 3 (2 5) 3 4(*) x x x x ⇔ − − + − + = ⇔ − − + − + = vì (2 5) 3 0x − + > TH1: 2 5 3 0 2 5 3x x − − < ⇔ − < 5 2 5 9 7 2 x x ⇔ − < ⇔ ≤ < Ta có: (*) 2 5 3 2 5 3 4x x ⇔ − − + + − + = Pt vô nghiệm TH2: 2 5 3 0 2 5 3x x − − ≥ ⇔ − ≥ 2 5 9 7x x ⇔ − ≥ ⇔ ≥ Ta có: (*) 2 5 3 2 5 3 4x x ⇔ − − + − + = 2 5 2 2 5 4 2 9 4,5 x x x x ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = loại. Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm. NHẬN XÉT CHUNG: Hầu hết các bạn tham gia giải ở các khối đều có hớng giải đúng, Tuy nhiên việc trình bày trong bài làm của các em còn nhiều hạn chế đặc biệt là lỗi chính tả, xét điều kiện và đối chiếu điều kiện, trình bày không chặt chẽ. Danh sách các bạn tham gia giải câu hỏi tháng 10: (Theo kết quả tổng hợp và lựa chọn của gv phụ trách) tt Họ và tên Khối, lớp 1 Phan Thị Trang 9A 2 Lê Anh Huân 9A 3 Hà Quốc Nhật 9A 4 Nguyễn Văn Sơn 9A 5 Phạm Thị Hằng 9A 6 Nguyễn Thị Trinh 8A 7 Nguyễn Thị Huyền A 8A 8 Phan Quốc Khánh 8A 9 Nguyễn Thị Hiền 8A 10 Cao Song Hào 8A 11 Phan Thị Nhàn 8A 12 Nguyễn Quang Pháp 8A 13 Phạm Thị Oánh 8B 14 Nguyễn Xuân Sáng 8B 15 Cao Tiến Dũng 8A 16 Nguyễn Thị Trà 8A 17 Phan Văn Thịnh 8A 18 Nguyễn Thị Thuý Nga 8A 19 Nguyễn Tiến Dũng 7A 20 Cao Thị Oánh 7A 21 Nguyễn Xuân Bách 7A 22 Lê Đình Khanh 7A 23 Nguyễn Thị Dung 6A 24 Nguyễn Thị Minh Thuý 6A 25 Trần Thị Khánh Huyền 6A Theo thống kê ở trên thì số lợng các bạn hs tham gia sân chơi này cha nhiều, mong rằng từ tháng 11 trở đi các bạn hs sẽ tham gia câu lạc bộ này nhiều hơn. Sau đây là các bạn có lời giải tốt hơn, nạp bài sớm hơn đã đạt giải thởng tháng 10: - Khối 6: Nguyễn Thị Dung Nguyễn Thị Minh Thuý. - Khối 7: Nguyễn Xuân Bách Lê Đình Khanh. - Khối 8: Nguyễn Thị Trinh Nguyễn Thị Huyền A. - Khối 9: Phan Thị Trang Lê Anh Huân. ĐỀ RA THÁNG 11 (Hạn nộp bài chậm nhất đến ngày 5/12/2010) Khối 6 Tìm số tự nhiên x;y sao cho: (2x + 1)(y - 3) = 10. Khối 7 1) Tìm x, biết: 3 x + 3 x+1 + 3 x+2 = 117. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2,8 + 5,6 x − Khối 8 Cho điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD, tia phân giác của góc ABM cắt AD tại I. Qua M kẻ MH vuông góc với BI (H thuộc BI), MH cắt AB tại E. Kẻ MK vuông góc với AB (K thuộc AB). Chứng minh rằng: a) ME = 2MH b) MKE BAI ∆ = ∆ c) BI ≤ 2MI. Khối 9 Tìm m để đờng thẳng y = 2mx + m 2 – 1 (m là tham số) a) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. b) Đi qua gốc toạ độ. ĐÁP ÁN THÁNG 11 Khối 6 Tìm số tự nhiên x;y sao cho: (2x + 1)(y - 3) = 10. Giải x; y là các số tự nhiên nên 2x + 1 và y – 3 là các ớc số của 10. Ư(10) = {1; 2; 5; 10}. Mà: 2x + 1 là số lẻ nên ta có: 2x + 1 y – 3 x y 1 10 0 13 [...]... số ngời của đội II và 1 5 số ngời của đội III đi làm việc khác thì số ngời còn lại của ba đội bằng nhau Tính số ngời mỗi đội lúc đầu Khối 8 Tìm x; y biết rằng 16 16 x 2 + y 2 + 2 + 2 = 16 x y Khối 9 Tính giá trị biểu thức sau: A = 12 + 23 − 12 − 23 − 2 Sơn Lễ, ngày13 tháng12 năm 2010 ĐÁP ÁN THÁNG 12 Khối 6 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8; 10; 15; 20 theo thứ tự d 5; 7; 12; 17 và chia hết cho 41...5 2 2 5 Vậy, ta có các đáp số: x = 0; y = 13 và x = 2; y = 5 Nhận xét: Đã có nhiều bạn tham gia giải và hầu hết đều có hớng giải đúng, tuy nhiên nhiều bạn trình bày lời giải cha tốt hoặc cha trọn vẹn Sau đây là các bạn có lời giải tốt hơn cả: Nguyễn Thị Hằng, Nguyễn Thị Khánh Chi, Phạm Đình Hải, Nguyễn Thị Dung, Nguyễn Tuấn Khanh Khối 7 1) Tìm x,... chia hết cho 41 nên a = 4797 T/m bài toán Khối 7 Trên một công trờng ba đội công nhân lao động có tất cả 196 ngời Nếu chuyển 1 3 số ngời của đội I, 1 4 số ngời của đội II và 1 5 số ngời của đội III đi làm việc khác thì số ngời còn lại của ba đội bằng nhau Tính số ngời mỗi đội lúc đầu Giải Gọi x, y, z theo thứ tự là số ngời của đội I, đội II, đội III lúc đầu Theo bài toán ta có: Số ngời còn lại của mỗi... thởng: Khối 6: Nguyễn Thị Hằng – 6A; Nguyễn Thị Khánh Chi – 6A Khối 7: Nguyễn Minh Hiếu – 7A; Đinh Thị Huyền – 7A Khối 8: Nguyễn Duy Hoàng – 8A; Nguyễn Đình Chiểu – 8A Khối 9: Nguyễn Văn Sơn – 9A; Phạm Thị Hằng – 9A ĐỀ RA THÁNG 12 (Hạn nộp bài chậm nhất đến ngày 30/12/2010) Khối 6 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8; 10; 15; 20 theo thứ tự d 5; 7; 12; 17 và chia hết cho 41 Khối 7 Trên một công trờng ba... nhỏ nhất là 2,8 khi và chỉ khi 5, 6 − x = 0 khi đó x = 5,6 Nhận xét: Hầu hết các bạn tham gia đều có hớng giải đúng, tuy nhiên lập luận của các bạn cha tốt khi biến đổi bớc này sang bớc khác nên sử dụng dấu “ ⇔ ” hoặc “ ⇒ ”; hay có bạn nhầm lẫn 5, 6 − x ≤ 0∀x , có bạn ghi sai đề, … Các bạn có hớng giải đúng, nhng cha trọn vẹn 1 trong 2 bài hoặc cả hai bài: Lê Đình Khanh 7A, Cao Thị Oánh 7A, Nguyễn Xuân... x = 0; y = 3 vào pt đờng thẳng ta đợc: 3 = 2.m.0 + m2 – 1 ⇔ m2 = 4 ⇔ m = ± 2 b) Đi qua gốc toạ độ ⇔ (0;0) thuộc đờng thẳng, nên: 0 = 2.m.0 + m2 – 1 ⇔ m2 = 1 ⇔ m = ± 1 Nhận xét chung: Số lợng các bạn hs tham gia giải câu hỏi tháng 11 đã chuyển biến tích cực so với các tháng trớc, số lợng nhiều hơn, lời giải đợc trình bày công phu hơn, … Nhà trờng biểu dơng tinh thần này của các bạn hs và hãy phát huy... ngời của đội I, đội II, đội III lúc đầu Theo bài toán ta có: Số ngời còn lại của mỗi đội sau khi chuyển sẽ lần lợt là: Khi đó: 2 3 4 x= y= z 3 4 5 và x + y + z = 196 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra đợc: x = 72; y = 64; z = 60 ĐÁP ÁN THÁNG 12 Khối 8 Tìm x; y biết rằng 16 16 x 2 + y 2 + 2 + 2 = 16 x y Giải ĐK: x ≠ 0; y ≠ 0 Ta có: 2 3 4 x; y ; z 3 4 5 16 16 16 16 + 2 = 16 ⇔ x 2 − 8... 23 − 12 − 23 − 2 Giải đặt: a = 12 + 23 ; b = 12 − 23 ⇒ a > 0; b > 0 và a – b > 0 Ta có: ab = 122 − 23 = 11 (1) 2 2 a + b = 12 + 23 + 12 - 23 = 24 (2) a 2 + b 2 = 24 Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình  ab = 11 Từ 2 hai phơng trình của hệ ta suy ra: a2 – 2ab + b2 = 2 ⇒ (a – b)2 = 2 ⇒ a – b = 2 (vì a – b > 0) ⇒ A = 2− 2 =0 ĐỀ RA THÁNG 2 (Hạn nộp bài chậm nhất đến hết ngày 3/3/2011) Khối 6 Cho A = a)... Mà KLB = MLH (đối đỉnh) Nên · · ABI = KME L H Xét 2 tam giác vuông: MKE và BAI có: · MK = AB ; ·ABI = KME Nên I ∆ABI = ∆KME D M C c) theo câu a ta có: ME = 2MH (1) theo câu b ta có: ME = BI (2) Trong tam giác vuông MHI có: MI ≥ MH (3) Từ (1), (2), (3) ta suy ra: BI ≤ 2MI Nhận xét: Có 35 bạn ở lớp 8A tham gia giải, hầu hết các bạn đều có lời giải đúng: Khối 9 Tìm m để đờng thẳng y = 2mx + m2 – 1 (m là . ĐỀ RA THÁNG 9 (Hạn nộp chậm nhất: 15 tháng 10 năm 2010) LỚP 6 1) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với: A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 20 2) So sánh các cặp số sau: A = 2 300 và. x 2 + x + 12 1x + = 36 Đáp án tháng 9 Lớp 6 1) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với: A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 20 2) So sánh các cặp số sau: A = 2 300 và B = 3 200 Giải 1) A. ĐƯỢC GIẢI THỞNG THÁNG 9: TT Họ Và Tên Lớp 1 Nguyễn Thị Dung 6A 2 Phan Thị Dung 6A 3 Nguyễn Đình Chiểu 8A 4 Phan Quốc Khánh 8A 5 Phan Thị Trang 9A 6 Phạm Thị Hằng 9A ĐỀ RA THÁNG 10 (Hạn nộp bài